Pałkowa analiza sygnałów

Transkrypt

1 Remigiusz J. RAK, Andrzej MAJKOWSKI Politechnika Warszawska, Instytut Elektrotechniki Teoretycznej i Systemów Informacyjno-Pomiarowych Pałkowa analiza sygnałów Streszczenie. Cechą charakterystyczną lalkowej jest to, że związane z nią funkcje falkowe są dobrze zlokalizowane w czasie (przestrzeni) i jednocześnie dobrze opisują sygnał w dziedzinie częstotliwości, ściśle biorąc tzw. skali. Ponadto w odróżnieniu od funkcji sinus i cosinus, które definiują unikalną transformatę Fouriera, nie ma pojedynczego, unikalnego zbioru falkowych funkcji bazowych. Istnieje nieograniczona wręcz liczba możliwych do utworzenia falek. Która z nich jest najlepsza zależy od konkretnej implementacji. Swoją niezwykłą efektywność w zakresie sygnałów, transformata f alkowa zawdzięcza szybkiemu algorytmowi piramidy, opracowanemu przez Mallata. Algorytm ten umożliwia w łatwy i szybki sposób uzyskanie dekompozycji sygnału na składowe falkowe. Abstract. (Wavelets in Signal Analysis). What makes the wavelet analysis interesting is that individual wavelet functions are quite localized in time scalę (or space) and simultaneously in frequency (or characteristic scalę). Unlike sine and cosine, which define a unique Fourier transform, there is not one single unigue set of wavelets. In fact there are infinite yariety of possible sets. Which one is the best it depends on a particu/ar application. Wave/et analysis owes its efficiency to the fast pyramid algorithm described by Mallat. The algorithm enables, in easy way, fast decomposition of a signal into wavelet coefficients. Słowa kluczowe: analiza falkowa, analiza czas-skala, rozkład falkowy, banki filtrów, pakiety falkowe. Keywords: wavelets analysis, analysis scalę - time. Wstęp Najbardziej charakterystyczne dla transformaty falkowej jest to, że indywidualne funkcje falkowe są dobrze zlokalizowane w czasie (lub przestrzeni - dla obrazów) i jednocześnie dobrze opisują sygnał w dziedzinie częstotliwości, ściśle biorąc tzw. skali. Ponadto w odróżnieniu od funkcji sinus i cosinus, które definiują unikalną transformatę Fouriera, nie ma pojedynczego, unikalnego zbioru falkowych funkcji bazowych. Falki różnią się między sobą zwartością lokalizacji czasowej oraz płynnością i gładkością kształtów. Wynikająca stąd zdolność falek do opisu sygnałów z nieciągłościami", przy ograniczonej liczbie współczynników oraz z lokalizacją w czasie, stanowi o jej przewadze nad transformatą Fouriera. Swoją niezwykłą efektywność, a zarazem popularność w zakresie sygnałów, transformata falkowa zawdzięcza szybkiemu algorytmowi, opracowanemu przez Mallata w roku 1989, zwanemu piramidą Mallata [3]. Algorytm ten wykorzystywany jest do uzyskania dekompozycji sygnału na składowe falkowe z użyciem tzw. kwadraturowych filtrów lustrzanych. Zarys teorii falkowej Ciągłą (całkową) transformatę falkowa (Continuous Wavelet Transform: CWT) funkcji x(t)el 2 (9t) (gdzie L 2 (9t) oznacza przestrzeń wektorową jednowymiarowych funkcji, mierzalnych i całkowalnych w sensie średniokwadratowym) dla pewnej falki i/ąt) definiuje się jako: W(T,(7)= oknem ifąt), definiuje się dwa podstawowe, unormowane parametry okien czasowych centrum V, (środek ciężkości) i promień (szerokość) 4, oba liczone w sensie średniokwadratowym. W podobny sposób zdefiniować można parametry okna rozmieszczonego w dziedzinie częstotliwości, odpowiednio: V m A^ Transformata W(T,a) opisuje właściwości x(t) obserwowane w oknie czasowym o krańcach [7]: (3) [ov, Ściśle biorąc, ciągła transformata falkowa osadzona jest w przestrzeni czas-skala (t/s), a nie czas-częstotliwość (t/f). Jednakże, w konkretnym przypadku, po dokonaniu odpowiedniej transformacji można przeliczyć skalę na częstotliwość. Miarą częstotliwości jest l/a. Parametr r symbolizuje lokalizację okna wzdłuż osi czasu. Wyrażenie (2) natomiast wymusza oscylacje falek, które nie były wymagane w stosunku do okna STFT. Jednakże definitywnie i// T^t) zajmuje miejsce ę T^t) i zachowuje się tak jak funkcja okna. Natomiast widmo tego okna ((0=0) = O i odwzorowuje filtr pasmowy. Okazuje się, że okno częstotliwościowe opisane jest symbolicznie jako przedział [7]: (4),-( <7 Warto przy tym zwrócić uwagę, że iloczyn promieni okien, czasowego i częstotliwościowego, ma wartość stałą na całej płaszczyźnie: We wzorze tym parametr a oznacza skalę, zaś r przesunięcie, co odpowiada ich funkcjom pełnionym w zapisie wzoru falkowego. Po to, aby funkcja \iąt) mogła stanowić funkcję okna falkowego, a także być wykorzystana do odtworzenia x(t) musi spełniać warunek: (2) Analogicznie jak w przypadku krótkoczasowej transformaty Fouriera (STFT), po zastąpieniu okna cp(t) (5) 2aA t -A co =4ĄA w (7 Położenie okna czasowo-częstotliwościowego na płaszczyźnie t/f, dla transformaty falkowej, pokazano na rysunku 1. Na rysunku 2, dla celów porównawczych, zilustrowano ideę czasowo-częstotliwościowej (STFT) oraz falkowej metody sygnałów. Widać na nim wyraźnie, że w odróżnieniu od metody STFT, gdzie rozdzielczość czasowo-częstotliwościowa jest ustalona na całej płaszczyźnie t/f, w metodzie falkowej rozmiary okna czasowo-częstotliwościowego są funkcją jego położenia na tej płaszczyźnie. 646 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY R. 80 NR 6/2004

2 W Ji 2a 2 A, (2/a 2 )A ffi (t) Rys.4 Ilustracja przesuwania falki w czasie Rys.1 Zobrazowanie idei transformaty lalkowej na płaszczyźnie t/f Na tle powyższych rozważań można, w sposób opisowy, zdefiniować proces rozkładu falkowego. Zawiera on 5 charakterystycznych kroków. 1. Wybraną falkę ustawić na początku fragmentu sygnału przeznaczonego do. Wyznaczyć umowną wartość liczbową odpowiadającą korelacji między bieżącą falką i odpowiadającym jej segmentem sygnału. Uwaga! - w przypadku unormowania energii sygnału w aspekcie użytej falki, wspomniana liczba będzie równoważna wartości współczynnika korelacji wzajemnej między falką, a wybranym segmentem sygnału. CZAS Analiza STFT CZAS Analiza falkowa Rys.2 Porównanie metod : STFT (obserwacja właściwości sygnału na płaszczyźnie czas-częstotliwość), falkowa (obserwacja właściwości sygnału na płaszczyźnie czas-skala) Idea rozkładu falkowego Na rysunku 3 zamieszczono przykłady skalowania funkcji dla pewnej (typowej) falki. W przypadku sinusoidy istnieje ścisłe odwzorowanie skala-częstotliwość, dla falki nie jest ono tak oczywiste. W związku z tym, jak już wspomniano wcześniej, pozostaje się przy pojęciu skalowania. Rys.5 Ilustracja etapu 1 i 2 rozkładu falkowego 3. Przesunąć falkę o jeden cykl w prawo i powtórzyć działanie opisane w kroku 2. Sekwencję kroków 3, 2 powtarzać aż do końca trwania sygnału. Wysoka skala Rys.6 Ilustracja etapu 3 rozkładu falkowego Średnia skala x(t) = iy(2t) 4. Rozciągnąć falkę i powtórzyć kroki od 1 do Powtórzyć kroki od 1 do 4 aż do wyczerpania wszystkich skal Niska skala Rys.3 Przykłady skalowania funkcji Proces skalowania falki może przebiegać w dwu kierunkach, określa się je mianem kompresji (ściskania) i rozciągania. W przykładzie zamieszczonym na rysunku 3 do skalowania falki zastosowano kompresję. Drugi parametr rozkładu falkowego to przesunięcie. Sposób przesuwania falki w czasie przedstawia rysunek 4. Rys.7 Ilustracja etapu 4 i 5 rozkładu falkowego Powyższy przykład operuje w zakresie tzw. diadycznego charakteru zmian w obrębie skali i przesunięcia charakterystycznych dla dyskretnej transformaty falkowej (DWT). Pod pojęciem ciągłej transformaty falkowej (CWT) kryje się sposób umożliwiający użycie dowolnej, zmienianej w sposób ciągły, skali oraz ciągłego przesunięcia w czasie. Oczywiście, w kontekście sygnałów dyskretnych ciągłość, w obydwu wskazanych przypadkach, oznacza zmiany w obrębie jednej próbki sygnału (co jedną próbkę). PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY R. 80 NR 6/

3 Należy zauważyć, że w analizie falkowej wyższa skala równoważna jest bardziej rozciągniętej falce (patrz rysunek 3). Im bardziej rozciągnięta falka (wyższa skala) tym większa sekcja sygnału, z którą jest porównywana i tym bardziej zgrubne cechy sygnału wyeksponowane są za pomocą odpowiadającego jej współczynnika. Podsumowanie tego spostrzeżenia zawarto w tabeli 1. Tabela 1 Charakterystyka falkowej Niska skala falkowej Wysoka skala falkowej Ściśnięta falka Rozciągnięta falka Szybkozmienn e detale Wolnozmienne cechy sygnału Wysoka częstotliwość Niska częstotliwość Fakt, że analiza falkowa nie obrazuje cech sygnału na płaszczyźnie czas-częstotliwość, lecz czas-skala nie stanowi o słabości metody, a wręcz przeciwnie - o jej sile. Okazuje się, że jest to naturalna metoda opisu wielu zjawisk fizycznych odbieranych przez zmysły człowieka. Trzeba się z nią pogodzić i do niej przyzwyczaić. Dyskretna transformata falkowa Podobnie jak w przypadkach DFT oraz STFT definiuje się pojęcie dyskretnej transformaty falkowej (Discrete Wavelet Transform: DWT). W tym celu przyjmuje się, że: (6) " ~ ' ~ (gdzie / opisuje przesunięcie, a s współczynnik skali, 1=0,1,2,... s=0,l,2,...) co w konsekwencji, po dodatkowym przyjęciu założenia o dyskretyzacji x(t), daje nową formę zapisu transformaty: = W(l2~ s,2~ s ) = Warto pamiętać, że transformata falkowa nie spełnia warunku niezmienności względem przesunięcia, a przesunięcie funkcji w czasie: x,(t)=x(t-tj, objawia się w dziedzinie falkowej raczej w sposób bardzo nieprzyjazny [7]: diadycznych: f/2" 5, 2~ s ). Analiza jest utrudniona, gdy baza nie l i..ml spełnia warunku ortonormalności. Wymaga to zdefiniowania tzw. falki dualnej i sformułowania bazy: Algorytm dekompozycji falkowej - piramida Mallata Bardzo efektywna metoda implementacji algorytmu DWT dokonanej z użyciem filtrów opracowana została w 1988 roku przez Mallata [4]. Nawiązuje ona do, znanej z częstotliwościowej, metody kodowania w podpasmach i realizuje tzw. szybką transformatę falkowa (Fast Wavelet Transform: FWT). Do falkowej wprowadzono dwa pojęcia: aproksymacji i detalu. Pod pojęciem aproksymacji rozumie się niskoczęstotliwościowe składowe sygnału. Detale to składowe wysokoczęstotliwościowe. Wspomniany proces filtracji, obejmuje dwa filtry: dolnopasmowy (H) i górnopasmowy (G). Filtr dolnopasmowy odtwarza aproksymację, a górnopasmowy detal sygnału (rys. 8). G H 12 Rys.8 Schemat filtracyjnej dekompozycji falkowej Oryginalny sygnał S przechodzi przez parę komplementarnych filtrów, które rozdzielają go na dwie składowe a, (aproksymacja) i d t (detal). W przypadku filtracji cyfrowej podwaja się liczba danych, przeznaczonych do dalszego przetwarzania. Wygodnym sposobem ograniczenia tej liczby w metodzie falkowej jest decymacja, polegająca na odrzuceniu co drugiej próbki danych. Przykład pierwszego poziomu dekompozycji falkowej pewnego rzeczywistego sygnału pomiarowego zamieszczono na rysunku 9. Sygnał oryginalny (8) \x m (t) (2 s t-l)dt = Aproksymacja: cal Detal: cdi Na tym etapie rozważań można się pokusić o sformułowanie wyrażenia na szereg falkowy, który istnieje dla dowolnej funkcji x(t)el 2 (9f): (9) s l Jeżeli zatem (wjt)] tworzy ortonormalną bazę w przestrzeni L 2 (9t) to podobnie jak w przypadku szeregu Fouriera: (10) Okazuje się, że w odróżnieniu od transformaty Fouriera szereg falkowy otrzymuje się po spróbkowaniu transformaty ciągłej na płaszczyźnie t/s, w wybranych punktach Rys.9 Przykład pierwszego poziomu dekompozycji falkowej sygnału Pełny proces dekompozycji zawiera szereg członów tworzących tzw. drzewo dekompozycji falkowej. Przykład takiego drzewa zamieszczono na rysunku 10. Z metrologicznego punktu widzenia można by poprzestać na omówieniu procesu dekompozycji falkowej, zwanego inaczej procesem. Nierzadko jednak, np. w zastosowaniu do kompresji sygnałów konieczne jest, możliwie wierne, odtworzenie postaci sygnału oryginalnego. Proces ten, w metodzie falkowej określany jest mianem rekonstrukcji lub syntezy. 648 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY R. 80 NR 6/2004

4 Oryginalny sygnał cyfrowy może być zrekonstruowany przy wykorzystaniu podobnego algorytmu piramidy jak przy analizie falkowej. Zostało udowodnione przez Mallata, że aproksymacja sygnału z rozdzielczością a może być wyznaczona w postaci: (11) a i =2f j (h(n-2k)a i+j (k)+g'(n-2k)d i+l (k)} (12) -N-l W kontekście funkcji skalującej falka zdefiniowana jest za pomocą tego samego równania dylatacyjnego opisanego za pomocą innego zestawu współczynników. (13) Współczynniki H={h k j, oraz G=fg k ] są rozumiane jako współczynniki pary kwadraturowych filtrów lustrzanych. W przypadku bazy ortonormalnej związane są zależnością wzajemną: g k =(-lfh N _ k. Rys.10 Drzewo dekompozycji falkowej: S - sygnał oryginalny, d, - detal w i-tej skali, a, - aproksymacja w i-tej skali Z równania powyższego wynika, że reprezentacja a, może być zrekonstruowana przez wstawienie zera pomiędzy każdą próbkę sygnałów a i+1 i d i+1 i obliczenie splotów tak utworzonych sygnałów odpowiednio z odpowiedziami impulsowymi filtrów H' i G'. Proces ten, dla jednego kroku, jest zilustrowany na rysunku 11. Oryginalny sygnał cyfrowy S jest otrzymany przez powtórzenie tej procedury y razy, gdzie J oznacza ilość poziomów dekompozycji falkowej sygnału. 12 H' Przestrzenie wielorozdzielcze Celem dopełnienia opisu wielorozdzielczej, warto wspomnieć, że bazuje on na podziale przestrzeni funkcji na tzw. podprzestrzenie (rys. 12) A s -2 As-3 W s.3 A s -i w s. 2 As W s -, Rys. 12 Hierarchiczna struktura przestrzeni wielorozdzielczej Zagnieżdżone podprzestrzenie aproksymacyjne {AJ generowane są przez funkcję skalującą <p(t) (tzn. y(t)ea s ): P G' (14) (0}--c.A_, ca 0 c A, C---L 2 Rys.11 Rekonstrukcja cyfrowej aproksymacji a, z aproksymacji o niższej rozdzielczości «, w i sygnału szczegółowego dn.,. Dobór charakterystyk filtrów rozkładu falkowego jest podyktowany doborem kształtu falki tego rozkładu. Wydaje się, że z punktu widzenia metrologicznej ten sposób doboru parametrów jest lepszy niż pierwotne skonstruowanie falki, a potem projektowanie dla niej filtru (w szczególnych przypadkach może się okazać, że łatwiej jest dobrać kształt falki do kształtu sygnału; przykładem może tu być sygnał elektrokardiogramu). Zwłaszcza, że niemożliwe jest użycie całkiem dowolnej ograniczonej w czasie funkcji, o zerowej wartości średniej, nazwanie jej falką i użycie w procesie, jeżeli zamierza się zrekonstruować sygnał w przyszłości. Trzeba to zrobić w kontekście istnienia zespołu kwadraturowych filtrów lustrzanych. Ściśle rzecz ujmując, kształt falki i/ąt) jest jednoznacznie związany z charakterystyką filtru górnopasmowego wyodrębniającego detal w rozkładzie falkowym. Istnieje jeszcze jedna bardzo charakterystyczna funkcja związana ze zbiorami falek. Jest to tzw. funkcja skalująca, oznaczana symbolem <p(t). Jej kształt związany jest z charakterystykami dolnopasmowych kwadraturowych filtrów lustrzanych odpowiedzialnych za wyodrębnienie aproksymacji sygnału. Kształt funkcji skalującej jest zbliżony do kształtu odpowiadającej jej falki, z tym że zawiera ona składową stałą. Definiuje się ją w rekurencyjnym zapisie matematycznym za pomocą równania dylatacyjnego: Dodatkowe właściwości, które definiują przestrzeń wielorozdzielczą to: (15) x(t)e A s <=> x(2t)e A s+1 x(t)ea s <=> x(t-2~ s )e A Podprzestrzeń fwj zwana podprzestrzeniąfalkowąf^ełyj jest komplementarna do podprzestrzeni {AJ. Oznacza to, że: (16) A S W S =A S+1 s-l A S = e w (fc=-oo k Jeśli warunek A S 2W S jest spełniony to przestrzeń wielorozdzielczą tworzy dekompozycję ortogonalną. W innym przypadku, aby zbudować bazę należy stworzyć podprzestrzeń dualną: W d sja s, oraz odpowiadającą jej falkę dualną: i/e W 1,. Dekompozycja falkowa nosi wtedy miano biortogonalnej. Jak już wspomniano wcześniej, falkowe funkcje bazowe otrzymuje się z macierzystej funkcji falkowej drogą skalowania i przesunięcia: PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY R. 80 NR 6/

5 Przykłady funkcji falkowych Istnieje nieograniczona wręcz liczba możliwych do utworzenia falek jak i tzw. banków filtrów. Która z nich jest najlepsza zależy od konkretnej implementacji. Nazwy konkretnych rozwiązań pochodzą zwykle od kształtów lub nazwisk osób, które je po raz pierwszy użyły i opublikowały wyniki. Przykładowe nazwy to: Daubechies, Haar, Coiflets, Symlet, Spline, Battle-Lemarie. Przy doborze określonych funkcji falkowych do konkretnych zastosowań należy zwrócić uwagę na te właściwości, które mogą wpłynąć na jakość pożądanego rozwiązania. Należą do nich: zakres działania - nośnik (nośnikiem nazywamy zakres zmiennej niezależnej, przy którym funkcja falkowa przyjmuje wartości niezerowe) funkcji skalującej i macierzystej funkcji falkowej oraz ich transformacji Fouriera, który decyduje o ich właściwościach lokalizacyjnych w dziedzinie czasu i częstotliwości, symetria, która warunkuje uniknięcie zniekształceń fazowych, liczba momentów statystycznych tożsamościowo równych zeru - decyduje ona o jakości kompresji sygnałów (współczynniku kompresji oraz zniekształceniach wprowadzonych przy kompresji); większa liczba momentów równych zeru oznacza większą liczbę współczynników falkowych bliskich zeru odpowiadających na przykład obszarom o podobnym współczynniku szarości, regularność umożliwiająca bardziej lub mniej ciągłe odwzorowanie danych, ortogonalność lub biortogonalność, istnienie opisu jawnego, istnienie funkcji skalującej. Poniżej podane zostały przykłady niektórych szeroko stosowanych funkcji falkowych. Funkcje Haara są najprostszymi i jednocześnie najwcześniej zdefiniowanymi funkcjami falkowymi. Funkcja skalująca i macierzysta funkcja falkowa opisane są zależnościami w postaci jawnej: (18) (19) l dla 0<t<l O dla t g [0,1] l dla 0<t<l/2 = \-l dla l/2<t<l O dla t g [0,1] skalującej definiuje się funkcję falkowa (również N-tego rzędu) w postaci: (22) V s(t)=y j 8(k)<P(2t-k) przy czym g(k) oznacza odpowiedź impulsową filtru górnoprzepustowego związanego z h(k) zależnością: (23) unkc i ŁKa u a ca ^iur.acr.es 4 rzędu O lunkqa lalkowa Daubechies 4 rzędu transrormacja FFT tunkqi skalującej Daubechies 4 rzędu O rans!ormaqa FFT funkqi lalkowe: Daubsch.es 4 rzędu Rys. 13 Funkcja skalująca i falkowa Daubechies 4 rzędu (u góry) oraz widma funkcji skalującej i falkowej (u dołu) funkcja skalująca Dau&echies 20 rzędu funkqa taikowa Daubechies 20 rzędu Falkowe funkcje bazowe odpowiadające różnym poziomom, zdefiniowane w postaci dyskretnej spełniają relację: (20) Vi, s (t ) = 2~ l/2 i//(2~ l t-s) gdzie l oznacza przesunięcie, a s współczynnik skali. Funkcje falkowe Haara nie są ciągłe. Funkcje falkowe Daubechies nie mają opisu jawnego. Podstawę ich definicji stanowi funkcja skalująca (p(t) oraz określona na jej podstawie macierzysta funkcja falkowa y(t). Dla funkcji falkowej Daubechies AMego rzędu funkcja skalująca określona jest rekurencyjnym wzorem: transformacja FFT Iunkqi skalującej Daubechies 20 rzędu transformacja FFT tunkqi lalkowej Daubechies 20 rzędu (21) przy postaci funkcji wyjściowej ę t)=l dla te[0,l] i (R/t)=0 dla tg[0,1], gdzie h(k) oznacza odpowiedź impulsową pewnego filtru dolnoprzepustowego. Na bazie funkcji Rys.14 Funkcja skalująca i falkowa Daubechies 20 rzędu (u góry) oraz widma funkcji skalującej i faikowej (u dołu) 650 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY R. 80 NR 6/2004

6 Funkcje falkowe Daubechies W-tego rzędu mają N zerowych (znikających) momentów. Nośnik tych funkcji jest równy 2N-1. Są to funkcje niesymetryczne, ortogonalne. Regularność funkcji wzrasta z wartością N. Przykładowe funkcje falkowe Daubechies i ich transformaty FFT przedstawione są na rysunku Coiflety zostały stworzone przez l. Daubechies. Określone są również zależnościami rekurencyjnymi i nie mają opisu jawnego. Jeżeli N oznacza rząd funkcji falkowej, to liczba zerujących się momentów funkcji ^jest równa 2N, natomiast liczba zerujących się momentów funkcji ę równa 2N-1. Coiflety mają zakres określoności równy 6N-1 i są znacznie bardziej symetryczne niż funkcje falkowe Daubechies. Są to również funkcje ortogonalne. Rysunek 16 przedstawia rozkład falkowy odpowiadający trzem poziomom transformacji falkowej dla obrazu Lena" o rozmiarze 256x256 pikseli. Reprezentacje falkowe funkcji wielowymiarowych Model reprezentacji falkowej funkcji może być łatwo rozszerzony na przestrzeń n wymiarową (n>l). W praktyce najczęściej rozpatruje się przestrzeń dwuwymiarową wykorzystywaną przy przetwarzaniu obrazów. Szczególnym przypadkiem dwuwymiarowej aproksymacji wielorozdzielczej jest separowalna aproksymacja wielorozdzielcza. Zostało wykazane, że dla tego przypadku funkcja skalująca <p(x,y) może być zapisana w postaci (f(x,y)=(f(x)(f(y), gdzie <p(x) i cp(y) są jednowymiarowymi funkcjami skalującymi. Wtedy trzy funkcje falkowe: (24) tworzą bazę ortonormalną przestrzeni wektorowej x(t)el 2 (9f). Używając separowalnej aproksymacji wielorozdzielczej nadaje się szczególną ważność poziomemu i pionowemu kierunkowi przetwarzanej funkcji dwuwymiarowej reprezentującej obraz. Różnica ilości informacji między a, i a M, charakteryzuje teraz trzy obrazy szczegółowe, związane z trzema rodzajami funkcji falkowych i//, \jf oraz i/r'. Rys. 16 Aproksymacja oraz obrazy szczegółowe odpowiadające trzem poziomom transformacji falkowej dla obrazu Lena" Przykładowe wyniki falkowej Dla ustanowienia pełnego obrazu metody falkowej poniżej przedstawiono wyniki dyskretnej falkowej (rys.17) oraz ciągłej falkowej tego samego sygnału (rys.18) uzyskane z wykorzystaniem wirtualnego przyrządu pomiarowego opracowanego przez autorów. A -32 V-32 (LH) V-64 (LH) H -32 (HL) D -32 (HH) H -64 (HL) D -64 (HH) H -128 (HL) V-128 (LH) D -128 (HH) Rys. 15 Aproksymacja oraz obrazy szczegółowe odpowiadające trzem poziomom transformacji falkowej Idea rozkładu falkowego w przypadku obrazów jest zaprezentowana na rysunku 15. Poszczególne obrazy dekompozycji falkowej są oznaczone za pomocą liter i cyfr. Litera V oznacza obraz detali liczony w kierunku pionowym, H - obraz detali liczonych w kierunku poziomym, D - obraz detali liczonych po przekątnej, a A - aproksymację sygnału. Liczby oznaczają rozmiar bloku: 128x128, 64x64, 32x32 itd. Rys.17 Przykładowy wynik dyskretnej falkowej; od góry: przebieg czasowy sygnału, aproksymacja sygnału, sygnał detalu liczony w skali 3,2, 1. PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY R. 80 NR 6/

7 iillll iii III ii i technik - jest w błędzie. Przed nami wciąż niezmierzony zakres nowych zastosowań i odkryć w tym zakresie. « i % ș* V) l ,, ',, i '.--..-i i '. i. ' i i ,01 CL J Q, l O.OB Time [sec] Rys.18 Przykładowy wynik ciągłej falkowej (CWT): od dołu: przebieg czasowy sygnału, zbiór współczynników w wybranej skali - zaznaczonej kursorem, rozkład falkowy na płaszczyźnie czasskala (t/s) Na rysunku 19 przedstawiono przykład sygnału EKG za pomocą dyskretnej transformacji falkowej. Zastosowano falkę Daubechies rzędu 4 oraz rozkład falkowy na sześć poziomów. Najciekawsze efekty można zaobserwować w skali 5 i 4. Tego typu analiza może posłużyć do precyzyjnego określenia położenia pewnych charakterystycznych punktów sygnału EKG, ważnych z punktu widzenia diagnostyki medycznej. Podsumowanie Po raz pierwszy termin wavelet" został użyty przez Haara w 1909 roku, lecz do wczesnych lat 70-tych analiza falkowa nie przyciągała większej uwagi. Począwszy od lat 70-tych, aż do dnia dzisiejszego naukowcy (matematycy) bardzo dogłębnie studiowali teorię falkowa, jak również stosowali falki w analizie sygnałów. Pierwotnie analiza falkowa została pomyślana jako narzędzie, które pozwoli wyeliminować niedogodności zarówno tradycyjnej jak i krótkoczasowej widmowej Fouriera. Cel został osiągnięty - rozdzielczość czsowoczęstotliwościowa podlega procesowi modyfikacji w trakcie procesu. Analiza falkowa znajduje dzięki temu niezwykle szerokie zastosowanie. Jeżeli jednak komuś wydaje się, że to co pozostało do zrobienia w analizie falkowej to tylko odświeżanie i unifikacja znanych już teorii i ,,, : Rys.19 Wynik dyskretnej falkowej sygnału EKG; od góry: przebieg czasowy sygnału, aproksymacja sygnału, sygnał detalu liczony w skali 5, sygnał detalu liczony w skali 4. LITERATURA [1] Bremaud P., Mathematical Principles of Signal Processing, Springer, [2] LabWindows/CVI: User Manuał [3] Mallat S., A Theory of Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet Representation, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machinę Intelligence 11, [4] Mallat S., A wavelet Tour Of Signal Processing, Academic Press, [5] Matlab: Wavelet Toolbox for Use with Matlab, Mathworks Inc., 2002 [6] National Instruments: Signal Processing Toolset User Manuał, 2001 [7] Rak R.J., Wirtualny przyrząd pomiarowy - realne narzędzie współczesnej metrologii, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, [8] Zieliński T., Od teorii do cyfrowego przetwarzania sygnałów, Wydział EAliE Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków, Autorzy: prof. dr hab. inż. Remigiusz J. Rak, rakrem@iem.pw.edu.pl; dr inż. Andrzej Majkowski, amajk@iem.pw.edu.pl; Politechnika Warszawska, Instytut Elektrotechniki Teoretycznej i Systemów Informacyjno- Pomiarowych, ul. Koszykowa 75, Warszawa. 652 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY R. 80 NR 6/2004