OBWODY I SYGNAŁY 8. MOC W OBWODZIE PRĄD SINSOIDALNEGO 8.. MOC CHWILOWA Jeśl na zacskach dójnka SLS ystępje napęcoe ymszene harmonczne, to prąd zmena sę róneż snsodalne z tą samą plsacją Nech () t m sn ( ω t + Ψ ) oraz ( t) I m sn ( ω t + Ψ ) Moc chloa poberana przez analzoany dójnk, ynese (zal..4) p () t ()() t t ( ω t + Ψ ) I sn( ω t + Ψ ) Poneaż sn α sn β cos( α β ) cos( α + β ) p zględnając I m sn (8.) m, otrzymamy () m m ( ) m m t cosψ Ψ cos( ω t + Ψ + Ψ ) I m Im m m I I oraz ϕ Ψ Ψ ostateczne p() t I ϕ I cos( ω t + Ψ + Ψ ) t () - pt () + + t () - - ωt (8.) cos (8.3) ( t) > 0 p przedzałach czas, których napęce oraz prąd mają jednakoe znak. Dójnk pobera moc (energę) ze źródła. ( t) < 0 p przedzałach czas, których napęce oraz prąd mają różne znak. Dójnk oddaje moc do źródła, przekazje energę nagromadzoną pol magnetycznym ceek pol elektrycznym kondensatoró. WAGA: Zmana znak mocy chloej ystępje tylko obodach zaerających elementy L,C. Jeśl obód posada tylko rezystory, energa ne może sę nch gromadzć moc jest zasze dodatna. e-mal: mszlm@at.ed.pl /0
OBWODY I SYGNAŁY 8.. MOC CZYNNA, POZORNA I BIERNA Jak ynka z zor (8.3) moc chloa ma de składoe p ( t) I cosϕ I cos( ω t + Ψ + Ψ ) 443 składoa stała Moc chloa oscylje zatem snsodalne z częstotloścą f okół artośc stałej I cosϕ, a jej ampltda ynos I. W zależnośc od artośc kata ϕ, tzn. charakter dójnka, artość składoej stałej zmena sę krańcoych przypadkach ynos dla: ϕ 0 I cosϕ I π ϕ ± I cosϕ 0 444444 3 I I składoa zmenna o częstotlośc dkrotne ększej od częstotlośc napęca prąd I cosϕ Energa cąg jednego okres ynos WT p()dt t 0 Jeżel energę tę podzelmy przez czas róny okreso T, to otrzymamy artość średną mocy chloej za okres T, którą nazyamy T pt () MOCĄ CZYNNĄ oznaczamy przez P T P p() t dt I cosϕ dt I cos( ω t + Ψ + Ψ ) dt (8.4) T T T 0 0 4 0 44 44 44444 3 T T 0 ωt e-mal: mszlm@at.ed.pl /0
OBWODY I SYGNAŁY zatem MOC CZYNNA P I cosϕ [W] (8.5) Moc czynna jest róna loczyno artośc sktecznych napęca prąd oraz cosnsa kąta przesnęca fazoego mędzy napęcem prądem, zanego spółczynnkem mocy. Moc czynna P jest lczbą rzeczystą nezależną od czas t. Jeśl dla dójnka SLS P > 0 P < 0 oznacza to, że moc czynna jest faktyczne poberana przez dójnk z otoczena Dla dójnka SLSB gdy jest dealną ceką lb rezystancyjny dealnym kondensatorem moc czynna osąga artość maksymalną P I mnmalną P 0 oddaana przez dójnk do otoczena Moc czynna odpoada ęc energ, która ydzela sę jednostce czas postac cepła elementach rezystancyjnych można ją zatem yrazć trzech rónoażnych postacach P I cosϕ R I G (8.6) e-mal: mszlm@at.ed.pl 3 /0
OBWODY I SYGNAŁY rządzena elektryczne mają określone znamonoe artośc napęca prąd, dlatego charakteryzje sę je ne mocą czynną, lecz elkoścą będącą loczynem artośc sktecznych napęca prąd, zaną MOCĄ POZORNĄ oznaczoną przez S S I [VA] (8.7) Oznacza to, że moc pozorna jest róna najększej artośc mocy czynnej, którą można otrzymać przy danym napęc oraz prądze I. Porónjąc zależność (8.7) z (8.3) można sterdzć, że moc pozorna jest lczboo róna ampltdze składoej zmennej mocy chloej. Współczynnk mocy jest ęc stosnkem mocy czynnej do pozornej P S I cosϕ cosϕ I (8.8) Poneaż dla dójnka szeregoego RLC (zal. 6.68) zaś dla dójnka rónoległego RLC (zal. 6.7) ZI I Y to po zględnen ch (8.7) moc pozorną można yrazć trzech rónoażnych postacach: S I Z I Y (8.9) e-mal: mszlm@at.ed.pl 4 /0
OBWODY I SYGNAŁY W obodach elektrycznych prąd harmoncznego znajdje zastosoane jeszcze trzeca elkość będąca loczynem artośc sktecznych napęca prąd oraz snsa kąta przesnęca fazoego mędzy napęcem prądem, zana MOCĄ BIERNĄ oznaczana symbolem Q Q I snϕ [var] (8.0) Z trójkąta napęć dójnka szeregoego RLC ynka, że sn ϕ XI zaś z trójkąta prądó dla dójnka rónoległego I sn ϕ B to po zględnen ch (8.0) moc berną można yrazć trzech rónoażnych postacach: Q I snϕ X I B (8.) Czyl moc berna zązana jest z stnenem obodze elementó reaktancyjnych. Poneaż kąt ϕ jest dodatn dla obodó o charakterze ndkcyjnym, jemny przypadk obodó o charakterze pojemnoścoym, zatem jeśl ϕ > 0 ; sn ϕ > 0; to Q > 0 (moc berna ndkcyjna jest dodatna); ϕ < 0; sn ϕ < 0; to < 0 Q (moc berna pojemnoścoa jest jemna) e-mal: mszlm@at.ed.pl 5 /0
OBWODY I SYGNAŁY 8.3. ZESPOLONA MOC POZORNA S I (8.) Podstaając jψ jψ e oraz I I e otrzymjemy S I e j ( Ψ Ψ ) jϕ I e I ( cosϕ + j snϕ ) (8.3) Część rzeczysta zespolonej mocy pozornej jest róna mocy czynnej P, a część rojona mocy bernej Q kład, czyl: P I cosϕ Re Q I snϕ Im [ S] [ ] S (8.4) Wobec tego zespoloną moc pozorną można przedstać postac: Modł zespolonej mocy pozornej S P + j Q (8.5) S P + Q I (8.6) jest róny mocy pozornej kład a argment zespolonej mocy pozornej arg S ϕ (8.7) kąto przesnęca fazoego mędzy napęcem prądem Im Zespoloną moc pozorną S można przedstać geometryczne na płaszczyźne zmennej zespolonej za pomocą trójkąta mocy. S ϕ Q Re P e-mal: mszlm@at.ed.pl 6 /0
OBWODY I SYGNAŁY Wyrazmy zespoloną moc pozorną zależnośc od mpedancj Z dójnka. Na podstae praa Ohma mamy: Z I czyl S I Z I I obec czego S Z I ( R + j X ) I (8.8) Moc czynna berna ynoszą zatem a moc pozorna jest róna [ S] R I, Q Im[ S] X I P Re S P + Q Z I Natomast zespolona moc pozorna zależnośc od admtancj Y dójnka. Na podstae praa Ohma mamy: I Y Wartość sprzężoną I otrzymamy zastępjąc szystke elkośc ystępjące tym zorze przez elkośc sprzężone. Zatem S I Y obec czego S Y ( G jb) (8.9) Moc czynna berna ynoszą zatem P Re a moc pozorna jest róna [ S] G, Q Im[ S] B S P + Q Y e-mal: mszlm@at.ed.pl 7 /0
OBWODY I SYGNAŁY PRZYKŁAD 8. Na zacskach dójnka panje napęce ( 50 + j00)v, prąd płynący przez dójnk ynos I ( 0 j0)a. Oblczyć moce dójnka. Zespolona moc pozorna S I ( 50 + j 00)( 0 + j0) 500 + j500 VA ( ) [ ] Moc czynna P Re[ S] 500 [ W ] Moc berna Q Im [ S] 500 [ var] Moc pozorna S P + Q 58[ VA] PRZYKŁAD 8. Oblczyć moce dla dójnka przedstaonego na rysnk dane: ( 00 + j50)v R 50 Ω, L mh, f 00 khz. I R L 3 3 Reaktancja dójnka πf L π 00 0 0 68 [ Ω ] Impedancja dójnka X L Z R + jx ( 50 + j68) [ Ω ] Prąd dójnka I ( 0,09 j0, 5)[ A] Zespolona moc pozorna Z L S I ( 00 + j 50)( 0,09 + j0,5),6 + j9, 8 VA ( ) [ ] Moc czynna P Re [ S], 6 [ W ] Moc berna Q Im [ S] 9,8 [ var] Moc pozorna S P + Q 9, 9 [ VA] e-mal: mszlm@at.ed.pl 8 /0
OBWODY I SYGNAŁY 8.4. DOPASOWANIE OBCIĄŻENIA DO ŹRÓDŁA Dopasoane obcążena do źródła przebeg harmoncznego może dotyczyć mocy czynnej lb mocy pozornej. Warnkem dopasoana pod zględem: Mocy czynnej jest róność Z dp Z (8.0) gdze: Z dp - mpedancja obcążena arnkach dopasoana, Z - sprzężona artość mpedancja enętrznej źródła. Wóczas o Pmax 4 Z cosϕ (8.) Mocy pozornej są rónośc Z ds Z (8.a) ( 0, + π ) ( 0, π ) π dla ϕ ϕ π ds dla ϕ (8.b) ± π dla ϕ 0 e-mal: mszlm@at.ed.pl 9 /0
OBWODY I SYGNAŁY PRZYKŁAD 8.3 Dobrać artośc elementó regloanych R, C tak - aby zyskać dopasoane odbornka ze zględ na moc czynną. Oblczyć tę moc dane: e() t 4,4sn( 500000t)V R kω, C nf, L mh C R e(t) DA L R C DP Impedancja DA (źródła): Z W R j X C R + ( 000 j000) [ Ω ] 36e o j 63,43 [ ] Ω jω C Z arnk dopasoana ynka, że Re [ Z DP ] Re[ Z W ] Im[ Z ] Im[ ] Czyl: [ Z ] kω R Re W DP Z W oraz jω C + jω L jω C stąd po przekształcenach 9 C C 3 0 ω L [ F] Moc czynna: P 4Z E cosϕ 0 4 36 cos o ( 63,43 ) 0,05 [ W ] e-mal: mszlm@at.ed.pl 0 /0