U R. Zależność (1.1) jest powszechnie nazywana prawem Ohma. Współczynnik proporcjonalności R nosi nazwę rezystancji (oporu elektrycznego).

Transkrypt

1 Ćwiczenie POMY MPEDNCJ. Wprowadzenie.. ezystancja W roku 86 Georg Simon Ohm stwierdził doświadczalnie, że wartość prądu elektrycznego jednokierunkowego, przepływającego przez metalowy przewodnik jest wprost proporcjonalna do napięcia, wynikającego z różnicy potencjałów początku V i końca V przewodnika ( = V V ): ~ ; =. (.) Zależność (.) jest powszechnie nazywana prawem Ohma. Współczynnik proporcjonalności nosi nazwę rezystancji (oporu elektrycznego). Zależność (.) może być przedstawiona również w postaci = G, (.a) gdzie: G= nazywa się konduktancją (przewodnością elektryczną). Jednostką rezystancji jest om [ Ω], a jednostką konduktancji simens [ S]. Związek określający rezystancję z zależności od napięcia i prądu można przedstawić graficznie jako charakterystykę napięciowo-prądową tej rezystancji. W przypadku, gdy wartość rezystancji jest niezależna od prądu i napięcia, charakterystyka napięciowo-prądowa jest linią prostą, a rezystancja nazywa się rezystancją liniową. Dla rezystancji liniowej przebiegi czasowe prądu i napięcia są do siebie proporcjonalne. Jeżeli charakterystyka napięciowoprądowa nie jest linią prostą, to rezystancja zależy od prądu i napięcia i nazywa się rezystancją nieliniową. Charakterystyki napięciowo-prądowe pokazano na rys.. a) b) ys.. Charakterystyki = f() rezystancji: a) rezystancja liniowa; b) rezystancja nieliniowa

2 ezystancja przewodu jest tym większa, im większa jest jego długość l i im mniejszy przekrój poprzeczny s. Te zależności można zapisać za pomocą równania: l = ρ. (.) s Współczynnik proporcjonalności ρ jest stałą, której wartość zależy od rodzaju materiału przewodu. Stała ta nazywa się rezystywnością materiału, lub opornością właściwą. Jednostką rezystywności jest [ Ω m]. W praktyce używa się często jednostki pokrewnej, dostosowanej do wymiaru przewodów. Jest nią [ Ω mm ]. Wielkość odwrotna nazywa się konduktyw- m nością, lub przewodnością właściwą. Zgodnie z równaniem (.), rezystancja materiału ma, w zależności od konduktywności, postać następującą: Jednostką konduktywności jest [ S m - ] lub [ S m/mm ]. l =. (.3) γ s W tablicy podano wartości rezystywności i konduktywności niektórych materiałów stosowanych w elektrotechnice. Z punktu widzenia przewodzenia prądu elektrycznego, materiały dzieli się na trzy grupy: przewodniki, dielektryki, półprzewodniki. Przewodniki są to materiały o małej rezystywności, przewodzące łatwo prąd pod wpływem przyłożonego napięcia. Do przewodników zalicza się materiały, w których przepływ prądu polega na ruchu elektronów swobodnych (przewodnictwo elektronowe). Do tej grupy należą metale i węgiel. Metale mają bardzo dużą liczbę elektronów swobodnych (ok. 0 3 w cm 3 ). Do przewodników zalicza się również materiały, w których przepływ prądu polega na ruchu jonów naładowanych dodatnio lub ujemnie (przewodnictwo jonowe). Do tej klasy przewodników należą wodne roztwory zasad, kwasów i soli). Dielektryki są to materiały mające tylko nieznaczną liczbę elektronów swobodnych, wskutek czego praktycznie prądu nie przewodzą. Dlatego stosuje się je jako materiały izolacyjne. Należą do nich gazy, oleje oraz ciała stałe z wyjątkiem przewodników. W elektrotechnice jako

3 materiały izolacyjne stosowane są najczęściej: płótna bawełniane, jedwabne, szklane, porcelana, olej, guma, papier, mika, tworzywa sztuczne itp. Półprzewodniki, w których przenoszenie ładunków odbywa się przez ruch elektronów, mają pośrednią zdolność przewodzenia prądu: w pewnych warunkach zachowują się one jak izolatory, w innych jak przewodniki. ch przewodnictwo elektryczne zmienia się pod wpływem różnych czynników fizycznych, np. światło, temperatura. Do półprzewodników należą: selen, german, krzem, tlenki miedzi, metali alkalicznych, uranu, oraz niektóre siarczki i węgliki. ezystancja materiału zależy nie tylko od wielkości występujących w równaniach (.) i (.3), lecz także od temperatury. W praktyce przyjęto podawać wartości rezystancji 0 dla temperatury 0 o C (93 K). Jeżeli temperatura odbiega od 0 o C, występuje przyrost rezystancji, który wynosi: = α 0 t, (.4) gdzie: α temperaturowy współczynnik rezystancji, t przyrost temperatury w stosunku do 0 o C. Temperaturowy współczynnik rezystancji α jest to względny przyrost rezystancji przy wzroście temperatury o K ( o C). Jego wymiar wynosi [K - ]. Współczynnik α zależy również od temperatury, jednak dla temperatur występujących w elektrotechnice przyjmuje się wartość α odpowiadającą 0 o C. W wielu przypadkach błąd spowodowany tym założeniem jest niewielki. Wartości temperaturowych współczynników rezystancji przy 0 o C dla niektórych materiałów podano w tablicy. ezystancję zależną od temperatury określa się z wyrażenia: = + α t= ( + α t). (.5) Zależność (.5) jest często wykorzystywana w elektrotechnice do wyznaczania przyrostu temperatury uzwojeń urządzeń elektrycznych, jeżeli zostanie zmierzona rezystancja uzwojenia w stanie zimnym i w stanie nagrzanym. Taka metoda nazywa się metodą rezystancyjną pomiaru przyrostu temperatury uzwojeń. Niektóre półprzewodniki, szczególnie tlenki magnezu, niklu, miedzi i kobaltu, wykazują duży ujemny temperaturowy współczynnik rezystancji, tj. ich rezystancja spada gwałtownie ze wzrostem temperatury. Materiały te są znane jako termistory NTC * i stosowane jako bardzo * Negative Temperature Coefficient ujemny współczynnik temperaturowy (zmian rezystancji) 3

4 czułe elementy termometrów rezystancyjnych. Dodatni temperaturowy współczynnik rezystancji mają termistory PTC ** (inaczej pozystory). Są to elementy ceramiczne, wykonane z modyfikowanego tytanianu baru (BaTiO 3 ). Stosowane są między innymi jako czujniki do zabezpieczania silników elektrycznych od przeciążeń. Niektóre materiały wykazują gwałtowny spadek rezystancji w pobliżu zera bezwzględnego (0 K). Np. aluminium wykazuje rezystancję równą zeru przy, K, cynk przy 0,79 K, rtęć przy 4K. Na rys. 3 pokazano typowy przebieg rezystywności przy niskich temperaturach. Zjawisko to nazywa się nadprzewodnictwem elektrycznym. Nadprzewodniki mogą przenosić znacznie większe gęstości prądu niż konwencjonalne przewodniki, co pozwala radykalnie zmniejszyć wymiary i ciężar uzwojeń. Ponadto, dzięki uzyskaniu pola magnetycznego o bardzo dużym natężeniu, powstaje możliwość eliminacji ciężkiego rdzenia magnetycznego. ys.3. Typowy przebieg rezystywności w niskich temperaturach Tablica. ezystywność, konduktywność, współczynnik temperaturowy rezystancji różnych przewodników Nazwa przewodnika ezystywność w Konduktywność w Współczynnik temp. 0 o C temp. 0 o C temp. rezystancji Ω mm /m S m/mm /K luminium 0,083 35,3 0,0039 Chromonikielina, 0,9 0,0005 Cyna 0, 8,33 0,0044 ** Positive Temperature Coefficient dodatni współczynnik temperaturowy (zmian rezystancji) 4

5 Cynk 0,063 5,9 0,0037 Kanthal,49 0,67 0, Konstantan 0,48, 0,00003 Manganin 0,44,3 0,00008 Miedź czysta 0,068 59,4 0,00393 Miedź przewodowa 0,085-0,075 54,0-57,0 0,00393 Mosiądz 0,08-0,07,5-4,3 0,003-0,009 Nikiel 0,09,0 0,0044 Nikielina 0,5 0,0008 Ołów 0, 4,8 0,004 Platyna 0, 9,0 0,00385 tęć 0,958,044 0,0009 Srebro 0,06 6,5 0,004 Stal 0,-0,5,0-0 0,005 Wolfram 0,055 8, 0,0046 Żeliwo,0-5,0 0,-0,5 0,005.. mpedancja Pojęcie rezystancji jest całkowicie ścisłe tylko dla obwodów prądu stałego. W obwodach prądu przemiennego pojęcie to należy rozszerzyć na parametry cewek indukcyjnych i kondensatorów. mpedancja (Z) jest wielkością charakteryzującą elementy elektryczne właśnie w obwodach prądu zmiennego. Definiuje się ją jako współczynnik proporcjonalności między prądem i napięciem sinusoidalnym dla gałęzi - X. Jest to uogólnienie pojęcia rezystancji znanej z obwodów prądu stałego, co pozwala podać ogólny wzór na impedancję, wynikający z prawa Ohma: Z = (.6) Wartości symboliczne i są liczbami zespolonymi, określonymi są dla przebiegów sinusoidalnych o określonej pulsacji ω następująco: - dla przebiegu napięcia u( τ ) = cos( ωτ + ϕ ) wartość symboliczna wynosi: m m u e j ϕ = - dla przebiegu prądu i( τ ) = cos( ωτ + ϕ ) wartość symboliczna wynosi: m i = u m e j ϕ i 5

6 mpedancja jest więc wielkością zespoloną i może być przedstawiona w postaci wykładniczej: jϕ Z = Z e Gdzie Z jest modułem równym stosunkowi amplitudy m (lub wartości skutecznej m ) napięcia do amplitudy m (lub wartości skutecznej m ) prądu w dwójniku; kąt ϕ zwany jest argumentem (głównym) impedancji i jest równy różnicy pomiędzy początkowym kątem fazowym napięcia ( ϕ u ) i prądu ( ϕ i ). mpedancja jest wypadkową oporu czynnego (rezystancji) i biernego (reaktancji) (.0). Jej postać zespolona może zostać przedstawiona w postaci algebraicznej, która dla ogólnego przypadku obwodu składającego się z elementów, L, C możne być przedstawiona jako: Z = + jx = + j( ωl ) (.0) ωc gdzie: = e( Z )- rezystancja, Ω X = m( Z ) = X L X C - reaktancja, Ω X L = ωl - reaktancja indukcyjna, Ω X C = - reaktancja pojemnościowa, Ω ω C ω= πf - pulsacja prądu lub napięcia, rd/s Wartość modułową impedancji zapisujemy jako: Z = + X (.) Powyższe zależności są wygodne do opisu obwodów z szeregowo połączonymi elementami, L, C. W przypadku gałęzi równoległych wygodnie jest posługiwać się bliźniaczymi pojęciami admitancji, kondunktancji i susceptancji, będącymi odwrotnościami wprowadzonych pojęć impedancji, rezystancji i reaktancji. dmitancja (Y) opisuje zatem równoległe połączenie elementów G, B: Y = G+ jb= G+ j( ωc ) (.) ωl gdzie: G - konduktancja, S B= B C B L - susceptancja, S B C = ωc - susceptancja pojemnościowa, S B L = - susceptancja indukcyjna, S ω L Wartość modułowa admitancji wyznaczana jest jako: Y + Z powyższych zależności łatwo zauważyć, iż admitancja jest odwrotnością impedancji. Obowiązują więc zależności: Y = ; Y = (.4) Z Z = G B (.3) 6

7 Z powyższych zależności wynika, że zarówno wartość reaktancji (X), jak i susceptancji (B) zależna jest od częstotliwości przebiegu. ezystancja () oraz konduktancja (G) formalnie nie wykazują takiej zależności. Elementy, L, C definiowane są jako współczynniki proporcjonalności pomiędzy odpowiednimi wielkościami fizycznymi według niniejszych relacji: = ; L ψ Q = ; C = (.5) Zależności zachodzące pomiędzy rezystancją, reaktancją i impedancją zespoloną mogą być odwzorowane na płaszczyźnie w postaci trójkąta (rys. 4), który obrazuje związki zachodzące pomiędzy tymi wielkościami i argumentem ϕ impedancji zespolonej. ys. 4. Trójkąty impedancji dealne elementy, L, C samoistnie nie występują w obwodach prądu przemiennego. W zależności od częstotliwości występują w zestawach podwójnych lub potrójnych, jak pokazano na rys. 5. W zakresie częstotliwości niskich (do około 0 khz) stosuje się najczęściej następujące schematy zastępcze elementów, L, C: - rezystor jako element idealny Z = + j0 - cewka indukcyjna jako gałąź szeregowa Z L = L+ jx L - kondensator jako gałąź równoległa: Z C = GC + jbc a) L L C C b) L L C LC C C ys. 5. Schematy zastępcze rezystora, cewki i kondensatora. a) dla f 0kHz ; b) dla f 0MHz. Metody pomiarowe Pomiary rezystancji mogą być wykonywane zarówno metodami pośrednimi, jak i bezpośrednimi. 7

8 .. Metody pośrednie Metodą pośrednią jest metoda techniczna, pomiarowo-obliczeniowa, w której nieznaną impedancję Z wyznacza się pośrednio z pomiaru prądu i napięcia. Podane poniżej rozważania odnoszą się do pomiarów impedancji przy przebiegach przemienno prądowych. Jeżeli układy pomiarowe pokazane na rys. 6 zasilone zostaną napięciem stałym, wówczas mierzona będzie rzeczywista część impedancji, czyli rezystancja. Należy pamiętać, iż w układach stałoprądowych cewka stanowi zwarcie, a kondensator przerwę w obwodzie. Metoda ta, wykorzystująca amperomierz i woltomierz, jest metodą najbardziej rozpowszechnioną. Ten sposób pomiaru wynika wprost z prawa Ohma Z =. (.) Stosowane są tu dwa układy pomiarowe: do pomiaru rezystancji małych (rys.6a układ poprawnie mierzonego napięcia), i do pomiaru rezystancji dużych (rys.6b układ poprawnie mierzonego prądu). Wartość mierzonej impedancji zostaje wyznaczona ze wskazań obu mierników. a) b) v a V v ZX V ZX ys.6. kład do pomiaru impedancji: a) małych (poprawnie mierzonego napięcia); b) dużych (poprawnie mierzonego prądu) W pierwszym z tych układów (rys. 6a), woltomierz V o rezystancji wewnętrznej V, przez który płynie prąd V mierzy napięcie na impedancji Z. mperomierz mierzy sumę prądów V i Wartość impedancji obliczona ze wskazań mierników = V +. (.) 8

9 Z = =, (.3) + V natomiast wartość rzeczywista impedancji: Z rz =. (.4) Pomiar obarczony jest błędem (uchybem). Jest to błąd metody pomiarowej. Nie zależy on od dokładności użytych przyrządów, a tylko od konfiguracji obwodu. Jego wartość względną (w procentach) można obliczyć ze wzoru δ = 00 [%]. (.5) V + Z Ze wzoru (.5) wynika, że błąd spowodowany niedokładnością metody pomiarowej jest mniejszy w przypadku stosowania woltomierza o dużej rezystancji wewnętrznej V oraz pomiaru rezystancji o małej wartości. Przy pomiarze dużych imedancji (rys. 6b) woltomierz V mierzy sumę spadków napięć: na amperomierzu o rezystancji wewnętrznej i na impedancji Z Wartość impedancji obliczona na podstawie wskazań przyrządów = +. (.6) Z + = =, (.7) natomiast wartość rzeczywista impedancji: Z = rz. (.8) Pomiar obarczony jest błędem metody. Wartość jego (w procentach) oblicza się ze wzoru δ = 00[%]. (.9) Błąd spowodowany niedokładnością metody jest mniejszy w przypadku stosowania amperomierzy o małej rezystancji wewnętrznej oraz pomiaru rezystancji o dużej wartości. Przedstawiona metoda techniczna umożliwia również wyznaczenie samej tylko rezystancji, 9

10 gdy układ zasilimy stałym prądem lub napięciem. nnym układem pozwalającym na pomiar impedancji i jej parametrów i X jest układ pozwalający na pomiar napięcia (), prądu () oraz mocy czynnej (P), pokazany na rys. 7. Tę metodę pomiaru również można nazwać metodą techniczną. Jednak dla rozróżnienia pokazanych metod, będzie ona nazywana metodą woltomierza amperomierza - watomierza. kład z rysunku 7a jest przydatny do pomiaru małych impedancji odbiornika (Z) w porównaniu z rezystancją zastępczą równolegle połączonych obwodów woltomierza i cewki napięciowej watomierza. kład z rysunku 7b stosowany jest wówczas, gdy rezystancja amperomierza i cewki prądowej watomierza jest znacznie mniejsza niż impedancja mierzona. a) b) W W ~ V ZX ~ V ZX ys. 7. kłady do pomiaru impedancji, reaktancji i rezystancji. Pomijając wpływ rezystancji wewnętrznych przyrządów, parametry elementu badanego wyznaczyć można na podstawie następujących zależności: P Z = ; = ; X = Z (.0) Znając częstotliwość napięcia zasilającego, można obliczyć indukcyjność lub pojemność odbiornika. Niedokładność pomiarów wynika z niedoskonałości przyrządów pomiarowych, niedokładności odczytów i wpływu narażeń środowiska (temperatura, wilgotność, obce pola elektromagnetyczne)... Metoda bezpośrednia pomiaru rezystancji Miernikami, służącymi do szybkiego, bezpośredniego pomiaru rezystancji, są omomierze. 0

11 Cechują się niezbyt dużą dokładnością pomiaru i stosuje się je do sprawdzania wartości rezystancji różnych elementów aparatury i sprzętu elektrycznego, oraz do wyszukiwania miejsc przerw lub zwarć w obwodach elektrycznych. Ze względu na układ pracy, dzielą się na szeregowe i równoległe (rys. 7). a) = V v X b) ogr = X ys.7. kłady omomierzy: a) szeregowego; b) równoległego V rezystancja wewnętrzna woltomierza; rezystancja wewnętrzna amperomierza Omomierz szeregowy stanowi szeregowe połączenie woltomierza z rezystancją mierzoną. kład zasilany jest ze źródła napięcia stałego, którym jest najczęściej ogniwo suche (bateria). Pod wpływem napięcia baterii, przez cewkę organu ruchomego woltomierza płynie prąd =. (.) V + Odchylenie α wskazówki woltomierza jest proporcjonalne do wartości tego prądu, a zatem α ~, V + czyli odchylenie to przy stałym napięciu jest funkcją rezystancji. Z zasady działania omomierza szeregowego wynika, że odchylenie wskazówki jest najwięk- sze (α = α ma ) przy = 0 ( = ma = ). Położenie spoczynkowe wskazówki (α = 0), ( = ma V 0) oznacza, że do zacisków omomierza nie jest przyłączony żaden opornik ( = ). Skala pomiaru rezystancji jest dla takiego przyrządu nieliniowa. Omomierz równoległy stanowi równoległe połączenie amperomierza z rezystancją mierzoną. Opornik ograniczający ogr zabezpiecza układ przed przeciążeniem przy = 0. Prąd, płynący przez amperomierz zależy od wartości rezystancji

12 =. (.3) ogr( + ) + Widać więc, że przy stałym napięciu odchylenie wskazówki przyrządu zależy tylko od wartości rezystancji. Przy = 0 wskazówka zajmuje położenie spoczynkowe (α = 0) ( = 0). Przy = wskazówka jest najbardziej odchylona, α = α ma i wtedy przez miernik płynie prąd = ma = ogr +. Podziałki omomierza szeregowego i równoległego, wyskalowane w omach, są względem siebie odwrócone. We współczesnych omomierzach szeregowych stosowane jest źródło prądowe, co pozwala na wyeliminowanie większości błędów pomiarowych a skala jest wprost proporcjonalna do wartości mierzonego oporu. 3. Pomiary W niniejszym ćwiczeniu należy wykonać pomiary impedancji, oraz określić jej poszczególne składowe, korzystając z wiadomości zawartych w rozdziale niniejszej instrukcji. 3.. Pomiar rezystancji metodą techniczną. kład pomiarowy pokazano na rys.6. Wykonać pomiary dwóch wartości rezystancji: = Ω; = Ω, oraz dla różnych wartości indukcyjności i pojemności. Pomiary wykonać dla dwóch układów z rys 6, dla podłączenia woltomierza za i przed amperomierzem. Policzyć wartości rzeczywiste, L, C. Wyniki pomiarów i obliczeń zamieścić w protokole Pomiar rezystancji omomierzem Wykonać omomierzem pomiary dwóch wartości rezystancji: = Ω; = Ω. Wyniki pomiarów i obliczeń błędów zamieścić w protokole. LTET. Jabłoński W.: Elektrotechnika. WSiP, Warszawa Pilawski M. W.: Pracownia elektryczna dla ZSE. WSiP, Warszawa Woźniak J.: Zadania do zajęć w pracowni elektrycznej. WSiP, Warszawa 974.