Formalizm liczb zespolonych

Transkrypt

1 Część III Elementy bierne: rezystor, kondesator, cewka Wymuszenie, odpowiedź układu Systemy liniowe i stacjonarne Prądy sinusoidalne, impedancja Dwójniki bierne: rezystancja, pojemność, indukcyjność Rezonans napięć i prądów: dla dwójnika RLC i LC cz.3, p.

2 Formalizm liczb zespolonych Liczba zespolona z: z= x + jy= z e j ϕ = z (cos ϕ j+sin ϕ) wzór Eulera x=ℜ z część rzeczywista y =ℑ z część urojona z 2 j jednostka urojona, j = faza (kąt skierowany) Liczba sprzężona do z: jϕ z =x jy= z e z = z z = x 2 + y 2 y tg ϕ= x cz.3, p.2 y x Jeśli z =const

3 Elementy (dwójniki) bierne Wyróżniamy trzy rodzaje podstawowych dwójników biernych: rezystancję, pojemność i indukcyjność. Definiujemy impedancję elementu (uogólnioną rezystancję) jako reakcję napięcia u(t) na przepływający przez element prąd i(t) : u(t ) Z ( p)= i(t ) ma postać zespoloną W szególnym przypadku impedancja może być rzeczywista np.: rezystancja. cz.3, p.3

4 Rezystancja (element bierny) Impedancja jest wielkością rzeczywistą: Z =R + j0 Prąd stały, napięcie stałe: U =RI Prąd zmienny, napięcie zmienne: u (t)=ri (t) Um Im t Różnica faz między prądem a napięcie wynosi 0. Jednostka rezystancji: Om [ ] cz.3, p.4 V m2 kg Ω= = 3 A s A2

5 Rezystancja W praktyce występuje jeszcze pojemność wewnętrzna oraz wewnętrzna indukcyjność, co, np. w technice wysokich częstotliwości (RTV), ma duże znaczenie (jest to tzw. pojemność oraz indukcyjność pasożytnicza). W technologii bardzo wysokich częstotliwości kilkuset megaherców (MHz) i powyżej właściwości pasożytnicze typowego rezystora muszą być traktowane jako wartości rozproszone, tzn. rozłożone wzdłuż jego fizycznych wymiarów Schemat zastępczy rezystora: cz.3, p.5

6 Parametry rezystora Rezystancja nominalna: Rezystancja podawana przez producenta na obudowie opornika. Wartość rzeczywista rezystancji może się różnić od wartości nominalnej w granicach podanej tolerancji. Tolerancja (klasa dokładności): Podawana w procentach możliwa odchyłka rzeczywistej wartości oporu od wartości nominalnej. Moc znamionowa: Maksymalna moc jaką opornik może przez dłuższy czas Wydzielać w postaci ciepła bez wpływu na jego parametry. Napięcie graniczne: Maksymalne napięcie jakie można przyłożyć do opornika. Temperaturowy wpółczynnik rezystancji: Współczynnik określający zmiany rezystancji pod wpływem zmian temperatury opornika. cz.3, p.6

7 Kod paskowy dla rezystorów Uwagi: pasków lub kropek jest trzy, cztery, pięć lub sześć jeśli jest ich trzy, to wszystkie trzy oznaczają oporność (w tym trzeci oznacza mnożnik), a tolerancja wynosi ±20% jeśli jest ich cztery, to trzy pierwsze oznaczają (tak jak w przypadku powyżej) oporność, a czwarty tolerancję jeśli jest ich pięć, to trzy pierwsze oznaczają cyfry oporności, czwarty mnożnik, a piąty tolerancję jeśli jest ich sześć, to jest to opornik precyzyjny i trzy pierwsze oznaczają cyfry oporności, czwarty mnożnik, piąty tolerancję, szósty temperaturowy współczynnik rezystancji (ten pasek może znajdować się na samym brzegu opornika) pierwszą cyfrę oznacza pasek bliższy końca, a między mnożnikiem i tolerancją jest czasem cz.3, p.7 większy odstęp

8 Kondensator (element bierny) U Pojemność kondensatora: C= q U Energia zgromadzona w 2 kondensatorze: E=W = CU 2 Prądy i napięcia zależne od czasu: Symbole: i(t)= Zatem: du(t ) dq =C dt dt u (t)= i(t )dt C cz.3, p.8 Dla prądów sinus: Jednostka pojemności: Farad [F] j C Z C= F= ωc V

9 Kondensator Rodzaje kondensatorów (ze względu na rodzaj dielektryka): ceramiczne, szklane, foliowe (polistyrenowe, poliestrowe, poliwęglanowe) elektrolityczne (aluminiowe, tantalowe) próżniowe, powietrzne (stałe, zmienne) E ' d =U ϵ 0 ϵr S Pojemność kondensatora płaskiego: C= d 0 przenikalność elektryczna próżni r względna przenikalność elektryczna dielektryka S powierzchnia okładek kondensatora d odległość między okładkami cz.3, p.9 Schemat zastępczy Kondensatora:

10 Łączenie kondensatorów Połączenie szeregowe: Połączenie równołegłe: Ten sam ładunek, suma napięć: U =U +U U n Q Q Q Q = C C C2 Cn Poj. zastępcza: = C C C2 Cn cz.3, p.0 To samo napięcie, suma ładunków: Q=Q+ Q Qn Qn Q Q Q2 = U U U U Poj. zastępcza: C=C + C Cn

11 Cewka indukcyjność (element bierny) di (t ) u(t )= L dt L indukcyjność Energia zmagazynowana w cewce: 2 E=W = Li 2 Impedacja (prąd typu sinus): Z L = jω L cz.3, p. Symbol: Jednostka indukcyjności: Henr [H] Vs H= A

12 Cewka rzeczywista Indukcyjność cewki w kształcie walca (cylindrycznej): 2 μn S L= l przenikalność magnetyczna rdzenia cewki N liczba zwojów S powierzchnia przekroju cewki l długość cewki Rodzaje cewek: ze względu na kształt: spiralne, cylindryczne, toroidalne ze względu na sposób nawinięcia: jednowarstwowe, wielowarstwowe ze względu na rdzeń: bezrdzeniowe (powietrzne), rdzeniowe stałe, zmienne cz.3, p.2

13 Łączenie cewek Łączenie szeregowe: U U2 Un Łączenie równoległe: i Ten sam prąd, suma napięć: U =U +U U n L di di di di =L + L Ln dt dt dt dt Indukcyjność L= L+ L Ln zastępcza: cz.3, p.3 i2 in Te same napięcia suma prądów: di=di + di di n Udt= Udt + Udt Udt L L L2 Ln Indukcyjność = zastępcza: L L L 2 Ln

14 Wymuszenie i odpowiedź układu (np.:dwójnik) Dla układu (np.: dwójnik)wyróżnia się parametry wejściowe (wymuszenie, pobudzenie) i parametry wyjściowe (odpowiedź). Y =T ( X, P) gdzie X, P wymuszenie, Y odpowiedź układu, T funkcja bądź operator. W ogólnym przypadku wymuszenie może zależeć od czasu. Na przykad dla dwójnika napięcie U jest parametrem wyjściowym będącym reakcją na przepływający prąd I oraz określone wielkości Pi (np. temperatura, natężenie światła...). U =T ( I, P, P2 ) cz.3, p.4

15 Przykłady odpowiedzi układu na wymuszenie Wymuszenie x(t) uwe(t) Układ, czyli operator T Odpowiedź y(t) uwy(t) a) b) R =R 2 c) U we cz.3, p.5 U wy=u we /2

16 Systemy liniowe i stacjonarne np.: dwójniki Układ (dwójnik) jest liniowy wtedy i tylko wtedy gdy: Spełnia własność skalowania (jednorodność): T [a x (t )]=a T [ x (t)]=a y (t ) Jeśli wymuszenie zostanie przeskalowane to odpowiedź układu zostanie również przeskalowana z takim samym współczynnikiem. Spełnia własność addytywności: T [ x (t)+ x 2 (t)]=t [x (t)]+t [ x 2 (t)]= y (t)+ y 2 (t ) Odpowiedź układu na sumę wymuszeń jest równa sumie odpowiedzi układu na każde wymuszenie osobno: Złożenie tych dwóch własności daje: y (t)=t [a x (t)+a 2 x 2 (t)]=a T [ x (t )]+a2 T [ x 2 (t)]=a y (t )+a 2 y 2 (t) gdzie y(t) jest odpowiedzią na wymuszenie x(t) a y2(t) to odpowiedź na wymuszenie x2(t), a a2 dowolne stałe. cz.3, p.6

17 Układy liniowe: skalowalność Wymuszenie x(t) uwe(t) Układ liniowy Odpowiedź y(t) uwy(t) 2 uwy (t ) Skalowalność: 2 U0 Wymuszenie uwe(t), odpowiedź 2uwy(t): cz.3, p.7 T 0 2U 0 t

18 Układy liniowe: addytywność Wymuszania uwe i uwe2: u we (t) Odpowiedzi uwyi uwy2: Układ liniowy R =R 2 u wy (t ) t t u we 2 (t) R =R 2 u wy 2 (t) t t Addytywność: Wymuszenie: u we (t)+u we 2 (t) u wy (t) Odpowiedź: u wy (t )=u wy (t)+ uwy 2 (t) cz.3, p.8 t

19 Systemy (np.: dwójniki) stacjonarne Układ stacjonarny (niezmienny w czasie) to układ w którym na przesunięte w czasie o t0 wymuszenie otrzymuje się przesuniętą w czasie o t0 odpowiedź o niezmienionym kształcie: cz.3, p.9

20 Systemy (np.: dwójniki) liniowe i stacjonarne Ogólnie z założenia liniowości i stacjonarności wynika: Jeśli wymuszenie ma postać: x (t)= A e p jest parametrem niezależnym od czasu. pt To odpowiedź ma postać: y (t )=C ( p)e pt C(p) zależy tylko od p oraz rodzaju elementu np.: R, C, L Opertor T, nazywany też funkcją odpowiedzi: pt y (t ) C ( p)e C ( p) T ( p)= = = pt x (t) A Ae cz.3, p.20

21 Systemy (np.: dwójniki) liniowe i stacjonarne Rozważmy wymuszenie postaci: x (t) i(t)= A e pt i(t +t 0)= A e pt e pt =e pt i (t) 0 0 dla elementów liniowych mamy odpowiedź: pt 0 u(t + t 0 )=u(t )e u (t)(+ pt 0 ) dla małych t0 rozwijamy U(t+t0) w szereg Taylora w otoczeniu punktu t: u(t + t 0 )=u(t )+t 0 u ' (t ) porównując dwa ostatnie wyrażenia dostajemy: u(t )+t 0 u '(t )=u (t)+ u(t ) pt 0 następnie mamy: t 0 u ' (t )=u (t) pt 0 i dalej: ln u= pt + c ' ( p) cz.3, p.2 du = pdt /... U du = pu(t ) dt ( pt +c ' ( p)) u=e =C ( p)e pt c.b.d.o.

22 Systemy (np.: dwójniki) liniowe i stacjonarne Do opisu układów w przypadku gdy wymuszenie jest sygnałem sinusoidalnym, wygodnie jest stosować uogólniony formalizm wykorzystujący liczby zespolone. Możemy wówczas przedstawić wymuszenie sinusoidalne w postaci: x (t )= A e jωt j jednostka urojona, =2 f (f częstotliwość wymuszenia) Odpowiedzią układu liniowego i stacjonarnego na wymuszenie sinusoidalne jest sygnał sinusoidalny o tej samej częstotliwości: y (t )=T ( j ω) A e j ωt Funkcja odpowiedzi T zależy od częstotliwości i charakteryzuje układ. cz.3, p.22

23 Dwojniki bierne (liniowe i stacjonarne) Układ, który posiada dwa zaciski elektryczne. Dwójnik bierny nie zawiera źródeł prądu i napięcia. Parametrami elektrycznymi dwójnika są: i(t) (wymuszenie), u(t) (odpowiedź). Poznaliśmy już podstawowe dwójniki bierne: rezystancję, pojemność i indukcyjność. Przykłady: cz.3, p.23

24 Dwojniki bierne (liniowe i stacjonarne) Dla dwójników funkcja odpowiedzi T(p) określająca reakcję napięcia u(t) na przepływający przez dwójnik prąd i(t): u(t ) T ( p)= i (t) Dla wymuszenia (prądy sinusoidalne): i (t)=i 0 e jωt Odpowiedź dwójnika ma postać: u(t)=u 0 (ω)e jωt W tym przypadku funkcja odpowiedzi, T(ω), to impedancja dwójnika uznaczona jako Z(ω). U 0 (ω) Przypomnienie: Z (ω)= cz.3, p.24 I0 ω=2 π f

25 Impedancja Z =R + jx = Z e j Φ R rezystancja (opór) X reaktancja (oporność bierna) Z = R 2+ X 2 X Φ=arctg( ) R 0 R < Admitancja: Y = =G + jb Z G konduktancja B susceptancja cz.3, p.25 < X < π Φ π 2 2

26 Dwójnik liniowy bierny prądy sinusoidalne Napięcie i prąd: u (t)=u m cos(ω t +ϕ u)=ℜ [ U m e i(t)=i m cos(ω t +ϕi )= ℜ [ I m e j(ω t + ϕu) j(ω t + ϕi ) Napięcie i prąd uogólnione: ~ u (t)=u m e j(ω t + ϕ ) u ~i(t)=i e j (ω t +ϕ ) m i Uogólnione prawo Ohma: ~i(t)= ~ u(t) Z Z (t)= Z e j Φ U m j(ω t +ϕ Φ) jφ ~ j (ω t+ ϕ ) i (t )= e U m e = e Z Z Um ϕi =ϕ u Φ I m= Z u cz.3, p.26 u ] ]

27 Idealny rezystor u (t)=u m cos(ω t +ϕ u) i(t)=i m cos(ω t +ϕi ) Z R =R Z R =R, Um I m=, ϕu =ϕ i R cz.3, p.27 Φ =0

28 Impendancja idealnego kondensatora Wymuszenie: i (t )=I m e jωt Odpowiedź: t Im jωt jωt' u(t )= I m e dt '= e C 0 C jω Zatem impedancja kondensatora: u (t) Z C (ω)= = i(t ) j ω C cz.3, p.28

29 Idealny kondensator u (t)=u m cos(ω t +ϕ u) i(t)=i m cos(ω t +ϕi ) j j π/ 2 Z C = jx C = = e ωc ωc RC =0, X C = ωc Z =, Φ C = π C ωc 2 I m =ω C U m, ϕ i=ϕu +π /2 cz.3, p.29

30 Impendancja idealnej cewki Wymuszenie: i (t )=I m e jωt Odpowiedź: di(t ) jωt u(t )= L =L j ω I m e dt Zatem impedancja kondensatora: u (t ) Z C (ω)= =jωl i (t) cz.3, p.30

31 Idealny cewka u (t)=u m cos(ω t +ϕ u) i(t)=i m cos(ω t +ϕi ) Z L = jx L = j ω L=ω L e j π/ 2 R L =0, X L =ω L Z L =ω L, Φ L = π2 I m= U m, ϕi =ϕ u π /2 ωl cz.3, p.3

32 R, L, C podsumowanie v (t )=R i(t ) v (t)= i(t ) dt C v (t )=L cz.3, p.32 Z R=R d i(t ) dt ZC = j ωc Z L= j ω L

33 Łączenie impedancji Połączenie szeregowe: Impedancja zastępcza: n Z = Z k k= Połączenie równoległe: n = Z k = Z k cz.3, p.33

34 Dwójnik szeregowy RC Impedancja zastępcza: j Z =Z R + Z C =R ωc zatem: 2 Z = R + ωc Φ=arctg ω RC 2 cz.3, p.34 Przykład: ( ) R=50 Ω C=00 nf f = MHz 2 Z = 50 + = (...=50.02=50 Ω )

35 Dwójnik szeregowy RLC Impedancja zastępcza: j Z =Z R + Z L + Z C =R + j ω L =... ωc...=r + j ω L ωc ( ) zatem: Z = R + ω L ωc ω L ω RC Φ=arctg R 2 ( Przykład: R=50 Ω ; L=0 mh ; C=00 nf f =50 Hz 2 ) cz.3, p.35 2 Z = = ( k Ω )

36 Dwójnik szeregowy RLC Rezonans napięć : Przy pewnej częstości prądu = 0 reaktancja układu X=0, a zatem Z = (R2+X2) osiąga wartość minimalną równą R. Dla napięcia o stałej amplitudzie Um, amplituda prądu Im osiąga przy tej częstości wartość maksymalną. Przesunięcie fazy pomiędzy napięciem a prądem =0. Spadek napięcia na cewce jest przeciwny do spadku napęcia na kondensatorze, ul(t) + uc(t) = 0; całkowite napięcie jest równe spadkowi napięcia na oporniku. =0 Częstość rezonansowa 0: ω0 L ω0 C cz.3, p.36 ω0 = LC

37 Dwójnik równoległy LC Impedancja zastępcza: Z= ZL ZC = + jωc jωl ) (...= j ( ωc ) ωl ( ) =... Rezonans prądów: Przy pewnej częstości = 0, nazwanej częstością rezonansową, Z. Całkowity prąd i(t)=il(t) + ic(t) = 0. Prądy płynące przez cewkę i kondensator, il(t) = ic(t), mogą osiągać znaczne wartości. ω = 0 LC cz.3, p.37