Hanna Paduch nauczyciel matematyki Zespół Szkół Rolniczych -CKP w Miętnem Funkcja liniowa w zadaniach praktycznych klasa I szkoły ponadgimnazjalnej. Matematyka jest często oceniana przez uczniów jako nauka trudna i mało użyteczna. Zdarzyło mi się usłyszeć od ucznia zarzut, że to o czym mówię na lekcji do niczego nie przyda mu się w życiu. Takie opinie wygłaszają osoby, które matematyki nie rozumieją, a więc nie lubią. Nie potrafią zatem zauważyć odniesienia poznawanych wiadomości teoretycznych do praktyki. Wprawdzie matematyka w szkole średniej polega na poznawaniu wiadomości teoretycznych (uczeń powinien znać i rozumieć pojęcia, przynajmniej te wymagane podstawą programową wyszczególnione w I standardzie wymagań egzaminacyjnych), lecz także na nabywaniu umiejętności wykorzystywania i przetwarzania informacji (II standard) oraz umiejętności argumentowania, prowadzenia rozumowania typu matematycznego i analizy sytuacji problemowych (III standard). Nie można zarzucić autorom podręczników do matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych, że nie pokazują praktycznych odniesień nauczanych treści. Oczywiście, dla spójności prowadzonego wykładu, nie można do każdego tematu na siłę szukać zastosowań praktycznych. Na pewno jednak na koniec każdego rozdziału można przeprowadzić lekcję, na której uczniowie dostaną do rozwiązania zadania o treści brzmiącej jak problem, nad którym wczoraj zastanawiał się ojciec, lub jak informacja słyszana niedawno w telewizji. Takie zadania z kontekstem realistycznym mają wiele zalet : - sprawdzają znajomość wiedzy teoretycznej i wzmacniają rozumienie poszczególnych pojęć, - kształcą umiejętność analizowania tekstu matematycznego i zapisywania wniosków za pomocą zależności (równania, nierówności, funkcje, wykresy, diagramy), - uczą twórczego rozwiązywania problemów, - pokazują pojęcia matematyczne w aspekcie praktycznym, co sprawia, że uczeń odbiera je jako bardziej przystępne, a rozwiązanie zadania praktycznego daje mu większą satysfakcję, - kształcą krytyczny stosunek do otrzymanego wyniku, poprzez odniesienie go do realiów, - kształcą umiejętność analizy problemu, porównywania sytuacji, wyboru wariantu optymalnego, - wskazują na duże znaczenie i przydatność matematyki we współczesnym świecie i jej powiązania z różnymi dziedzinami nauki, techniki, gospodarki i życia codziennego, - uczniom, którzy nie mają zainteresowań matematycznych dają możliwość wykazania się na lekcji matematyki wiedzą w zakresie swoich zainteresowań Spotkałam się ze stwierdzeniem, że nie potrafimy poradzić sobie z pewnymi problemami życia codziennego bo nie znamy matematyki: nie potrafimy zdecydować, w którym banku najkorzystniej zaciągnąć kredyt, jak korzystnie ulokować swoje oszczędności, poddając się opiniom i reklamom, niejako po omacku gramy na giełdzie, czy wybieramy taryfę opłat za telefon. Z taką opinią zgadzam się. Rzeczywiście, wiedza matematyczna taka, jak: umiejętność przetwarzania informacji i analizowania problemu pomogłaby rozwiązać powyższe sytuacje. Podstawowe umiejętności z zakresu przetwarzania informacji to umiejętność szacowania, ustalania zależności funkcyjnych oraz analizowanie wykresów i diagramów. W zakresie analizy problemu najważniejsza umiejętność to odniesienie sytuacji do realiów, ustalenie warunków istnienia problemu lub tzw. czynników ryzyka przy formowaniu wniosków ostatecznych. Wiele problemów praktycznych wiąże się z pojęciem funkcji i analizą zależności funkcyjnych. Zależnościami między różnymi wielkościami zajmowano się już w czasach Arystotelesa (III w. p.n.e.) przy okazji badań nad ruchem, jednak teoria nie rozwinęła się w tamtych czasach ze względu na nieznajomość zasad rządzących ruchem. Dopiero teoretyczne rozważania dotyczące ruchu prowadzone w XIII-XIV w. doprowadziły do pewnego postępu w jednym z dzieł Nicole Oresme (ok.1325-1382 filozof przyrody, ekonomista, biskup i doradca króla Francji) znaleźć można pierwszy znany wykres funkcji.
Termin funkcja pojawił się w pracy Wilhelma Gottfrieda Leibnitza z 1692 r., zaś sposób oznaczania funkcji wprowadzili Johann Bernoulli i Leonard Euler w I poł. XVIIIw. Zdefiniowanie funkcji w dzisiejszym rozumieniu zawdzięczamy Dirichletowi (1805-1859). Rozwój nauk matematycznych od XVIII wieku do czasów współczesnych spowodował rozszerzenie się pojęcia funkcji na różne typy, których badaniem zajmują się poszczególne działy matematyki a także nauki pokrewne, jak fizyka czy informatyka. Obecnie funkcja to najważniejsze pojęcie współczesnej matematyki. Pojawia się prawie w każdym jej rozdziale, definicji, zadaniu. Pojęcie to występuje też w teoriach wszystkich współczesnych nauk przyrodniczych, a zależności funkcyjne bada się również w naukach ekonomicznych, społecznych i politycznych. Funkcja liniowa, której wzór można zapisać w postaci y = ax + b, gdzie a i b są danymi liczbami rzeczywistymi, określona na zbiorze liczb rzeczywistych jest najprostszą z funkcji rozważanych w matematyce. Ponieważ jest to funkcja prosta, łatwa do zbadania i wyobrażenia, wiele modeli zagadnień dotyczących zjawisk w różnych dziedzinach nauki i życia codziennego jest budowanych właśnie w oparciu o zależności liniowe (lub przedziałami liniowe). Może się wydawać, że zależność liniowa jest zbyt prosta by ilustrować złożone sytuacje praktyczne, lecz wbrew pozorom jest to całkiem dobry sposób opisu wielu zjawisk. Nie możemy oczywiście zapominać, że budując liniowy model zależności między dwiema wielkościami dokonujemy pewnych uproszczeń i przybliżeń, a niektóre czynniki wpływające na przebieg zjawiska zaniedbujemy. Należy jednak mieć świadomość, że otaczające nas zjawiska są na tyle skomplikowane, że w żadnym nawet najbardziej skomplikowanym zapisie nie jesteśmy w stanie uwzględnić wszystkich czynników, które determinują dane zjawisko, jego przebieg i skutek. Zależności liniowe w szkole ponadgimnazjalnej występują w wielu aspektach praktycznych. I. Przeliczenia, zamiana jednostek. Zadanie1. W USA jako parametr charakteryzujący samochód podaje się min., ile mil przejeżdża on na jednym galonie benzyny. Ustal, ile litrów benzyny na 100 km spala samochód, który na jednym galonie przejeżdża 28 mil. Przyjmij, że 1 mila to około 1600 m, jeden galon około 3,79 l. [ 0 F] Poniższy wykres przedstawia zależność między (20, 68) temperaturą mierzoną w stopniach Celsjusza [ 0 70 C] a tą samą temperaturą wyrażoną w stopniach Fahrenheita [ 0 F]. 60 Skala ta jest używana min. w USA i Wielkiej Brytanii. 50 Do wykresu należą punkty (0, 32) i (20, 68), tzn. 0 0 C = 32 0 F oraz 20 0 C = 68 0 40 F. 30 a) Wyznacz zależność między temperaturą w skali (0, 32) Celsjusza a tą samą temperaturą mierzoną w skali 20 0 Fahrenheita. 10 b) Uzupełnij tabelkę: 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [ 0 C] x temperatura [ 0 C ] 0 5 10 15 20 25 30 y temperatura [ 0 F ] c) Jaka temperatura w skali Celsjusza, odpowiada temperaturze w skali Fahreheita: 95 0 F, 23 0 F, 14 0 F?
Zadanie 3. Gdybyśmy mierzyli temperaturę i ciśnienie powietrza podgrzewanego w szczelnie zamkniętym naczyniu i zaznaczali wyniki w układzie współrzędnych, zauważylibyśmy, że zależność między tymi wielkościami jest funkcją liniową y = ax + b, gdzie x temperatura, y - ciśnienie. Korzystając z danych w tabeli oblicz, dla jakiej temperatury ciśnienie będzie równe zeru. Temperatura (w 0 C) 10 20 Ciśnienie (w hpa) 962,71 996,71 Zadania przedstawione powyżej polegają na wyznaczaniu wzoru funkcji liniowej opisującej sytuacje. Zadanie 3. pokazuje, że dzięki doświadczalnemu wykryciu zależności liniowej między wielkościami można obliczyć wartości niemożliwe do uzyskania w warunkach doświadczalnych. Jest to metoda, przy pomocy której w XIX wieku ustalono temperaturę zera bezwzględnego. uczniowie być może zechcą rozwiązać przy pomocy proporcji. II. Produkcja, koszty, zyski. Właściciel sklepu kupuje u producenta tabliczki czekolady po 1zł za sztukę i sprzedaje je z zyskiem 25%. Funkcja f przyporządkowuje liczbie x sprzedanych czekolad łączny zysk z ich sprzedaży. Dla x 10,20,30,40,50 ułóż tabelkę wartości funkcji i narysuj jej wykres. Wyznacz wzór funkcji f. { } Zakład mleczarski dostarcza codziennie masło do dwóch sklepów firmowych i kilku innych sklepów spożywczych. Do każdego ze sklepów firmowych dostarcza codziennie po 5 kartonów masła, a do pozostałych po 2 kartony. a) Wyraź wzorem liczbę dostarczanych codziennie kartonów masła do obu sklepów firmowych i n sklepów spożywczych. b) Do ilu sklepów spożywczych dostarcza masło ten zakład mleczarski, jeśli wiadomo, że codziennie rozwożonych jest 36 kartonów masła? Zadanie 3. Pewna firma produkuje długopisy. Funkcja f określona wzorem f ( x) = 0,80x + 200 opisuje łączny dzienny koszt działalności firmy w zależności od liczby x wyprodukowanych długopisów (200zł to koszty stałe). Funkcja g( x) = 1, 20x wyraża łączny przychód ze sprzedaży długopisów. Ile długopisów dziennie należy produkować, przy założeniu, że wszystkie zostaną sprzedane, by dzienny zysk tej firmy wyniósł co najmniej 400zł? Zadanie 4. Firma produkująca pokarm dla psów ponosi koszty dzienne wyrażające się wzorem: y = 2x + 800, gdzie x oznacza ilość produkowanych dziennie puszek pokarmu, 800 to dzienne koszty działalności firmy, a 2 oznacza koszt wyprodukowania jednej puszki pokarmu wyrażony w złotówkach. Dochody tej firmy opisuje wzór: y = 4x, gdzie x oznacza ilość dziennie sprzedawanych puszek pokarmu, a 4 oznacza cenę jednej puszki p wyrażoną w złotówkach. Załóżmy, że ilość puszek wyprodukowanych i sprzedanych w danym dniu jest taka sama. Na wykresie przedstawiono koszty i dochody tej firmy w zależności od dziennej ilości wyprodukowanych puszek pokarmu. Y 2 400 2 000 1 600 1 200 a) Przy jakiej wielkości dziennej produkcji firma osiąga zerowy wynik ekonomiczny (dochód jest równy poniesionym kosztom) 800 400 dochód 0 100 200 300 400 500 600 700 koszty X
b) Przy jakiej wielkości produkcji zysk dzienny firmy wynosi 400zł? c) Sporządź analogiczny wykres dla sytuacji, gdy przy takich samych kosztach firma podnosi o 1 zł cenę sprzedaży jednej puszki pokarmu i znajdź na ty wykresie punkt, w którym zysk jest równy kosztom. Rozwiązując z uczniami tego typu zadania zwracamy uwagę na fakt, że funkcje, choć opisane zależnościami liniowymi mają ograniczone dziedziny, a ich argumenty nie mogą być dowolnie duże, ani też ujemne. Ograniczenia dla argumentów wynikają z ich znaczenia praktycznego oraz z ograniczeń dla wartości tych funkcji, np. ilość wyprodukowanych długopisów zależy od procesu produkcyjnego, od ilości maszyn i od ich wydajności, jest też ograniczona popytem na długopisy. Tym samym dochód firmy czy koszty produkcji nie rosną do nieskończoności. Uczniowie, formułując wnioski mają okazję wykazać się znajomością ekonomii. III. Taryfy, abonamenty. Telefon komórkowy w promocji kosztuje złotówkę (oczywiście). Operator sieci oferuje dwie możliwości korzystania z usług: 1) Abonament miesięczny 19,90 zł oraz za połączenie 0,85 zł + 22% VAT za każdą minutę rozmowy lub 2) Abonament miesięczny 29,90 zł oraz za połączenie 0,65 zł + 22% VAT za każdą minutę rozmowy a) Który z wariantów jest korzystniejszy przy 50 minutach rozmów miesięcznie? b) W jakiej sytuacji droższy abonament jest korzystniejszy (ustal łączną ilość minut rozmów miesięcznie) c) Ile naprawdę kosztuje ten telefon za złotówkę, jeśli jednym z warunków skorzystania z tej promocji jest zobowiązanie się do korzystania z usług tego operatora (czyli do płacenia abonamentu) przez co najmniej 2 lata? Rachunek telefoniczny uwzględnia stałą opłatę abonamentową oraz koszty za przeprowadzone rozmowy. Za korzystanie z telefonu styczniu pan X zapłacił 79 zł, a w lutym 101 zł, przy czym wiadomo, że w styczniu pan X rozmawiał przez telefon 200 minut, a w lutym 300 minut. Wiedząc, że za opłata za każdą rozpoczętą minutę rozmowy prowadzoną w tych miesiącach pan X płacił taką samą stawkę, ustal cenę abonamentu i stawkę za jedną minutę. Wyznacz wzór funkcji wyrażającej koszt rachunku telefonicznego w zależności od czasu rozmów. Analizując zadanie 1. należy zwrócić uwagę na konieczność dokładnego zapoznania się z warunkami promocji i decyzję o ewentualnym skorzystaniu z niej podjąć po przeanalizowaniu warunków w odniesieniu do własnych potrzeb, np. nie ma sensu korzystanie z usługi darmowe weekendy jeśli nie prowadzimy w tym czasie zbyt wielu rozmów. Zadanie to jest szczególnie aktualne w dobie gwałtownego upowszechnienia się telefonii komórkowej i powinno zainteresować młodych ludzi. Można też zwrócić uwagę na mechanizm działania reklamy eksponującej treści chwytliwe dla ucha w tym wypadku niska cena telefonu. Zadania dotyczą porównywania dwóch sytuacji i zmuszają do wyciągania wniosków z tych porównań. IV. Samochód, ale jaki? Samochód A kosztuje 40 tys. zł i spala 6 l benzyny na 100 km, a samochód B 35 tys. zł, ale spala 8 l benzyny na 100 km. Niech x oznacza ilość przejechanych tysięcy kilometrów, y cenę samochodu plus koszty paliwa (pozostałe koszty pomijamy). Narysowany wykres pokazuje łączny koszt samochodu A, przy założeniu, że cena litra benzyny wynosi 3,15 zł. a) Narysuj analogiczny wykres dla samochodu B b) Po przejechaniu ilu kilometrów zwróci się różnica w cenie przy zakupie droższego samochodu? Y 60 000 50 000 40 000 30 000 0 20 40 60 80 100 X
Koszt instalacji gazowej do samochodu wraz z montażem wynosi 3 tys. zł. Przyjmując, że koszt 1 l benzyny wynosi 3,15 zł a koszt 1 dm 3 gazu 1,70 zł, oraz zużycie paliwa na 100 km 8 l, zaś gazu 9,5 dm 3, ustal, po przejechaniu ilu tysięcy kilometrów zwróci się koszt montażu tej instalacji. Problemy związane z samochodami są na ogół bliskie młodym ludziom i nie powinno być problemów z formowaniem wniosków (szczególnie w klasach męskich). Analizując problemy przedstawione w tych zadaniach, zwracamy uwagę na fakt, że czas zwracania się kosztów poniesionych na inwestycje nie może być dowolnie długi. W przypadku samochodu czas ten zależy od ilości przejechanych kilometrów. Po za tym inwestor powinien zastanowić się, jak długo chce jeździć danym samochodem, tak aby inwestycja zwróciła się przed przewidywanym terminem odsprzedaży. Oprócz zależności linowej opisanej jednym wzorem w określonej dziedzinie, często spotykamy się z przypadkami funkcji przedziałami liniowej (inaczej kawałkami liniowej). Funkcja taka jest opisana w swojej dziedzinie kilkoma zależnościami liniowymi, z których każda dotyczy innego przedziału dziedziny. Zadania związane z funkcją przedziałami liniową wiążą się często z analizą jej wykresu. V. Analiza drogi Piotr szedł z domu do szkoły. Wykres przedstawia zależność przebytej przez niego drogi od czasu. a) Co można wywnioskować na temat zachowania chłopca między 7 42 a 7 46? b) Który odcinek drogi przebył z największą prędkością? c) Co Wojtek robił między 7 50 a 7 52? d) Który odcinek przebył z prędkością 6 km/h? e) Z jaką prędkością poruszał się między 7 46 a 7 50? odległość do domu [m] szkoła dom 1000 800 600 400 200 0 7 42 7 46 7 44 7 48 7 50 7 52 7 54 7 56 czas [min] Droga przebyta przez samochód składa się z dwóch odcinków o długościach s 1 i s 2. Samochód przejechał drogę o długości s 1 z prędkością v 1, a drogę o długości s 2 z prędkością v 2. Podaj wzór pozwalający obliczyć średnią prędkość samochodu w całej podróży. Wykonaj obliczenia dla s 1 =10 km, s 2 =15 km, v 1 =70km/h, v 2 =75 km/h. Zadania takie wymagają pewnych wiadomości z fizyki i umiejętności analizowania wielkości fizycznych. VI. Taryfy raz jeszcze. Pan Y ma do wyboru dwie taryfy opłat za rozmowy telefoniczne: standard za każdą rozpoczętą minutę rozmowy płacimy 0,80 zł wykres obok lub special płacimy 0,50 zł za pierwszą minutę rozmowy i za każdą następną rozpoczętą minutę 1zł a) naszkicuj wykres odpowiadający taryfie special b) która taryfa jest korzystniejsza przy rozmowie 2-minutowej, a która przy rozmowie5-minutowej? c) W ciągu miesiąca przeprowadzono 30 rozmów trwających krócej niż 1 minutę, 20 rozmów trwających krócej niż 2 minuty i n rozmów trwających niecałe 5 minut. Przy jakiej wartości n opłacalna była taryfa special? 6 5 4 3 2 1 opłata [zł] 1 2 3 4 5 czas [min]
Tabela przedstawia koszt przesłania paczki pocztą. a) Jak najtaniej przesłać w paczkach 12 kg nasion, jeśli paczki nie mogą ważyć więcej niż 4 kg? b) Chcemy przesłać ładunek 42 kg. Co jest korzystniejsze wysłanie 7 paczek po 6 kg, czy 6 paczek po 7 kg? Paczki krajowe waga opłata [zł] do 1 kg 5 powyżej 1 kg do 2 kg 6 powyżej 2 kg do 3 kg 7 powyżej 3 kg do 4 kg 8 powyżej 4 kg do 5 kg 9 powyżej 5 kg do 6 kg 10 powyżej 6 kg do 7 kg 12 powyżej 7 kg do 8 kg 13 powyżej 8 kg do 9 kg 14 powyżej 9 kg do 10 kg 15 VII. Zyski raz jeszcze. Wykres przedstawia wyniki finansowe pewnej firmy (w milionach złotych). a) Jaki był łączny zysk tej firmy w latach 1995-2001? b) W których latach firma nie przynosiła zysku? c) W jakich okresach wyniki firmy poprawiały się, a w jakich pogarszały? zysk 5 4 3 2 1 0-1 -2-3 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 lata Analiza wyników firmy może wynikać z chęci zainwestowania w akcje giełdowe. Podejmując ostateczną decyzję co do inwestycji należy wziąć pod uwagę koniunkturę na rynku w obszarze związanym z działalnością tej firmy. Można zwrócić uwagę, że przedstawienie wyników finansowych firm w formie wykresu funkcji przedziałami liniowej bardziej przemawia do wyobraźni niż przedstawienie w formie wykresy słupkowego. Tego typu zadania wiążą się wyłącznie z analizą wykresu. VIII. Podatki Przedział Podstawa [zł] Podatek [zł] 0 <0 ; 2 596,42> 0 I <2 596,42 ; 37 024> 19 % podstawy 493,32 II <37 024 ; 74 048> 6 541,24 + 30 % nadwyżki ponad 37 024 III <74 048 ; > 17 648,44 + 40 % nadwyżki ponad 74 048 W tabeli podano skalę podatkową obowiązującą w 2001r. Podatek w każdym z przedziałów można zapisać wzorem, przy pomocy funkcji liniowej f(x) = ax + b, gdzie x oznacza podstawę naliczania podatku. Dla przedziału II wzór ten ma postać: f(x) = 6 541,24 + 0,3(x 37 024). a) Podaj wzory funkcji opisujących należny podatek w I i III przedziale podatkowym. b) O ile mniejszy podatek zapłaciłaby zarabiająca osoba 55 000 zł, a o ile osoba zarabiająca 80 000 zł rocznie gdyby obowiązywał tzw. podatek liniowy równy 20% opodatkowania niezależnie od wielkości zarobków? W zadaniu połączenie funkcji przedziałami liniowej z funkcją liniową. Do wyznaczenia wzorów funkcji w poszczególnych przedziałach podatkowych wystarcza skojarzenie liczb występujących w danym wzorze z odpowiednimi liczbami w tabeli. Wykonanie części a) ułatwi wykonanie obliczeń w części b).
Można polecić wykonanie wykresów obu zależności, aby uświadomić uczniom, dla kogo podatek liniowy może być korzystny. Przy okazji do przemyślenia problem z pogranicza polityki: dlaczego w naszym kraju nie obowiązuje podatek liniowy. Przedstawione przykłady zadań praktycznych odnoszą się do zależności liniowych, których zauważenie, zapisanie w postaci wzoru, czy analiza własności są raczej łatwe i nie powinny sprawić uczniom większych problemów. Zadania kształcą rozumienie pojęcia dziedziny naturalnej funkcji, sprawdzają umiejętność odczytywania z wykresu potrzebnych informacji, wymagają umiejętności posługiwania się różnymi sposobami opisywania zależności liniowych (wzór, wykres, opis słowny, tabela). Treści zadań ukazują wiele sytuacji, w których wykorzystać można wiadomości o funkcji liniowej. Kontekst realistyczny zadań wymusza niejako analizowanie otrzymanych wyników pod kątem zgodności z realiami. Łatwo też zauważyć czynniki pominięte w treści zadania i zastanowić się, czy i w jakim stopniu wpłynęło to na otrzymane wyniki. Zadania dają też okazję do zwrócenia uwagi na pewne zjawiska czy zachowania dając przyczynek do realizowania celów wychowawczych. Bibliografia: Informator maturalny od 2005 roku. Warszawa 2003. Encyklopedia szkolna Matematyka, Warszawa 1990. Andrzej Górski Twórcze rozwiązywanie zadań, Warszawa 1980. Walter Warwick Sawyer Myślenie obrazowe w matematyce elementarnej, Warszawa 1988.