Fraktale. Marcin Abram

Fraktale Marcin Abram 14 wrze±nia 2007

Streszczenie Praca ta jest omówieniem fraktali, zarówno tych b d cych tworami matematycznymi, jak i tych spotykanych w przyrodzie. Podzielona jest ona na 3 cz ±ci: w pierwszej przedstawiªem denicje fraktali, najwa»niejsze poj cia pomocne w ich opisie (samopodobie«stwo, samoaniczno±, wymiar) oraz metody ich konstrukcji. W cz ±ci drugiej przedstawiªem wybór najsªawniejszych fraktali. W cz ±ci trzeciej skupiªem si na pokazaniu jak szerokie zastosowanie mo»e mie poj cie fraktali w ró»nych dziedzinach nauki takich jak biologia, chemia, ekologia, informatyka, in»ynieria.

Spis tre±ci 1 Wiadomo±ci wst pne 4 1.1 Samopodobie«stwo.............................. 5 1.1.1 Samopodobie«stwo w przyrodzie.................. 5 1.1.2 Samopodobie«stwo statystyczne.................. 5 1.1.3 Samopodobie«stwo w punkcie.................... 6 1.1.4 cisªe samopodobie«stwo...................... 6 1.1.5 Samoaniczno±........................... 6 1.1.6 Samopodobie«stwo lokalne..................... 7 1.2 Wymiar.................................... 7 1.2.1 Wymiar euklidesowy......................... 8 1.2.2 Wymiar topologiczny......................... 9 1.2.3 Wymiar pokryciowy......................... 10 1.2.4 Czy pytanie o dªugo± granicy mi dzy pa«stwami ma sens?... 12 1.2.5 Wymiar fraktalny........................... 13 1.2.6 Wymiar samopodobie«stwa..................... 13 1.2.7 Wymiar cyrklowy........................... 14 1.2.8 Wymiar pudeªkowy.......................... 15 1.2.9 Wymiar Hausdora.......................... 16 1.2.10 Wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej.............. 18 1.3 Sposoby konstrukcji fraktali......................... 19 1.3.1 Konstrukcja geometryczna...................... 19 1.3.2 Kopiarka wielokrotnie redukuj ca.................. 19 1.3.3 Sprz»ona kopiarka wielokrotnie redukuj ca............ 20 1.3.4 Gra w chaos.............................. 20 1.3.5 Modykowana gra w chaos..................... 22 2 Krótki przegl d wybranych fraktali 24 2.1 Zbiór Cantora................................. 24 2.2 Trójk t Sierpi«skiego............................. 26 2.3 Krzywa Kocha................................ 27 2.4 Diabelskie schody............................... 29 2.5 Krzywa Peana................................ 31 2.6 Krzywa Hilberta............................... 31 2.7 Paprotka Barnsleya.............................. 32 2.8 Paprotka nie b d ca samopodobn..................... 33 3 Przykªady zastosowa«fraktali 36 3.1 Biologia.................................... 36 3.1.1 Wymiar fraktalny czªowieka..................... 36 3.2 Chemia.................................... 38 2

SPIS TRE CI 3 3.2.1 Kondensacja octanu nbutylu na pªytce Petriego......... 38 3.3 Ekologia.................................... 39 3.3.1 Chmury i deszcz........................... 39 3.4 Informatyka.................................. 40 3.4.1 Sprawdzanie jako±ci liczb pseudolosowych............. 40 3.4.2 Wykrywanie prawidªowo±ci w pozornie losowych ci gach liczb.. 40 3.4.3 Cieniowanie.............................. 41 3.4.4 Kodowanie obrazów......................... 41 3.4.5 Tworzenie realistycznych ksztaªtów................. 42 3.5 In»ynieria................................... 42 3.5.1 Wydobycie ropy naftowej...................... 42

Rozdziaª 1 Wiadomo±ci wst pne o fraktalach Fraktal to obiekt, który nie ma jednej denicji. Na ogóª przyjmuje si,»e jest to taki obiekt, który speªnia wi kszo± z poni»szych wªasno±ci: jest obiektem geometrycznym posiadaj cym cech samopodobie«stwa, jego wymiar fraktalny jest ró»ny od wymiaru topologicznego algorytm prowadz cy do jego konstrukcji jest prosty (w porównaniu do skomplikowania jego ksztaªtu), jego ksztaªt jest nietrywialny w ka»dej ze skal (jest skª biony, czy te» poszarpany). Zastanawia mo»e fakt, dlaczego powy»sza denicja jest tak nie±cisªa i odwoªuje si cz ±ciowo do naszej intuicji. Co to bowiem jest skª biony ksztaªt? Dzieje si tak, poniewa» bogactwo fraktali jest tak wielkie,»e u±ci±lenie denicji doprowadziªoby do wykluczenia pewnych obiektów, które zaliczamy do fraktali. Gdyby przykªadowo jako kryterium wybra tylko punkt pierwszy z powy»szej listy, fraktalem nie byªaby paprotka wykonana dzi ki sprz»onym kopiarkom redukuj cym (zobacz rozdziaª 1.3.3 i 2.8). Gdyby za± za denicj fraktala przyj punkt drugi, nie mogªyby nim by diabelskie schody (zobacz rozdziaª 2.4). Sªowo fraktal pojawiªo si w literaturze matematycznej w takim charakterze jak dzi±, dopiero 25 lat temu za spraw francuskiego matematyka polskiego pochodzenia, B. B. Mandelbrota. Wydaj c w 1982 roku swoj ksi»k The Fractal Geometry of Nature sprawiª,»e ludzie zacz li dostrzega przyrod w inny sposób ni» dotychczas. Wi kszo± z fraktali prezentowanych przeze mnie w dalszej cz ±ci pracy byªo znanych du»o wcze±niej ni» wspomniana praca Mandelbrota: przykªadowo Trójk t Sierpi«skiego (zobacz rozdziaª 2.2) znany byª ju» w ±redniowieczu jego obraz (a raczej czwarty krok jego konstrukcji) znajduje si na posadzce ko±cioªa w Anagnii we Wªoszech, której wykonanie datuje si na okoªo 1104 rok. Fraktale traktowano jednak jako ciekawostki czy te» matematyczne dziwol gi i nie prowadzono nad nimi systematycznych bada«. Nie spodziewano si te»,»e rzeczywiste obiekty mog mie z nimi jaki± zwi zek. Okazaªo si jednak,»e aparat matematyczny pozwalaj cy opisa fraktale mo»na z powodzeniem zastosowa równie» do opisu rzeczywistych zjawisk czy przedmiotów. Dzi ki takiemu podej±ciu fraktale znalazªy zastosowanie w biologii, chemii, ekologii, zyce, informatyce... 4

1.1. SAMOPODOBIE STWO 5 1.1 Samopodobie«stwo Nim zaczn omawianie fraktali, przedstawi niektóre poj cia u»ywane do ich opisu. W punkcie tym zajm si samopodobie«stwem, jakie wykazuje wi kszo± fraktali czy obiektów w przyrodzie, które uwa»a si za fraktalne. Samopodobie«stwo jest szczególn postaci podobie«stwa, b d cego jednym z podstawowych poj geometrii elementarnej. Podobie«stwo jest zachowane dla jednokªadno±ci, obrotu i przesuni cia o wektor. Mo»na wi c mówi o samopodobie«stwie, gdy dany obiekt posiada t cech,»e istnieje jego fragment nie b d cy caªo±ci, który po zastosowaniu powy»szych przeksztaªce«, da identyczny obiekt co pocz tkowo. Przykªadem takiego obiektu jest np. spirala logarytmiczna. Gdy powi kszymy j o pewn skal, uzyskamy taki sam efekt, jak gdyby spirala wykonaªa obrót o pewien k t. Wycinaj c wi c jej odpowiedni fragment oraz dokonuj c powi kszenia i obrotu uzyskujemy pocz tkow spiral (zobacz rys. 1.1). Rysunek 1.1: Ilustracja samopodobie«stwa spirali logarytmicznej. Jako a) na rysunku oznaczyªem operacj wyci cia fragmentu spirali zaznaczonego przerywan lini, jakob) obrót o k t, a jako c) powi kszenie. Wykonanie ci gu tych operacji tak jak na rysunku, daje t sam spiral, z której na wst pie wyci to fragment. 1.1.1 Samopodobie«stwo w przyrodzie Obiekty zyczne ró»ni si od matematycznych tym,»e nie mo»na ich w niesko«czono± dzieli na mniejsze cz ±ci. Dowolnie maªy fragment odcinka nie b d cy punktem, po odpowiednim powi kszeniu da ten sam odcinek. Powi kszaj c za± dowolny obiekt zyczny po sko«czonej liczbie kroków dojdziemy do cz stek elementarnych, z których utworzony jest dany obiekt. Rzecz jasna nie s one podobne do caªo±ci obiektu. Aby wi c mówi o samopodobie«stwie obiektów zycznych nale»y bada, czy wyst puje ono na sko«czonej liczbie poziomów wielko±ci. Przykªadem mo»e by kalaor. Jego kwiat posiada ró»yczki, które s podobne do caªo±ci warzywa, te z kolei posiadaj mniejsze podró»yczki, podobne do ich samych. Nie dzieje si to jednak w niesko«czono± po paru krokach uzyskamy fragmenty niepodobne do caªo±ci. 1.1.2 Samopodobie«stwo statystyczne Warto zwróci uwag na to,»e podobie«stwo ró»yczek kalaora do caªo±ci nie jest caªkowite. Wyró»ni mo»na wi c podobie«stwo statystyczne, które uwzgl dnia pewne odchylenia ksztaªtu fragmentów od caªo±ci. Tym samym np. wszystkie cumulusy statystycznie s podobne do siebie 1, cho zapewne gorliwy badacz zawsze umiaªby wskaza mi dzy dowolnymi chmurami fragmenty, które je rozró»niaj (zobacz rys. 1.2). 1 Wi cej o fraktalnych charakterze chmur napisaªem w rozdziale 3.3.1

6 ROZDZIAŠ 1. WIADOMO CI WST PNE Rysunek 1.2: Ilustracja podobie«stwa statystycznego ró»nych chmur z rodzaju cumulus. Obrazek zaczerpni ty ze strony http://www.discoverscience.rutgers.edu, dost p 11 sierpie«2007. 1.1.3 Samopodobie«stwo w punkcie Obiekt jest samopodobny w punkcie, je±li istnieje taki punkt tego obiektu,»e w jego otoczeniu obiekt ten jest samopodobny. Aby zilustrowa to poj cie posªu» si przykªadem obrazu, który przedstawia ±cian, na której znajduje si ten wªa±nie obraz. Przypatruj c si temu przedstawionemu obrazowi wida maª kopi obrazu, na której wida kolejn kopi... i tak do niesko«- czono±ci. Poniewa» ka»da nast pna kopia obrazu jest mniejsza od poprzedniej, w niesko«czono±ci obrazy te zbiegaj si do jednego punktu. Punkt ten jako jedyny ma t wªasno±,»e w jego otoczeniu obraz jest samopodobny. Innym bardziej matematycznym przykªadem obiektu samopodobnego w punkcie, mogªaby by spirala logarytmiczna (zobacz rys. 1.1 na str. 5). 1.1.4 cisªe samopodobie«stwo cisªe samopodobie«stwo wyst puje wtedy, gdy obiekt jest samopodobny w otoczeniu ka»dego punktu, który do tego obiektu nale»y. Przykªadem mo»e by np. trójk t Sierpi«skiego (przedstawiony dokªadniej w punkcie 2.2 na str. 26). 1.1.5 Samoaniczno± Przeksztaªcenie aniczne to takie, które linie proste przeksztaªca w linie proste. W szczególno±ci przeksztaªcenie polegaj ce na przeskalowaniu obiektu w poziomie o czynnik k 1 i w pionie o czynnik k 2 k 1 jest aniczne i wynik takiego przeksztaªcenia nie jest podobny do obiektu pocz tkowego. Nie mo»na bowiem powtórzy tego przeksztaªcenia stosuj c jedynie obroty, przesuni cie o wektor i jednokªadno± (która to skaluje obiekt o ten sam czynnik zarówno w pionie jak i w poziomie). Ostatecznie

1.2. WYMIAR 7 Rysunek 1.3: Rysunek przedstawia obiekt a) samopodobny w punkcie, b) ±ci±le samopodobny obiekt samoaniczny to taki, którego cz ± po przeksztaªceniu anicznym daje obiekt pocz tkowy. Przykªadem mog by diabelskie schody. Rysunek 1.4: Rysunek przedstawia diabelskie schody. Zaznaczony na czerwono fragment, po odpowiednim przeksztaªceniu anicznym, daje nast pne diabelskie schody. 1.1.6 Samopodobie«stwo lokalne Mo»e si zdarzy,»e dany obiekt b dzie posiada tak cech,»e jego fragmenty b d podobne, czy te» aniczne do innych fragmentów tego obiektu. Cech tak nazywa si podobie«stwem lokalnym. Jak to opisaªem w punkcie 3.4.4 na str. 41, samopodobie«- stwo lokalne mo»na wykorzysta do kompresji obrazów na komputerze. Dla obrazów takich obiektów jak np. drzewo, czy niebo z chmurami, zysk z kompresji w porównaniu do tradycyjnych metod mo»e by znaczny. 1.2 Wymiar Przez wieki czªowiek zadowalaª si intuicyjnym poj ciem wymiaru. Twierdziª,»e punkt ma wymiar 0, prosta 1, pªaszczyzna 2, a przestrze«, w której»yjemy 3.

8 ROZDZIAŠ 1. WIADOMO CI WST PNE Z czasem jednak zaszªa potrzeba uogólnienia poj cia wymiaru. Wprowadzono indukcyjn denicj wymiaru, gdzie punkt miaª wymiar równy 0, a obiekt o wymiarze n > 0 posiadaª t wªasno±,»e mógª zosta podzielony na 2 cz ±ci przez obiekt o wymiarze n 1. I tak prosta, która mo»e by podzielona przez punkt na dwie póªproste ma wymiar 1, pªaszczyzna, która mo»e by podzielona przez prost na dwie póªpªaszczyzny ma wymiar 2 itd. Jeszcze inna denicja mówi,»e przestrze«ma taki wymiar, ile mo»e w niej si znale¹ prostych wzajemnie do siebie prostopadªych (wi»e si to z poj ciem wymiaru w przestrzeni wektorowej: zobacz rozdziaª 1.2.10 na str. 18). Z czasem, kiedy odkryto fraktale i zacz to bada ich wªa±ciwo±ci, zacz to dochodzi do wniosku,»e dotychczasowa denicja wymiaru nie jest wystarczaj ca. Przykªadem mo»e by podane w 1878 roku przez Cantora ró»nowarto±ciowe odwzorowanie odcinka jednostkowego [0, 1] na kwadrat jednostkowy [0, 1] [0, 1]. Skoro poªo»enie na krzywej opisuje si jedn zmienn, a odcinek mo»na przeksztaªci w kwadrat, to poªo»enie punktu w kwadracie te» mo»na opisa jedn zmienn, a nie jak to dotychczas twierdzono, minimalnie dwiema! Czy zatem jest to dowód na to,»e kwadrat ma t sam natur co odcinek (lub posªuguj c si nomenklatur matematyczn, czy istnieje mi dzy nimi homeomorzm)? Na szcz ±cie nie. Przeksztaªcenie podane przez Cantora nie byªo bowiem ci gªe 2. Niedªugo pó¹niej Peano i Hilbert zaproponowali 2 inne przeksztaªcenia odcinka jednostkowego (zobacz 2.5 i 2.6), które byªy ci gªe, cho nie byªy ró»nowarto±ciowe. Prowadziªy jednak do krzywych, które wypeªniaªy pªaszczyzn. Dopiero w 1911 roku holenderski matematyk Brouwer dowiódª,»e obiekt n wymiarowy nie mo»e by homomorczny z obiektem m wymiarowym dla m n, czyli w szczególno±ci nie istnieje ci gªa bijekcja 3 mi dzy odcinkiem, a kwadratem. Wieloletnie dyskusje o wymiarze, wywoªane odkryciem ró»nych matematycznych dziwol gów, doprowadziªy do przyj cia du»ej liczby ró»nych denicji wymiaru, które w pewnej sytuacjach pokrywaj si, w innych daj ró»ne wyniki, a w jeszcze innych po prostu nie maj sensu. Aby uporz dkowa informacje o nich, pozwol sobie je wymieni, staraj c si w ka»dym punkcie poda cho jeden przykªad: 1.2.1 Wymiar euklidesowy Wymiar euklidesowy obiektu to, prosto mówi c, minimalna liczba wspóªrz dnych punktów, które dany obiekt tworz. I tak np. niesko«czenie cienka, napr»ona nitka byªaby obiektem jednowymiarowym je±liby wybra o± OX równolegª do nitki, to ka»dy jej punkt mo»na byªoby opisa jedn wspóªrz dn x. Rysunek 1.5: Wymiar niesko«czenie cienkiej, napr»onej nitki wynosi 1, poniewa» ka»dy jej punkt mo»na opisa jedn wspóªrz dn. 2 Warunkiem na to, by dane odwzorowanie byªo homeomorzmem jest to, by byªo ono ci gªe i wzajemnie jednoznaczne (bijektywne). Brak ci gªo±ci w odwzorowaniu odcinka w kwadrat wykazuje wi c,»e obiektów tych nie mo»na ze sob uto»sami. 3 Bijekcja odwzorowanie ró»nowarto±ciowe i typu na

1.2. WYMIAR 9 Inaczej jest dla poskr canej nitki rzuconej na pªaszczyzn, czy grubego, zwini tego w kª bek sznura. Dla takiej nitki wymiar wynosi 2 do opisu potrzebne byªyby punkty o wspóªrz dnych (x, y), a dla sznura 3 potrzebna byªaby jeszcze trzecia wspóªrz dna z. Rysunek 1.6: Wymiar poskr canej, cienkiej nitki rzuconej na pªaszczyzn to 2 (cz ± a)), a poskr canej i umieszczonej w trójwymiarowej przestrzeni to 3 (patrz b)) 1.2.2 Wymiar topologiczny Bardzo skrótowo mo»na powiedzie,»e topologia jest dziedzin matematyki zajmuj c si tym, co nie zmienia si gdy dany obiekt b dziemy skr ca lub rozci ga. Dla topologii takie gury jak brzeg kwadratu czy okr g s równowa»ne sobie. Nie s jednak one równowa»ne ósemce (zobacz rys. 1.7). Ma to zwi zek z niezmiennikami topologicznymi, czyli wªa±ciwo±ciami obiektu, które nie zmieniaj si niezale»nie od tego jak bardzo dany obiekt wydªu»ymy, skrócimy, wyci gniemy lub skr cimy. Jest nim np. liczba dziur lub miejsca przeci cia. Rysunek 1.7: Równowa»no± topologiczna okr gu i kwadratu (maj po jednej dziurze) oraz nie równowa»no± z nimi ósemki (ma ona dwie dziury) Wraz z rozwojem topologii nast piªa potrzeba wprowadzenia takiego wymiaru (topologicznego), który nie zmieniaªby si gdy obiekt jest skr cany lub rozci gany. Mo»e nim by np. liczba zmiennych, potrzebnych do jednoznacznego okre±lenia poªo»enia punktu nale» cego do danego obiektu, wzgl dem innych punktów tego obiektu. Przykªadem mo»e by cienka ni : niezale»nie od jej uªo»enia w przestrzeni, jej wymiar topologiczny b dzie zawsze równy 1 do opisu dowolnego punktu do niej nale» cego wystarczy bowiem poda jedynie odlegªo± tego punktu od wybranego ko«ca nici.

10 ROZDZIAŠ 1. WIADOMO CI WST PNE Wida tu znacz c ró»nic mi dzy wymiarem topologicznych, a euklidesowym. W przypadku wymiaru euklidesowego rozci gni cie czy inna deformacja ciaªa doprowadzaªa do zmiany wymiaru obiektu. Cienki sznurek mógª mie wymiar euklidesowy równy zarówno 1, 2, 3 jak i wi cej. Wymiar topologiczny w ka»dej z takich sytuacji byª jednak staªy i wynosiª 1. Rysunek 1.8: Ró»nica mi dzy wymiarem topologicznym, a euklidesowym. Wymiar topologiczny nie zmienia si podczas rozci gania, czy skr cania obiektu. Punkt A mo»e by wyznaczony jednoznacznie po podaniu jego odlegªo±ci od ko«ca sznurka (czyli punkt A opisuje jeden parametr). W przypadku wymiaru euklidesowego nast puje jego zmiana w zale»no±ci od rodzaju deformacji sznurka. Mo»e wynosi zarówno 1 (a)), 2 (b)) jak i 3 (c)) Wyró»nia si kilka ró»nych wymiarów, które nie zmieniaj swojej warto±ci podczas przeksztaªce«topologicznych, czyli mog by uwa»ane za wymiary topologiczne. Dla przykªadu omówi tylko jeden z nich: wymiar pokryciowy. 1.2.3 Wymiar pokryciowy Na pocz tek opisz jak mo»na pokrywa krzyw koªami. Kryterium, jakim si b d kierowa to liczba kóª, których wspólne przeci cie jest niepuste. Na rysunku 1.9 pokazaªem 3 ró»ne sposoby pokrycia krzywej koªami, tak aby w cz ±ci a) maksymalna liczba kóª, których przeci cie jest niepuste, wynosiªa 2, w cz ±ci b) 3, a w cz ±ci c) 4. Rysunek 1.9: Ró»ne sposoby pokrycia krzywej koªami. Na szaro zaznaczyªem niepuste przeci cia mi dzy (a)) parami (b)) trójkami (c)) czwórkami s siaduj cych kóª

1.2. WYMIAR 11 Liczb kóª, których wzajemne przeci cie jest niepuste nazywa si rz dem pokrycia. Czyli na rysunku 1.9 a) rz d pokrycia wynosi 2, na b) wynosi 3, a na c) 4. Mo»na zauwa»y,»e dla krzywej minimalny rz d pokrycia wynosi 2. Powy»sz dyskusj mo»na uogólni na ciaªa o wy»szym wymiarze. I tak np. pªaszczyzn mo»na pokry kulami w taki sposób,»e niepuste przeci cia wyst powa b d w±ród trójek, czwórek,... kul, przy czym minimalny rz d pokrycia wynosi w takim przypadku 3 (patrz rysunek 1.10). Rysunek 1.10: Minimalny rz d pokrycia pªaszczyzny kulami wynosi 3 Opieraj c si na powy»szych rozwa»aniach mo»na zdeniowa wymiar pokryciowy speªniaj cy nast puj c zale»no± : je±li minimalny rz d pokrycia obiektu wynosi n + 1, to wymiar pokryciowy tego obiektu wynosi n. Zgodnie z t denicj zbiór rozª cznych punktów ma wymiar pokryciowy równy 0 (patrz rysunek 1.11 a)), wymiar pokryciowy krzywej lub ciaªa zªo»onego z krzywych mog cych si przecina wynosi 1 (zobacz rys. 1.11 b)), wymiar pokryciowy pªaszczyzny lub ciaªa zªo»onego z przecinaj cych si pªaszczyzn wynosi 2 (zobacz rys. 1.10), itd. Rysunek 1.11: Zbiór rozª cznych punktów ma wymiar pokryciowy 2 (a), zbiór odcinków, prostych i póªprostych ma wymiar pokryciowy 2 (b). Na szaro zaznaczone s punkty wspólne par okr gów.

12 ROZDZIAŠ 1. WIADOMO CI WST PNE 1.2.4 Czy pytanie o dªugo± granicy mi dzy pa«stwami ma sens? Nim przejd do omówienia wymiaru fraktalnego, przedstawi pewien ciekawy problem: jak dªuga jest granica pomi dzy Hiszpani, a Portugali? Wbrew pozorom pytanie nie jest tak banalne, na jakie wygl da. Szukaj c w ró»nych ¹ródªach, mo»na otrzyma ró»ne wyniki. Przykªadowo encyklopedia hiszpa«ska podaje,»e wspomniana granica wynosi 991 km, za± portugalska,»e 1220 km. 4 Sk d taka rozbie»no±? Jeste±my przyzwyczajeni,»e dysponuj c obecn technik, na pytanie jaka jest dªugo±, umiemy znale¹ jednoznaczn odpowied¹, która jest zgodna z rzeczywisto±ci z dokªadno±ci do wielu miejsc po przecinku. W tym za± przypadku rozbie»no± si ga 20%. Ma to zwi zek ze sposobem, w jaki przeprowadza si pomiar dªugo±ci granic. Mo»na go wykona u»ywaj c do tego mapy oraz cyrkla. Cyrkiel ustawia si w ten sposób, by mógª na mapie odmierzy pewn wcze±nie wybran odlegªo±, np. 10 km, a nast pnie odmierza si liczb kroczków, potrzebnych na przej±cie wzdªu» caªej granicy. Wynik, jaki otrzymamy na ko«cu ±ci±le zale»y od tego, jakie wybrali±my rozstawienie cyrkla oraz od tego, jak dokªadn map wybrali±my do pomiaru. Im bowiem wi ksza skala, tym wi cej jest widocznych zaªama«granicy i tym wi kszy mo»emy otrzyma wynik. Wyja±nia si wi c tym samym ró»nica, mi dzy dªugo±ci granicy portugalskohiszpa«skiej w ró»nych ¹ródªach Portugalia, jako kraj mniejszy od Hiszpanii, zapewne u»yª podczas pomiaru dokªadniejszej mapy oraz mniejszego rozstawienia cyrkla. Rysunek 1.12: Na czarno zaznaczono fragment granicy Portugalii, a na czerwono ªaman, która j przybli»a. Na rysunku b) rozstawienie cyrkla jest dwa razy mniejsze ni» na rysunku a). Aby przej± wzdªu» granicy od punktu A do B nale»y zrobi 5 kroków przy du»ym rozstawieniu cyrkla oraz 12 przy dwa razy mniejszym rozstawieniu (czyli przybli»enie dªugo±ci granicy mi dzy punktami A i B na rysunku b) daje wi kszy wynik, ni» na rysunku a)). Mo»na zada sobie pytanie, czy zmniejszaj c rozstawienie cyrkla i zwi kszaj c dokªadno± mapy dojdziemy wreszcie do ostatecznego wyniku, który b dzie prawdziwy. Okazuje si,»e w wi kszo±ci wypadków nie. Granice pa«stw cz sto biegn wzdªu» pewnych charakterystycznych obiektów geogracznych, jak linia brzegowa, rzeka, grzbiet górski itp. Z powodu jednak pªywów morskich, erozji, akumulacji materiaªu niesionego 4 Dane zaczerpni te z [1], str. 251.

1.2. WYMIAR 13 przez wod i innych czynników, wymienione obiekty zmieniaj si. Poni»ej wi c pewnej skali pomiary dªugo±ci granicy trac sens, poniewa» nie sposób z niesko«czon precyzj wyznaczy jej przebiegu. 1.2.5 Wymiar fraktalny Problem przedstawiony w poprzednim punkcie wydaje si by inny, ni» to, z czym spotykamy si na co dzie«. Okazaªo si,»e istniej obiekty, dla których poj cie dªugo±ci nabiera zupeªnie innego sensu. Stykaj c si z nimi powinni±my zmieni pytanie ile na jak zmienia si zmierzona wielko± wraz ze wzrostem dokªadno±ci jej mierzenia. Dzi ki temu zyskujemy mo»liwo± zbadania stopnia zªo»ono±ci rozpatrywanego obiektu. Okazuje si,»e ze zªo»ono±ci obiektu mo»na powi za jego wymiar. Spostrze»enie to pozwoliªo na zdeniowanie wymiaru fraktalnego, który pozwala w sposób liczbowy opisa stopie«skomplikowania danego obiektu. W nast pnych rozdziaªach wymieni kilka szczególnych wypadków wymiaru fraktalnego. 1.2.6 Wymiar samopodobie«stwa Aby omówi wymiar samopodobie«stwa, posªu» si przykªadem krzywej Kocha (zobacz rozdziaª 2.3 na str. 27). Dla jej ilustracji przedstawiam pierwsze 4 kroki w jej konstrukcji (zobacz rys. 1.13). Rysunek 1.13: Pierwsze 4 kroki konstrukcji krzywej Kocha. Kolejne kroki podczas konstrukcji krzywej Kocha mo»na wykona za pomoc kopiarki wielokrotnie redukuj cej. 5 Jej zasada polega na zmniejszeniu obiektu, nad którym pracuje, a nast pnie jego skopiowaniu oraz uªo»eniu w przestrzeni (za pomoc translacji o wektor i obrotów) w pewien wcze±niej zdeniowany sposób. W przypadku ±nie»ynki Kocha wspóªczynnik redukcji obiektu wynosi 1 3, za± liczba wykonanych kopii 4. 6 5 Chc c aby praca byªa spójna i aby ró»ne poj cia wymiaru byªy opisane w jednym miejscu, zmuszony zostaªem do u»ycia poj cia wyja±nionego w dalszej cz ±ci pracy, w rozdziale 1.3.2 na str. 19. Mam nadziej,»e nie nastr czy to czytelnikowi zbyt wielu kªopotów. 6 Dla ±cisªo±ci jest to tylko jedna z niesko«czenie wielu mo»liwo±ci. W ogólno±ci redukcja obiektu powinna wynosi 1, za± liczba wykonanych kopi 3 n 4 n, gdzie n Z. Nie zmienia to jednak w»aden sposób obliczonego wymiaru fraktalnego krzywej Kocha.

14 ROZDZIAŠ 1. WIADOMO CI WST PNE Denicja wymiaru samopodobie«stwa opiera si na zaªo»eniu,»e wspóªczynnik redukcji s oraz liczba cz ±ci a, które tworzy kopiarka wielokrotnie redukuj ca, zwi zana jest wzorem: a = 1, (1.1) Ds s Šatwo sprawdzi,»e w przypadku odcinka wymiar samopodobie«stwa D s = 1, w przypadku kwadratu D s = 2, a w przypadku sze±cianu D s = 3 (odpowiednia ilustracja tego faktu na rys. 1.14). Okazuje si,»e wielko± D s mo»na w tych przypadkach przyrówna do wymiaru topologicznego, jaki posiadaj wymienione obiekty. Rysunek 1.14: Ilustracja samopodobie«stwa odcinka, kwadratu oraz sze±cianu. W wybranym przeze mnie przypadku wspóªczynnik redukcji s = 2 (zobacz równanie ). Wstawiaj c do równania 1.1 dane odpowiadajace krzywej Kocha (czyli a = 4 i s = 1 3 ), otrzymuj równo± 4 =. Logarytmuj c obie strony i przeksztaªcaj c otrzymuj : 3Ds D s = log 4 1, 2619. log 3 Liczba D s jest poszukiwanym przez nas wymiarem samopodobie«stwa. Okazuje si,»e w przypadku takich obiektów jak odcinek, kwadrat czy sze±cian, wymiar ten jest zgodny z wymiarem topologicznym przyjmuje wtedy warto± caªkowit. W przypadku fraktali wymiar samopodobie«stwa jest ró»ny od wymiaru topologicznego przyjmuje wtedy najcz ±ciej warto± niecaªkowit. W ogólnym przypadku, dla dowolnego obiektu samopodobnego, wymiar samopodobie«stwa wyra»a si wzorem: D s = log a log 1/s. (1.2) 1.2.7 Wymiar cyrklowy Sposób obliczania wymiaru fraktalnego obiektów samopodobnych opisane zostaªo w poprzednim punkcie. Co jednak je±li zbada chcemy obiekt niesamopodobny? Pomocne jest w tym miejscu poj cie wymiaru cyrklowego.

1.2. WYMIAR 15 Wróc na chwil do przykªadu z pomiarem granicy portugalsko-hiszpa«skiej z punktu 1.2.4. Wraz ze wzrostem dokªadno±ci badania (czyli wraz ze zmniejszaniem dªugo±ci kroku cyrkla) rosªa caªkowita dªugo± badanej granicy. W przypadku obiektów fraktalnych, wzrost ten opisany jest równaniem: u = c S d, gdzie u to otrzymywany wynik (dªugo± brzegu obiektu fraktalnego), S to rozstawienie cyrkla, a c jest pewn staª, zale»n od wyboru jednostek. Niech S = S 0 s, gdzie S 0 to pewne pocz tkowe rozstawienie cyrkla. Wtedy s ma taki sam charakter, jak w równaniu 1.1 w punkcie 1.2.6. W szczególno±ci, skoro c jest staª zale»n od wyboru jednostek, mo»na je wybra takie, aby c = S0 d. Wtedy otrzymamy: u = 1 s d Po zlogarytmowaniu i przeksztaªceniu tego równania otrzymujemy: log u = d log 1 s. (1.3) Jednostki s tak ustalone, aby u = 1 gdy s = 1. Skoro wi c u oznacza zmierzon dªugo± danego brzegu, za± a ze wzoru 1.1 oznacza liczb cz ±ci, to zachodzi zwi zek: u = as. Logarytmuj c powy»sz równo± i podstawiaj c za log a i log u warto±ci z równa«1.1 i 1.3, otrzymujemy: d log 1 s = D s log 1 + log s. s Skracaj c log s w powy»szym równaniu otrzymuj : D s = 1 + d. Poniewa» w caªym rozumowaniu nie skorzystano z samopodobie«stwa badanego obiektu, mo»na uogólni wymiar samopodobie«stwa D s na obiekty nie b d cymi krzywymi samopodobnymi. Tak rozumiany wymiar nazywa si wymiarem cyrklowym i wynosi on: D c = 1 + d 1.2.8 Wymiar pudeªkowy Wcze±niej wymienione techniki dobrze sprawdzaj si przy badaniu obiektów o regularnym ksztaªcie. Jak jednak okre±li wymiar fraktalny tak skomplikowanego obiektu jak np. na rysunku 1.15? Mo»na to wykona nanosz c na pªaszczyzn regularn siatk. Ka»de oczko siatki nazw pudeªkiem (przez analogi do pudeªka pojedy«czego oczka siatki trójwymiarowej). Wystarczy teraz zliczy liczb pudeªek maj cych cz ± wspóln z badanym obiektem, a nast pnie zmniejszy rozmiary pudeªek (tym samym zwi ksza si ich ilo± ) i zacz zliczanie od nowa (zobacz rysunek 1.16). Wyst puje tu analogia do przypadku pomiaru dªugo±ci granicy portugalsko-hiszpa«skiej z punktu 1.2.4. Podobnie oznaczam s jako wielko± oczek, a N jako ich liczb. Mam wtedy zwi zek: D p = log N log 1/s.

16 ROZDZIAŠ 1. WIADOMO CI WST PNE Rysunek 1.15: Aby okre±li wymiar fraktalny naprawd skomplikowanych ksztaªtów, wygodnie jest u»y wymiaru pudeªkowego. D p jest szukanym wymiarem pudeªkowym. Warto± D p mo»na obliczy badaj c nachylenie wykresu log N w zale»no±ci od log 1/s. Naturalnie zbiór obiektów, dla których mo»na obliczy ich wymiar pudeªkowy, mo»na rozszerzy o te zawarte w przestrzeniach wi cej wymiarowych. Przykªadowo dla przestrzeni trójwymiarowej oczkiem siatki b dzie sze±cian (faktyczne pudeªko), w przypadku przestrzeni czterowymiarowej hipersze±cian... W pewnych wypadkach wymiar pudeªkowy, wymiar cyrklowy i samopodobie«stwa daj takie same lub zbli»one wyniki. W innych jednak przypadkach ju» nie. Przykªadowo wymiar pudeªkowy dla obiektu zawartego na pªaszczy¹nie nie przekroczy 2, za± w przypadku wymiaru samopodobie«stwa takiego ograniczenia nie ma (wystarczy, by przy wspóªczynniku redukcji 1/n liczba tworzonych kopii byªa wi ksza ni» 2n). Dzieje si tak dlatego,»e przy obliczaniu wymiaru pudeªkowego nie zlicza si podwójnie fragmentów zachodz cych na siebie, za± w przypadku wymiaru samopodobnego tak. 1.2.9 Wymiar Hausdora Ostatnim omówionego przeze mnie przypadkiem wymiaru fraktalnego b dzie wymiar Hausdora. Zanim jednak sformuªuj jego denicj, musz wprowadzi par poj z dziedziny analizy matematycznej. Niech d(x, y) to funkcja odlegªo±ci punktów x i y w przestrzeni R n wyra»aj ca si wzorem: d(x, y) = n (x i y i ) 2, i=1 gdzie x i oraz y i to i-te wspóªrz dne odpowiednio punktu x oraz y. Kresem dolnym (inmum) podzbioru X prostej rzeczywistej nazywamy najwi ksze dolne ograniczenie podzbioru X i oznaczamy je jako inf {x X}. Oznacza to,»e je±li a = inf {x X}, to x X : a x oraz ε > 0 x X takie,»e x a < ε. Analogicznie nazywamy kresem górnym (supremum) najmniejsze górne ograniczenie zbioru X i oznaczamy je jako sup {x X}.

1.2. WYMIAR 17 Rysunek 1.16: Sposób zliczania pudeªek dla ksztaªtu z rysunku 1.15. Na szaro zaznaczyªem pudeªka maj ce niepust cz ± wspóln z badanym obiektem. rednic podzbioru U R n nazywamy najmniejsze górne ograniczenie zbioru wszystkich mo»liwych odlegªo±ci pomi dzy punktami nale» cymi do podzbioruu i oznaczamy jako diam(u). Zapis symboliczny wygl daªby nast puj co: diam(u) = sup {d(x, y) x, y U}. U R n nazywa si podzbiorem otwartym, je±li x U istnieje kula otwarta (czyli bez brzegu) B ε (x) = {y R n d(x, y) < ε} o promieniu ε > 0, o ±rodku w punkcie x, zawarta w caªo±ci w podzbiorze U. Pokrycie otwarte zbioru A wyst puje wtedy, gdy A i=1 U i, gdzie {U 1, U 2,...} to rodzina zbiorów otwartych. Teraz mog przej± do samej denicji wymiaru Hausdora zbioru A R n dla pewnej liczby n N. Niech s, ε R +. Deniujemy { } h s ε(a) = inf diam(u i ) s, gdzie {U 1, U 2,...} to otwarte pokrycie zbioru A takie,»e diam(u i ) < ε. Oznaczam h s (A) = lim ε 0 h s ε(a). i=0 Granic t nazywa si s-wymiarow miar Hausdora zbioru A. Okazuje si,»e istnieje taka liczba,»e gdy s jest od niej mniejsze, to h s (A) =, a gdy s jest od niej wi ksze, to h s (A) = 0. Liczb t nazywa si wymiarem Hausdora. Oznaczy j mo»na jako D H (A). Wtedy: D H (A) = inf {s h s (A) = 0} = sup {s h s (A) = }. Kilka podstawowych wªasno±ci wymiaru Hausdora, to: 1. je±li A R n, to D H (A) n, 2. je±li A B, to D H (A) D H (B),

18 ROZDZIAŠ 1. WIADOMO CI WST PNE 3. je±li A jest zbiorem przeliczalnym, to D H (A) = 0, 4. je±li A R n oraz D H (A) < 1, to A jest caªkowicie niespójny 7, 5. je±li C oznacza zbiór Cantora, wtedy D H (C ) = log 2/log3. 1.2.10 Wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej Nim przejd do denicji wymiaru rzeczywistej przestrzeni liniowej, musz wyja±ni par poj, które si w niej pojawi. Poprzez kombinacj liniow wektorów rozumiemy dodawanie, odejmowanie wektorów oraz mno»enie ich przez liczby rzeczywiste. Rodzina liniowo niezale»nych wektorów oznacza zbiór takich ró»nych od zera wektorów, w±ród których nie ma»adnego takiego wektora, którego mo»na byªoby uzyska poprzez kombinacj liniow pozostaªych wektorów. Baza przestrzeni, to dowolna najmniejsza rodzina liniowo niezale»nych wektorów, która generuje dan przestrze«, co oznacza,»e korzystaj c z kombinacji liniowej, mo»na skonstruowa wektor ª cz cy dwa dowolne punkty w rozpatrywanej przestrzeni oraz nie mo»na z niej wyj±, czyli nie mo»na skonstruowa wektora ª cz cego punktu nale» cy do tej przestrzeni i punkt nie nale» cy do niej. Teraz mo»na poda denicj wymiaru przestrzeni liniowej: to liczba wektorów zawartych w dowolnej bazie danej przestrzeni. Przykªadowo prost generowa b dzie jeden wektor, pªaszczyzn 2, przestrze«trójwymiarowa 3... (zobacz rys. 1.17). Rysunek 1.17: Przykªadowe bazy wektorów (na czerwono), generuj ce a) prost, b) pªaszczyzn. Dla rysunku a) punkt P mo»na otrzyma mno» c wektor bazowy przez wspóªczynnik 2. Dla rysunku b) punkt P mo»na otrzyma mno» c wektory bazowe kolejno przez 3 i 1. 7 Oznacza to,»e ka»dy spójny podzbiór zbioru A jest jednopunktowy.

1.3. SPOSOBY KONSTRUKCJI FRAKTALI 19 1.3 Sposoby konstrukcji fraktali Sposobów na konstrukcj fraktali jest wiele. Ich przydatno± determinowana jest tym, jaki fraktal chcemy skonstruowa oraz dzi ki jakim narz dziom. Konstrukcja geometryczna mo»e by przydatna, gdy zamierzamy na swój wªasny u»ytek naszkicowa na kartce przybli»ony wygl d fraktala. Kopiarka wielokrotnie redukuj ca przydaje si gdy pracujemy na komputerze z programem gracznym maj cym opcj : zmniejsz, skopiuj, przesu«, obró. Gra w chaos nadaje si za± do szybkiego rysowania przybli»onych obrazów fraktali na ekranie monitora. Przejd teraz do bardziej szczegóªowego opisu ka»dej z tych metod. 1.3.1 Konstrukcja geometryczna Konstrukcja geometryczna jest to algorytm rekurencyjny, w którym nale»y dodawa, usuwa czy przesuwa podstawowe obiekty geometryczne (punkty, odcinki, proste, póªproste, okr gi, kwadraty, sze±ciany... ). Przykªadowo podam algorytm opisuj cy kolejne kroki konstrukcji trójk ta Sierpi«- skiego (patrz punkt 2.2): 1. Narysuj na pªaszczy¹nie wypeªniony w ±rodku trójk t. 2. Zaznacz ±rodki ka»dego z boków trójk ta i poª cz je odcinkami. Usu«wn trze powstaªego trójk ta, 3. Dla ka»dego z otrzymanych trójk tów wykonaj procedur z punktu 2. 4. Wró do punktu 3. 1.3.2 Kopiarka wielokrotnie redukuj ca Kopiarka wielokrotnie redukuj ca, zwana te» IFS 8, jest nazw pewnej procedury, która polega na powtarzaniu w niesko«czono± nast puj cych kroków: 1. utworzenie n kopii danego obiektu, 2. zmienienie ich rozmiaru kolejno o czynniki k 1, k 2,..., k n, 3. rozmieszczenie ka»dej z kopii we wcze±niej okre±lonej konguracji. Je±li czynniki, o jakie zmieniane s rozmiary kopii obiektów, zawieraj si w przedziale [0, 1) (czyli kopie obiektów s pomniejszane), uzyskiwany w ka»dym kroku obiekt d»y do pewnego antraktora. Mo»na tu odnale¹ analogi do obliczania granicy ci gu liczbowego, który przy speªnieniu pewnych warunków d»y do granicy b d cej liczb rzeczywist. W przypadku kopiarki wielokrotnie redukuj cej, t granic nie jest liczba, ale co± bardziej skomplikowanego antraktor, który mo»e by zbiorem punktów, odcinków, itd. Antraktorami s te» fraktale, które mo»na uzyska przy pomocy kopiarki. Jako przykªad skonstruuj dzi ki tej technice trójk t Sierpi«skiego (patrz punkt 2.2). Do tego potrzebuj dowolnego obiektu (np. rysunku serduszka). Liczba tworzonych kopi b dzie wynosiªa n s = 3, za± ich rozmiar b dzie zmniejszany dwukrotnie (czyli k s = 1/2). Pierwsze 7 kroków tej procedury przedstawiam na rysunku 1.18. Warto zauwa»y,»e antraktor jest obiektem staªym 9 kopiarki. Oznacza to,»e je±li zaczniemy caª procedur startuj c od antraktora, w ka»dym kolejnym kroku otrzymywa b dziemy ten sam antraktor. 8 Z ang. Iterated Function System czyli system iterowanych konstrukcji lub inaczej system funkcji iterowanych. 9 Wybraªem t nazw, chc c zaznaczy analogi do punktu staªego odwzorowania.

20 ROZDZIAŠ 1. WIADOMO CI WST PNE Rysunek 1.18: Pierwsze 7 kroków konstrukcji trójk ta Sierpi«skiego z wykorzystaniem kopiarki wielokrotnie redukuj cej. Aby wykaza,»e pocz tkowy ksztaªt obiektu od którego zaczynamy caª procedur nie ma znaczenia, wybraªem do tego celu rysunek serca. Wa»ne jest jedynie, aby w ka»dym kolejnym kroku tworzy 3 kopie rysunku, zmniejsza je dwukrotnie i ukªada tak, by tworzyªy trójk t równoboczny. Drug wa»n cech kopiarki jest to,»e ko«cowy efekt nie zale»y od obiektu, od którego startujemy. Z ka»dym kolejnym krokiem zatraca on coraz bardziej swój pierwotny ksztaªt i zmierza do antraktora. Pod tym wzgl dem jest to ukªad stabilny. Inaczej ma si z parametrami, dzi ki którym pracuje kopiarka. Ju» nieznaczna modykacja zmienia wyglad antraktora, do którego kopiarka d»y. W szczególno±ci, je±li czynnik k modykuj cy wielko± kopii obiektu b dzie zbyt du»y, nie uzyska si»adnego stabilnego ksztaªtu (stan taki mo»na rozumie przez analogi do granicy niewªa±ciwej ci gu liczbowego). 1.3.3 Sprz»ona kopiarka wielokrotnie redukuj ca Dzi ki kopiarce wielokrotnie redukuj cej mo»na uzyska wiele fraktali. Jednak nie uda si przy jej pomocy stworzy obiektów nie b d cych samopodobnymi, np. paprotki opisanej w punkcie 2.8 na str. 33. Aby j uzyska, trzeba poª czy ze sob kilka kopiarek w sie. Pomysª polega na tym, by zgromadzi kilka ró»nych kopiarek, przydzieli im kolejne numery, a nast pnie ustali kolejno± ich dziaªania. W najprostszym przypadku mo»na u»y dwóch kopiarek w ten sposób, by dziaªaªy naprzemiennie. Najpierw jedna z nich modykuje obiekt, nast pnie przekazuje swój wynik pracy drugiej, która modykuje go po swojemu. Nast pnie wynik pracy jest przekazywany pierwszej itd. 1.3.4 Gra w chaos Ciekawym pomysªem na uzyskanie fraktali jest pewna procedura nazwana przez M. F. Barnsleya gr w chaos. 10 Jej zasada dziaªania jest podobna do kopiarki wielokrotnie redukuj cej, z tym,»e obiektami, które si kopiuje s teraz punkty. To, które akurat przeksztaªcenie zadziaªa na dany punkt, zale»y od dodatkowego elementu maszyny losuj cej. 10 Dane zaczerpni te z [1] str. 64

1.3. SPOSOBY KONSTRUKCJI FRAKTALI 21 Aby zilustrowa zasad dziaªania gry w chaos, spróbuj raz jeszcze uzyska trójk t Sierpi«skigo. Ilustracj do poni»szej listy kroków jest rys. 1.19 1. Zaznaczam wierzchoªki trójk ta równobocznego na pªaszczy¹nie i oznaczam je, np. 1, 2, 3. 2. Losuj dowolny punkt na pªaszczy¹nie. Niech b dzie nim x 0. To jest tymczasowy punkt startowy i punkt bie» cy zarazem. 3. Losuj (z równym prawdopodobie«stwem) liczb 1, 2 lub 3. (a) Je±li wylosowaªem 1, zaznaczam punkt le» cy w poªowie odcinka ª cz cego aktualny punkt bie» cy z wierzchoªkiem 1. (b) Je±li wylosowaªem 2, zaznaczam punkt le» cy w poªowie odcinka ª cz cego aktualny punkt bie» cy z wierzchoªkiem 2. (c) Je±li wylosowaªem 3, zaznaczam punkt le» cy w poªowie odcinka ª cz cego aktualny punkt bie» cy z wierzchoªkiem 3. 4. Ustawiam nowo zaznaczony punkt jako bie» cy i przechodz do punktu 3. Rysunek 1.19: 9 pierwszych kroków konstrukcji trójk ta Sierpi«skiego za pomoc gry w chaos. x 0 to punkt startowy. Ci g wylosowanych liczb w tym przypadku, to 1, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 2. O ile poªo»enie nast pnego punktu jest losowe, to ksztaªt powstaªy z wszystkich wylosowanych punktów jest ju» ±ci±le okre±lony mo»na pokaza,»e jest nim trójk t Sierpi«skiego (zobacz rys. 1.20). Nie jest te» wa»ne, czy pocz tkowy punkt nale»y, czy te» nie nale»y do trójk ta Sierpi«skiego. W ka»dym kolejnym krokiem kolejne punkty b d coraz lepiej go przybli»a. A poniewa» procedur wykonuj si w niesko«czono±, wystarczy odrzuci dowoln, sko«czon liczb pocz tkowo zaznaczonych punktów, aby uzyska dowolnie dobre przybli»enie fraktalu. Gra w chaos jest szczególnie przydatna przy tworzeniu fraktali na komputerze. Zajmowanie si caªymi obiektami, ich skalowanie, kopiowanie, przesuwanie i obracanie, jest niezwykle skomplikowane i wymaga wielu oblicze«. W pewnych przypadkach zbyt wielu! W przypadku gry w chaos obiektem nad którym komputer pracuje jest

22 ROZDZIAŠ 1. WIADOMO CI WST PNE Rysunek 1.20: Stan trójk ta Sierpi«skiego podczas gry w chaos po a) 100 krokach, b) 500 krokach, c) 1000 krokach i d) 10000 krokach. Obrazek zaczerpni ty z [1], str. 381. punkt. Je±li chodzi o przypadki dwuwymiarowe, zapami tanie punktu sprowadza si do zapami tania tylko dwóch liczb. Jest to bardzo proste i wykonanie nawet miliona operacji nie jest zbyt du»ym obci»eniem dla dzisiejszego komputera. Zwªaszcza,»e gdy obraz jest rysowany na monitorze, trzeba pami ta,»e i tak jako± obrazu wyznacza rozdzielczo± monitora, wi c zbyt du»a ilo± oblicze«nie ma sensu, bo i tak nie pozwoli to na poprawienie jako±ci obrazu. 1.3.5 Modykowana gra w chaos (o niejednakowym prawdopodobie«stwie) W przypadku trójk ta Sierpi«skiego gra w chaos opisana w poprzednim punkcie daje bardzo dobre rezultaty. Nie dzieje si tak jednak dla wszystkich fraktali. Jednym z nich jest paprotka Barnsleya (zobacz punkt 2.7). Schemat jej konstrukcji, potrzebny by wytªumaczy potrzeb wprowadzenia gry w chaos z niejednakowym prawdopodobie«stwem, przedstawiªem na rysunku 1.21. Patrz c na schemat na rys. 1.21 mo»na zauwa»y,»e przeksztaªcenie z numerem 1 (tworz ce górny listek) zmniejsza pocz tkowy obiekt o czynnik 0, 85 w ka»dym kroku. Aby wi c uzyska paprotk z tak dokªadno±ci, by ostatni, najwy»szy z listków nie przekraczaª 1% wielko±ci obiektu pocz tkowego, nale»aªoby wykona wi cej ni» 29 kroków. 11 11 Skoro zmiana wielko±ci w jednym kroku wynosi 0,85, a dokªadno± ma by co najmniej 0,01, to liczba potrzebnych kroków wynosi log 0, 01/ log 0, 85 28, 3. Zaokr glaj c w gór do najbli»szej liczby caªkowitej dostaj wynik 29.

1.3. SPOSOBY KONSTRUKCJI FRAKTALI 23 Rysunek 1.21: Schemat konstrukcji paprotki Barnsleya. Ka»dy obiekt przeksztaªcamy w cztery obiekty zeskalowane w poziomie kolejno o czynniki 0, 85, 0, 3, 0, 3 i 0 oraz w pionie kolejno o czynniki 0, 85, 0, 34, 0, 37, 0, 16, poddane translacji i obrotom jak na rysunku. Obrazek zaczerpni ty z [1], str. 329. Gdyby chcie tworzy paprotk za pomoc kopiarki wielokrotnie redukuj cej, w ka»- dym kolejnym kroku trzeba byªoby manipulowa cztery razy wi ksz ilo±ci obiektów, ni» wcze±niej. Jak ªatwo policzy, po 29 krokach liczba obiektów si gn ªaby 4 29, co daje wi cej ni» 10 17. W przypadku gry w chaos o jednakowym prawdopodobie«stwie szansa,»e wylosuje si punkt le» cy w ostatnim, górnym listku jest równa szansie wyrzucenia 29 razy pod rz d 1 na kostce cztero±ciennej. Prawdopodobie«stwo za± tego zdarzenia wynosi (1/4) 29 < 10 17. Jest to wi c prawie niemo»liwe i nawet przy rysowaniu milionów punktów, listki na górze paprotki pozostan niezaznaczone. Aby to naprawi, wystarczy zmodykowa prawdopodobie«stwo wylosowania pierwszego przeksztaªcenia kosztem pozostaªych. Przykªadowo zwi kszaj c prawdopodobie«stwo wyboru pierwszego przeksztaªcenia z 0, 25 do 0, 8, zwi kszymy prawdopodobie«stwo traenia w 29. listek z 10 17 do okoªo 0, 002. Wybór odpowiednich prawdopodobie«stw jest bardzo trudnym problemem matematycznym. Jednak gdy uda si ju» go ustali, zyskuje si pot»ne narz dzie do tworzenia fraktali z wykorzystaniem komputera.

Rozdziaª 2 Krótki przegl d wybranych fraktali Mimo,»e za ojca geometrii fraktalnej uwa»a si B. B. Mandelbrota, wi kszo± najsªynniejszych fraktali znanych byªo du»o wcze±niej niektóre ju» w ±redniowieczu. Odkrywano je przede wszystkim podczas prób zgª bienia takich podstawowych zagadnie«jak wymiar, ci gªo±, dªugo± czy powierzchnia. Fraktale przez dugi czas uwa»ano za osobliwo±ci i traktowano jako wyj tki. Miaªo to zwi zek z lozo, zgodnie z któr»yli ludzie w tamtym czasie. Za obiekty idealne uwa»ano odcinki, proste, okr gi, gury foremne... One te» miaªy wyznacza ksztaªt naszego ±wiata. Pocz tkowe obserwacje potwierdzaªy te spostrze»enia: Ziemia zdawaªa si by kul, gwiazdy na nieboskªonie kre±liªy okr gi... Jak kolwiek my±l,»e ±wiat mo»e nie mie tak porz dnej struktury,»e mo»e by w nim mnóstwo chaosu i dziwnych obiektów, odrzucano jako co najmniej nieprzyzwoit. Dzi± patrzymy na ±wiat z zupeªnie innej strony. Widzimy,»e ka»de zachowanie jest w istocie niezwykle zªo»one,»e za pomoc prostych i okr gów nie sposób zadowalaj co opisa rzeczywisto±ci. Okazuje si,»e bardziej naturalne wydaj si by te obiekty, które do niedawna byªy uwa»ane za wyj tki. Nim jednak przejd do opisu fraktali spotykanych w przyrodzie i ich wspóªczesnych zastosowa«(zobacz rozdziaª 3 na str. 36), skupi si w tym rozdziale na przedstawieniu kilku pierwszych, historycznych ju» fraktali. 2.1 Zbiór Cantora Georg Cantor byª niemieckim matematykiem»yj cym w latach 1845-1918. Zasªyn ª tworz c podstawy wspóªczesnej teorii mnogo±ci. Podczas swoich bada«nad szeregami trygonometrycznymi, Cantor natkn ª si na pewien osobliwy, niesko«czony zbiór punktów o zaskakuj cych wªa±ciwo±ciach byª on nigdzie g stym doskonaªym podzbiorem odcinka. 1 Zbiór ten, na cze± Cantora, zostaª nazwany jego nazwiskiem. 1 Doskonaªy podzbiór to taki, którego ka»dy punkt jest jego punktem skupienia. Przykªadem takiego zbioru mo»e by przedziaª domkni ty zbioru liczb rzeczywistych. Zbiór Cantora jest nietrywialnym przypadkiem zbioru doskonaªego. 24

2.1. ZBIÓR CANTORA 25 Konstrukcja geometryczna Zbiór Cantora to niesko«czony zbiór pewnych liczb z przedziaªu [0, 1]. W geometrycznej interpretacji liczby te mo»na przedstawi jako punkty zawarte w odcinku jednostkowym. Konstrukcj zbioru Cantora mo»na zawrze w poni»szym algorytmie rekurencyjnym: 1. we¹ przedziaª [0, 1], 2. podziel przedziaª na trzy równe cz ±ci i usu«±rodkow (zostawiaj c liczby b d ce kresem dolnym i górnym tego przedziaªu w pierwszym kroku b d to liczby 1 3 i 2 3 ), 3. dla ka»dego z uzyskanego przedziaªu zrób to, co w punkcie 2, 4. wró do punktu 3. W pierwszym kroku z przedziaªu [0, 1] otrzymuj dwa przedziaªy: [0, 1 3 ] i [ 2 3, 1]. W wyniku drugiego kroku mam cztery przedziaªy: [0, 1 9 ], [ 2 9, 1 3 ], [ 2 3, 7 9 ], [ 8 9, 1]... Ilustracj przedstawiaj c konstrukcj geometryczn zbioru Cantora przedstawiªem na rys. 2.1. Rysunek 2.1: Pierwsze 4 kroki konstrukcji geometrycznej zbioru Cantora. Konstrukcja za pomoc IFS Zbiór Cantora mo»na równie» uzyska posªuguj c si kopiark wielokrotnie redukuj c. Pojedy«czy krok polega na trzykrotnym zmniejszeniu obiektu i skopiowaniu go dwukrotnie. Uªo»enie poszczególnych kopii ilustruje rys. 2.2. Rysunek 2.2: Schemat dziaªania pojedy«czego kroku kopiarki wielokrotnie redukuj cej, maj cej doprowadzi do powstania zbioru Cantora. Przeksztaªcenie a) to trzykrotne zmniejszenie pocz tkowego obiektu, b) to skopiowanie zmniejszonego obiektu dwukrotnie i uªo»enie kopii w odpowiedni sposób.

26 ROZDZIAŠ 2. KRÓTKI PRZEGL D WYBRANYCH FRAKTALI Wymiar fraktalny Zbiór Cantora ma wymiar fraktalny równy (zgodnie z równaniem 1.2): D s = log 2 0, 631. log 3 Inne podobne fraktale Znanych jest kilka innych fraktali, b d cych pewn modykacj zbioru Cantora. Staªy si one na tyle znane,»e zyskaªy wªasne nazwy. Dla przykªadu omówi dwa z nich: miotª Cantora oraz ser Cantora. Miotªa Cantora powstaje, gdy ka»dy punkt nale» cy do zbioru Cantora poª czymy odcinkiem z wybranym wcze±niej punktem P. Je±li poª czymy odcinkiem punkty 0 i 1, nale» ce do zbioru Cantora, to punkt P powinien le»e na symetralnej tego odcinka. Cztery pierwsze kroki konstrukcji miotªy Cantora przedstawiam na rys. 2.3. Rysunek 2.3: Pierwsze 4 kroki konstrukcji geometrycznej miotªy Cantora. Ser Cantora uzyskamy, je±li odcinki z klasycznej konstrukcji zbioru Cantora zast pimy okr gami. Cztery pierwsze kroki konstrukcji sera Cantora przedstawiam na rys. 2.4. Rysunek 2.4: Pierwsze 4 kroki konstrukcji geometrycznej sera Cantora. 2.2 Trójk t Sierpi«skiego Wacªaw Sierpi«ski byª polskim matematykiem»yj cym w latach 1882-1969. W roku 1919 podaª przepis na konstrukcj fraktala, którego nazwano na jego cze± trójk tem Sierpi«skiego. Musz doda,»e fraktal ten znano ju» w czasach ±redniowiecza. Jednak wtedy wyst powaª on gªównie jako element wzornictwa i nie badano szczegóªowo jego wªasno±ci matematycznych.

2.3. KRZYWA KOCHA 27 Konstrukcja geometryczna Konstrukcj geometryczn trójk ta Sierpi«skiego podaªem ju» przy okazji omawiania sposobów konstrukcji fraktali (zobacz punkt 1.3.1 na str. 19). Przypomn jednak odpowiedni algorytm: 1. Narysuj na pªaszczy¹nie wypeªniony w ±rodku trójk t. 2. Zaznacz ±rodki ka»dego z boków trójk ta i poª cz je odcinkami. Odejmij od gury wn trze powstaªego trójk ta, 3. Dla ka»dego z otrzymanych trójk tów wykonaj procedur z punktu 2. 4. Wró do punktu 3. Konstrukcja za pomoc IFS Sposób konstrukcji trójk ta Sierpi«skiego za pomoc kopiarki wielokrotnie redukuj cej zostaª omówiony w punkcie 1.3.2 na str. 19. Przypomn jedynie,»e w pojedynczym kroku kopiarki obiekt jest zmniejszany dwukrotnie, a liczba tworzonych kopii jest równa 3. Wymiar fraktalny i inne wªasno±ci Korzystaj c z powy»szych informacji, oraz z równania 1.2 obliczam,»e wymiar fraktalny trójk ta Sierpi«skiego jest równy: D s = log 3 1, 585. log 2 Trójk t Sierpi«skiego jest ±ci±le samopodobny. Jego pole jest równe zero. Inne podobne fraktale U»ywaj c tej samej techniki co w przypadku trójk ta Sierpi«skiego, mo»na uzyska kilka innych ciekawych fraktali. Zast pienie trójk ta kwadratem doprowadza do powstania fraktalu zwanego dywanem Sierpi«skiego (zobacz rys. 2.5). Krok konstrukcji za pomoc IFS sprowadza si do zmniejszenia obiektu 3 razy i skopiowania go 8 razy. Wymiar fraktalny dywanu Sierpi«skiego jest wi c równy: log 8 1, 893. log 3 Trójwymiarowa analogia do dywanu Sierpi«skiego zwana jest g bk Mengera (zobacz rys. 2.6). Krok konstrukcji za pomoc IFS sprowadza si do zmniejszenia obiektu 3 razy i skopiowanie go 20 razy. Wymiar fraktalny g bki Mengera jest wi c równy: log 20 log 3 2, 727. 2.3 Krzywa Kocha Helge von Koch byª szwedzkim matematykiem»yj cym w latach 1870-1924. W 1904 opracowaª sposób konstrukcji krzywej, niezawieraj cej»adnych prostych ani odcinków. Krzyw t nazwano na jego cze± krzyw Kocha.

28 ROZDZIAŠ 2. KRÓTKI PRZEGL D WYBRANYCH FRAKTALI Rysunek 2.5: Pierwsze 4 kroki konstrukcji dywanu Sierpi«skiego. Rysunek 2.6: Pierwsze 3 kroki konstrukcji g bki Mengera. Rysunek zaczerpni ty z [1], str. 156

2.4. DIABELSKIE SCHODY 29 Rysunek 2.7: Pierwsze 4 kroki konstrukcji geometrycznej krzywej Kocha. Konstrukcja geometryczna Konstrukcje krzywej Kocha najlepiej poda za pomoc algorytmu rekurencyjnego (zobacz te» rys. 2.7): 1. narysuj odcinek, 2. podziel odcinek na trzy równe cz ±ci, zamiast ±rodkowej wstaw trójk t równoboczny i usu«jego podstaw, 3. dla ka»dego odcinka w otrzymanej w ten sposób gurze zrób to, co jest opisane w punkcie 2, 4. wró do punktu 3. Konstrukcja za pomoc IFS Sposób konstrukcji krzywej Kocha zostaª przedstawiony ju» na rys. 1.13 na str. 13. Przypomn jedynie,»e w pojedy«czym kroku kopiarki obiekt jest zmniejszany trzykrotnie, a nast pnie kopiowany 4 razy. Wymiar fraktalny Korzystaj c z powy»szych informacji, oraz z równania 1.2, obliczam,»e wymiar fraktalny krzywej Kocha jest równy: Inne podobne fraktale log 4 1, 262. log 3 Poª czenie trzech krzywych Kocha w sposób przedstawiony na rys. 2.8 tworzy fraktal nazywany ±nie»ynk Kocha. 2.4 Diabelskie schody W literaturze cz sto bª dnie podaje si,»e fraktalami s obiekty, których wymiar fraktalny nie jest liczb caªkowit. 2 Gdyby tak byªo, nie mo»na byªoby do fraktali zaliczy diabelskich schodów (wymiar fraktalny 1), krzywej Peana i krzywej Hilberta (wymiar fraktalny 2). 2 Przykªadowo [4], str. 2.

30 ROZDZIAŠ 2. KRÓTKI PRZEGL D WYBRANYCH FRAKTALI Rysunek 2.8: Pierwsze 4 kroki konstrukcji geometrycznej ±nie»ynki Kocha. Rysunek 2.9: Pierwsze 3 kroki konstrukcji geometrycznej diabelskich schodów. Konstrukcja Konstrukcja diabelskich schodów rozpoczyna si od jednostkowego kwadratu. Na jego dowolnym boku (np. podstawie) konstruuje si zbiór Cantora, zamiast jednak wycina odpowiednie odcinki, rysuje si nad nimi prostok ty. Ich wysoko± równa si ±redniej wysoko±ci najbli»szych prostok tów po prawej i lewej stronie. Na pocz tek okre±la si,»e nad punktem 0 jest cienki prostok t o wysoko±ci 0, a nad punktem 1 cienki prostok t wysoko±ci 1 (zobacz rys. 2.9). Wªasno±ci Diabelskie schody konstruuje si w oparciu o zbiór Cantora. Ich pole jest równe poªowie pola kwadratu, w którego wn trzu przeprowadza si konstrukcj. Brzeg diabelskich schodów dzieli kwadrat na dwie symetryczne cz ±ci. Fraktal ten nie jest samopodobny, a jedynie samoaniczny. Nie mo»na go skonstruowa za pomoc klasycznej IFS. Krzywa b d ca brzegiem diabelskich schodów ma dalsze, zaskakuj ce wªasno±ci. Jest ona w ka»dym punkcie staªa, za wyj tkiem punktów nale» cych do zbioru Cantora. Jest ci gªa i ma sko«czon dªugo± wynosz c 2a, gdzie a jest dªugo±ci boku kwadratu, którego u»yto do konstrukcji. Jej wymiar fraktalny jest równy 1. Je±liby potraktowa brzeg diabelskich schodów jako funkcj okre±lon na zbiorze [0, 1]/A c, gdzie A c byªby zbiorem Cantora skonstruowanym na przedziale [0, 1], to w ka»dym punkcie, w którym byªaby ona ró»niczkowalna, pochodna osi gaªaby warto± 0. Jednak funkcja ta byªaby monotonicznie niemalej ca i osi gaªa by ka»d warto± z przedziaªu (0, 1).

2.5. KRZYWA PEANA 31 Rysunek 2.10: Pierwsze 4 kroki konstrukcji geometrycznej krzywej Peana. Rysunek zaczerpni ty z [1], str. 141 2.5 Krzywa Peana Giuseppe Peano byª wªoskim matematykiem»yj cym w latach 1890-1932. W roku 1890 opracowaª on sposób konstrukcji krzywej, która wypeªnia dowolnie du»y obszar pªaszczyzny. Konstrukcja Konstrukcj krzywej Peana przedstawiªem na rys. 2.10. W pojedy«czym kroku konstrukcji ka»dy odcinek zamienia si na 9 trzykrotnie pomniejszonych odcinków. Wymiar fraktalny i inne wªasno±ci Wymiar fraktalny krzywej Peana jest równy, zgodnie z równaniem 1.2: log 9 log 3 = 2. Krzywa Peana jest ci gªa, jednak nie ró»nowarto±ciowa. Nie wyznacza wi c homeomorzmu mi dzy odcinkiem, a pªaszczyzn. 2.6 Krzywa Hilberta David Hilbert byª niemieckim matematykiem»yj cym w latach 1862-1943. Rok po Giuseppe Peano (czyli w 1891 r.) opracowaª on swój wªasny sposób na to, aby za pomoc krzywej wypeªni pªaszczyzn. Konstrukcja Konstrukcj krzywej Hilberta przedstawiªem na rys. 2.11. Konstrukcj zaczyna si od krzywej w ksztaªcie. W pojedy«czym kroku konstrukcji nale»y pomniejszy pocz tkowy obiekt dwukrotnie, a nast pnie skopiowa 4 razy i uªo»y jak na rysunku (jedn kopi nale»y obróci o 90 zgodnie ze wskazówkami zegara, drug o 90 przeciwnie do wskazówek zegara. Dwóch pozostaªych nie nale»y obraca ). Na koniec nale»y jeszcze dorysowa krótkie odcinki, aby poª czy cztery krzywe w jedn caªo± (na rysunku odcinki te zaznaczyªem kolorem czerwonym). Z tego te» powodu krzywej tej nie mo»na skonstruowa za pomoc IFS.

32 ROZDZIAŠ 2. KRÓTKI PRZEGL D WYBRANYCH FRAKTALI Rysunek 2.11: Pierwsze 4 kroki konstrukcji geometrycznej krzywej Hilberta. W pojedynczym kroku zmniejsza si pocz tkowy obiekt dwukrotnie, a nast pnie kopiuje 4 razy. Dwie z tych kopii nale»y odwróci o 90 jedn zgodnie, a drug przeciwnie do ruchów wskazówek zegara. Na czerwono zaznaczyªem odcinki, które trzeba dorysowa po ka»dym z kroków konstrukcji, aby zapewni krzywej Hilberta ci gªo±. Wymiar fraktalny i inne wªasno±ci Wymiar fraktalny krzywej Hilberta jest równy 2 podobnie jak dla krzywej Peana. 2.7 Paprotka Barnsleya Opracowanie algorytmu prowadz cego do powstania paprotki Barnsleya byªo kamieniem milowym rozwoju nauki o fraktalach. Udowodniono bowiem,»e korzystaj c z bardzo prostych reguª mo»na tworzy ksztaªty do zªudzenia przypominaj ce rzeczywiste obiekty. Konstrukcja za pomoc IFS Paprotk Barnsleya mo»na uzyska dzi ki technice kopiarki wielokrotnie redukuj cej. W pojedy«czym kroku tworzy si z pocz tkowego obiektu cztery kopie. Ka»d z nich przeksztaªca si w inny sposób. Je±liby zacz budowa paprotk od prostok ta, to pojedy«czy krok konstrukcji mo»na byªoby opisa poni»szym schematem (zobacz te» rys. 2.12): 1. pierwsz kopi zmniejsza si o czynnik 0, 85 w poziomie i o 0, 85 w pionie, obraca o 2, 5 wokóª ±rodka podstawy i nachyla 3 o 2, 5, a nast pnie przesuwa o wektor [0, 1, 6], 2. drug kopi zmniejsza si o czynnik 0, 3 w poziomie i o 0, 34 w pionie, obraca o 49 wokóª ±rodka podstawy i nachyla o 49, a nast pnie przesuwa o wektor [0, 1, 6], 3. trzeci kopi zmniejsza si o czynnik 0, 3 w poziomie i o 0, 37 w pionie, obraca o 50 wokóª ±rodka podstawy i nachyla o 120, a nast pnie przesuwa o wektor [0, 0, 44], 4. czwart kopi zmniejsza si o czynnik 0 w poziomie i 0, 16 w pionie (czyli przeksztaªca si w odcinek). 3 Po ang. skew. Jest to popularna w programach gracznych funkcja znieksztaªcania obrazu. Dzi ki niej mo»na z kwadratu uzyska romb. W ksia»ce Flash 5 wiczenia praktyczne, wyd. Helion, 2000, ISBN: 83-7197-389-6, skaw przetªumaczono równie» jako ukosowanie.

2.8. PAPROTKA NIE B D CA SAMOPODOBN 33 Rysunek 2.12: Schemat konstrukcji paprotki Barnsleya. Obiektem pocz tkowym jest prostok t. Literk L narysowano, by pokaza,»e przeksztaªcenie 3 odwraca prostok t na drug stron. Przeksztaªcenie 4 przeprowadza prostok t w odcinek, wi c tak naprawd otrzymana paprotka nie b dzie samopodobna. Gdyby jednak opu±ci to przeksztaªcenie, otrzymamy paprotk bez ªody»ki, która b dzie samopodobna. Obrazek zaczerpni ty z [1], str. 329 2.8 Paprotka nie b d ca samopodobn Na rysunku 2.15 przedstawiªem fraktal podobny na pierwszy rzut oka do paprotki Barnsleya. W rzeczywisto±ci jednak nie jest on samopodobny. Li±cie na gªównej ªody»ce s bowiem uªo»one naprzemiennie, a na bocznych ªody»kach symetrycznie. Konstrukcja za pomoc IFS poª czonych w sie Aby uzyska tak paprotk, mo»na posªu»y si dwoma kopiarkami wielokrotnie redukuj cymi poª czonymi w sie. Najpierw pierwsz kopiark uzyskuje si paprotk o li±ciach uªo»onych symetrycznie. W drugim kroku przekazuje si j do drugiej kopiarki, która wykorzystuje pierwszy fraktal do budowy li±ci wyrastaj cych z gªównej ªodygi. Schematycznie dziaªanie takiej sieci mo»na przedstawi na rys. 2.16.

34 ROZDZIAŠ 2. KRÓTKI PRZEGL D WYBRANYCH FRAKTALI Rysunek 2.13: 5 i 10 krok konstrukcji paprotki Barnsleya za pomoc IFS. Rysunek zaczerpni ty z [1], str. 334 Rysunek 2.14: Gotowa paprotka Barnsleya. Rysunek zaczerpni ty z [1], str. 330

2.8. PAPROTKA NIE B D CA SAMOPODOBN 35 Rysunek 2.15: Paprotka podobna do paprotki Barnsleya. Faktycznie jednak nie jest ona samopodobna i nie mo»na jej uzyska korzystaj c z pojedy«czego IFS. Li±cie na gªównej ªody»ce s bowiem uªo»one naprzemiennie, a na bocznych ªody»kach symetrycznie. Dostrze»enie tego uªatwia powi kszenie jednego z gªównych li±ci w prawej cz ±ci obrazka. Rysunek zaczerpni ty z [1], str. 364. Rysunek 2.16: Schemat sieci dwóch kopiarek, tworz cych paprotk niesamopodobn. Najpierw dziaªa dolna kopiarka. Gdy ju» utworzy paprotk o symetrycznym rozstawieniu li±ci przekazuje wynik swojej pracy do kopiarki górnej. Ta jednorazowo tworzy par bocznych li±ci (w sposób naprzemienny przeksztaªcenie w 2 (L) w 3 (L)), a nast pnie kopiuje te li±cie w niesko«czono± w gór ªodygi (przeksztaªcenie w 1 (L)). Rysunek zaczerpni ty z [1], str. 365.

Rozdziaª 3 Przykªady zastosowa«fraktali w ró»nych dziedzinach nauki Dlaczego geometria jest cz sto opisywana jako zimna i sucha? Jednym z powodów jest niemo»no± opisania ksztaªtu chmury, wzgórza, brzegu morskiego, czy drzewa. Chmury nie s sferami, linie brzegowe nie s okr gami, a kora nie jest gªadka. Nawet bªyskawica nie porusza si po linii prostej. 1 Benoit B. Mandelbrot To,»e geometria ma takie problemy z przybli»aniem ksztaªtów wyst puj cych w naturze ma zwi zek z tym,»e rzeczywiste obiekty maj zupeªnie inny stopie«zªo»ono±ci, ni» obiekty, którymi geometria elementarna si zajmuje. Bior c prost, mo»emy j dowolnie skalowa a i tak pod koniec zostaniemy z t sam prost. Nic si nie zmieni. W naturze czego± takiego nie mo»na spotka w zale»no±ci od skali, pewne rzeczy mog wydawa si gªadkie, innym razem niesªychanie skomplikowane. Przykªadem mo»e by trawnik z du»ej wysoko±ci wydaje si by zielon pªaszczyzn. Zbli»ywszy si mo»na rozró»ni pojedy«cze ¹d¹bªa trawy. Jeszcze bli»ej zobaczymy pojedy«cze komórki ro±liny, a dalej cz steczki, z których zbudowana jest komórka. Aby opisa obiekty maj ce tak ró»norodne ksztaªty na przestrzeni kilku rz dów wielko±ci, pomocna mo»e by geometria fraktalna. W nast pnych punktach postaram si pokrótce opisa przykªadowe jej zastosowanie w niektórych naukach. 3.1 Biologia 3.1.1 Wymiar fraktalny czªowieka Rozwa»ania dotycz ce wymiaru pozwoliªy spojrze na znane wcze±niej zjawiska z innego punktu widzenia. Przykªadem mog by wnioski wysnute z eksperymentu badaj cego zale»no± pr dko±ci metabolizmu zwierz t (J/s) od ±redniej masy ich ciaªa (kg). Poniewa» przemiany metaboliczne zachodz w ka»dej komórce ciaªa, mo»na by- ªoby podejrzewa,»e tempo metabolizmu powinno by wprost proporcjonalne do masy ciaªa. Masa za± jest proporcjonalna do obj to±ci, która to zmienia si jak r 3, gdzie r to wspóªczynnik proporcjonalno±ci ciaªa. 1 Cytat z [1], str. 445. Sªowa te [1] podaje jako zaczerpni te z pracy B. B. Mandelbrota, The Fractal Geometry of Nature, Freeman, 1982, s.1. 36

3.1. BIOLOGIA 37 Badania na ssakach, pocz wszy od szczurów, przez psy i czªowieka, na koniach sko«czywszy, wykazaªy,»e tak nie jest. Okazaªo si,»e tempo metabolizmu jest proporcjonalne do r 2,25, czyli wzrasta wolniej ni» masa ciaªa. Spotkawszy si z tymi wynikami, M. Sernetza 2 w roku 1985 wysnuª ±miaª hipotez, mówi c,»e je±li chodzi o tempo metabolizmu, ssaki zachowuj si jak obiekty fraktalne o wymiarze D f = 2, 25. Czyli tak, jakby skªadaªy si z niezwykle popl tanej i poszarpanej na brzegach powierzchni, zwin tej w ksztaªt trójwymiarowy (w rozumieniu topologicznym). Dodatkowo przemawia za tym fakt,»e w wielu przypadkach wydajno± procesów w ciele zwierz t zale»y od powierzchni danych organów. Przykªadami mog by wydajno± oddychania (pªuca), ltrowanie krwi w nerkach, wchªanianie zwi zków od»ywczych w jelitach... Na rysunku 3.1 przedstawiªem wykres logarytmiczny pr dko±ci przemiany materii w zale»no±ci od ±redniej masy ciaªa poszczególnych ssaków. Rysunek 3.1: Wykres logarytmiczny pr dko±ci przemiany materii od ±redniej masy ciaªa poszczególnych ssaków. Rysunek zaczerpni ty z [1] str. 284 Powy»ej opisane odkrycie otwiera pole do dalszych bada«zwi zanych z tym zagadnieniem. Mo»na byªoby sprawdzi, czy wymiar fraktalny poszczególnych zwierz t ró»ni si w zale»no±ci od ich gromady, czy u zwierz t dotkni tych jak ± chorob mo»na wykry odchylenie od wyniku wyznaczonego dla próbki zwierz t zdrowych, czy ewentualne odchylenie od normy byªyby dziedziczone itp. 2 Zobacz [1], str. 282

38 ROZDZIAŠ 3. PRZYKŠADY ZASTOSOWA FRAKTALI 3.2 Chemia 3.2.1 Kondensacja octanu nbutylu na pªytce Petriego Przykªadem fraktali spotykanych w chemii mo»e by struktura powstaj ca w wyniku agregacji. Dla zilustrowania tego zjawiska opisz pewne do±wiadczenie, które w kilkana±cie minut pozwoli na uzyskanie drzewopodobnego krysztaªu zªo»onego z cz steczek cynku 3. Aby przeprowadzi to do±wiadczenie potrzebne s : 1. pªytka Petriego o ±rednicy okoªo 20 cm, gª boko±ci okoªo 10 cm, 2. 2 molowy wodny roztwór ZnSO 4, 3. octan n-butylu, 4. katoda o pªasko spiªowanej ko«cówce (mo»na do tego u»y wkªadu do oªówka automatycznego o ±rednicy 0, 5 mm.), 5. anoda cynkowa w ksztaªcie pier±cienia o ±rednicy okoªo 17 cm umieszczona na pªytce Petriego (zobacz rys. 3.2), 6. ¹ródªo pr du staªego. Rysunek 3.2: Schemat ukªadu do±wiadczalnego, pozwalaj cego zaobserwowa wzrastanie fraktala. Pªytka Petriego jest w poªowie wypeªniona rostworem siarczku cynku. Bezpo±rednio nad nim rozlany jest octan n-butylu. Ciecze nie mieszaj si ze sob. Ko«cówka katody w glowej jest pªasko ±ci ta i jest uªo»ona tak, by dokªadnie znajdowaªa si na powierzchni styku cieczy. Rysunek zaczerpni ty z [1] str. 468 Na pªytk Petriego nale»y wla okoªo czterocentymetrow warstw roztworuznso 4, a nast pnie delikatnie dopeªni octanem n-butylu. Ciecze nie wymieszaj si. Umieszczamy ko«cówk katody w ten sposób, by dokªadnie dotykaªa powierzchni styku roztworu ZnSO 4 i octanu n-butylu. Wystarczy teraz podª czy do katody i anody ¹ródªo pr du staªego i czeka, a» na powierzchni styku mi dzy cieczami zacznie rosn fraktalna struktura (zobacz 3.3). 3 Zobacz [1], str. 466-473

3.3. EKOLOGIA 39 Rysunek 3.3: Przykªadowy ksztaªt drzewiastego fraktala, który wyrósª na styku roztworu siarczku cynku i octanu n-butylu (zobacz rys. 3.2). Rysunek zaczerpni ty z [1] str. 468 Wymiar fraktalny tej struktury dla maªych warto±ci napi cia (poni»ej 8 V) wynosi okoªo 1, 7. Dla napi cia powy»ej 8 V wymiar fraktalny struktury gwaªtownie ro±nie. Agregacja cz stek jest polem bada«dziedzin zwi zanych z in»ynieri materiaªow, chemi polimerów, immunologi... Wiedza o sposobach agregacji cz stek cynku mo»e te» pomóc w opracowaniu technik przedªu»aj cych»ywotno± bateriom i urz dzeniom nara»onym na powstawanie tego typu osadu. 3.3 Ekologia 3.3.1 Chmury i deszcz Zewsz d otaczaj nas przedmioty o cechach fraktalnych. Jest nim kalaor, grona winogron, korony drzew... S one jednak fraktalne jedynie w pewnej skali, nie przekraczaj cej dwóch-trzech rz dów wielko±ci. Ewenementem, je±li chodzi o obiekty zyczne s chmury. Badania Shauna Levojoy z wykorzystaniem satelity wykazaªy,»e s one fraktalne a» w zakresie ponad siedmiu rz dów wielko±ci. 4 To jednak nie wszystko. Okazaªo si bowiem,»e zachowanie si chmur równie» jest fraktalne. Padaj cy z nich deszcz nie spadaª bowiem w sposób ci gªy, ale nieregularnymi zrywami, przy czym zmiany nat»enia opadów w krótkich oraz w dªu»szych przedziaªach czasu byªy do siebie podobne. Czyli dynamika opadów deszczu wykazywaªa cechy samopodobie«stwa! Równie» obszar, na którym padaª deszcz nie byª jednolity. Granic mi dzy obszarami na których padaªo, od tych, które unikn ªy deszczu okazaªa si niebywale poszarpana bli»ej jej byªo do fraktali, ni» do obiektów znanych z kursów geometrii elementarnej, takich jak koªo, elipsa czy kwadrat. Jak na razie mo»na te informacje traktowa jako ciekawostk. Jednak zrozumienie takich zjawisk mo»e polepszy opracowywane modele ekologiczne i pozwoli w lepszy sposób oceni zagro»enie np. kwa±nymi deszczami. 4 Zobacz [3], str. 245-246

40 ROZDZIAŠ 3. PRZYKŠADY ZASTOSOWA FRAKTALI 3.4 Informatyka 3.4.1 Sprawdzanie jako±ci liczb pseudolosowych Cz sto zachodzi potrzeba u»ycia liczb losowych. Potrzeba ich do stworzenia kluczy w systemie szyfrowania RSA, w metodach Monte Carlo, w symulacjach zjawisk zycznych... Wbrew pozorom stworzenie ci gu liczb losowych nie jest problemem trywialnym. Ci g taki musi skªada si z liczb nie maj cych»adnego zwi zku z sob oraz prawdopodobie«stwo wylosowania ka»dej z liczb powinno by takie same. Do tworzenia ci gu liczb losowych mo»na wykorzysta urz dzenia pomiarowe (mierzy si nimi ró»ne zjawiska losowe natury zycznej, np. ruchy termiczne albo rozpad promieniotwórczy) albo generator programowy, w którym u»ywa si (nierzadko skomplikowanych) przeksztaªce«matematycznych. W tym drugim procesie mi dzy liczbami w ci gu tak naprawd jest pewna prawidªowo±, jednak jest ona na tyle skomplikowana,»e w wi kszo±ci przypadków mo»na j zaniedba. Liczby takie, w odró»nieniu od prawdziwych liczb losowych, nazywa sie liczbami pseudolosowymi. Aby zwerykowa jako± liczb pseudolosowych mo»na u»y ich do wytworzenia fraktali z wykorzystaniem gry w chaos (zobacz 1.3.4). Wystarczy wtedy jeden rzut oka na wynik pracy, by przekona si jak bardzo losowe byªy te liczby. Je±li prawidªowo± mi dzy kolejnymi liczbami w ci gu jest zbyt oczywista lub prawdopodobie«stwo wyst pienia liczb nie jest równe, stopie«zakolorowania fraktalu b dzie niejednolity (zobacz rysunek 3.4). Rysunek 3.4: Próba stworzenia trójk ta Sierpi«skiego z wykorzystaniem generatora liczb pseudolosowych o marnej jako±ci. Zakolorowany zostaª tylko fragment fraktala. W ten wªa±nie sposób mo»na ªatwo sprawdza losowo± próbki liczb (o ile jest ona wi ksza ni» kilkaset). Rysunek zaczerpni ty z [1] str. 422 3.4.2 Wykrywanie prawidªowo±ci w pozornie losowych ci gach liczb Stosuj c technik z ostatniego podpunktu mo»na przeprowadzi odwrotne badania czy dany ci g liczb, mimo»e wygl da na losowy, nie jest jednak wynikiem jakiego±

3.4. INFORMATYKA 41 deterministycznego procesu. Wystarczy u»y danych liczb do gry w chaos i sprawdzi stopie«zakolorowania fraktalu. W przypadku niejednorodno±ci w jego pokryciu oczekiwa mo»na,»e kolejne liczby w ci gu s w jaki± sposób ze sob powi zane. Technika taka mo»e zosta u»yta do przesiewania szumu pod kontem ukrytych w nim informacji. Je±li tylko jaka± informacja w szumie byªaby zawarta, zaraz zostanie to uwidocznione na danym rysunku. 3.4.3 Cieniowanie Kolejnym miejscem gdzie fraktale znalazªy zastosowanie jest graka komputerowa. Nie mówi przy tym o wygl dzie samych fraktali (sk din d bardzo interesuj cym), ale o mo»liwo±ciach jakie daj w codziennej pracy grakom. Przykªadem mo»e by cieniowanie obrazów metod binarn (czyli w przypadku, kiedy mo»emy stawia tylko biaªe lub czarne piksele). Najbardziej prymitywna metoda cieniowania w takim przypadku polega na przechodzeniu przez obrazek linia po linii i dodawaniu do niego co pewien odst p czarnych pikseli. Im g ±ciej stawiane s czarne piksele, tym ciemniejsz barw uzyskuje dany fragment obrazka. Technika ta jednak nie daje zadowalaj cych rezultatów. Poniewa» piksele stawiane s w sposób bardzo regularny, na obrazie tworz si tzw. artefakty 5, czyli wzory stworzone z postawionych pikseli. Aby temu zaradzi nale»y wymy±li inny sposób na przej±cie po caªym obrazku ni» linia za lini. Pomocna w rozwi zaniu tego problemu okazaªa si krzywa Hilberta (zobacz punkt 2.6 na str. 31). Jej mniej oczywisty przebieg uniemo»liwia powstawanie na obrazie artefaktów (zobacz rys. 3.5). Rysunek 3.5: Na obrazku zacieniowano technik binarn pusty kwadrat, tak aby w lewym dolnym rogu byª on biaªy, a w górnym prawym czarny. Po lewej stronie u»yto prymitywnej techniki linia za lini na obrazku widoczne s artefakty. Prawy obrazek cieniowano z wykorzystaniem krzywej Hilberta. Rysunek zaczerpni ty z [1] str. 149 3.4.4 Kodowanie obrazów Istniej dwa podstawowe typy graki komputerowej: rastrowa oraz wektorowa. 5 Po ang. digital artifact.

42 ROZDZIAŠ 3. PRZYKŠADY ZASTOSOWA FRAKTALI Graka rastrowa to np. popularne bitmapy. Obraz budowany jest z pojedynczych pikseli. Istnieje potrzeba zapisania koloru ka»dego u»ytego piksela, co powoduje,»e obraz w grace rastrowej zajmuje du»o miejsca na dysku. W grace wektorowej podstaw, z której zbudowany jest obraz, jest zbiór prostych ksztaªtów (tzn. prymitywów), takich jak punkt, odcinek, okr g, trójk t... Pozwala to na znaczn kompresj obrazków, które skªadaj si wªa±nie z takich prostych obiektów. Problem wyst puje, gdy chcemy na obrazku przedstawi du»o bardziej skomplikowane ksztaªty. Pomocna mo»e by w takich przypadkach geometria fraktalna. Zamiast pami ta poªo»enie ka»dego z pikseli, wystarczy zapisa przepis na wytworzenie odpowiedniego fraktala. Innym pomysªem jest szukanie w obrazku fragmentów samopodobnych do innych fragmentów. Przykªadowo maj c zdj cie chmury, wystarczy zapami ta maªy fragment obrazka, a nast pnie (jako,»e chmury s obiektami samopodobnymi) przepis na odpowiedni transformacj takiego kawaªka, by odtworzy caªy obrazek. W zale»no±ci od tego, jaki obiekt przedstawia obrazek, zysk z takiej kompresji mo»e by znaczny. Wad kompresji z zastosowaniem geometrii fraktalnej jest znaczny udziaª procesora podczas dekodowania obrazu. Konieczne bowiem jest budowanie fraktali oraz transformacje fragmentów obrazu. 3.4.5 Tworzenie realistycznych ksztaªtów Geometria fraktalna znakomicie nadaje si do tworzenia skomplikowanych obiektów, które w bardzo dobrym stopniu przypominaj rzeczywiste przedmioty lub zjawiska. Przykªadem mo»e by sama paprotka Barnsleya (zobacz 2.7). Obiekty stworzone t technik posiadaj szereg zalet: ich ksztaªty s ju» z natury bardzo skomplikowane, wi c ªatwiej jest za ich pomoc przedstawia obiekty rzeczywiste, które rzadko kiedy s gªadkie (np. drzewa, krzewy, góry, brzegi morskie... ). Po drugie zwi kszenie rozmiaru rysunku nie odbija sie negatywnie na jego jako±ci fraktale bowiem zachowuj swój stopie«skomplikowania niezale»nie od skali. Na koniec aby zapisa taki rysunek, wystarczy zapami ta sposób stworzenia danego fraktala, co pozwala znacznie zredukowa rozmiary rysunku bez strat jako±ci (w porównaniu z konkurencyjnymi technikami). Problemem mo»e by tylko u»ycie procesora, zwªaszcza przy próbach przedstawienia bardziej skomplikowanych ksztaªtów. Przykªadowe rysunki powstaªe z wykorzystaniem techniki wektorowej przedstawiam na rys. 3.6, 3.7. 3.5 In»ynieria 3.5.1 Wydobycie ropy naftowej Ropa naftowa zalega w porowatych skaªach ukrytych mi dzy nieprzepuszczalnymi warstwami skaª. Aby wydoby rop wykonuje si odwiert, wydobywa nadmiar gazu ziemnego zebranego nad rop, a nast pnie pompuje si do warstw ropono±nych pod du-»ym ci±nieniem wod. Ta, jako ci»sza wypiera rop na powierzchni (zobacz rys. 3.8). Wydawaªoby si,»e technik t mo»na wydoby caª rop ze zªo»a. W praktyce okazaªo si jednak,»e ropy udaje si wydoby tylko pewn cz ±. Spowodowane jest to tym,»e woda przepªywa przez obszar wypeªniony rop w bardzo skomplikowany sposób. Najpierw tworzy kolisty dysk. 6 Gdy wody robi si wi cej i promie«dysku 6 Zªo»a ropy uªo»one s horyzontalnie oraz nie maj zbyt du»ej grubo±ci. Dlatego te» caªy proces przepªywu wody w warstwie ropono±nej mo»na przybli»y procesem dwuwymiarowym

3.5. IN YNIERIA 43 Rysunek 3.6: Drzewa stworzone z wykorzystaniem geometrii fraktalnej. Rysunek zaczerpni ty z http://commons.wikimedia.org, dost p 12 sierpnia 2007 r. Rysunek 3.7: Drzewa stworzone z wykorzystaniem geometrii fraktalnej. Rysunek zaczerpni ty z http://commons.wikimedia.org/, dost p 12 sierpnia 2007

44 ROZDZIAŠ 3. PRZYKŠADY ZASTOSOWA FRAKTALI Rysunek 3.8: Schemat wydobycia ropy naftowej spod dna morskiego. 1 to platforma wiertnicza, 2 to warstwy skalne, 3 to szyby, a 4 to gaz i ropa uwi zione w porowatej skale. Obrazek zaczerpni ty z polskiej wikipedii, http://pl.wikipedia.org/wiki/ropa_naftowa, dost p 9 sierpie«2007 Rysunek 3.9: Schemat fraktalu, który tworzy woda wpompowywana do warstwy ropono±nej. Widok z góry. Obrazek zaczerpni ty z [3], str. 238.