FZYCZNE PODSAWY ZALEŻNOŚC OPSUJĄCYCH NAĘŻENE PROMENOWANA HAMOWANA Dominik SENCZYK Politehnika Poznańska Słowa kluzowe: natężenie promieniowania rentgenowskiego, promieniowanie hamowania, krótkofalowa grania widma iągłego, długość fali promieniowania, rozkład energii w widmie promieniowania hamowania według jego energii, zęstotliwośi lub długośi fal, sprawność lampy rentgenowskiej. Promieniowanie hamowania, widmo i harakterystyzne wielkośi (natężenie, położenie maksimum natężenia, krótkofalowa grania widma) Promieniowanie rentgenowskie jest promieniowaniem elektromagnetyznym o długośi fali -4 Å i energii kwantów od pojedynzyh elektronowoltów do setek megaelektronowoltów. Promieniowanie rentgenowskie to przede wszystkim promieniowanie hamowania, a pozynają od pewnej minimalnej wartośi napięia wzbudzenia również harakterystyzne promieniowanie rentgenowskie. Widma obu tyh promieniowań nakładają się na siebie, o pokazuje rys. przykładowo dla lampy z anodą molibdenową, do której przyłożono różnej wielkośi napięia. Przy napięiah kv i 5 kv obserwujemy jedynie widmo iągłe, pohodząe z proesu hamowania swobodnyh elektronów. Po przekrozeniu napięia wzbudzenia serii K promieniowania harakterystyznego, wynosząego dla molibdenu U wzb 9,9 kv, na tle widma iągłego pojawiają się trzy ostre maksima tego promieniowania dla fal o długośiah: 6,5 pm, 7,96 pm i 7,54 pm. Rys.. Widmo promieniowania rentgenowskiego z lampy o anodzie molibdenowej
Dalej będziemy zajmowali się wyłąznie promieniowaniem hamowania. Widmo tego promieniowania harakteryzują następująe ehy: a) ma ono harakter iągły w ałym zakresie długośi fal, b) widmo to opisuje krzywa przedstawiająa nieliniową zależność natężenia promieniowania od długośi fali, która od strony krótkih fal jest wyraźnie ogranizona (jest to tzw. krótkofalowa grania widma iągłego promieniowania hamowania), ma maksimum przy pewnej długośi fali, po przekrozeniu którego natężenie promieniowania dość szybko maleje wraz ze wzrostem długośi fali. Wymienione ehy widma promieniowania hamowania wyjaśnimy w dalszej zęśi.. Natężenie promieniowania rentgenowskiego, definija, natężenie na jednostkowy przedział energii, zęstotliwośi i długośi fali, ih wzajemne przelizanie Zanim przejdziemy do opisu i wyjaśnienia harakterystyznyh eh tego widma, wpierw przedstawimy niektóre wielkośi stosowane do opisu promieniowania rentgenowskiego oraz sposoby opisu widm tego promieniowania. Jedną z głównyh wielkośi stosowanyh do opisu promieniowania rentgenowskiego jest natężenie promieniowania. Natężeniem promieniowania nazywamy ilość energii tego promieniowania, która w iągu jednostki zasu (s) pada na jednostkową powierzhnię (m ) ustawioną prostopadle do kierunku biegu tego promieniowania. Natężenie promieniowania rentgenowskiego jest zazwyzaj określane jako natężenie E, lub przypadająe na jednostkowy przedział energii de, zęstotliwośi d lub długośi fali : E de d d d, () gdzie: d - zmiana natężenia promieni. Z powyższej równośi otrzymujemy następująe wielkośi: d d d E,,, () de d d a wię rozkład energii w widmie promieniowania hamowania według jego energii, zęstotliwośi lub długośi fal jest określony przez spektralną gęstość promieniowania wyrażoną wzorami (). Na rysunku jest stosowany ostatni sposób opisu, a wię na osi rzędnyh odłożono zmianę energii promieniowania przypadająą na jednostkowy przedział długośi fali, a na osi odiętyh długość fali. Podane równośi () umożliwiają wyrażanie jednyh z nih (np. E ) przez inne (np. lub ). W tym elu stosuje się następująe zależnośi: a) Z równośi () mamy: E d, () de lez E h, (4) gdzie: E - energia promieniowania [J], h - stała Planka h 6,66 4 J s, - zęstotliwość [s - ], skąd de d h (5)
i wobe tego wzór () przyjmuje postać: E. (6) h b) Z równośi () mamy: E d, (7) de lez E h h, (8) gdzie: - prędkość światła,9979458 8 m s, - długość fali [m], skąd de d h (9) i wobe tego wzór (7) przyjmuje postać: h E. () ) Z równośi () mamy: d χ, () d lez, () skąd d d () i wobe tego wzór () przyjmuje postać: χ. (4) d) Z równośi () mamy:
lez ze względu na wzory (4) i (5) mamy: e) Z równośi () mamy: lez ze względu na wzory (8) i (9) mamy: f) Z równośi () mamy: lez ze względu na wzory () i () mamy: de E, (5) d h E. (6) de E, (7) d h E. (8) d, (9) d. () Podane równośi pozwalają wię rzezywiśie na wyrażanie jednyh wielkośi określająyh natężenie promieniowania przez inne. Otrzymane zynniki przelizeniowe zestawiono w tabliy. ablia Czynniki umożliwiająe wzajemne przelizanie wielkośi występująyh w równośi () Oblizana Czynniki przelizeniowe a dla danej wielkośi x wielkość y ax E E h h h h. Ciągły harakter widma promieniowania hamowania w ałym zakresie długośi fal Rozpozniemy od iągłego harakteru widma promieniowania hamowania. Jest on związany z mehanizmem powstawania tego promieniowania. 4
Otóż promieniowanie hamowania powstaje podzas hamowania swobodnyh elektronów o dużej energii kinetyznej i stąd jego nazwa. Proes hamowania według modelu kwantowego stanowi wiele skokowyh zmian energii kinetyznej elektronu, spowodowanyh kolejnymi zderzeniami z atomami materiału anody. Podzas każdego takiego zderzenia zmiana energii E jest wypromieniowana w postai kwantu o energii h, przy zym E h, () gdzie: h - stała Planka h 6,66 4 J s, - zęstotliwość [s - ]. Każdy elektron trai energię podzas różnej lizby zderzeń. Został on przyspieszony w polu elektryznym wytworzonym różnią potenjałów U. Pole to wykonało wię praę eu i wobe tego ałkowity bilans energetyzny dla danego elektronu możemy zapisać w postai: eu mv h + h + L + h n, () gdzie: e ładunek elektronu, U napięie przyłożone do lampy rentgenowskiej, m masa elektronu, v prędkość elektronu, h i energia kwantu promieniowania hamowania emitowanego w i-tym zderzeniu, n lizba zderzeń danego elektronu. W proesie wielokrotnego zderzenia elektronu z atomami anody powstaje wię promieniowanie rentgenowskie o różnyh energiah (a wię na podstawie wzoru (8) o różnyh długośiah fali), o tłumazy iągłe widmo tego promieniowania. 4. Krótkofalowa grania widma iągłego promieniowania hamowania Elektron trai energię w wielu zderzeniah z atomami materiału anody, lez może straić ałą energię w jednym zderzeniu, a wię gdy n ; w tym przypadku z równania () mamy: h eu h max min, () skąd: h min. (4) eu Jest to najkrótsza długość fali promieniowania rentgenowskiego mogąa powstać podzas zasilania lampy rentgenowskiej napięiem U. Odpowiada ona krótkofalowej graniy widma iągłego promieniowania hamowania. Graniznej długośi fali odpowiada granizna zęstotliwość : eu. (5) h 5
Po podstawieniu do wzorów (4) i (5) wartośi stałej Planka, prędkośi światła i ładunku elektronu stwierdzamy, że granizna długość fali i granizna zęstotliwość są związane z napięiem na lampie rentgenowskiej U następująymi zależnośiami: 6,4, (6) U,4 4 U. (7) Z powyższyh rozważań wynika, że rzezywiśie widmo promieniowania hamowania jest iągłe i od strony krótkih fal ogranizone tzw. krótkofalową granią widma, określoną wzorem (). Wynika z niego, że krótkofalowa grania widma promieniowania hamowania zależy tylko od wartośi napięia anodowego lampy rentgenowskiej: im wyższe napięie, tym mniejsze min, a wię otrzymujemy promieniowanie bardziej przenikliwe. Pokazuje to rysunek, na którym przedstawiono widmo iągłe promieniowania hamowania uzyskane z lampy rentgenowskiej o anodzie wolframowej dla różnyh napięć. Rys.. Widmo iągłe promieniowania hamowania uzyskane z lampy rentgenowskiej o anodzie wolframowej przy różnyh napięiah Z powyższego rysunku widać, że przy wzrośie napięia anodowego krótkofalowa grania widma przesuwa się ku krótszym falom i jednoześnie rośnie natężenie emitowanyh promieni. Shematyznie pokazują to rysunki i 4. Rys.. Shemat wpływu zwiększenia napięia pray lampy rentgenowskiej na natężenie emitowanego promieniowania hamowania przy stałym natężeniu prądu anodowego 6 Rys. 4. Shemat wpływu zwiększenia natężenia prądu płynąego w lampie rentgenowskiej na natężenie promieniowania hamowania przy stałym napięiu anodowym
5. Natężenie promieniowania hamowania, wyprowadzenie wzorów, położenie maksimum natężenia widma iągłego i jego związek z krótkofalową granią tego widma eoretyzny rozkład energii rentgenowskiego promieniowania hamowania według zęstotliwośi dla ienkiej anody został wyprowadzony przez Kramersa [] na podstawie danyh doświadzalnyh Kuhlenkampffa []. Spektralną gęstość promieniowania widma iągłego promieniowania rentgenowskiego, generowanego przy natężeniu prądu anodowego równego i, w anodzie wykonanej z pierwiastka o lizbie atomowej Z, wyraża wzór []: d AiZ[ ( ) + BZ], (8) d gdzie: granizna zęstotliwość widma, określona ze wzoru (5), A, B stałe. W oryginalnyh praah Kuhlenkampffa zęstotliwość granizna widma iągłego promieniowania hamowania była oznazana symbolem, natomiast obenie - ze względów językowyh (skrót oznaza: krótkofalowa grania widma) - stosujemy symbol. Podobnie stała A była oznazana symbolem C. Składnik BZ w nawiasie prostokątnym jest istotny tylko w pobliżu krótkofalowej graniy widma. W przybliżonyh oblizeniah można go zaniedbać i wzór (8) przedstawić w postai: d AiZ( ). (9) d Wzory (8) i (9) pozwalają na uzyskanie wyrażenia dla natężenia promieniowania hamowania i jego zależnośi od napięia przyłożonego do lampy rentgenowskiej. W tym elu należy wyrażenia (8) lub (9) sałkować w graniah zmiany zęstotliwośi, a wię w graniah od zera do wartośi. Oba przypadki rozpatrzymy poniżej. a) Dokonajmy wspomnianej operaji wpierw na wyrażeniu uproszzonym (9). Mamy: d AiZ ( ) d AiZ AiZ AiZ. () Dla krótkofalowej graniy widma iągłego promieniowania hamowania jest słuszna równość: h eu, () która oznaza, że ała energia elektronu, którą nabył podzas przyspieszania w polu elektryznym wytworzonym różnią potenjałów U, jest zamieniana w energię kwantu promieniowania rentgenowskiego o zęstotliwośi. Z tej równośi otrzymujemy: eu () h i po podstawieniu do wyrażenia () przyjmuje ono postać: 7
e h AiZ U A izu, () gdzie: A - nowa stała, A Ae / h. W ten sposób otrzymane wyrażenie pokazuje, że natężenie promieniowania hamowania zależy wprost proporjonalnie od natężenia prądu płynąego przez lampę rentgenowską, kwadratu napięia, przy którym ona prauje i lizby porządkowej pierwiastka, z którego wykonano anodę tej lampy. Zależność ta jest powszehnie stosowana, lez zęsto podaje się, że jest ona otrzymana wyłąznie na drodze doświadzalnej. Obene rozważania pokazują, że ma ona również uzasadnienie teoretyzne. b) Z kolei rozpatrzmy pełne wyrażenie (8). Całkujemy je: d AiZ [( ) + BZ] d AiZ + BZ AiZ + + BZ AiZ BZ. (4) Częstotliwość odpowiadająą krótkofalowej graniy widma iągłego promieniowania hamowania wyrażamy za pomoą wzoru () przez różnię potenjałów U i otrzymujemy: e e AiZ U + BZ U AiZU + A iz U h h, (5) gdzie: A, A - nowe stałe, A Ae / h, A ABe / h. Okazuje się wię, że w natężenie promieniowania hamowania wnosi określony wkład również drugi składnik w wyrażeniu (8), którego wartość zależy wprost proporjonalnie od napięia pray lampy rentgenowskiej i kwadratu lizby porządkowej pierwiastka jej anody. Widmo iągłe promieniowania lampy rentgenowskiej nieo różni się od teoretyznego: w długofalowej zęśi widma wskutek pohłaniania promieniowania w materiale anody oraz w szklanym i metalowym korpusie lampy, w krótkofalowej zęśi widma wskutek straty energii na wzbudzenie harakterystyznego promieniowania rentgenowskiego materiału anody. Dla elów oblizeń wymienione odhylenia widma doświadzalnego od teoretyznego nie mają istotnego znazenia. Ze wzorów () można otrzymać rozkład natężenia rentgenowskiego promieniowania hamowania według długośi fal: a wię: Częstotliwość i długość fali wiąże wzór (): d d, (6) d. (7) d 8
, z którego - zgodnie z wyrażeniem () - mamy: d d. Po podstawieniu tego wyrażenia do wzoru (7) przyjmuje on następująą postać:. (8) Wzór (8) pozwala na uzyskanie wyrażenia opisująego rozkład natężenia promieniowania hamowania według długośi fal. Możemy do niego podstawić albo pełne wyrażenie (8) albo wyrażenie uproszzone (9) bez składnika BZ w nawiasie kwadratowym w wyrażeniu (8). a) Analiza wyrażenia (9) Dokonamy wpierw analizy wyrażenia uproszzonego (9). Po podstawieniu go do wzoru (8) mamy: AiZ ( ), a po podstawieniu wyrażenia (), które umożliwia wyrażenie zęstotliwośi przez długość fali, otrzymujemy: AiZ AiZ AiZ. (9) Z otrzymanego wyrażenia (9) można uzyskać enną informaję, dotyząą położenia maksimum natężenia widma iągłego promieniowania hamowania i jego związek z krótkofalową granią widma iągłego. W tym elu wyznazymy ekstremum wyrażenia (9). Warunkiem jego istnienia jest spełnienie równośi: Oblizmy wię pohodną natężenia względem długośi fali: d. (4) d d d AiZ ( ) 6 AiZ + 6. Pohodna ta przyjmuje wartość zero, gdy liznik drugiego ułamka jest równy zero, a wię gdy: +, 9
skąd po uproszzeniu: max. (4) Wyprowadziliśmy wię znany wzór określająy położenie maksimum natężenia widma iągłego promieniowania hamowania i wiążąy je z krótkofalową granią tego widma. b) Analiza wyrażenia (8) Z kolei rozważymy pełne wyrażenie (8). Po podstawieniu go do wzoru (8) mamy: AiZ [( ) + BZ], a po podstawieniu wyrażenia (), które umożliwia wyrażenie zęstotliwośi przez długość fali, otrzymujemy: AiZ + BZ AiZ + BZ AiZ + BZ. (4) Z otrzymanego wyrażenia (4) można również uzyskać informaję dotyząą położenia maksimum natężenia widma iągłego promieniowania hamowania i jego związek z krótkofalową granią widma iągłego. W tym elu wyznazamy ekstremum wyrażenia (4). Warunkiem jego istnienia jest spełnienie równośi (4), a wię należy oblizyć pohodną natężenia względem długośi fali: d d AiZ ( ) 6 + BZ AiZ 4 + 6 BZ. Pohodna ta ma wartość zero, gdy wyrażenie w nawiasie kwadratowym wynosi zero, a wię gdy: + 6 BZ, skąd po przekształeniah mamy: + BZ +, a wię ostateznie
max. (4) + BZ Otrzymane wyrażenie pokazuje, że określony wkład w położenie maksimum natężenia widma iągłego promieniowania hamowania wnosi również składnik BZ w wyrażeniu (8). Jeżeli mianownik ułamka w wyrażeniu (4) jest powiększony o składnik BZ, to wartość tego ułamka nieo zmaleje, a wię max przesunie się ku krótszym falom. Jeżeli składnik BZ pominąć, to ze wzoru (4) otrzymujemy wyrażenie identyzne ze wzorem (4). 6. Natężenie promieniowania hamowania generowanego podzas zasilania lampy rentgenowskiej napięiem stałym i zmiennym Podzas zmiany w zasie natężenia prądu anodowego i i(t) i napięia U U(t) rozkład natężeń (t) i (t) również się zmienia. Podzas okresowyh zmian natężenia prądu i napięia średnia w okresie wartość natężenia promieniowania może być wyznazona ze wzoru: do którego podstawiamy uproszzone wyrażenie (9): () t dt, (44) AZ AZ e h () t dt i()( t ) dt i() t U() t dt AZ e U t h ()() i t dt i() t dt, (45) Podobnie możemy uzyskać wyrażenie dla natężenia promieniowania korzystają z wyrażenia dla (t): Po podstawieniu wyrażenie (9) otrzymujemy: () t dt. (46) AZ () t dt i() t dt i() t dt i() t dt AZ AZ e AZ e h ()() () ()() () U t i t dt i t dt U t i t dt i t dt. (47) h h e Jeżeli prawa zmian natężenia prądu i napięia w zasie są znane, to ze wzorów (45) i (47) można oblizyć średnią wartość gęstośi spektralnej natężenia promieniowania hamowania.
Dla sinusoidalnej zmiany napięia w zasie wzory (45) i (47) przyjmują postać: sin ( ) AZi aros, (48) π sin. (49) π ( ) CUi aros Stosunek spektralnyh gęstośi promieniowania hamowania generowanyh za pomoą napięia sinusoidalnego i stałego określa wyrażenie (5), którego wartośi podano w tabliy : ( ) ( ) aros π sin (5) ablia Stosunek [%] spektralnyh gęstośi natężenia dla napięia sinusoidalnie zmiennego i stałego oraz różnyh wartośi / ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin sin sin ( ) ( ) ( ) ( ) 97,8 84 4,9 6 9, 6 5, 95, 8 7, 56 4, 5,5 94 4, 76 9,8 5 4,5 8 5, 9 6, 7, 48 44,5 4 54,5 9 9, 68 4,5 44 46,5 56, 88, 64 6,5 4 48, 6 57,5 Zależność (5) przedstawiono grafiznie na rys. 5. Widać z niego, że stosunek ( ) / ( ) dla wszystkih / ma wartośi mniejsze od %, o oznaza, że ałkowite natężenie promieni rentgenowskih dla napięia sinusoidalnego jest mniejsze niż dla napięia stałego. sin sin ()/() [%] 6 5 4 4 6 8 / Rys. 5. Wykres zależnośi (5) 7. Rozkład przestrzenny natężenia promieniowania hamowania
Rozkład przestrzenny natężenia promieniowania hamowania można wyznazyć teoretyznie. Elektron zbliżająy się do danego atomu, na którym ulega rozproszeniu, porusza się w polu sił atomu. Pod ih wpływem uzyskuje przyspieszenie a: Ze a, (5) mr gdzie: Z - lizba porządkowa pierwiastka anody lampy rentgenowskiej, e, m - ładunek i masa elektronu, r - promień wodząy elektronu określająy jego położenie. Podzas ruhu elektronu z przyspieszeniem promieniuje on energię w postai kwantu promieniowania elektromagnetyznego. Natężenie pola elektryznego E i magnetyznego H tej fali elektromagnetyznej w pewnym punkie przestrzeni wynoszą: ea H E sin ϕ, (5) R gdzie: a przyspieszenie elektronu, R promień poprowadzony od elektronu do rozważanego punktu przestrzeni, w którym są określane wartośi natężeń E i H, ϕ kąt zawarty między kierunkiem przyspieszenia elektronu i promieniem R. Należy zaznazyć, że we wzorze (5) natężenie pola elektryznego jest wyrażone w jednostkah elektrostatyznyh, natomiast natężenie pola magnetyznego w jednostkah elektromagnetyznyh (dzięki temu unikamy w zapisah niewygodnyh współzynników lizbowyh), o nie wpływa na harakter wniosków. Natężenie promieniowania elektromagnetyznego jest określone wartośią wektora gęstośi energii (tzw. wektor Poyntinga-Umowa): e a ϕ EH sin ϕ. (5) 4π 4π R Dla bardzo dużyh prędkośi elektronów wprowadza się poprawkę zgodnie z teorią względnośi i wzór (5) przyjmuje postać: e a sin ϕ ϕ, (54) 4π R ( β os ϕ) 6 gdzie: v - prędkość elektronu, - prędkość światła, β v/. Przedstawimy teorię rozkładu natężenia widma iągłego w przestrzeni dla przypadku masywnej anody. Podał ją Sommerfeld [, 4], który pominął jednak zmianę pozątkowego kierunku ruhu elektronów. eoria ta może wię być stosowana tylko wtedy, gdy anody są wykonane z lekkih pierwiastków. Dla innyh pierwiastków jest to teoria przybliżona, która jednak dość dobrze opisuje obserwowane fakty doświadzalne. Wyznazymy natężenie promieniowania w pewnym punkie B (rys. 6) położonym w odległośi R od elektronu e poruszająego się wzdłuż osi X prostopadłej do powierzhni anody AA.
Rys. 6. Shemat do oblizenia rozkładu natężenie promieniowania hamowania w przestrzeni W elu wyznazenia natężenia i emitowanego przez wszystkie hamowane elektrony należy sałkować wyrażenie (54): ϕ i D dt. (55) gdzie: D - stała, a ałkowanie jest wykonywane po ałym zasie proesu hamowania aż do ałkowitego zahamowania elektronów. Nieh przyspieszenie elektronu w pewnej hwili t wynosi a. Jeżeli fala elektromagnetyzna doszła do pewnego punktu w przestrzeni przebywają drogę R, to upłynął zas R/ i wobe tego zas, w którym ta fala znalazła się w rozważanym punkie wynosi: Po obustronnym zróżnizkowaniu tej równośi mamy: R t t +. (56) dr dt dt +. (57) Oznaza to, że w zasie dt, w którym elektron przesunie się o v dt, odległość R elektronu do punktu B zwiększy się o dr. Z rysunku wynika, że odległość ta wynosi: dr v os ϕ dt β os ϕ dt i po podstawieniu tego wyrażenia do równania (57) mamy: dr dt dt + dt β os ϕ dt dt ( β os ϕ). (58) Należy wię wyznazyć wartość dt. Korzystamy z zależnośi: v d dv dβ a, dt dt dt skąd: d t dβ. (59) a 4
Po podstawieniu wyrażenia (59) do równośi (58) otrzymujemy: Wyrażenia (6) i (54) podstawiamy do wzoru (55): dt ( βos ϕ) dβ. (6) a β e a dβ i D ϕdt D sin ϕ π. (6) 5 4 R ( β os ϕ) W elu wyznazenia wartośi i należy wię wpierw oblizyć wartość występująej ałki. Dokonamy tego podstawiają β os ϕ u, (6) skąd: u β os ϕ i wobe tego: Należy również odpowiednio zmienić granie ałkowania: - dolna grania: dla β z równośi (6) mamy u, - górna grania: dla β z równośi (6) mamy u - βosϕ. Możemy wię oblizyć wartość ałki du d β. (6) os ϕ β dβ ( β os ϕ) 5 u u 5 du os ϕ os ϕ u du 5 u os 4 ϕ 4 u u 4 os 4 ϕ u. (64) 4 4 os ϕ ( β os ϕ) Po podstawieniu tego wyrażenia do wzoru (6) otrzymujemy rozkład w przestrzeni natężenie promieniowania hamowania emitowanego z masywnej anody: e a sin ϕ i D. (65) 6π R os ϕ ( β os ϕ) 4 Jeżeli anoda jest masywna, to elektrony rozpraszają się w niej w miarę przehodzenia do oraz głębiej położonyh warstw anody i zmienia się harakter rozkładu energii promieniowania w przestrzeni. eoretyznie kątowy rozkład natężenia promieniowania hamowania otrzymywanego z masywnej anody jest opisany równaniem (65). W miarę przehodzenia elektronów do oraz głębszyh warstw anody obserwuje się odstępstwo od tej zależnośi. W elu oeny roli wspomnianego rozpro- 5
szenia elektronów w materiale anody skorzystamy z danyh doświadzalnyh określająyh lizbę elektronów rozproszonyh w anodzie w zakresie kątów od 9 o do 8 o. Otrzymaną zależność pokazuje rys. 7. Na osi rzędnyh na tym rysunku odłożono lizbę atomową Z pierwiastka będąego anodą lampy rentgenowskiej, a na osi odiętyh lizbę elektronów p [%] rozproszonyh w anodzie. Rys. 7. Zależność lizby elektronów p [%] rozproszonyh wstez w masywnej anodzie lampy rentgenowskiej od lizby atomowej Z pierwiastka Z rysunku 7 widać, że lizba elektronów p rozproszonyh wstez szybko rośnie wraz ze wzrostem lizby atomowe Z od Z 4 (Be) do Z 9 (Cu). Dalszemu wzrostowi Z również towarzyszy wzrost tej lizby elektronów, lez szybkość wzrostu ulega zmniejszeniu. Oznaza to, że zmianę pozątkowego kierunku ruhu elektronów można pominąć w przypadku anod wykonanyh z lekkih pierwiastków, natomiast nie można pominąć w przypadku anod z iężkih pierwiastków. Przehodzą do rozpatrzenia kątowego rozkładu natężenia w przypadku masywnej anody należy uwzględnić, że promieniowanie o danej długośi fali może być wysyłane przez elektron nie do hwili ałkowitego zatrzymania, lez do hwili osiągnięia takiej prędkośi, przy której jego energia kinetyzna spełnia warunek gdzie: mv m β h h, (66) m m, (67) β m - masa spozynkowa elektronu. Z równośi (66) możemy wyznazyć granizną wartość prędkośi względnej elektronu β odpowiadająej danej długośi fali promieniowania: β h m. (68) W elu otrzymania rozkładu kątowego natężenia należałoby dokonać sałkowania wyrażenia (54) w graniah od β do β. Sommerfeld [, 4] uprośił ten problem zastępują to ałkowanie zwykłym uśrednianiem w wyrażeniu (54) w podanym przedziale wartośi, a wię zastąpił β wartośią β : 6
β β + β β β + β + h. (69) m Przy takiej metodzie wyznazania prędkośi względnej elektronu β Sommerfeld otrzymał następująe przybliżone wyrażenie dla natężenia : sin ϕ D. (7) ( β os ϕ) 6 Zgodnie ze wzorem (69) β zależy od długośi fali i wobe tego również będzie zależało nie tylko od kierunku wyznazonego przez kąt ϕ, lez również od długośi fali. Wzór (7) będzie dawał tym dokładniejsze wyniki, im węższy będzie przedział uśredniania (β, β), którego granie zgodnie ze wzorem (69) wyznazają β. Wzór (7) jest wzorem dokładnym w przypadku krótkofalowej graniy widma iągłego, zyli w pobliżu długośi fali, dla której β β β. κ Z kolei wyznazymy kierunek rozhodzenia się promieniowania rentgenowskiego o maksymalnym natężeniu ( ) max. W tym elu wyznazymy ekstremum funkji (7). Warunek jego istnienia ma postać: Oblizamy wię powyższą pohodną: d. (7) d d d sin ϕos ϕ D 6 5 [ β os ϕ] 6[ β os ϕ] ( β )( sin ϕ) [ β os ϕ] sin ϕ sin ϕ D ( β os ϕ) 6 ( β os ϕ) 7 β sin ϕ. (7) Wyrażenie (7) będzie równe zero gdy liznik tego wyrażenia będzie równy zero: sin ϕ ( β os ϕ) 6β sin ϕ zyli os ϕ( β os ϕ) 6β sin ϕ, a po podstawieniu ze wzoru jedynkowego: sin ϕ - os ϕ otrzymujemy: β os ϕ + os ϕ β. Jest to równanie drugiego stopnia ze względu na osϕ. Jego wyróżnik wynosi: + 4β, a pierwiastek dodatni ma postać: 7
+ 4β os ϕmax. (7) 4β Drugi pierwiastek powyższego równania kwadratowego ma wartość ujemną, a wię pomijamy go. Ze wzoru (7) wynika, że dla β ϕ max π/, a wię największe natężenie promieniowania wystąpi w płaszzyźnie prostopadłej do kierunku wiązki elektronów. Natężenie promieniowania hamowania dla różnyh kątów ϕ można wyznazyć ze wzoru (7). Dla ϕ lub ϕ π (zyli w kierunku zgodnym z kierunkiem wiązki elektronów lub w kierunku przeiwnym) natężenie gdy β <. Gdy β, to w pobliżu krótkofalowej graniy widma można uważać, że β jest również równe i według wzoru (7) otrzymujemy ϕ max, a wię promieniowanie rozhodzi się w kierunku wiązki pierwotnej. Dla wartośi < β < kąt ϕ max jest zawarty w przedziale < ϕ max < π/. Ponieważ energia kinetyzna elektronów zgodnie ze wzorem () zależy od napięia pray lampy rentgenowskiej: mv m β eu, to ze wzrostem napięia U rośnie również względna prędkość β elektronów, a wię kierunek max przesuwa się w stronę wiązki elektronów. 8. Porównanie rezultatów oblizeń z danymi doświadzalnymi Porównamy obenie rezultaty oblizeń teoretyznyh z danymi uzyskanymi doświadzalnie. Najlepszej zgodnośi - zgodnie z wześniejszymi stwierdzeniami - należy ozekiwać dla bardzo ienkih anod lub masywnyh anod wykonanyh z najlżejszyh pierwiastków. Na rysunku 8 pokazano zależność [5] natężenia od wartośi kąta ϕ przy napięiu 4 kv. Anodą były folie aluminiowe o grubośiah,,,5 i,6 µm. Krzywe uzyskano dla długośi fali bliskiej krótkofalowej graniy widma promieniowania hamowania. W tym przypadku we wzorze (7) β, 47, a ϕ max 45,5 o. Z rysunku 8 widać, że w rzezywistośi maksimum β natężenia jest nieo przesunięte w kierunku większyh kątów ϕ i położone przy kąie około 5 o. Rys. 8. Rozkład w przestrzeni natężenia widma iągłego promieniowania hamowania przy U 4 kv dla anod w postai ienkih folii aluminiowyh o grubośiah,,,5 i,6 µm, przy zym 8
Według rozważań teoretyznyh dla ϕ natężenie w kierunku rozhodzenia się strumienia elektronów, tymzasem dane doświadzalne pokazują, że. Wraz ze zmniejszeniem grubośi folii natężenie tego promieniowania maleje, lez nie jest równe zero. Mogą być dwie przyzyny tyh rozbieżnośi: a) folia o grubośi, µm (i większej) rozprasza elektrony, b) nie jest śisłe założenie, że kierunek przyspieszenia elektronów jest przeiwny do kierunku jego prędkośi pozątkowej. Być może, że obie przyzyny działają jednoześnie. Z tego powodu Böhm [6] przeprowadził badania kątowego rozkładu natężenia dla dwóh długośi fali: w pobliżu krótkofalowej graniy widma i przy znaznie większej długośi fali. Anodą była folia z magnezu o grubośi mniejszej od, µm. Napięie pray lampy rentgenowskiej wynosiło kv. Na rysunku 9 pokazano dwie krzywe: jedną dla 4 pm, druga dla 6 pm. Rys. 9. Rozkład w przestrzeni natężenia widma iągłego promieniowania hamowania dla długośi fali 4 pm () i 6 pm () przy U kv dla anody w postai ienkiej folii magnezowej o grubośi mniejszej niż, µm Pierwszą krzywą na tym rysunku określa tylko warstwa powierzhniowa folii, a drugą ała grubość folii. Mimo że folia była ieńsza niż, µm, druga krzywa wykazuje znaznie bardziej wygładzony rozkład natężenia w zależnośi od kąta niż pierwsza krzywa. Maksimum natężenia przesuwa się jednoześnie dla drugiej krzywej w kierunku mniejszyh (w porównaniu do krzywej ) kątów. Kierunki odpowiadająe maksimum obu krzywyh na rys. 9 zaznazono strzałkami. Na podstawie powyższyh danyh doświadzalnyh wykreślono [7] krzywe rozkładu natężenia jako funkja zęstotliwośi. Na rysunku pokazano takie krzywe dla różnyh kątów ϕ. Rys.. Rozkład natężenia widma promieniowania hamowania jako funkja zęstotliwośi przy U kv dla anody Mg o grubośi mniejszej niż, µm. Rozkład podano dla różnyh kierunków tworząyh kąt ϕ z kierunkiem strumienia elektronów 9
Z rysunku widać, że rozkład natężenia rzezywiśie zależy od kierunku rozhodzenia się promieniowania. Dotyhzas zajmowaliśmy się porównaniem teorii z danymi doświadzalnymi tylko dla ienkih anod. Obenie przejdziemy do rozważenia tego zagadnienia dla masywnyh anod. W takih badaniah stosuje się anody o kształie pokazanym na rys.. Jest to zęść kuli (lub wala), do środka której jest kierowany strumień elektronów. Przy takim kształie anody promienie rentgenowskie wyhodząe z niej pod różnymi kątami względem kierunku padająego strumienia elektronów są pohłaniane przez anodę w jednakowym stopniu, a wię rezultaty badań można bezpośrednio ze sobą porównywać. Badania takie mają też pewne ogranizenie: nie można wykonać pomiarów dla kątów ϕ bliskih wartośi 8 o. Rys.. Kształt masywnej anody stosowanej w badaniah rozkładu natężenia promieniowania hamowania w zależnośi od kierunku tego promieniowania Na rysunku pokazano rozkład przestrzenny natężenia promieniowania hamowania anody berylowej przy U 4 kv. Widać, że mimo iż badania wykonano dla anody wykonanej z jednego z najlżejszyh pierwiastków, to jednak dzięki rozproszeniu elektronów w masywnej anodzie nastąpiło znazne wyrównanie krzywej rozkładu natężenia tego promieniowania. Jednoześnie stwierdzono, że dla kąta ϕ, a wię w kierunku biegu strumienia elektronów, natężenie nie tylko nie jest równe zeru, lez nawet przekraza natężenie promieni w kierunku prostopadłym do strumienia elektronów i tylko nieznaznie jest mniejsze od natężenia maksymalnego. Rys.. Rozkład w przestrzeni natężenia promieniowania hamowania uzyskanego z masywnej anody berylowej przy napięiu U 4 kv Determann [8] doświadzalnie wyznazył zależność kąta ϕ max, pod którym rozhodzi się promieniowanie o maksymalnym natężeniu max, od napięia pray lampy rentgenowskiej (rys. ). Zgodnie z podaną teorią wzrost napięia powoduje zmniejszanie się wartośi kąta ϕ max i kierunek rozhodzenia się promieniowania o największym natężeniu zbliża się do kierunku strumienia elektronów. Podobne rezultaty uzyskano również dla anody z Al i W [9].
Rys.. Zależność kąta ϕ max, pod którym rozhodzi się promieniowanie o maksymalnym natężeniu max, od napięia pray lampy rentgenowskiej z masywną anodą z Be, C lub Al 9. Prawo odwrotnyh kwadratów Z wyrażeń (5), (54) i (65) wynika, że natężenie promieniowania hamowania zmienia się odwrotnie proporjonalnie do długośi promienia R, a wię odwrotnie proporjonalnie do kwadratu odległośi od anody do rozpatrywanego punktu: R. (74) R Powyższa zależność nosi nazwę prawa odwrotnyh kwadratów. Jest ono słuszne tylko dla punktowyh źródeł i przy braku pohłaniania i rozpraszania promieniowania w materii. Przy pewnej energii elektronów, w pełni określonej dla danego materiału anody, opróz promieniowania hamowania o widmie iągłym powstaje również rentgenowskie promieniowanie harakterystyzne o widmie liniowym.. Sprawność wzbudzenia promieniowania rentgenowskiego Lampę rentgenowską, podobnie jak każde inne urządzenie tehnizne, możemy sharakteryzować współzynnikiem sprawnośi: P αziu η αzu, (75) P iu gdzie: P energia wypromieniowana przez lampę w jednoste zasu, P mo pobierana przez lampę, α stała, wynosząa około,5-6, Z lizba porządkowa pierwiastka, z którego wykonano anodę. Współzynnik sprawnośi lampy rentgenowskiej zależy wię od dwóh wielkośi: lizby porządkowej pierwiastka anody, napięia anodowego lampy rentgenowskiej. W elu uzyskania możliwie dużej sprawnośi lampy rentgenowskiej jej anodę wykonuje się wię z pierwiastka o dużej lizbie porządkowej (najzęśiej wolframu, Z 74) i zasila prądem o napięiah przekrazająyh 8 kv. Na przykład dla lampy o anodzie wolframowej praująej przy napięiu U kv współzynnik sprawnośi wynosi:
η,5 6 74,%. Pozostała zęść pobieranej energii (97,8%) ulega w lampie zamianie w iepło. Z tego powodu lampa (a razej jej anoda) musi być intensywnie hłodzona (najzęśiej olejem w obiegu zamkniętym lub z wtórnym hłodzeniem oleju wodą). W defektoskopii rentgenowskiej korzysta się z widma iągłego promieniowania hamowania i dlatego też pominięto omówienie proesu powstawania promieniowania harakterystyznego, stosowanego przede wszystkim w rentgenografii strukturalnej (badania struktury krystaliznej za pomoą dyfrakji harakterystyznego promieniowania rentgenowskiego). Cytowana literatura [] Kramers H. A., Phil. Mag., 9, t. 46, nr 75, s. 86-87. [] Kuhlenkampff H., Ann. der Phys., 9, t. 69, s. 548. [] Sommerfeld. A., Pro. Nat. Aad. Si. USA, 99, t. 5, s. 9. [4] Sommerfeld A., Ann. d. Phys., 9, t., s. 57. [5] Honerjäger R., Ann. d. Phys., 94, t. 8, nr 5, s.. [6] Böhm K., Ann. d. Phys., 98, t., nr 5, s. 5. [7] Kuhlenkampff H., Ann. d. Phys., 98, t., nr 5, s. 6. [8] Determann H., Ann. d. Phys., 97, t., nr 5, s. 48. [9] ordarson S., Ann. d. Phys., 99, t. 5, nr 5, s. 5. [] Senzyk D., Radiografia przemysłowa podstawy fizyzne (w druku)