ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *)

Wojcech KRAJEWSKI ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *) STRESZCZENIE W artykule przeprowadzono analzę dokładnośc metod: elementów lnowych (MEL) elementów brzegowych (MEB) w zagadnenach dentyfkacj pola elektrycznego w sąsedztwe obektów elektroenergetycznych. Przeanalzowano różne konfguracje układów wzbudzających znekształcających rozkłady wspomnanego pola. Rozważana dotyczyły mędzy nnym uproszczena polegającego na zastosowanu MEL zamast MEB do analzy pola wytwarzanego bądź znekształcanego przez przewody okrągłe oraz układy płaskownków kątownków. W pracy przeprowadzono równeż analzę wpływu gęstośc satk elementów brzegowych, odwzorowującej budynek murowany (usytuowany w sąsedztwe ln WN), na dokładność oblczeń natężena pola elektrycznego w jego sąsedztwe. Słowa kluczowe: pole elektromagnetyczne, kompatyblność elektromagnetyczna, metody numeryczne, metoda elementów brzegowych *) Praca naukowa fnansowana ze środków na naukę w latach 2006-2008 jako projekt badawczy dr hab. nż. Wojcech KRAJEWSKI w.krajewsk@el.waw.pl Zakład Metrolog Badań Nenszczących Instytut Elektrotechnk PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 233, 2007

44 W. Krajewsk 1. WSTĘP Obowązujące przepsy z zakresu ochrony przed polam elektromagnetycznym [1] zalecają dentyfkację tych pól na drodze oblczenowej oraz pomarową weryfkację oblczeń w tych mejscach, w których, na podstawe uprzedno przeprowadzonych oblczeń, stwerdzono występowane pól elektromagnetycznych o wartoścach zblżonych do wartośc dopuszczalnych. Istotne znaczene praktyczne ma umejętność oceny dokładnośc z jaką pole zostało oblczone pomerzone. W przypadku pomarów do oceny dokładnośc uzyskanego wynku stosuje sę metody statystyczne, wykorzystując znaną dokładność aparatury pomarowej oraz wedzę na temat specyfk rozważanego pomaru. Inaczej wygląda sytuacja, gdy rozkłady pól wyznaczane są na drodze oblczenowej. W tym przypadku ważne jest zarówno oszacowane dokładnośc modelu fzycznego zagadnena, tzn. określene wpływu na wynk zastosowanych w modelu uproszczeń, jak określene dokładnośc metody matematycznej wykorzystanej do rozwązana problemu. Tylko wąska grupa zagadneń grancznych (brzegowych lub początkowobrzegowych) z zakresu pola elektromagnetycznego może być rozwązywana za pomocą tzw. metod analtycznych, takch jak: metoda rozdzelena zmennych, przekształceń całkowych, przekształceń konforemnych, odbć zwercadlanych tp., w wynku czego otrzymuje sę rozwązana w forme konkretnych wzorów matematycznych. Zagadnena te mają zwykle nezbyt skomplkowaną geometrę oraz charakteryzują sę uproszczenam w zakrese parametrów materałowych. W bardzej skomplkowanych przypadkach praktycznych, o złożonej strukturze, koneczne jest stosowane metod numerycznych, polegających na algebrazacj rozważanego zagadnena grancznego, a następne rozwązanu tak sformułowanego, zwykle welkego układu równań algebracznych, przy zastosowanu technk numerycznych. Współcześne, do najczęścej stosowanych numerycznych metod oblczana pól należą: metoda elementów skończonych (MES), metoda elementów brzegowych (MEB), metoda ładunków symulowanych (MŁS) czy też metoda różnc skończonych (MRS) oraz ch różne kombnacje odmany. Metody analtyczne prowadzą do rozwązana dokładnego lub do rozwązana obarczonego łatwym do oszacowana błędem, tak jak ma to mejsce w przypadku, gdy rozwązane ma postać szeregu neskończonego. Metody numeryczne chocaż pozwalają analzować bardzej skomplkowane, lepej odpowadające rzeczywstośc zagadnena, są ze swej natury metodam przyblżonym. Polegają one na zastąpenu zagadnena wyjścowego

Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 45 zagadnenem, którego rozwązane zblżone jest do rozwązana rozważanego problemu z pewną dokładnoścą. Dokładność ta zależy główne od sposobu dyskretyzacj obszaru analzy lub jego brzegu, od rodzaju aproksymacj poszukwanego rozwązana, od wyboru punktów kolokacj tp. Szacowane błędu rozważanych metod ne jest zadanem prostym, gdyż na ogół ne jest znane dokładne rozwązane problemu, z którym należy porównać wynk przyblżony. Jak wspomnano na wstępe umejętność modelowana pól elektromagnetycznych ma bardzo stotne znaczene w analze zagadneń kompatyblnośc elektromagnetycznej (EMC), dzedzny zajmującej sę badanem wzajemnego, nezamerzonego oddzaływana różnego rodzaju urządzeń elektrycznych elektroncznych za pośrednctwem pola elektromagnetycznego. Celem EMC jest zapewnene bezkonflktowego dzałana tych urządzeń, a także badane wpływu pola elektromagnetycznego na organzmy żywe środowsko. W analze problemów EMC szczególne przydatne jest numeryczne modelowane pól elektromagnetycznych. Autor nnejszego artykułu w swoch wcześnejszych pracach, np. [2 6], zajmował sę problemam numerycznej analzy zagadneń EMC nskej częstotlwośc. W pracach tych stosowana była metoda hybrydowa łącząca MEB [7, 8] z pewnym warantem MŁS [9, 10], zwanym metodą elementów lnowych (MEL). Analzowano tam trójwymarowe pola elektryczne, magnetyczne elektromagnetyczne nskej częstotlwośc, generowane przez urządzena elektroenergetyczne, take jak: lne WN, stacje elektroenergetyczne czy też rozprowadzena średnego nskego napęca, np. w dużych burowcach. W pracy [6] opsano opracowany w Instytuce Elektrotechnk paket oprogramowana EMFA do analzy pól elektrycznych magnetycznych w sąsedztwe obektów elektroenergetycznych. W nnejszym artykule podjęto próbę oszacowana dokładnośc metody oraz określena obszaru, gdze wynk oblczeń pola elektrycznego można traktować jako dokładne z określonym błędem. Rozważono tutaj zagadnena pola elektrycznego, które znaczne łatwej od pola magnetycznego ulega znekształcenu przez różnego rodzaju obekty zarówno dobrze przewodzące (kratownce konstrukcj wsporczych, metalowe ekrany, ogrodzena tp.) jak słabo przewodzące (budynk murowane, drzewa) znajdujące sę w sąsedztwe jego źródeł, co powoduje znaczną komplkację oblczeń. Przedstawone w pracy oszacowana będą pomocne w analze skutecznośc opracowywanego w Instytuce Elektrotechnk specjalstycznego oprogramowana do analzy wyżej wspomnanych zagadneń EMC. PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 233, 2007

46 W. Krajewsk 2. ZARYS ROZWAŻANYCH METOD NUMERYCZNYCH Ponżej przedstawono krótk ops rozważanych metod numerycznych, przy czym w perwszej kolejnośc podano założena dotyczące MEL, dalej MEB, a następne scharakteryzowano metodą hybrydową MEL&MEB. Gdy wymary poprzeczne obektu są pomjalne małe w porównanu z jego wymarem podłużnym, jak ma to mejsce np. w przypadku przewodów pod napęcem, elementów kratownc słupów WN, bramek stacyjnych nnych ażurowych konstrukcj wsporczych, a także ekranów elektrycznych (satka Faraday a), w oblczenach pola wygodne jest zastosować MEL. W metodze tej przyjmuje sę, że rozważane obekty wpływają na rozkłady pola poprzez fkcyjne ładunk, które rozmeszczone są na lnach umeszczonych w ch wnętrzu. Rozkład gęstośc powyższych ładunków mus być tak, aby pochodzący od nch skalarny potencjał elektryczny, ϕ, w wybranych punktach na powerzchnach obektów przyjmował z góry założoną wartość. Jeżel w przestrzen otaczającej rozważane obekty potencjał spełna równane Laplace a, to wspomnana gęstość ładunku lnowego τ(p) spełna następujące równane całkowe Fredholma perwszego rodzaju: n GPP (, ) τ( P)d P= ϕ( P) (1) j= 1 K j gdze K j oznacza krzywą reprezentującą j-ty obekt, a n jest lczbą obektów. G(P,P ) jest rozwązanem podstawowym równana Laplace a w przestrzen trójwymarowej, podzelonym przez stałą elektryczną. Przyjmuje ono postać [8]: 1 GPP (, ) = (2) 4πε r 0 Odległość mędzy punktam P(x,y,z) P(x,y,z ) dana jest wzorem: r = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) 2 2 2 ε 0 oznacza stałą elektryczną.

Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 47 Następne, w procese dyskretyzacj, krzywe, na których rozłożone są ładunk lnowe, zastępuje sę odcnkam, na których zakłada sę stały rozkład gęstośc tego ładunku, to znaczy stosuje sę aproksymację zerowego rzędu funkcj poszukwanej. Punkt P położony jest na powerzchn obektu odpowadającej -temu elementow. Otrzymuje sę wówczas następujące równane algebraczne: n L τ j GPP (, )d P= ϕ( P) (3) j= 1 L j gdze L j jest j-tym elementem lnowym, a n L jest ch lczbą. τ j jest gęstoścą ładunku lnowego na j-tym elemence. Przyjmując punkt obserwacj P rozwązana podstawowego kolejno na częścach powerzchn obektu odpowadających poszczególnym elementom lnowym, otrzymuje sę układ równań algebracznych, który w forme macerzowej przyjmuje następującą postać: Pτ = ϕ (4) Współczynnk macerzy P dane są wzorem: pj = G( P, P )d P (5) L j Powyższa całka oblczana jest analtyczne ze wzoru podanego np. w [3, 5]. W wynku rozwązana układu równań algebracznych zostają wyznaczone gęstośc ładunków lnowych, których znajomość umożlwa oblczene potencjału ϕ(p) w dowolnym punkce przestrzen. W praktyce, o czym będze mowa w dalszej częśc pracy, stotne jest odpowedne usytuowane ładunku lnowego oraz wybór punktu obserwacj (kolokacj), w zależnośc od kształtu przekroju poprzecznego obektu (przewodu, elementu kratowncy, ekranu, tp.). Obecne podane zostaną założena dotyczące rozważanego w pracy warantu MEB. Jest to tak zwany pośredn warant tej metody, bazujący na teor potencjału warstwy pojedynczej, gdze podobne jak w MEL wykorzystuje sę pojęce gęstośc ładunku. W tym przypadku jest to gęstość ładunku powerzchnowego, rozłożonego na powerzchnach ltych obektów dobrze lub słabo przewodzących (elementy pod napęcem, lte metalowe ekrany, budynk murowane, betonowe konstrukcje wsporcze tp.), bądź delektryków (np. zolatory). Dla punktów P położonych na powerzchnach delektryków, gdze ne jest znany potencjał elektryczny, można sformułować równana całkowe Fredholma drugego rodzaju, tak jak to pokazano w [4, 5]:

48 W. Krajewsk 1 ε + ε GPP (, ) GPP (, ) σ ( P) σ ( P)d P σ ( P) d P+ 2ε ε ε n1 n2 d 0 + + 0 d 0 j= 1 n j 1 n Γ = Γ Dj GPP (, ) + σ( P) dp= 0 dla P n Γ g Cj n1 U j= 1 Γ Dj (6) gdze: Γ Dj powerzchna j-tego delektryka (zolatora), Γ Cj powerzchna j-tego obektu przewodzącego, Γ g powerzchna zem, σ gęstość ładunku powerzchnowego, ϕ(p ) potencjał elektryczny w punkce P,, ε d przenkalność elektryczna delektryka, na którego powerzchn znajduje sę punkt P n1, n2 lczby obektów, odpowedno o neznanym znanym potencjale na ch powerzchn Dla punktów P położonych na ltych powerzchnach metalowych (uzemonych lub pod napęcem), ścanach budynków murowanych (betonowych) lub na powerzchn zem, to znaczy wszędze tam, gdze znany jest potencjał elektryczny ϕ, można sformułować równana całkowe Fredholma perwszego rodzaju. Równane to wynka z faktu, że potencjał ϕ w rozważanym punkce P, jest superpozycją potencjałów pochodzących od poszczególnych ładunków powerzchnowych. Przyjmuje ono następującą postać: n1 n2 GPP (, ) σ( P)d P+ GPP (, ) σ( P)dP+ j= 1 Γ j= 1 Γ Dj + GPP (, ) σ ( P)d P= ϕ( P) dla P Γ Γ Γ g Cj n2 U U Cj g j= 1 (7) W celu unknęca konecznośc dyskretyzacj płaskch częśc powerzchn zem, położonych na pozome zerowym (o współrzędnej z = 0), można wprowadzć tak zwane antysymetryczne rozwązane podstawowe [8] o postac: 1 1 1 (, ) = 4πε r r * G P P 0 (8)

Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 49 gdze: r = ( x x ) + ( y y ) + ( z + z ) 2 2 2 Prezentowana technka oblczenowa polega na przekształcenu układu równań całkowych (6) (7) w układ równań algebracznych poprzez dyskretyzację brzegów poszczególnych podobszarów oraz aproksymację rozkładów gęstośc ładunków na otrzymanych w ten sposób elementach brzegowych. W rozważanym przypadku zastosowano płaske elementy czworokątne lub trójkątne ze stałowartoścową aproksymacją gęstośc ładunku powerzchnowego. Wykorzystując równana całkowe (1) dla MEL oraz (6) (7) dla MEB, można sformułować układ równań całkowych stanowący podstawę metody hybrydowej: 1 ε + ε G ( P, P) G ( P, P) σ ( P) σ ( P)d P σ ( P) d P+ 2ε ε ε n1 * n2 * d 0 + + 0 d 0 j= 1 n j 1 n Γ = Γ n3 * G ( P, P ) + τ( P) dp= 0 dla P Γ n k = 1 K k Dj Cj Dj (9) n1 n2 * * σ j= 1 Γ j= 1 Γ I G ( P, P) ( P)d P+ G ( P, P) σ( P)dP+ n3 n2 n3 * G ( P, P) τ ( P)d P ϕ( P) dla P UΓCjUΓ Kj k = 1 K j= 1 j= 1 + = k Cj (10) przy czym n3 jest tutaj lczbą obektów modelowanych za pomocą elementów lnowych. W powyższym sformułowanu zastosowano antysymetryczne rozwązane podstawowe dla równana Laplace a oraz założono, że powerzchna zem jest płaska. Przyjmując te same założena odnośne dyskretyzacj aproksymacj jak dla MEL MEB, otrzymuje sę następujący układ równań algebracznych:

50 W. Krajewsk B11 B12 P 1 qs1 0 B21 B22 P2 qs2 = vs 2 B31 B32 P3 ql vl (11) gdze: B 11 podmacerz elementów brzegowych o wymarze n S1 n S1, B 12 podmacerz elementów brzegowych o wymarze n S1 n S2, B 21 podmacerz elementów brzegowych o wymarze n S2 n S1, B 22 podmacerz elementów brzegowych o wymarze n S2 n S2, B 31 podmacerz elementów brzegowych o wymarze n L n S1, B 32 podmacerz elementów brzegowych o wymarze n L n S2, P 1 podmacerz elementów lnowych o wymarze n S1 n L, P 2 podmacerz elementów lnowych o wymarze n S2 n L, P 3 podmacerz elementów lnowych o wymarze n L n L, q S1 n S1 -wymarowy wektor, którego składowym są gęstośc ładunku polaryzacj na elementach brzegowych, q S2 n S2 -wymarowy wektor, którego składowym są gęstośc ładunku swobodnego na elementach brzegowych, q L n L -wymarowy wektor, którego składowym są gęstośc ładunku swobodnego na elementach lnowych, v S2 n S2 -wymarowy wektor, którego składowym są wartośc potencjału na powerzchnach obektów przewodzących modelowanych elementam brzegowym, v L n L -wymarowy wektor, którego składowym są wartośc potencjału na powerzchnach obektów przewodzących modelowanych elementam lnowym, n S1 lczba elementów brzegowych na powerzchnach delektryków, n S2 lczba elementów brzegowych na powerzchnach obektów przewodzących, lczba elementów lnowych. n L Elementy macerzy współczynnków układu równań (11) wyznacza sę ze wzorów, które zależą od kształtu elementów lnowych brzegowych oraz od rodzaju aproksymacj gęstośc ładunków na elementach. W nnejszej pracy powerzchne obektów pokrywane są płaskm elementam czworokątnym bądź trójkątnym. Przewody oraz elementy konstrukcj ażurowych dyskretyzowane są odcnkam prostolnowym. W obu przypadkach stosuje sę aproksymację zerowego rzędu, co oznacza, że gęstość ładunku ma stałą wartość na elemence. Elementy b 1j podmacerzy B 11 B 12 oblcza sę z następujących wzorów:

Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 51 * G ( P, P ) b1 j = d P dla j (12) n S j 1 ε + ε G ( P, P) (13) * d 0 b1 j = d P dla = j 2ε0 εd ε0 n S j a elementy b 2j podmacerzy B 21 B 22 wyznacza sę z zależnośc: b = G P P P (14) * 2 j (, )d S j gdze S j jest j-tym elementem brzegowym. Analogczne wyznacza sę elementy podmacerzy B 31 B 32. Dla j powyższe całk oblczane są numeryczne, z zastosowanem odpowednch kwadratur Gaussa [11]. Gdy = j, to begun funkcj 1/r leży na elemence, po którym wykonywane jest całkowane, a zatem całka jest słabo osoblwa. W tym przypadku do całkowana funkcj 1/r stosuje sę wzory analtyczne. Dla elementu prostokątnego o bokach a b, przy założenu, że begun funkcj Greena znajduje sę w środku prostokąta, całkę funkcj 1/r oblcza sę z zależnośc [3, 5]: b/2 a/2 2 2 1 1 b b a a d P= dxd y = 2 a ln + 1+ + 2 b ln + 1+ + rpp (, 2 2 ) a a b b S b/2 a/2 x y gdze S oznacza element prostokątny. (15) Dla elementów trójkątnych odpowedne wzory podano np. w pracach [5, 8]. Elementy p 1j podmacerzy P 1 oblcza sę ze wzoru: p 1j * G ( P, P ) = d P (16) n L j

52 W. Krajewsk natomast elementy p 2j podmacerzy P 2 oblcza sę z zależnośc: p = G P P P (17) * 2 j (, )d L j gdze L j jest j-tym elementem lnowym. Korzystając ze wzoru (17) wyznacza sę także elementy p 3j podmacerzy P 3. Całkę (16) oblcza sę numeryczne natomast całkę (17) wyznacza sę ze wzoru analtycznego podanego np. w pracach [3, 5]. Po rozwązanu układu równań (11) otrzymuje sę rozkłady gęstośc ładunków na elementach lnowych powerzchnowych. Wykorzystując powyższe rozwązane, można oblczyć potencjał elektryczny w dowolnym punkce P : ns nl * * ( ) = (, ) ( )d + (, ) ( )d j= 1 Γ k= 1 K (18) ϕ P G P P σ P P G P P τ P P j k przy czym n S = n S1 + n S2. Natężene pola elektrycznego wyznacza sę ze wzoru: n S nl * * ( ) = σ( )grad (, )d τ( )grad (, )d j= 1 Γ k= 1 K E P P G P P P P G P P P (19) j k 3. UWAGI NA TEMAT OCENY DOKŁADNOŚCI NUMERYCZNYCH METOD OBLICZANIA PÓL Najłatwej ocenć poprawność wynków numerycznych danego problemu polowego, gdy znane jest jego rozwązane dokładne, co, jak wcześnej wspomnano, dotyczy bardzo uproszczonych przypadków. Jednak, nawet taka uproszczona analza często pozwala wprowadzć poprawk modyfkacje w testowanej metodze numerycznej. Dość często stosowana jest eksperymentalna weryfkacja oblczeń numerycznych, co jednocześne stanow ocenę poprawnośc zastosowanego modelu fzycznego analzowanego zagadnena. Ten ostatn sposób weryfkacj

Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 53 rozważanych tutaj metod numerycznych zaprezentowano w nektórych pracach autora, np. w [5]. Nestety wynk pomarów także obarczone są błędem, stąd take porównane, skądnąd bardzo pożyteczne dla ogólnej oceny poprawnośc dzałana programu oblczenowego, ne daje precyzyjnej odpowedz dotyczącej błędu metody numerycznej. Innym sposobem oceny dokładnośc metod numerycznych jest porównywane wynków oblczeń wykonanych przy zastosowanu różnych metod numerycznych bądź przy zastosowanu tej samej metody przy różnych dyskretyzacjach obszaru lub jego brzegu ewentualne różnych aproksymacjach poszukwanej funkcj. W nnejszej pracy przeprowadzono ocenę rozważanych metod numerycznych przy zastosowanu perwszego trzecego z wyżej wymenonych sposobów. 4. OCENA DOKŁADNOŚCI MEL W OBLICZENIACH POLA ELEKTRYCZNEGO WYTWARZANEGO PRZEZ OKRĄGŁE PRZEWODY POD NAPIĘCIEM W zagadnenach EMC nskej częstotlwośc źródłam pola elektrycznego są często przewody okrągłe o stosunkowo newelkch przekrojach (np. przewody ln WN). Zastosowane w tym przypadku MEL zamast MEB znaczne zmnejsza wymar zagadnena algebracznego. Istotnym jest, jak take uproszczene wpływa na dokładność wynków. Dla oceny tego wpływu w perwszej kolejnośc rozważono najprostszy przypadek, tzn. rozkład natężena pola elektrycznego w sąsedztwe pojedynczego, neskończene długego, okrągłego przewodu pod napęcem, zaweszonego nad płaszczyzną o potencjale zerowym (rys. 1). Łatwo wyprowadzć rozwązane analtyczne tego problemu, które ma następującą postać: ϕ = q x + ( y+ h) ln 2 π x + ( y h) 2 2 2 2 (20) gdze: h= A 1 H, A + 1 H + H R A = H H R 2 2 2 2, q 2π ϕ p =. ln A

54 W. Krajewsk W powyższych wzorach R jest promenem przewodu, H jest wysokoścą jego zaweszena, a ϕ p jest potencjałem elektrycznym przewodu. Natężene pola elektrycznego wokół rozważanego przewodu wyraża sę następującym wzorem: q x x E = 2 2 2 2 2 π + x + ( y h) x + ( y+ h) q y h y+ h + 2 π + x + ( y h ) x + ( y+ h ) 2 2 2 2 j (21) W przedstawonym przykładze oblczenowym rozważono przewód okrągły o przekroju 525 mm 2 potencjale 110 kv, zaweszony na wysokośc 10 m ponad powerzchną o potencjale zerowym. Przewody o takm przekroju stosowane są w napowetrznych lnach przesyłowych najwyższych napęć. Poneważ rozwązane analtyczne dotyczy przypadku dwuwymarowego (przewód neskończene dług), to w oblczenach przy zastosowanu MEL przyjęto przewód o długośc 400 m, który podzelono na 40 elementów lnowych o jednakowej długośc, z aproksymacją zerowego rzędu gęstośc ładunku na elemence. Punkty kolokacj ustalono na powerzchn przewodu, w połowe długośc elementu lnowego. Wykonano oblczena rozkładów natężena pola elektrycznego na różnych wysokoścach ponad płaszczyzną o potencjale zerowym, stosując zarówno metodą analtyczną jak numeryczną. Wynk tych oblczeń pokazano na rys. 2, przy czym lne otrzymane dla obu metod pokrywają sę. Na rysunkach 3 4 przedstawono błąd względny oblczeń numerycznych E, który zdefnowano w następujący sposób: E analt MEL error = 100% E Ε E analt (22) gdze: E analt E MEL norma wektora E oblczonego ze wzoru analtycznego norma wektora E oblczonego przy zastosowanu MEL Na rysunkach 3 wdać, że w obszarze: 5 m x 5 m 2 m z 9 m tak zdefnowany błąd ne przekracza 0,12 %. Można tutaj zauważyć, że analzowany błąd paradoksalne wzrasta w marę oddalana sę od wzbudzającego pole

Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 55 przewodu. Wynka to z faktu, że oblczena analtyczne dotyczą przewodu neskończene długego, natomast w oblczenach numerycznych rozważono przewód o skończonej długośc (400 m). Na rysunku 4 pokazano rozkład błędu na ln pozomej odległej o 0,5 m od przewodu (z = 9,5 m). W tym przypadku rozważany błąd ne przekracza 0,8 %, co śwadczy o wystarczająco dobrej dokładnośc MEL do analzy pola elektrycznego wytwarzanego przez przewód okrągły o polu przekroju 525 mm 2 mnejszym, nawet w stosunkowo newelkej odległośc od wspomnanego przewodu. Drug przykład oblczenowy dotyczy układu trzech przewodów okrągłych o skończonej długośc, podłączonych do trójfazowego źródła napęca 110 kv, umeszczonych nad płaszczyzną o potencjale zerowym (rys. 5). Prawdopodobne ne ma, nestety, analtycznego rozwązana tego zagadnena. Stąd też, w celu oszacowana dokładnośc MEL dla tego problemu, otrzymane wynk oblczeń porównano z wynkam uzyskanym przy zastosowanu znaczne dokładnejszego modelu numerycznego, bazującego na MEB. W omawanym przykładze rozważono przewody o długośc 10 m tak jak poprzedno o przekroju 525 mm 2. Rozmeszczone były one w układze horyzontalnym, na wysokośc 10 m ponad płaszczyzną o potencjale zerowym. Odległość mędzy przewodam wynosła 5 m. Stosując BEM, każdy z przewodów podzelono na 400 elementów brzegowych, 50 wzdłuż przewodu 8 po jego obwodze, podobne jak to pokazano na rys. 5. Na powyższym rysunku, dla lepszej jego czytelnośc, ne zachowano rzeczywstych proporcj geometrycznych zagadnena, zwększając promeń przewodów, przy jednoczesnym zmnejszenu o połowę lczby elementów brzegowych na jego długośc. Modelując zagadnene przy zastosowanu MEL, każdy z przewodów podzelono na 20 elementów lnowych. Punkty kolokacj wybrano tak jak w przykładze dotyczącym pojedynczego przewodu. Na rysunku 6 pokazano rozkłady natężena pola elektrycznego na różnych wysokoścach ponad płaszczyzną o potencjale zerowym, które oblczono zarówno przy zastosowanu MEB jak MEL. W rozważanym przypadku, ze względu na trójfazowy charakter wymuszena, mejscem geometrycznym końca wektora E w dowolnym punkce przestrzen są elpsy (pole elptyczne). W przedstawonym przykładze przez natężene pola elektrycznego E rozumana jest długa półoś elpsy podzelona przez 2, która wyznaczana jest z następującego wzoru: E = sup( E, E ) (23) 1 2

56 W. Krajewsk gdze: E 12, 1 = 1+ r 2 12, 3 3 3 2 2 2 A + r12, B + 2r12, AB 1 1 = 1 = = 12 / r 12, = R± 2 R + 4 2 R = 3 = 1 B 3 2 2 A = 1 3 = 1 AB A jest częścą rzeczywstą a B częścą urojoną -tej składowej geometrycznej wektora E. Błąd względny metody elementów lnowych zdefnowano w tym przypadku w sposób następujący: E Ε E MEB MEL error E = 100% MEB (24) gdze E MEB oznacza natężene pola elektrycznego oblczone przy użycu MEB. Na rysunku 7 pokazano rozkłady błędu względnego natężena pola elektrycznego, E, jakm obarczony jest wynk otrzymany przy zastosowanu MEL. Rozkład błędu zbadano w obszarze: 15 m x 15 m y = 0 2 m z 9 m. Należy stwerdzć, że błąd w rozważanym obszarze ne przekracza 1,25 %, przy czym najwększą wartość osąga prawe bezpośredno pod środkowym przewodem, na wysokośc 9 m, tj. w odległośc 1 m od tego przewodu.

Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 57 Rys. 1. Pojedynczy, neskończene dług przewód okrągły pod napęcem, zaweszony ponad płaszczyzną o potencjale zerowym Rys. 2. Rozkład natężena pola elektrycznego pod pojedynczym przewodem okrągłym (na różnych wysokoścach ponad płaszczyzną o potencjale zerowym)

58 W. Krajewsk Rys. 3. Błąd względny oblczeń numerycznych (MEL) natężena pola elektrycznego pod pojedynczym przewodem okrągłym (na różnych wysokoścach ponad płaszczyzną o potencjale zerowym) Rys. 4. Błąd względny oblczeń numerycznych (MEL) natężena pola elektrycznego pod pojedynczym przewodem okrągłym (na różnych wysokoścach ponad płaszczyzną o potencjale zerowym)

Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 59 Rys. 5. Układ trzech okrągłych przewodów o skończonej długośc, podłączonych do trójfazowego źródła napęca, zaweszonych nad płaszczyzną o potencjale zerowym Rys. 6. Rozkłady natężena pola elektrycznego pod układem trzech okrągłych przewodów, podłączonych do trójfazowego źródła napęca lna przerywana BEM, lna cągła MEL

60 W. Krajewsk Rys. 7. Błąd względny oblczeń numerycznych (MEL) natężena pola elektrycznego pod układem trzech okrągłych przewodów, podłączonych do trójfazowego źródła napęca 5. OCENA DOKŁADNOŚCI MEL W OBLICZENIACH POLA ELEKTRYCZNEGO W SĄSIEDZTWIE PŁASKOWNIKÓW I KĄTOWNIKÓW Bardzo często elementam obektów elektroenergetycznych są metalowe płaskownk kątownk, z których wykonywane są szynoprzewody oraz konstrukcje wsporcze. Modelowane takch elementów przy zastosowanu MEL zamast MEB, podobne jak w przypadku przewodów okrągłych, prowadz do znacznej oszczędnośc pamęc komputera oraz powoduje skrócene czasu oblczeń. I tym razem zachodz pytane: w jakm stopnu take uproszczene wpływa na dokładność rozwązana problemu? W nnejszym punkce przeanalzowano dokładność MEL w odnesenu do układu trzech płaskownków oraz układu trzech kątownków. W perwszej kolejnośc rozważono układ złożony z trzech płaskownków; każdy o długośc 5 m wymarze poprzecznym 0.15 m, rozmeszczonych w układze horyzontalnym nad płaszczyzną o potencjale zerowym (rys. 8). Odległość

Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 61 mędzy płaskownkam wynosła 0,5 m. Płaskownk podłączone były do trójfazowego źródła napęca 110 kv. Rozwązane, które uznano za dokładne, otrzymano za pomocą MEB z bardzo drobną dyskretyzacją obektu; każdy z płaskownków podzelono na 300 elementów brzegowych, tak jak to pokazano na rys. 8. W przypadku oblczeń uproszczonych, tzn. z zastosowanem MEL, każdy z płaskownków zamodelowano stosując 25 elementów lnowych umeszczonych w środku jego szerokośc. Na podstawe przeprowadzonych oblczeń dla płaskownków o różnych wymarach dla różnych ch konfguracj, ustalono optymalną, ze względu na dokładność rozwązana, lokalzację punktów kolokacj. Umejscowone są one w odległośc 0,2712a od brzegu płaskownka, gdze a jest jego szerokoścą. Rys. 8. Układ trzech płaskownków o skończonej długośc, podłączony do trójfazowego źródła napęca, zaweszony nad płaszczyzną o potencjale zerowym Na rysunku 9 pokazano wynk oblczeń dokładnych (MEB) natężena pola elektrycznego pod rozważanym układem płaskownków, na wysokoścach: 2 m 9 m. Z kole na rys.10 przedstawono rozkłady błędu względnego wynków uzyskanych za pomocą MEL. Błąd ten zdefnowano tak jak w punkce poprzednm w odnesenu do przykładu z trzema przewodam okrągłym. Jak wdać ne przekracza on tutaj 0,7 %.

62 W. Krajewsk W dalszej kolejnośc rozważono układ trzech kątownków równoramennych o długośc 5 m każdy, usytuowanych horyzontalne na wysokośc 10 m ponad płaszczyzną o potencjale zerowym (rys. 11). Odległość mędzy kątownkam wynosła 0,5 m. Układ podłączony był do jednofazowego źródła napęca 110 kv. Rozważono trzy przykłady różnące sę wymaram przekroju poprzecznego kątownków. Wymary te wynosły: 0,15 m 0,15 m, 0,1 m 0,1 m 0,05 m 0,05 m. Z tego rodzaju kątownków zbudowane są zwykle słupy WN. W precyzyjnych oblczenach natężena pola elektrycznego za pomocą MEB kątownk o wymarach: 0,15 m 0,15 m podzelono na 600 elementów brzegowych każdy. Dla kątownków o wymarach: 0,1 m 0,1 m 0,05 m 0,05 m zastosowano podzał odpowedno na 400 200 elementów brzegowych. W ramach przeprowadzonej analzy dokładnośc MEL (dla układu kątownków) początkowo zastosowano tak sam model jak dla płaskownków, tzn. zgnorowano zagęce oraz ponowe bok kątownków. Rozkłady błędu względnego dla tak przyblżonego modelu, przy różnych wymarach poprzecznych kątownków pokazano na rys. 13, 16 19. Jak wdać dla kątownków o wymarach: 0,15 m 0,15 m w odległośc 0,25 m od pozomej powerzchn kątownka błąd ten osąga prawe 22 %, w przypadku kątownka o wymarach: 0,1 m 0,1 m wynos 11% a dla kątownka o wymarach: 0,05 m 0,05 m ne przekracza 5 %. W odległośc dwa razy wększej błąd ten jest prawe czterokrotne mnejszy. Na wysokośc 2 m ponad płaszczyzną o potencjale zerowym omawany błąd kształtuje sę na pozome 1 %. Z powyższego wynka, że w welu przypadkach, gdy nteresują nas rozkłady pola w pewnej odległośc od konstrukcj wykonanej z kątownków można z powodzenem zastosować model MEL, tak jak dla płaskownków (pojedyncze elementy lnowe). W przypadku, gdy nteresują nas rozkłady pola w bezpośrednm sąsedztwe kątownków, jak ma to mejsce na przykład w zagadnenach modelowana pola elektrycznego dla warunków pracy pod napęcem [12, 13], można wprowadzć model udokładnony, gdze kątownk modelowany jest tak jak dwa przylegające do sebe płaskownk (podwójne elementy lnowe). Rozkłady błędu względnego dla tak udokładnonej MEL pokazano na rys. 14, 17, 20. Ponadto, na rys. 12, 15 18 pokazano rozkłady natężena pola elektrycznego pod rozważanym układem kątownków, oblczone zarówno przy użycu MEB jak warantu MEL z zastosowanem podwójnych elementów lnowych.

Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 63 Rys. 9. Rozkłady natężena pola elektrycznego pod układem trzech płaskownków o szerokośc 0,15 m, podłączonych do trójfazowego źródła napęca 110 kv Rys. 10. Błąd względny oblczeń natężena pola elektrycznego z zastosowanem MEL, pod układem trzech płaskownków o szerokośc 0,15 m, podłączonych do trójfazowego źródła napęca 110 kv

64 W. Krajewsk Rys. 11. Układ trzech kątownków o skończonej długośc, podłączony do jednofazowego źródła napęca 110 kv, umeszczony nad płaszczyzną o potencjale zerowym Rys. 12. Rozkłady natężena pola elektrycznego pod układem trzech kątownków o wymarach poprzecznych: 0,15 m 0,15 m, podłączonych do jednofazowego źródła napęca 110 kv lna cągła udokładnona MEL, lna przerywana BEM

Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 65 Rys. 13. Błąd względny oblczeń natężena pola elektrycznego z zastosowanem prostej MEL, pod układem trzech kątownków o wymarach poprzecznych: 0,15 m 0,15 m Rys. 14. Błąd względny oblczeń natężena pola elektrycznego z zastosowanem udokładnonej MEL, pod układem trzech kątownków o wymarach poprzecznych: 0,15 m 0,15 m

66 W. Krajewsk Rys. 15. Rozkłady natężena pola elektrycznego pod układem trzech kątownków o wymarach poprzecznych: 0,1 m 0,1 m, podłączonych do jednofazowego źródła napęca 110 kv lna cągła udokładnona MEL, lna przerywana BEM Rys. 16. Błąd względny oblczeń natężena pola elektrycznego z zastosowanem prostej MEL, pod układem trzech kątownków o wymarach poprzecznych: 0,1 m 0,1 m