Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo
Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze dotyczą watośc aametu ozkładu eaametycze dotyczą ostac fukcye ozkładu Weyfkaca hotez statystyczych to oces sawdzea awdzwośc tego zyuszczea a odstawe wyków óby losowe. Odbywa sę oa ozez wykoae odowedch testów statystyczych. Póba losowa to uzyskay z użycem dobou losowego odzbó elemetów oulac geeale. Dobó losowy to tak w któym wszystke elemety oulac geeale maą edakowe szase dostaa sę do óby. Poces weyfkac hotezy statystycze zebega astęuąco: fomułowae hotez: o Zeowa (H : Hoteza oddaa weyfkac. o Alteatywa (H : Hoteza zymowaa zy odzuceu hotezy zeowe. Wybó oblczee statystyk testowe: Buduemy ewą statystykę U któa est fukcą wyków z óby losowe wyzaczamy e ozkład zy założeu że hoteza zeowa est awdzwa. Fukcę U azywa sę statystyką testową lub fukcą testową. Okeślee ozomu stotośc: awdoodobeństwo oełea błędu ewszego odzau olegaącego a odzuceu hotezy zeowe w zyadku gdy est oa awdzwa. Wyzaczee obszau kytyczego: odae zakes watośc oblczoe statystyk testowe dla któych odzucamy hotezę zeową. Zależy o od zyętych: ozomu stotośc hotezy alteatywe. Podęce decyz: Oblczoą watość statystyk testowe oówuemy względem obszau kytyczego: o Jeżel watość ta zadze sę w obszaze kytyczym to hotezę zeową ależy odzucć ako eawdzwą. tąd wosek że awdzwa est hoteza alteatywa. o Jeżel atomast watość ta zadze sę oza obszaem kytyczym ozacza to że bak est odstaw do odzucea hotezy zeowe. tąd wosek że hoteza zeowa może ale e mus być awdzwa.. Test stotośc dla śede Paametycze testy stotośc H : mm a H : m<m b H : m>m c H : m m. ( < < ozaczać będze we wszystkch testach ozom stotośc testu lczebość óby... Badaa cecha oulac geeale ma ozkład N(m zae u ( m U a ( u ( b u ( c ( u ( ( u kwatyl ozkładu N(.
.. Badaa cecha oulac geeale ma ozkład N(m ezae t ( m t a ( t( b t ( c ( t t ( ( kwatyl ozkładu t-tudeta..3. Badaa cecha oulac geeale ma dowoly ozkład o ezae śede ezae ale skończoe waac. Lczość óby >. m m U * * estymowae odchylea stadadowe. a ( u ( b u ( c ( u ( ( u u ( kwatyl ozkładu N(.. Test stotośc dla waac H : a H : < b H : > c H :. Badaa cecha oulac geeale ma ozkład N(m. estymato waac a ( ( b ( c ( ( ( kwatyl ozkładu ch-kwadat. ( 3. Test ówośc watośc śedch w dwóch oulacach H : m m a H : m <m b H :m >m c H : m m. 3
3.. Badaa cecha ma w dwóch oulacach ozkłady N(m oaz N(m o zaych. U + lczośc ób obaych z dwóch oulac a ( u( b u ( c ( u u ( ( u ( kwatyl ozkładu N(. 3.. Badaa cecha ma w dwóch oulacach ozkłady N(m oaz N(m o ówych ale ezaych. t + + + estymatoy waac a ( t( + b t ( + c ( t t ( + ( + t ( kwatyl ozkładu t-tudeta. 3.3. Badaa cecha ma w dwóch oulacach ozkłady N(m oaz N(m o skończoych ale ezaych. (Test Cochaa-Co a C + któa zy założeu awdzwośc hotezy est zmeą o ozkładze któego fukca kwatylowa ma watość zyblżoą osaą wzoem: t( + t( c( + t ( kwatyl ozkładu t-tudeta. a ( c ( 4
b c ( c ( c( c( 4. Test ówośc watośc śedch dla a obsewac. Dotyczy zyadku gdy zed wykoaem akeś oeac a elemetach óby dokouemy omaów ewe cechy o ozkładze omalym a astęe o oeac mezymy tę samą cechę otzymuąc w te same koleośc elemetów wyk Y. Hotezę o ówośc śedch zastęuemy hotezą ówoważą: H : m z gdze Z Y a H : m z < b H : m z > c H : m z. t Z Z Z * Z a ( t( b t ( c ( t t ( (. t ( kwatyl ozkładu t-tudeta. 5. Test ówośc waac w dwóch oulacach Badaa cecha ma w dwóch oulacach ozkłady N(m oaz N(m. H : H : < H : > H :. Badaa cecha ma w dwóch oulacach ozkłady N(m oaz N(m. F a F( dla te hotezy statystyką testową est /F b F ( c F + dla te hotezy statystyką testową est ma F. ( l m F l m lczośc óbek lczka maowka F ( kwatyl ozkładu F-edecoa 6. Test ówośc waac w welu oulacach (test Batletta Badaa cecha ma w k > oulacach ozkłady N(m. H :... k H : dla ewych 5
k * ( k 33 * ( k log ( log c k * eobcążoe odchylee stadadowe z óby -te oulac łącza długość óby Pzymuąc założee o edakowe lczebośc ób w oulacach stałą c moża oszacować wzoem: k + c + ( 3( k ( k kwatyl ozkładu ch-kwadat 7. Testy zgodośc z ozkładem hotetyczym H : F( F ( H : F( F ( F( dystybuata ezaego ozkładu oulac F ( dystybuata ozkładu hotetyczego 7.. Test Peasoa Testy zgodośc Zadue zastosowae zaówo w zyadku zmee losowe (cechy cągłe ak dyskete. Weyfkac hotezy dokoue sę za omocą statystyk oate a szeegu ozdzelczym z óby. ( D lczba klas watośc zmee (cechy lczośc dośwadczale w oszczególych klasach lczośc hotetycze w oszczególych klasach. ( ( k kwatyl ozkładu ch kwadat z -k- stoam swobody k lczba aametów ozkładu oszacowaych metodą awększe waogodośc 7.. Test Kołmogoowa D su F ( F ( F ( dystybuata emycza F ( dystybuata teoetycza d ( 6
d watość kytycza (z tablc dla tego testu moża ą odczytać z tablc statystyczych. Dla > : λ D λ λ kwatyl ozkładu Kołmogoowa. 7.3. Test omalośc ozkładu hao-wlka tosoway dla małych ób ( 3 5. H : Rozkład oulac est omaly H : Rozkład est óży od omalego a ( ( ( + ( W... [ / ] ( a ( stałe zależe od oaz (w tablcach (-+ ( quas-odstęy zędu. Doełee zbou kytyczego: <W(/ W(/ > W(.. kwatyl ozkładu W (w tablcach.!!! Hotezę H odzuca sę a ozome stotośc eśl watość statystyk testowe zadze sę oza doełeem zbou kytyczego. 8. Testy zgodośc ozkładów dwóch oulac Dae są dwe ezależe óby oste o lczbe elemetów odowedo w któych dystybuaty F F badae cechy są cągłe. H : F ( F ( H : F ( F ( 8.. Test mowa-kołmogoowa D su ( ( F F F ( F ( dystybuaty emycze odowedo ewsze duge óby. d ( d ( watość kytycza dla tego testu (z tablc statystyczych Dla > : λ D dla + 7
λ λ kwatyl ozkładu Kołmogoowa. 8.. Test se lczba se defowaych astęuąco: wyk obu ób oządkue sę osąco zy zachowae fomac z któe óby ochodzą ako seę zymue sę każdy maksymaly odcąg składaący sę z elemetów wybae óby. k ( k watość kytycza (z tablc statystyczych. ( 8.3. Test Wlcooa suma wes defowaych astęuąco: wyk obu ób oządkue sę osąco zy zachowae fomac z któe óby ochodzą ako watość wes dla dae watośc ede óby zymue sę lczbę elemetów duge óby ozedzaących daa watość. u( u( u watość kytycza (z tablc statystyczych. ( 8.4. Test koleośc a Wlcooa Model te est odowedkem weyfkac hotezy o ówośc śedch dla a obsewac. tosue sę go wtedy gdy badaa cecha mezala e ma ozkładu omalego dysoue sę wykam elcze óby lub wyk óby wyażoe są tzw. skal oządkowe. Oblcza sę óżce odowadaących sobe a watośc ozdzela e a óżce dodate ueme oaz oma óżce o watośc zeo. Pzedtem edak ależy adać ag bezwzględym watoścom wyzaczoych óżc t. uoządkować w emaleący cąg zysać kolee lczby atuale oczyaąc od watośc ; ależy zwócć uwagę że edakowym watoścom cągu ależy zysać śeda aytmetyczą ag. Rozdzelaąc óżce ależy ozdzelć także odowadaące m ag a astęe oblczyć odowede sumy tych ag T(+ oaz T(. tatystykę testową: T m ( T(+ T( ( T( T watość kytycza (z tablc statystyczych. Dla >5 moża skozystać z faktu że statystyka T ma asymtotyczy ozkład omaly N(ms gdze ( + ( + ( + m s 4 4 9. Test zgodośc ozkładów welu oulac 9.. Test sumy ag Kuskala-Wallsa Daych est k oulac w któych badaa cecha ma ozkłady tyu cągłego o ezaych dystybuatach odowedo F.. F k. H : F (... F k ( 8
H : F ( F ( dla ewych. k ( + R 3( + R suma ag -te oulac w uoządkowaym emaleąco cągu wszystkch watośc óbkowych z k oulac (zy edakowe watośc klku koleych wyków zysuemy każdemu z ch agę będącą śedą aytmetyczą zysaych m lczb atualych. ( ( kwatyl ozkładu ch kwadat o stoach swobody.. Klasyfkaca oedycza Aalza waac Badaa cecha ma w każde z oulac ozkład omaly N( m o edakowych waacach tz..... Z każde z oulac obeamy ezależą óbę losową o lczeboścach odowedo............. -ty wyk w -te óbce ( < < ozom stotośc testu H : m m... m (śede we wszystkch oulacach są ówe H : m m dla ewych ( (e wszystke śede są ówe QG QR F / Q Q F G R ( zóżcowae mędzyguowego ( zóżcowae wewątzguowe ( F( kwatyl ozkładu edecoa o (-- stoach swobody. W zyadku odzucea hotezy o ówośc śedch do oszacowaa stotośc óżc wyóżoych a śedch moża stosować test NIR (amesze stote óżcy. NIR t Q R + t + ( ( ( lczebośc ób z -te oaz -te oulac t ( kwatyl ozkładu tudeta. 9
Pzymue sę że óżca mędzy śedm est statystycze stota gdy: NIR. Klasyfkaca odwóa Poulaca składa sę z waatów (A B (...... w każdym z ch dokoao edakowe lczby l omaów badae cechy któa ma ozkład omaly N(m w każdym z waatów oulac. l. k... śeda z kolum l k. k l k l k l k l... śeda z weszy śeda ogóla k k-ty wyk w waace (A B m. m m. m m m Weyfkue sę astęuące hotezy. H : m m dla...... (ówość watośc zecętych m badae cechy we wszystkch oulacach H : m.... m. (ówość watośc zecętych m. badae cechy oddae dzałau czyka A bez uwzględaa wływu czyka B 3 H 3 : m.... m. (ówość watośc zecętych m. badae cechy oddae dzałau czyka B bez uwzględaa wływu czyka A 4 H 4 : m m. m. + m...... m m ( m. m + ( m. m (addytywość oddzaływaa efektów ozatywaych czyków bak teakc Waace: Q k Q A l Q B l Q AB l l ( k (ogóla ( (dla czyka A. (. (dla czyka B Q R k l (... (wzaema czyków A B ( k. (esztkowa Weyfkaca H : Na odstawe ezależych óbek każda o lczośc l stosuąc test aalzy waac w zyadku klasyfkac oedycze.
Weyfkaca H : QA QR FA ( l <F( (l + Weyfkaca H 4 : QAB QR FAB ( ( ( l <F( (( (l + Weyfkaca H 3 : QB QR FB ( l <F( (l + F( kwatyl zędu ozkładu F-edecoa zy aze ( sto swobody Pzykładowe ytaa sawdzaące zygotowae do zaęć. Wyaś oęce hotezy statystycze.. Na czym olega weyfkaca hotez statystyczych? 3. Czym est óba losowa? 4. Wymeń kolee kok ocesu weyfkac hotezy statystycze. 5. Omów zaczee hotez zeowe alteatywe. 6. Wyaś zaczee ozomu stotośc obszau kytyczego. 7. W ak celu budowaa est statystyka testowego od czego est oa zależa. 8. Omów edą ze zaych C metod weyfkac dowole aametycze hotezy statystycze. 9. Omów edą ze zaych C metod weyfkac dowole eaametycze hotezy statystycze.. Do czego służą testy stotośc dla śede? Poda ostać hotezy zeowe hotez alteatywych.. Wymeń zae C testy stotośc dla śede oda zyadk ch zastosowań.. Do czego służy test stotośc dla waac? Poda ostać hotezy zeowe hotez alteatywych. 3. Do czego służą testy ówośc śede w dwóch oulacach? Poda ostać hotezy zeowe hotez alteatywych. 4. Wymeń zae C testy ówośc śede w dwóch oulacach oda zyadk ch zastosowań. 5. Do czego służy test ówośc śede dla a obsewac? Poda ostać hotezy zeowe hotez alteatywych. 6. Do czego służy test ówośc waac w dwóch oulacach? Poda ostać hotezy zeowe hotez alteatywych. 7. Do czego służy test ówośc waac w welu oulacach? Poda ostać hotezy zeowe hotez alteatywych. 8. Do czego służy test Peasoa. Poda ostać hotezy zeowe hotezy alteatywe. W ak sosób budowaa est statystyka testowa? 9. Do czego służy test Kołomogoowa. Poda ostać hotezy zeowe hotezy alteatywe. W ak sosób budowaa est statystyka testowa?. Do czego służy test omalośc ozkładu hao-wlka. Poda ostać hotezy zeowe hotezy alteatywe.. Do czego służy test mowa-kołomogoowa. Poda ostać hotezy zeowe hotezy alteatywe. W ak sosób budowaa est statystyka testowa?. Do czego służy ak wygląda dzałae testu se? 3. Do czego służy test sumy ag Kuskula-Wallsa. Jake fomace zawea suma ag R -te oulac. 4. Jake hotezy weyfkue klasyfkaca oedycza aalzy waac? 5. Jake hotezy weyfkue klasyfkaca odwóa aalzy waac?