Ćwiczenia 2 mgr Dawid Doliński
Modele szeregów czasowych sały poziom rend sezonowość Y Y Y Czas Czas Czas Modele naiwny Modele średniej arymeycznej Model Browna Modele ARMA Model Hola Modele analiyczne Modele ARMA, ARIMA Model wskaźników seznowości Model Winersa Modele ARIMA
Zadanie 1 Tydzień Popy 1 10 2 11 3 9 4 11 5 10 6 8 7 12 8 9 9 10 10 11 11 20 12 21 13 19 14 22 15 18 16 20 17 21 18 19 19 20 20 21 1) Swórz wykres zarejesrowanego popyu, 2) Zbuduj model prognosyczny oraz wyznacz prognozę na 21 ydzień wykorzysując model Browna 3) Oceń rafność prognozy ex pos wykorzysując średni kwadraowy błąd prognozy
Model Browna Model Browna opiera się na idei wyrównywania wykładniczego szeregu czasowego, co polega na ym, że szereg czasowy wygładza się za pomocą średniej ruchomej ważonej, przy czym wagi są wyznaczane z funkcji wykładniczej y = ay -1 + (1 - a) y -1 y y - 1 y - 1 a - prognoza zjawiska na okres - wielkość badanego zjawiska w okresie -1 - prognoza zjawiska (warość wygładzania wykładniczego) w okresie -1 - paramer modelu sała wygładzania o warości z przedziału [0,1] a = 0 - sała prognoza, a = 1 - prognoza równa popyowi w poprzednim okresie (model naiwny)
Model Browna Popy 25 Model Browna a = 0,2 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Popy Model - prognoza Czas Popy 25 20 Model Browna a = 0,8 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Popy Model - prognoza Czas
Tydzień 45 46 47 48 49 50 51 52 Model Browna y y a = 0,1 59 y = ( 1-a) y- 1 + ay -1 59,0 34 56,5 23 59,0 (1-0,1) + 340,1 = 56,5 53,2 37 56,5 (1-0,1) + 230,1 = 53,2 51,5 40 53,2 (1-0,1) + 370,1 = 51,5
Zadanie 2 Dyrekor Sprzedaży firmy wywarzającej sprzęgła samochodowe chce przygoować prognozę na kolejny miesiąc. Liczba sprzedaży w poprzednich miesiącach przedsawia abela Miesiąc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Popy 37 41 40 41 45 42 46 48 47 53 58 67 79 85 88 1) Zbuduj model prognosyczny oraz wyznacz prognozę na kolejny miesiąc wykorzysując meody: a) Model Hola b) Model funkcji liniowej c) model funkcji wykładniczej d) model funkcji poęgowej e) model funkcji logarymicznej 2) Dla każdego modelu określ średni kwadraowy błąd prognozy oraz średni względny błąd prognozy
Model Hola Model Hola opiera się na idei wyrównywania wykładniczego, przy czym model en jes bardziej elasyczny od modelu Browna, ponieważ uwzględnia rend i posiada dwa paramery y = F + ( - n) S n n y F n S n n - prognoza zjawiska na okres - wygładzona warość zmiennej prognozowanej dla okresu n - przyros rendu na okres n - liczba wyrazów szeregu czasowego Przy budowaniu modelu korzysamy z równań a ~ 0 sacjonarny, a ~ 1 duże wahania β ~ 0 słaby rend, β ~ 1 silny rend a b S F = a y + ( 1-a) ( F - 1 + S- 1) b = ( F - F - 1 ) + (1 - ) S- 1 - paramer określający sacjonarność szeregu - paramer określający siłę rendu b
F S Model Hola = a y + ( 1-a) ( F - 1 + S- 1) b b = ( F - F - 1 ) + (1 - ) S- 1 a = 0,95 b = 0, 6 53 45 = 8 Miesiące Syczeń 2007 Luy 2007 Warość Sprzedaży 45 53 F 45 0,9553+(1-0,95)(45+8)=53,0 S 8 0,6(53-45)+(1-0,6)8=8,0 y - 45+8=53 Marzec 2007 57 0,9557+(1-0,95)(53+8)=58,6 0,6(58,6-53)+(1-0,6)8=5,7 53+8=61 Grudzień 2007 70 0,9570+(1-0,95)(70,9+2,5)= 71,4 0,6(71,4-70,9)+(1-0,6) 2,5=0,6 70,9+2,5= 73,4 Syczeń 2008 - - - 71,4+0,6= 72 y = F + ( - n) S n n y 13 = 71,4 + (13-12) 0,6 = 72
Modele analiyczne Modele analiyczne należą do klasy modeli ekonomerycznych, w kórych zmienną objaśniającą jes czas. Modele e opierają się na esymacji paramerów modelu, a nasępnie wykorzysania ych paramerów do prognozowania Meoda Najmniejszych Kwadraów 2 R s w Modele analiyczne cechy charakerysyczne Do budowy modelu wysarczają jedynie dane empiryczne w posaci szeregu czasowego Prosy sposób esymacji paramerów Ławy sposób określania dokładności prognoz Częso wysępuje auokorelacja składnika reszowego, co uniemożliwia dokładne określenie błędu prognozy
Modele analiyczne Modele analiyczne określa się jako funkcje rendu. Najpopularniejsze o: Funkcja liniowa Funkcja wykładnicza Funkcja poęgowa Funkcja logarymiczna Funkcja wielomianowa Y Funkcja liniowa y = a + b gdzie kolejna jednoska czasu α, β esymowane paramery 0 2 4 6 8 10 12 czas 14
Modele analiyczne Funkcja liniowa y warości eoreyczne 65 1 2 3 37 41 40 37,5 38,9 40,2 60 55 funkcja rendu 4 41 41,6 50 5 6 7 43 42 46 42,9 44,3 45,6 45 40 8 48 47,0 35 9 10 47 51 48,3 49,7 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11? prognoza y = a + b KMNK a = 36, 65 b =1, 03 y = 36,65 + 1,03 = 11 y 11 = 36,65 + 1,0311 y 11 = 47, 98
Modele analiyczne Modele analiyczne Funkcja liniowa Funkcja wykładnicza Funkcja poęgowa Funkcja logarymiczna Funkcja wielomianowa Funkcja wykładnicza y = e a +b y = a e b gdzie β>0 Y y = a eb gdzie kolejna jednoska czasu gdzie β>1 α, β esymowane paramery e liczba Euler a - e ~ 2,71 czas 0 2 4 6 8 10
Modele analiyczne Funkcja wykładnicza y = a e b a 0 a 1 >1 0<a 1 <1 a 1 jes sopą wzrosu warość zmiennej objaśnianej wzrasa (spada gdy a 1 <1) przecięnie o (a 1-1)100%, gdy warość zmiennej objaśniającej wzrasa o jednoskę (np. z okresu na okres), w modeluyˆ = 2,7 1, 13 warość zmiennej y wzrasa przecięnie o 13% z okresu na okres. a 0 o ile go inerpreujemy jes poziomem zmiennej objaśnianej, gdy zmienna objaśniająca jes równa 0. Model liniowy przekszałca się do posaci liniowej jako: ln yˆ = lna 0 + lna1 x W=c+bx Podsawiając: W=ln(y) b = lna0 c = lna 1
Modele analiyczne Modele analiyczne Funkcja liniowa Funkcja wykładnicza Funkcja poęgowa Funkcja logarymiczna Funkcja wielomianowa Y Funkcja poęgowa b y = a gdzie β>1 lub 0< β<1 gdzie kolejna jednoska czasu α, β esymowane paramery czas 0 2 4 6 8 10 12
Modele analiyczne Funkcja poęgowa y ˆ = a x 0 a a 0 jes poziomem zmiennej objaśnianej, gdy zmienna objaśniająca jes równa 1. a 1 jes elasycznością zmiennej objaśnianej względem zmiennej objaśniającej i oznacza w przybliżeniu procenową zmianę y spowodowaną zmianą warości x o 1% 1 a 1 <0 a 1 >1 Model poęgowy przekszałca się do posaci liniowej jako: ln y = lna 0 + a1 ln x a 0 1 0<a 1 <1 Podsawiając: W=ln(y) Z=ln(x) = lna0 b = a c 1 FUNKCJA LINIOWA W=c+bZ
Modele analiyczne Modele analiyczne Funkcja liniowa Funkcja wykładnicza Funkcja poęgowa Funkcja logarymiczna Funkcja wielomianowa Y Funkcja logarymiczna y = a + bln gdzie β>0 gdzie kolejna jednoska czasu α, β esymowane paramery ln logarym nauralny czas 0 2 4 6 8 10 12
Modele analiyczne Modele analiyczne Funkcja liniowa Funkcja wykładnicza Funkcja poęgowa Funkcja logarymiczna Funkcja wielomianowa Funkcja wielomianowa Y y = a 0 + a 1 + a 2 2 +... + a n n gdzie kolejna jednoska czasu α, esymowane paramery 0 2 4 6 8 10 czas 12
Model na zaliczenie 1) Dobór modelu prognosycznego - 2 PUNKTY Przedsawienie kilku modeli prognosycznych Kryeria wyboru modelu dlaczego aki model? 2) Zbudowanie prognozy na kolejne okresy - 1 PUNKT Określenie prognozy na kolejne okresy na podsawie wybranego modelu 3) Ocena błędu / rafności prognozy - 2 PUNKTY określenie błędu zbudowanej prognozy Ocena rafności prognozy przez wykładowcę Trafność 80 90 % - 0,5 punka Trafność > 90% - 1 punk 4) Forma - 1 PUNKT Wykresy danych wejściowych, NAJLEPSZEGO modelu Komenarze Czyelność budowanego modelu prognosycznego
Dziękuj kuję za uwagę