Rezerwa IBNR w ubezpeczenach maątkowych metody e kalkulac mgr Agneszka Pobłocka Unwersytet Gdańsk
RTU ogółem (Dzał I Dzał II) ch udzał w PKB (w mld zł, %) 9,0% 7,5 % 7,7 % 7,6 % 120,00 8,0% 7,3 % 6,6 % 6,2 % 6,0 % 100,00 7,0% 6,0% 5,5 % 80,00 5,0% 3,9 % 3,4 % 1 0 0 9 7,9 2,9 % 60,00 4,0% 3,0% 9 0 2,5 % 7 8 6 5 1,9 % 5 7 1,4 % 40,00 2,0% 5 1 1,2 % 4 5 1,1 % 1,0 % 0,9 % 3 1 2 5 2 0 1 5 1 0 6,0 3,8 2,4 1,0 0,9 % 0,7 5 20,00 1,0% 0,0% 0,00 2 0 0 9 2 0 0 8 2 0 0 7 2 0 0 6 2 0 0 5 2 0 0 4 2 0 0 3 2 0 0 2 2 0 0 1 2 0 0 0 1 9 9 9 1 9 9 8 1 9 9 7 1 9 9 6 1 9 9 5 1 9 9 4 1 9 9 3 1 9 9 2 1 9 9 1 Rezerwy TU brutto (dzał I II) [mld PLN] Udzał rezerw TU ogółem w PKB [w m ld P L N ]
2,50% 2,00% 1,50% 1,00% 0,50% RTU Dzał II ch udzał w PKB (w mld zł, %) 0,00% 2,15% 2 9 2,12% 2 6,9 2,06% 2 4,2 2,09% 2 2,2 2,15% 2 1,1 2,14% 1 9,7 2,22% 1 8,7 2,17% 1 7,6 1,57% 1 2,2 1,41% 1 0,5 1,33% 8,8 1,17% 7,1 0,96% 5,0 0,69% 2,9 0,56% 1,9 0,62% 1,3 0,60% 0,64% 0,7 3 0,92% 0,7 4 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000 1999 1998 1997 1996 1995 1994 1993 1992 1991 Rezerwy TU brutto dzał II Udzał rezerw TU brutto dzał II w PKB [w m ld P L N]
Rezerwy na newypłacone odszkodowana śwadczena obemuą[1]: rezerwy z tytułu szkód zgłoszonych oszacowanych rezerwy z tytułu szkód zgłoszonych, ale eszcze neoszacowanych rezerwy z tytułu szkód zastnałych, ale nezgłoszonych (Incurred But Not Reported, IBNR) rezerwy z tytułu szkód wznowonych t. spornych. [1] Zgodne z ustawą o rachunkowośc, Dz. U. 1994, Nr 121, poz. 591 z późn. zm. (art. 81 ust. 2 pkt 6 lt. A.) ostatn akt zmenaący: Dz.U. 2008 nr 223 poz. 1466
Udzał rezerwy IBNR w RTU (Dzał II) 25,00% 20,00% 15,00% 18,81% 17,85% 20,72% 20,61% 21,14% 21,31% 20,17% 20,72% 19,65% 19,55% 20,54% 21,62% 19,28% 21,01% 20,36% 19,82% 17,29% 17,91% 10,00% 5,00% 0,00% 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 na udzale własnym brutto
Zarys hstoryczny metod kalkulac rezerwy IBNR Perwszą technkę determnstyczną przedstawł T. F. Tarbell [1934] Perwszy klasyczny model stochastyczny dla: zakumulowanych danych szkodowych zaprezentowal Kramreter oraz Straub [1973], a rozwał B. Zehnwrth [1989] oraz T. Mack [1993] nezakumulowanych danych szkodowych wprowadzł Verbeek [1972], który uogólnł Kremer [1982] ako dwuczynnkowy model analzy waranc Perwsze neklasyczne modele stochastyczne zaprezentowal F. De Vylder M. Goovaerts [1979]
Klasyfkaca metod estymac rezerwy IBNR A. Wolny [2005] wyróŝnła metody: statystyczne proste statystyczne zaawansowane W. Ronka Chmelowec [1997] podzelła metody na: przyblŝone ryczałtowe rytmu płatnośc szkód aktuaralne J. Charles S. Westphal [2006] wyszczególnl metody: oparte na skumulowanych danych szkodowych bazuące na neskumulowanych danych szkodowych symulacyne (metody bootstrapowe, Feldbluma) bayesowske
Klasyfkaca metod estymac rezerwy IBNR c.d. G. Taylor [1986] oraz G. Taylor, G. McGure, A. Greenfeld [2003, str 2-8] sklasyfkowal modele według: występowana zmennych losowych modele determnstyczne stochastyczne występowana zmennych opóźnonych w czase modele statyczne dynamczne struktury modelu macro-modele mcro-modele metod szacowana parametrów model metody heurystyczne optymalzac
Metody determnstyczne Metody uproszczone: model Tarbell a, metoda szkodowośc model średnego opóźnena w zgłoszenu szkody model wypłaconych odszkodowań model wypadkowe funkc opóźneń zgłaszanych szkód Metody szacowana współczynnków rozwou szkód: metoda średnch wartośc współczynnków rozwou szkód metoda rozwou szkody metoda grossng up prosta technka Chan Ladder ( e modyfkace) metoda Bornhuttera-Fergusona
Klasyczne metody stochastyczne Modele szacowana współczynnków rozwou szkód Model Kramreter a Straub a [1973] Stochastyczny model chan ladder Mack a [1994] Modele regres Model regres logarytmczno-normalne Chrstofdes a [1990] Sem-parametryczny model Doray a [1996] Probablstyczny model rodzny trendu Barnett'a Zehnwrth a [1998] Modele uogólnone regres lnowe GLM Model logarytmczno-normalny Kremer a [1982] Model Posson a ako stochastyczny model CL Renshaw a R. Verrall a [1994] Model gamma Mack a [1991], Renshaw a Verrall a [1994] Arytmetyczny model separac Verbeek'a [1972] Geometryczny model separac Taylor a [1977] Model namneszych kwadratów De Vylder a [1978]
Neklasyczne metody stochastyczne Modele oparte o teorę zaufana (credblty theory) De Vylder a model warygodnośc Mack a model warygodnośc Gunnara Benktandera Straub a Technka fltru Kalman a Modele bayesowske Modele herarchczne Bayasowsk predyktor zaufana Modele symulacyne Metody bootstrapowe Metoda Feldblum a
Wybór modelu Który model wybrać w praktyce???
Praktyka ubezpeczenowa Do oszacowana rezerwy IBNR dla róŝnych grup ryzyka stosowane są róŝne technk oblczenowe Jeden zakład ubezpeczeń dzału II wykorzystue od klku do klkunastu metod szacowana te rezerwy Na przykład: ryzyko z grupy 3 10 (Auto Casco OC posadaczy poazdów) oraz ryzyko z tytułu welkch szkód komunkacynych szacowane moŝe być metodą Chan- Ladder ryzyko z grupy 6 12 (ubezpeczena morske) szacowane moŝe być metodą średne ruchome z ostatnch klku lat ryzyko z grupy 15 (ubezpeczena gwaranc) moŝna oszacować metodą opartą na współczynnku szkodowośc
Praktyka ubezpeczenowa Aktualne nabardze popularne metody szacowana IBNR w Polsce to [1]: prosta technka Chan-Ladder (CL) metoda Bornhuettera-Fergusona (BF) metoda Gunnara Benktandera (GB) w Europe [2]: prosta technka Chan-Ladder (CL) metoda Bornhuettera-Fergusona (BF) metody uogólnonego modelu lnowego (GLM) [1] Bak W., Smętek M. Szymańsk W. [2006], Buletyn KNUFE [2] Wuthrch M.V. [2007], Clams Reservng n Non-Lfe Insurance, General Insurance, P&C Insurance, CSIRO, Sydney
Trókąt rozlczana szkód [X] (the run-off trangle) Okres wystąpena szkody () Okres opóźnena w rozlczanu szkód () \ 0 1 2... n-2 n-1 0 1 2 X 00 X 01 02 X 10 X 11 12 X X 20 21 X 22 M M M n-2 n-1 X X n 2,0 n 2, 1 X n 1,0 X... X... X0, n 2 X0, n 1 X 1, n 2 Oznaczena: X - łączne neskumulowane płatnośc z tytułu szkód zastnałych w tym okrese wypadkowym (powstana szkody), które zostały rozlczone z opóźnenem o okresów tzn. w chwl +-1. n - lczba okresów wypadkowych wykorzystywana w badanu.
Trókąty rozlczena szkód [X] [C] ZałóŜmy, Ŝe dane w trókące szkód opsuą nezakumulowane szkody: [X] {X: 0,1,,n-1; 0,1,,n-+1} zakumulowane szkody: [C] {C: 0,1,,n-1; 0,1,,n-+1} C X k k 0
Metoda średnch wartośc współczynnków rozlczana szkód (SW) średne współczynnk rozlczana szkód z trókąta [C]: ~ f n 1 n 0 f 1, gdze: f C C dla, 0,1,2,...,n-1 skumulowane przyszłe płatnośc: Cˆ ~, C, n 1 fn 1 ~ f rezerwa IBNR w metodze SW: Rˆ SW ( Cˆ C ) n 1 0, n 1, n 1
Metoda grossng up (GU) zakłada zamknęty okres wypadkowy 0,1,2,...,n-1,po którym ne wystąp uŝ w Ŝadna wypłata odszkodowana (C0C0,n-1), współczynnk całkowte szkody z trókąta [C]: skumulowane przyszłe płatnośc: rezerwa IBNR w metodze GU: Rˆ f GU k 0 C C 0 0 dla 0,1,2,...,n-2 n (, ) 1 ˆ k C C, n 1, n 1 0, n 1 gdze, k oznacza lczbę okresów, w których C est znane Cˆ C f
Metoda chan-ladder (CL) współczynnk prześca z trókąta [C]: f n + 1 1 n + 1 1 C C, 1, dla 0,1,2,...,n-1 skumulowane przyszłe szkody: Cˆ, C, k rezerwa IBNR w metodze CL: ˆ ~ ~ f k k gdze, ( Cˆ C ) CL n R 1, n f k f 1
Metoda Bornhuettera-Fergusona (BF) współczynnk rozwou szkód: 1 ˆ 0, n f f n 1 wskaźnk podzału z trókąta [C]: gdze: (0,1,2,...,n-2) dzelące całkowte zobowązana na wypłacone przyszłe ˆ W Ĉ ˆ C C (1 p ) P ˆ Cˆ Sk rezerwa IBNR w metodze BF: ˆ BF n 1 R 0 p 1 n 1 0 WS 1 Cˆ fˆ P. f Cˆ C C C p
Przykład 1 Tabela 1. Trókąt szkód neskumulowanych Okres Okres opóźnena w wypłace odszkodowana () wypadkowy 0 1 2 3 4 5 1991 () 115 239 56 055 14 691 10 255 5 530 3 102 1992 121 528 57 911 15 221 9 339 5 336 1993 115 427 53 967 12 488 8 543 1994 113 008 46 666 11 050 1995 109 881 53 408 1996 128 982 Źródło: Scollnc D.P.M. Actuaral Modelng wth MCMC and BUGS, North Amercan Actuaral Journal 2001, 5(2) 96-124.
Wynk dla przykładu 1 Okres Rezerwy IBNR Rezerwy IBNR Rezerwy IBNR wypadkowy () Metoda SW Metoda CL Metoda GU 1991 - - - 1992 1 597 3 140 3 218 1993 4 391 8 095 8 376 1994 9 324 16 156 17 337 1995 17 416 29 502 32 009 1996 60 509 94 268 100 322 Łączne IBNR 93 238 151 161 161 263
Przykład 2 Tablca 1. Trókąt nezakumulowanych szkód Okres wypadkowy () Okres opóźnena w wypłace odszkodowana () 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Składka 1 5 946 975 3 721 237 859 717 207 760 206 704 62 124 65 813 14 850 11 130 15 813 15 537 469 2 6 346 756 3 246 406 723 222 151 797 67 824 36 603 52 725 11 186 11 646 15 156 408 3 6 269 090 2 976 223 847 053 262 768 152 703 65 444 53 545 8 924 14 617 287 4 5 863 015 2 683 224 722 532 190 653 132 976 88 340 43 320 14 155 682 5 5 778 885 2 745 229 653 894 273 395 230 288 105 224 14 726 509 6 6 184 793 2 828 338 572 765 244 899 104 957 15 307 599 7 5 600 184 2 893 207 563 114 225 517 15 218 096 8 5 288 066 2 440 103 528 073 14 835 369 9 5 290 793 2 357 936 14 648 731 10 5 675 568 15 491 250 Źródło: Charles J., Westphal S., 2006, Stochastc reservng, CAE Sprng 2006 Meetng.
Wynk dla przykładu 2 Tablca 4. Szacowane rezerwy IBNR Okres Rezerwy IBNR wypadkowy Metoda SW Metoda CL Metoda SW* Metoda BF* Metoda GU Metoda RS 1 - - - - - - 2 7 582 14 907 43 326 4 472 566 15 174 26 850 3 12 488 25 541 36 261 1 259 249 25 851 35 772 4 16 423 34 074 32 710 529 304 36 711 76 366 5 53 350 84 382 66 479 319 024 95 700 184 063 6 103 953 155 815 115 106 172 015 154 116 294 935 7 202 180 285 091 211 138 94 521 325 463 513 523 8 325 424 448 460 332 498 37 856 458 138 1 052 140 9 799 469 1 038 823 805 510 26 050 1 142 309 4 817 916 10 3 093 720 3 945 689 4 821 225 15 872 4 929 422 3 575 026 Łączne IBNR 4 614 590 6 032 783 6 464 254 6 926 459 7 182 883 10 576 591 *Przyęto, Ŝe C Składka * Wsp. Szkodowośc (72%) Źródło: Opracowane własne, na podstawe tablcy 1.
Wynk dla przykładów 1 2 6 000 000 5 000 000 4 000 000 3 000 000 2 000 000 1 000 000 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CL SW GU
Wypłacalność II (Solvency II) Program ma zostać zamplementowany dna 01.11.2012 roku Zgodne z nm nastąp przełom w szacowanu RTU: aktualne są szacowane do końca okresu wypadkowego (the ultmate) bez wymogu oszacowana błędu prognozy a będą mały oszacować roczne ryzyko zakładów ubezpeczeń, czyl roczną zmanę dyspers rezerw (the volatlty) A zatem, metody determnstyczne zostaną naturalne zastąpone metodam stochastycznym umoŝlwaącym oszacowane rocznego błędu prognozy rezerw, czyl rocznego ryzyka zakładów ubezpeczeń
Modele stochastyczne gdze, zakładaą, Ŝe szkody moŝna reparametryzować na czynnk: X α β γ ξ, α to parametr opsuący efekty -tego okresu wypadkowego, β to parametr opsuący efekty -tego okresu rozwou szkody, a γ to parametr opsuący czynnk losowe w +-1-tym okrese kalendarzowym, ξ to parametr opsuący czynnk losowe.
Klasyczny model regres logarytmczno-lnowe Chrstofdes a X α β ξ nezaleŝne o dentycznym rozkładze Y,. ln X, Y + a + b e ( Y + e e µ ), ~ IID N a b 0. 1 1 ( 0,σ ), są nezaleŝne o dentycznym rozkładze ˆ exp( ˆ 0.5 ˆ [ ] X Y + VarY ) ˆ ˆ exp( ˆ ) 2 Var X X VarY 1 ( )
X Model Posson a GLM Renshaw a Verrall a stochastyczny model chan ladder α β γ γ 1 k Y X, Y ~ Pos( λ ), EY λ α β Y m + e, e over-dspersed Posson dstrbuton EY m, ( m ) m VarY φ V, gdze: 1 log m η, η µ + a + b, b 0 1 1 V m m, φ, ( ) a > m exp( µ ) EY. 1 1 11
Model Posson a GLM Renshaw a Verrall a stochastyczny model chan ladder Xˆ ( ) ( ) 2 ˆ η exp ˆ µ + aˆ + bˆ + 0.5 ˆ σ m exp, MSE [ ] ( ) 2 Xˆ E X Xˆ Var[ X ] + Var[ Xˆ ] ( ) 2 φ V m + m Var( ˆ η ) 2 φ m + m Var( ˆ η )
Model gamma GLM Mack a, Renshaw a Verrall a X α β γ γ 1 k Y X, Y ( ) ~ gamma ~ α ~, β, EY ~ α ~ / β, Y m + e, VarY ~ ~ α / β 2 EY m, ( m ) VarY φ V, gdze: φ 1/ ~ α η ln m, η µ + a + b, b 0 1 1 a > EY m exp( µ ) 1 1 11, ( ) 2 m m V,
Model gamma GLM Mack a, Renshaw a Verrall a Xˆ ( ) ( ) 2 ˆ η exp ˆ µ + aˆ + bˆ + 0.5 ˆ σ m exp, MSE [ ] ( ) 2 Xˆ E X Xˆ Var[ X ] + Var[ Xˆ ] ( ) 2 φ V m + m Var( ˆ η ) 2 φ m 2 + m Var( ˆ η )
Bayesowsk model chan ladder Scollnc a f f n + 1 1 n + 1 1 C C, 1, dla 1,2,...,n; 2,...,n, f ~ N ( θ, τ, θ ), 1,...n oraz 1,...n-1 ( µ ) N, 0 0, ~ τ w µ 0 ~ N ( 1,0.001) τ τ, τ ~ Γ( 0.001,0.001), τ 0 ~ N ( 0.001,0.001) e ~ N (0,1000000000) gdze: θ est parametrem ryzyka, τ, est precyzą rozkładu
Metoda bayesowska Verrall a opera sę na modelu Posson a GLM, w którym wprowadzony est rozkład a pror dla okresów zgłoszena rozlczena szkód X α β γ γ 1 k Y X, Y ~ Pos( λ ), EY λ α β Y m + e, e over-dspersed Posson dstrbuton α ~ N ( θ, τ, ), 1,...n oraz 1,...n-1 θ ( µ ) N 0, 0, ~ τ w β Γ (1, τ ) µ 0 ~ N ( 1,0.001) τ τ, τ ~ Γ( 0.001,0.001) ~ τ τ, τ ~ Γ( 0.001,0.001) w, τ 0 ~ N ( 0.001,0.001) e ~ N (0,1000000000)
Metoda bootstrapowa chan ladder Neskalowane reszty Pearsona r ( P) X Var m ( X ) φv ( m ) X m W modelu regres lnowe W modelu Posson a GLM Pseudo dane : r r ( P) ( P) B X X Var ( P) m m ( X ) m C r m + m X m SE φ P B C φ R + P n n SE p B ( R) 1 m ˆ k 1 k m n ˆ ( ) 2, n B ( ) r P 2 n p B gdze, φp to parametr skal, mk bootstrapowy estymator średne, BC błąd predykc, standardowy błąd estymatora średne SE B R SE ˆ to standardowy
Przykład 3 Tablca 2. Trókąt nezakumulowanych szkód Okres wypadkowy () Okres opóźnena w wypłace odszkodowana () 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 357 848 766 940 610 542 482 940 527 326 574 398 146 342 139 950 227 229 67 948 2 352 118 884 021 933 894 1 183 289 445 745 320 996 527 804 266 172 425 046 3 290 507 1 001 799 926 219 10 116 654 750 816 146 923 495 992 280 405 4 310 608 1 108 250 776 189 1 562 400 272 482 352 053 206 286 5 443 160 693 190 991 983 769 488 504 851 470 639 6 396 132 937 085 847 498 805 037 705 960 7 440 832 847 631 1 131 398 1 063 269 8 359 480 1 061 648 1 443 370 9 376 686 986 608 10 344 014 Źródło: Taylor G.C., Ashe F.R. [1983], Second moments of estmates of outstandng clams, Journal of Econometrcs 23, str. 37-61
Wynk dla przykładu 3 Tablca 3. Szacowane rezerwy IBNR Okres wypadko Metoda Bootstrap chan ladder wy Chan Ladder Mack'a Regres Chrstofdes'a Posson GLM Gamma GLM Verrall 2 95 93 111 95 93 96 117 3 470 447 482 470 447 439 420 4 710 611 661 710 611 608 527 5 985 992 1 091 985 992 1 011 1 041 6 1 419 1 453 1 531 1 419 1 453 1 423 1 537 7 2 178 2 186 2 311 2 178 2 186 2 150 2 236 8 3 920 3 665 3 807 3 920 3 665 3 529 3 928 9 4 279 4 122 4 452 4 279 4 122 4 056 4 770 10 4 626 4 516 5 066 4 626 4 516 4 340 6 068 Łączne IBNR 18 682 18 085 19 512 18 682 18 085 17 652 20 644 Źródło: P. England, R. Verrall [1999], Analytc and bootstrap estmates of predcton errors n clam reservng, Mathematcs and Economcs 25, str. 288-293
Wynk dla przykładu 3 c.d. Tablca 4. Błędy prognozy oszacowanych rezerw [w %] Okres wypadko Rezerwy IBNR Bootstrap chan ladder wy Chan Ladder Model Mack'a Model regres Chrstofdes'a Posson GLM Gamma GLM Verrall 2-80 54 116 48 49 117 3-26 39 46 36 37 46 4-19 32 37 29 30 36 5-27 28 31 26 27 31 6-29 26 26 24 25 26 7-26 26 23 24 25 23 8-22 28 20 26 27 20 9-23 31 24 29 30 24 10-29 40 43 37 38 43 Łączne - 13 16 16 15 15 16 Źródło: P. England, R. Verrall [1999], Analytc and bootstrap estmates of predcton errors n clam reservng, Mathematcs and Economcs 25, str. 288-293
Podsumowane nowy problem? Według akego lub akch kryterów wybrać nalepszy t. nabardze odpowedn model stochastyczny dla danego portfela ryzyk ubezpeczenowych danego zakładu ubezpeczeń, aby bezpeczne oszacować ego naleŝnośc roczne ryzyko? Czy lepszy model to ten, który bezpeczne szacue rezerwy (wększy) dokładne szacue rezerwy (mneszy błąd prognozy)
Lteratura Adamus-Hacura M. [2006], Metody Bayesowske szacowana rezerwy szkodowe [w:] Prace naukowe Akadem Ekonomczne we Wrocławu nr 1108, Wrocław, str. 286-292 Bak W., Smętek M., Szymańsk W. [2006], Analza rezerw na newypłacone odszkodowana śwadczena z tytułu ubezpeczeń pozostałych osobowych maątkowych w oparcu o trókąty szkód, Buletyn KNUFE, Warszawa Bornhuetter R. L., Ferguson R. E. [1972], The Actuary and IBNR, Proceedngs of the Casualty Actuaral Socety LIX, str. 181-195 Charles J., Westphal S., 2006, Stochastc reservng, CAE Sprng 2006 Meetng Chrstofdes S. [1990], Regresson Models Based On Log-Incremental Payments [w:] Clams Reservng Manual, vol 2. (09/1997 Secton D5) Insttute of Actuares, London Efron B., Tbshran R. J., [1993], An ntroducton to the Bootstrap, Chapman and Hall England P., Verrall R [1999], Analytc and bootstrap estmates of predcton errors n clams reservng, Insurance: Mathematcs and Economcs 25, str. 281-293. England P. D., Verrall R. J. [2002], Stochastc clams reservng n general nsurance, Brtsh actuaral Journal, 8, str. 443-518 Kramreter H., Straub E. [1973], On the calculaton of IBNR reserves II, Mttelungen der Verengung Schwezerscher Verscherungsmathematker, 73, str. 177-190 Kremer E. [1982], IBNR clams and two-way model of ANOVA, Scandnavan Actuaral Journal, 1, str. 47-55 Mack T. [1991], A smple parametrc model for ratng automoble nsurance or estmatng IBNR reserves. ASTIN Bulletn 22 (1), str. 93-109 Mack T. [1993], Dstrbuton free calculaton of the standard error of chan ladder reserve estmates. ASTIN Bulletn 23 (2), str. 213-225 Mack T. [1994], Whch stochastc model s underlyng the chan ladder model? Insurance: Mathematc and Economcs 15, str. 133-138 McCullagh P., Nelder J.A. [1989], Generalzed Lnear Models, 2dn Edton, Chapman and Hall, New York, USA, str. 511
Lteratura Nedler J.A., Wedderburn R.W.M. [1972], Generalzed Lnear Models, Journal of the Royal Statstcs Socety, Seres A, 135, 370-384 Pnhero P. J. R., Andrade e Slva M., M. de Lourdes Centeno [2000], Bootstrap Methodology n Clam Reservng, Centre for Appled Maths to Forecastng & Economc Decson, FCT PRAXIS XXI Renshaw A. E., Verrall R. J. [1994], A stochastc model underlyng the chan ladder technque, Proceedngs of the XXV ASTIN Colloquum, Cannes Ronka Chmelowec W. [1997], Ryzyko w ubezpeczenach metody oceny, Wyd. Akadem Ekonomczne m. Oskara Langego we Wrocławu, Wrocław Scollnc D.P.M. Actuaral Modelng wth MCMC and BUGS, North Amercan Actuaral Journal 2001, 5(2) 96-124. Chrstofdes S. [1990], Regresson models based on log-ncremental payments, [w:] Clams reservng manual, vol 2. More advanced method, the Staple n Actuaral Socety 06/90, str. 5.1-54. Tarbell T.F. [1934], Incurred But Not Reported Clams Reserves, Proceedngs of the Causalty Actuaral Socety, Vol. XX, 1934, p. 275 Verrall R. J. [1990], Bayesan and emprcal Bayes Estmaton for Chan Ladder Model, ASTIN Bulletn 20(2) Weteska S. [2004], Rezerwy technczno-ubezpeczenowe zakładów ubezpeczeń maątkowo-osobowych, Wyd. Branta, Bydgoszcz Łódź Wolny A. [2005], Podeśce Aktuaralne do kalkulac rezerwy szkodowe, Statystyczne zaawansowane metody kalkulac rezerwy szkodowe, [w:] Metody kalkulac ryzyka rezerw szkodowych w ubezpeczenach maątkowo-osobowych. Sera: Statystyka ubezpeczenowa pod redakcą W. Szkutnka, Wyd. Akadem Ekonomczne m. Karola Adameckego w Katowcach, Katowce Wuthrch M., [2007], Clams Reservng In Non-Lfe Insurance, ETH Zurych, CSIRO Sydney Zehnwrth B. [1989], The Chan Ladder Technque a stochastc model [n:] Clams reservng manual, vol 2. More advanced method (02/89), Insttute of Actuares, London, str. 1.1-8