A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 259, Anna Szymańska *

Transkrypt

1 A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 59, * WPŁYW TYPU ROZKŁADU WIELKOŚCI SZKÓD NA WARTOŚĆ SKŁADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH OC. TEORETYCZNE ZASADY KALKULACJI SKŁADKI Ze względu na znaczący udział ubezpieczeń komunikacyjnych OC w portfelu ubezpieczeń majątkowych, ubezpieczenia te bezpośrednio wpływają na wynik finansowy w tym dziale. Odpowiednio skalkulowana składka powinna zapewniać z jednej strony równowagę finansową ubezpieczyciela, z drugiej strony pełnić rolę marketingową zachęcając klientów do kontynuowania lub wykupienia polisy ubezpieczenia komunikacyjnego OC. Podstawą obliczenia składki w ubezpieczeniach komunikacyjnych OC jest oszacowanie na podstawie przewidywanej liczby i wielkości szkód składki netto, czyli składki przeznaczonej tylko na pokrycie roszczeń. Niech Π(X) oznacza wysokość składki netto za ochronę przed stratą o wielkości X oraz X będzie zmienną losową o dystrybuancie F X. Wybrane zasady wyznaczania składki: ) Zasada czystej składki (równowaŝności składki netto) Π(X) EX () ) Zasada wartości oczekiwanej Π ( X ) ( + α )EX () gdzie α nazywa się współczynnikiem bezpieczeństwa. 3) Zasada wariancji Π( X ) EX + αvarx, α (3) 4) Zasada odchylenia standardowego Π( X ) EX + α VarX, α (4) * Dr, Katedra Metod Statystycznych UŁ. R. K a a s, M. G o o v a e r t s, J. D h a e n e, M. D e n u i t, Modern Actuarial Risk Theory, Kluwer, Boston. [33]

2 34 5) Zasada odchylenia absolutnego Π( X ) EX + αe X Me, α (5) 6) Zasada percentylu (kwantyla rzędu ε) { x : F( x) ε} ( ε ) Π( X ) min (6) 7) Zasada maksymalnej straty Π ( X ) pex + ( p) max( X ), p i max( X ) < (7) 8) Zasada zerowej uŝyteczności obejmuje grupę metod wyznaczania składki uwzględniającą preferencje ubezpieczyciela, posiadającego majątek w, wyraŝone przy pomocy funkcji uŝyteczności u( w) Eu( w + Π( X ) X ), w (-,+ ). Dla w mamy u( ) Eu( Π( X ) X ) i metoda wyznaczania składki nazywana jest zasadą zerowej uŝyteczności. Zasada zerowej uŝyteczności z wykładniczą funkcją uŝyteczności u ( w) ( e ), α > nazywana jest zasadą αw wykładniczą. α Zasada wykładnicza S F X αx αx ( Ee ), α >, Ee < Π( X ) log (8) α 9) Zasada wiarygodności składkę netto wyznacza się jako średnią waŝoną składki kolektywnej µ i indywidualnej składki x i oszacowanej na podstawie historii roszczeń w przeszłości, czyli jako Π X ) Z x + ( Z )µ (9) ( i i i i gdzie Z i (,). Tak zdefiniowaną składkę nazywa się składką zaufania dla i-tego kontraktu, natomiast Z i współczynnikiem zaufania 3.. PRZYKŁADY EMPIRYCZNE Niech zmienna losowa X będzie zmienną losową opisującą wielkość szkód w portfelu. W ubezpieczeniach komunikacyjnych najczęściej zmienna losowa wielkości szkód jest modelowana rozkładem Pareto, logarytmiczno-normalnym lub gamma 4. Funkcje gęstości rozkładu Pareto, logarytmiczno-normalnego oraz gamma mają odpowiednio postać: C. D. D a y k i n, T. P e n t i k ä i n e n, M. P e s o n e n, Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman & Hall, London H. J a s i u l e w i c z, Teoria zaufania. Modele aktuarialne, Wydawnictwo AE we Wrocławiu, Wrocław 5. 4 J. L e m a i r e, Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance, Kluwer Nijhoff, Boston 995.

3 Wpływ typu rozkładu wielkości szkód 35 α ( ) αβ f x, x >, α >, β > + () α ( β + x) ( ln x µ ) f ( x) exp, >,, > x µ R σ () σ π x σ λ α x α f ( x) exp( λx), x >, α >, λ >. () Γ( α) W przeprowadzonym eksperymencie rozwaŝano szacowanie składek netto dla portfela o łącznej wielkości szkód typu Pareto, logarytmiczno-normalnego i gamma. Oceniono jak zmienia się wysokość składki netto w zaleŝności od typu rozkładu, parametrów rozkładu oraz metody szacowania składki. Wartość oczekiwana i wariancja w badanych populacjach są zbliŝone do średniej i wariancji wielkości szkód w ubezpieczeniach komunikacyjnych OC publikowanych przez PIU. Wygenerowano trzy warianty pseudopopulacji o rozkładzie Pareto, trzy warianty pseudopopulacji o rozkładzie logarytmiczno-normalnym oraz trzy warianty pseudopopulacji o rozkładzie gamma o róŝnych parametrach, kaŝda o liczebności. W kolejnych wariantach (B, C, D) dla danego typu rozkładu wartości oczekiwane są prawie równe, a wariancje rosną. Rośnie równieŝ asymetria rozkładów. W dalszej części pracy pseudopopulacje będą nazywane populacjami. Warianty dla rozkładu Pareto: PB: α,3; β,76; EX 5,38; DX 5,888; x 3,749; N, 5 PC: α,8; β,7; EX 5,67; DX 6,84; x 3,77; N, 5 PD: α,4; β,66; EX 4,9936; DX 6,576; x 3,66; N, 5 Warianty dla rozkładu logarytmiczno-normalnego: LnB: µ,8; σ,9; EX 5,76; DX 5,938; x 3,343; N, 5 LnC: µ,4; σ,97; EX 5,489; DX 6,547; x 3,64; N, 5 LnD: µ,; σ ; EX 5,5; DX 6,939; x 3,443; N, 5

4 36 Warianty dla rozkładu gamma: GB: α,74; λ,5; EX 4,967; DX 5,8545; x,948; N, 5 GC: α,65; λ,3; EX 5,34; DX 6,537; x,79; N, 5 GD: α,58; λ,; EX 5,664; DX 6,675; x,5976; N, 5 gdzie: α, β parametry rozkładu Pareto, µ,σ parametry rozkładu logarytmiczno-normalnego, α, λ parametry rozkładu gamma, EX wartość oczekiwana w populacji, DX odchylenie standardowe w populacji, x,5 kwantyl rzędu,5 w populacji. Dla kaŝdego wariantu populacji wyznaczono składki netto za pomocą wybranych metod wyznaczania składek (wyniki prezentuje tab. ). T a b e l a Wartości składki netto (j.p.) szacowanej róŝnymi metodami dla rozkładów wielkości szkód o róŝnych parametrach Wariant populacji czystej składki wartości oczekiwanej α Metoda wyznaczania składki netto wariancji α odchylenia standardowego α kwantyla rzędu,5 PB 5,38,76 38,86,86 3,749 PC 5,67,34 43,7997,35 3,77 PD 4,9936 9,987 48,374,5696 3,66 LnB 5,76,5 4,674,9456 3,343 LnC 5,489,978 47,36,5536 3,64 LnD 5,5, 5,7643,44 3,443 GB 4,967 9,934 39,4,85,948 GC 5,34,68 44,,57,79 GD 5,664,38 49,5887,7389,5976 Ź r ó d ł o: obliczenia własne.

5 Wpływ typu rozkładu wielkości szkód 37 Zasada czystej składki Zasada wartości oczekiwanej 5, 5, 5 4,99 4,98 4,97 4,96 4,95 4,94 PB LnB GB,4, 9,98 9,96 9,94 9,9 9,9 9,88 PB LnB GB Zasada wariancji Zasada odchylenia standardowego 4,5 4, 39,5 39, 38,5,95,9,85,8 38, PB LnB GB,75 PB LnB GB Zasada percentylu 4 3 PB LnB GB Rys.. Wartości składki netto szacowanej róŝnymi metodami dla rozkładów wielkości szkód Pareto, logarytmiczno-normalnego i gamma dla wariantów B Ź r ó d ł o: obliczenia własne.

6 38 5,6 Zasada czystej składki,5 Zasada wartości oczekiwanej 5,4 5, 5,,5 4,98 PC LnC GC 9,95 PC LnC GC Zasada wariancji Zasada odchylenia standardowego 48,,6 47, 46, 45, 44, 43,,5,4,3,, 4, PC LnC GC PC LnC GC Zasada percentylu 4 3,5 3,5,5,5 PC LnC GC Rys.. Wartości składki netto szacowanej róŝnymi metodami dla rozkładów wielkości szkód Pareto, logarytmiczno-normalnego i gamma dla wariantów C Ź r ó d ł o: jak do rys..

7 Wpływ typu rozkładu wielkości szkód PB LnB GB 5 czystej składki wartości oczekiwanej wariancji odchylenia standardowego percentylu wyznaczania składki netto Rys. 3. Wartości składki netto szacowanej róŝnymi metodami dla rozkładów wielkości szkód o róŝnych parametrach dla wariantów B Ź r ó d ł o: jak do rys PC LnC GC czystej składki wartości oczekiwanej wariancji odchylenia standardowego percentylu wyznaczania składki netto Rys. 4. Wartości składki netto szacowanej róŝnymi metodami dla rozkładów wielkości szkód o róŝnych parametrach dla wariantów C Ź r ó d ł o: jak do rys..

8 4 Zasada czystej składki Zasada wartości oczekiwanej 5,5 5, 5,5 5 4,95 4,9 PD LnD GD,5,,5,,5 9,95 9,9 9,85 PD LnD GD Zasada wariancji Zasada odchylenia standardowego 54, 53, 5, 5, 5, 49, 48, 47, 46, 45, PD LnD GD,,9,8,7,6,5,4,3 PD LnD GD Zasada percentylu 4 3,5 3,5,5,5 PD LnD GD Rys. 5. Wartości składki netto szacowanej róŝnymi metodami dla rozkładów wielkości szkód Pareto, logarytmiczno-normalnego i gamma dla wariantów D Ź r ó d ł o: jak do rys..

9 Wpływ typu rozkładu wielkości szkód PD LnD GD czystej składki wartości oczekiwanej wariancji odchylenia standardowego percentylu wyznaczania składki netto Rys. 6. Wartości składki netto szacowanej róŝnymi metodami dla rozkładów wielkości szkód o róŝnych parametrach dla wariantów D Ź r ó d ł o: jak do rys.. Wysokość składki netto jest bardzo wyraźnie uzaleŝniona od metody jej wyznaczania. Zasada wykorzystująca medianę daje najniŝsze wartości składki netto, wariancji najwyŝsze. Z tego powodu towarzystwa ubezpieczeniowe najchętniej stosują zasadę wariancji. Oczywiste jest, Ŝe parametry populacji wpływają na wysokości składek nawet niewielkie zmiany ich wartości powodują zmiany w wartościach składek. Największy wpływ parametrów rozkładu wielkości szkód na wysokość szacowanych składek moŝna zauwaŝyć w przypadku metody wariancji. Najwyraźniejsze róŝnice w wysokościach składek dla róŝnych rozkładów z tego samego wariantu są w przypadku zasady wariancji i kwantyla rzędu,5. Ze względu na asymetrię badanych rozkładów występują równieŝ duŝe róŝnice w składkach wyznaczanych metodą wartości oczekiwanej i percentylu dla tego samego rozkładu wielkości szkód. BIBLIOGRAFIA ) D a y k i n C. D., P e n t i k ä i n e n T., P e s o n e n M., Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman & Hall, London 994. ) J a s i u l e w i c z H., Teoria zaufania. Modele aktuarialne, Wydawnictwo AE we Wrocławiu, Wrocław 5.

10 4 3) K a a s R., G o o v a e r t s M., D h a e n e J., D e n u i t M., Modern Actuarial Risk Theory, Kluwer, Boston. 4) L e m a i r e J., Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance, Kluwer Nijhoff, Boston 995. THE INFLUENCE OF THE DAMAGE SIZE DISTRIBUTION ON THE NET PREMIUM IN CAR LIABILITY INSURANCE CR The condition of functioning of the insurance company on the market is a proper calculation of net premiums. It concerns a single insured as well as a whole portfolio. In the paper selected theoretical rules of setting net premiums in automobile insurance are presented. It has been evaluated what influence the distribution of the size of damage form and parameters have on the net premium size. Three damage size distributions have been considered: Pareto distribution, logarithmic-normal distribution and gamma distribution. Key words: net premium, car liability insurance CR, damage size distribution.