Jednowskaźnikowy model Sharpe`a

Uniwersytet Warszawski Wydział Nauk Ekonomicznych Milena Jamroziak i Paweł Androszczuk Model ekonometryczny Jednowskaźnikowy model Sharpe`a dla akcji Amici Praca zaliczeniowa napisana pod kierunkiem mgr S. Cichockiego Warszawa 005

R i = α i + β i R M + u i (1) 1.Jednowskaźnikowy model Sharpe`a Od momentu kiedy akcje spółek zostały notowane na giełdzie, starano się znaleźć zależność opisującą stopę zwrotu z danego papieru wartościowgo od czynników, które na nią wpływają. Sharpe uzależnił stopę zwrotu zysku od działania jednego czynnika, który można określić jako czynnik giełdy (rynku). Propozycja ta wyniknęła z zaobserwowania na dużych giełdach pewnej prawidłowości, polegającej na tym, iż hossie na giełdzie (mierzonej np. wzrostem indeksu giełdowego) towarzyszy na ogół wzrost cen większości akcji. Innymi słowy, stopy zwrotu z akcji zależą od pewngo czynnika, który można nazwać czynnikiem rynkowym. Indeks giełdowy można traktować jako pewien sztucznie skonstruowany papier wartościowy, za pomocą którego opisujemy ogólną sytuację na rynku. Ponieważ wielkość indeksu, którą można przyjąć za jego cenę, zmienia się na każdej sesji, to możemy wyznaczyć dla niego stopę zwrotu. Na podstawie tych rozważań skonsktuowano równanie (1) przedstawiające zależność stopy zysku z akcji od stopy zysku z indeksu giełdowego: Ri - stopa zysku i-tej akcji R M stopa zysku indeksu giełdowego α i, βi - parametry równania u i - składnik losowy i-tej akcji Składnik losowy (u i ) ma za zadanie uwzględnienić wpływ innych, poza indeksem giełdowym, czynników oddziałujących na rozpatrywaną akcję. Równanie (1) nazwane zostało linią charakterystyczną papieru wartościowego. Z punktu widzenia interpretacji, bardzo ważną rolę odgrywa parametr β i, nazywany współczynnikiem beta. Wskazuje on, o ile procent, przeciętnie, wzrośnie stopa zysku i-tej akcji, jeżeli stopa zysku indeksu giełdowego zwrośnie o 1 %. Współczynnik beta wyraża stopień wrażliwości danej akcji na zmiany stopy zysku indeksu giełdowego. Im wyższa wartość tego współczynnika, tym większy stopień wrażliwości i-tej akcji na zmiany zachodzące na rynku. Współczynnik ten może być także utożsamiany z miarą ryzyka systematycznego (rynkowego) rozpatrywanej akcji. Biorąc pod uwagę wartości, jakie może przyjmować ten współczynnik, możemy wyróżnić kilka charakterystycznych przypadków:

β i < 0 oznacza, że stopa zysku akcji zmienia się w przyciwnym kierunku niż stopa zysku indeksu giełdowego. β i = 0 oznacza, że stopa zysku nie jest zależna od zmian dokonujących się na rynku (nie reaguje na zmiany) 0<β i <1 oznacza, że stopa zysku danej akcji w niewielkim stopniu zależy od zmian zachodzących na giełdzie. Taką akcję zwykle nazywa się defensywną. Β i = 1 oznacza, że stopa zysku akcji podlega takim samym zmianom jak cała giełda Β i >1 oznacza, że stopa zwrotu danej akcji zmienia się szybciej niż stopa zwrotu indeksu giełdowego. Tego typu akcje nazywa się agresywnymi..model Sharpe`a dla spółki Amica Celem naszego modelu jest sprawdzenie, czy stopę zwrotu z akcji Amici można szacować za pomocą stopy zwrotu z indeksu WIG0, który uznajemy za pewne przybliżenie portfela rynkowego. Chcemy również oszacować współczynnik beta dla akcji tej spółki i dzięki temu określić czy akcje Amici mają charakter agresywny czy defensywny. Amica jest spółką produkującą sprzęt AGD. Program inwestycyjny skłonił Zarząd Spółki Amica Wronki S.A. do uaktywnienia się na publicznym rynku kapitałowym. Akcje wronieckiej spółki są notowane na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie S.A od 1997 roku. WIG0 jest indeksem typu cenowego Warszawskiej Giełdy Papierów Wartościowych obejmującym akcje 0 spółek rynku podstawowego o największej kapitalizacji i najwyższych obrotach giełdowych, liczonym od 16.04.1994 r. Ważnym dla oszacowań faktem jest to, że akcje Amici nie wchodzą w skład WIG0. 3.Baza danych Analizowane przez nas dane spółki Amica i WIG0 pochodzą ze strony http://www.rynek.owg.pl. Dotyczą one okresu od stycznia do grudnia 004 r. Na ich podstawie obliczono stopy zwrotu z akcji oraz z indeksu za pomocą następującej formuły ():

R t stopa zwrotu w okresie t P t cena akcji (wielkość indeksu) w okresie t R t = [(P t P t-1 )/P t ]*100% () Zgodnie z modelem Sharpe`a równanie to powinno być jeszcze roszerzone o wypłacone dywidendy, ale aby uprościć estymację, założono, że w badanym okresie zarówno Amica jak i spółki wchodzące w skład WIG0 nie wypłaciły swoim akcjonariuszom dywidend. 4.Regresja Estymacja modelu za pomocą MNK daje następujące wyniki: Source SS df MS Number of obs = 48 -------------+------------------------------ F( 1, 46) = 37.08 Model 108.595078 1 108.595078 Prob > F = 0.0000 Residual 70.4537 46.985584 R-squared = 0.1310 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.175 Total 89.00404 47 3.35635791 Root MSE = 1.7113 Amica Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] WIG0.6017359.0988161 6.09 0.000.407103.7963694 _cons.0491191.1090694 0.45 0.653 -.1657098.63948 -- Oszacowany współczynnik beta wynosi 0.6017, co można intepretować, że 1 % wzrost zwrotu z indeksu WIG0 powoduje 0.6017 % wzrost stopy zwrotu z akcji spółki Amica. Zgodnie z teorią jest to akcja defensywna. W związku z tym, że dane mają charakter dynamiczny, bardziej wskazane jest użycie modelu autoregresyjnego (ADL). Dzięki temu uzyskamy model o lepszym dopasowaniu. W modelu tym oprócz zmiennych z danego okresu występują również zmienne opóźnione.

5.Sprawdzenie stacjonarności Rozważania na temat ustalenia odpowiedniej formy zmiennych do modelu dynamicznego należy rozpocząć od sprawdzenia czy zmienne mają charakter stacjonarny czy niestacjonarny. Do tego celu wykorzystuje się test Dickey Fullera (DF). Amica Przeprowadzamy regresję pierwszych różnic na pierwsze opóźnienie. Wyniki są następujące: Source SS df MS Number of obs = 47 -------------+------------------------------ F( 1, 45) = 191.63 Model 637.88863 1 637.88863 Prob > F = 0.0000 Residual 815.5307 45 3.3869683 R-squared = 0.4389 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.4366 Total 1453.41899 46 5.908076 Root MSE = 1.845 DAmica Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] Amica L1 -.87731.063375-13.84 0.000-1.00139 -.754807 _cons.08918.116755 0.77 0.444 -.139809.31845 Jednak aby można było zinterpetować uzyskane wyniki, trzeba sprawdzić czy w oszacowanym modelu występuję problem autokorelacji błędu losowgo. Posłużymy się testem Breusch Godfreya. Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi df Prob > chi -------------+------------------------------------------------------------- 1 0.08 1 0.8673 8.38 0.0163 3 8.38 3 0.0413 H0: no serial correlation

Ponieważ autokorelacja występuje (przy poziomie istotności równym 5 % odrzucimy hipotezę o braku autokorelacji składnika losowego: 0.0413, 0.0163 < 0.05), musimy wprowadzić do modelu dodatkową zmienną niezależną, którą jest pierwsze opóźnionie pierwszych różnic i tym samym użyjemy roszerzonego testu Dickey-Fullera (ADF). Source SS df MS Number of obs = 46 -------------+------------------------------ F(, 43) = 99.34 Model 647.74463 33.87315 Prob > F = 0.0000 Residual 79.76615 43 3.6039759 R-squared = 0.4498 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.4453 Total 1440.014 45 5.87763773 Root MSE = 1.8057 DAmica Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] Amica L1 -.93041.083748-11.13 0.000-1.096996 -.7670878 DAmica L1.056071.063001 0.89 0.376 -.0684177.18056 _cons.0764343.1154387 0.66 0.509 -.1509539.30385. bgodfrey, lags(1 3) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi df Prob > chi -------------+------------------------------------------------------------- 1 0.555 1 0.4564 1.016 0.6018 3 1.709 3 0.6350 H0: no serial correlation Dzięki dodaniu dodatkowej zmiennej niezależnej usunęliśmy autokorelację z modelu (0.4564, 0.6018, 0.6350 > 0.05 brak podstaw do odrzucenia hipozety o braku autokorelacji).

Teraz możemy przywołać wartości krytyczne dla testu Dickey Fullera: Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = 47 ---------- Interpolated Dickey-Fuller --------- Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) -13.843-3.461 -.880 -.570 MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.0000 Na podstawie przeprawadzonej procedury otrzymaliśmy wartość statystki testowej równą -11.13 (jest to wartość statystyki t dla parametru związanego z pierwszym opóźnieniem zmiennej), którą porównujemy z wartością krytyczną testu ADF równą.880, co przy poziomie istotności równym 5 % daje postawy do odrzucenia hipotezy zerowej o niestacjonarności zmiennej. Przyjmujemy, że zmienna jest stacjonarna. WIG0 Przeprowadzając identyczną procedurę dla WIG0, otrzymujemy: Source SS df MS Number of obs = 47 -------------+------------------------------ F( 1, 45) = 17.4 Model 58.67376 1 58.67376 Prob > F = 0.0000 Residual 91.4909 45 1.18976338 R-squared = 0.470 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.4680 Total 550.165304 46.3644433 Root MSE = 1.0908 DWIG Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] WIG0 L1 -.98716.069851-14.75 0.000-1.05777 -.8046549 _cons.07789.0696569 1.11 0.68 -.0599137.1449

Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi df Prob > chi -------------+------------------------------------------------------------- 1 9.349 1 0.00 1.070 0.004 3 1.357 3 0.0063 H0: no serial correlation Ponieważ 0.00, 0.004, 0.0063 < 0.05 odrzucamy hipotezę zerową o braku autokorelacji między błędami losowymi. Należy rozszerzyć model o opóźnienie pierwszych różnic, dzięki czemu pozbywamy się autokorelacji z modelu (0.63, 0.8809, 0.9434 > 0.05 brak podstaw do odrzucenia hipotezy o braku autokorelacji). Source SS df MS Number of obs = 46 -------------+------------------------------ F(, 43) = 119.33 Model 71.69739 135.8486 Prob > F = 0.0000 Residual 76.68468 43 1.13838876 R-squared = 0.4955 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.4914 Total 548.35707 45.3806411 Root MSE = 1.067 DWIG Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] WIG0 L1 -.9808743.0846569-11.59 0.000-1.14769 -.814119 DWIG L1.0195468.0617848 0.3 0.75 -.101554.14149 _cons.066475.0684353 0.97 0.333 -.0683747.0196 Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi df Prob > chi -------------+------------------------------------------------------------- 1 0.9 1 0.63 0.54 0.8809 3 0.385 3 0.9434 H0: no serial correlation

Wywołołane wartości krytyczne dla testu ADF wynoszą: Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = 47 ---------- Interpolated Dickey-Fuller --------- Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) -14.745-3.461 -.880 -.570 MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.0000 Na podstawie przeprowadzonego testu odrzucamy hipotezę zerową o niestacjonarności zmiennej WIG0 przy poziomie istności 5 % (-11.59<-.880). Zmienna jest stacjonarna. 7.Ustalenie liczby opóźnień W celu ustalenia liczby opóźnień posłużymy się metodą od ogólnego do szczegółowego. Wychodzimy od modelu, w którym zarówno zmienna zależna jak i niezależna ma pięć opóźnień, gdyż wydaje się, iż większa liczba opóźnień jest nieistotna statystycznie. Source SS df MS Number of obs = 43 -------------+------------------------------ F( 11, 31) = 4.17 Model 133.585197 11 1.1441088 Prob > F = 0.0000 Residual 67.53949 31.91139805 R-squared = 0.1657 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.160 Total 806.118146 4 3.3310667 Root MSE = 1.7063 Amica Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] Amica L1.096873.065588 1.48 0.141 -.033438.60898 L -.071938.0657846-1.10 0.74 -.018084.057408 L3.035684.0659074 0.49 0.6 -.097881.16449 L4.0659394.0661657 1.00 0.30 -.06446.1963048 L5.08817.0649668 1.36 0.176 -.0398805.16158 WIG0 --.580538.103494 5.61 0.000.376631.784445 L1.178134.110441 1.6 0.108 -.0390801.3953448

L -.01860.1103753-0.1 0.907 -.30331.046107 L3.149119.110504 1.35 0.178 -.068517.3669364 L4 -.06084.1089437-0.4 0.811 -.406787.188618 L5 -.064160.1081033-0.59 0.553 -.771547.1488343 _cons.0073888.111073 0.07 0.947 -.113668.61444 Należy przeprowadzić test na sprawdzenie wystąpienia autokoralcji, gdyż w przypadku gdy w modelu występuję opóźniona zmienna zależna i autokoralcja, to pojawia się problem równoczesności i parametry są niezgodne. Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi df Prob > chi -------------+------------------------------------------------------------- 1 0.545 1 0.4605 0.549 0.7600 3 0.661 3 0.884 H0: no serial correlation Na podstawie testu Breusch-Godgreya otrzymujemy brak podstaw do odrzucenia hipotezy o braku autokorelacji (0.4605>0.05). Aby uzyskać prawidłowy model przeprowadzamy testy sprawdzające istotność poszczególnych opóźnień. Zaczynamy od piątego opóźnienia Amici. ( 1) L5.Amica = 0 F( 1, 31) = 1.84 Prob > F = 0.1763 Przy poziomie istności 5 % jest brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o nieistności tej zmiennej (0.1763>0.05). Sprawdzamy kolejne zmienne: ( 1) L5.Amica = 0 ( ) L4.Amica = 0 F(, 31) = 1.57 Prob > F = 0.096

Ponownie jest brak podstaw do odrzucenia hipotezy o nieistności (0.096>0.05). otrzymujemy : Przeprowadzając regresję bez usuniętych zmiennych i test sprawdzający autokorelajcę, Source SS df MS Number of obs = 43 -------------+------------------------------ F( 9, 33) = 4.73 Model 14.43679 9 13.848533 Prob > F = 0.0000 Residual 681.694466 33.95773 R-squared = 0.1543 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.117 Total 806.118146 4 3.3310667 Root MSE = 1.7105 Amica Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] Amica L1.1063117.0655137 1.6 0.106 -.0763.353866 L -.0753576.06578-1.15 0.53 -.04855.05414 L3.0367564.0655359 0.56 0.575 -.09364.1658751 WIG0 --.574705.103618 5.55 0.000.3705546.7788504 L1.174611.110176 1.58 0.114 -.044579.39168 L -.007734.110485-0.03 0.980 -.04457.14899 L3.1474334.1105083 1.33 0.183 -.070897.3651565 L4.0035978.1098 0.03 0.97 -.199933.064888 L5.005331.100545 0.05 0.958 -.197654.034116 _cons.0146594.1114 0.13 0.895 -.044707.337896 Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi df Prob > chi -------------+------------------------------------------------------------- 1 0.33 1 0.564 0.69 0.7301 3 0.917 3 0.814 H0: no serial correlation Ponieważ autokorelacja nie występuje, model bez usuniętych zmiennych jest lepiej dopasowany. Podobnie przeprowadzamy kolejne testy sprawdzające nieistność pozostałych zmiennych. W końcu dochodzimy do modelu, w którym nie występuje problem autokorelacji (0.1391>0.05), a

liczba opóźnień została ustalona na jedno dla WIG0 i zero dla Amici. Source SS df MS Number of obs = 47 -------------+------------------------------ F(, 44) = 1.73 Model 15.16549 6.587143 Prob > F = 0.0000 Residual 70.840749 44.88049487 R-squared = 0.151 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.144 Total 88.006177 46 3.36587877 Root MSE = 1.697 Amica Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] WIG0 --.5893337.0994077 5.93 0.000.393569.7851405 L1.40441.09859.45 0.015.0468968.4339856 _cons.098189.1086566 0.7 0.784 -.184056.438435 Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi df Prob > chi -------------+------------------------------------------------------------- 1.188 1 0.1391 3.375 0.1850 3 3.655 3 0.301 H0: no serial correlation Model można przedstawić za pomocą równania (3): Amica = α + β 0 *WIG0 + β 1 *l.wig0+ u i (3) 8.Istotność modelu i interpretacja R Oszacowanie modelu jest istotne, ponieważ otrzymaliśmy p-value na poziomie 0.000 < 0.05 czyli na tej podstawie odrzucamy hipotezę zerową o łącznej nieistności wszystkich zmiennych niezależnych. Poszczególne zmienne w modelu są istotne (p- value dla nich jest mniejsze od 0.05) oprócz stałej, dla której p-value wynosi 0.784 > 0.05 czyli jest brak podstaw do odrzucenia hipotezy

zerowej o jej nieistotności. R dopasowany wynosi 14.4 %, co można interpretować, że 14.4 % zmienności zmiennej zależnej jest wytłumaczone zmiennością zmiennych niezależnych. 9.Mnożniki W modelu tym możemy wyróżnić dwa rodzaje mnożników: mnożnik bezpośredni i mnożnik długookresowy. Mnożnik bezpośredni jest to parametr stojący przy nieopóźnionej zmiennej niezależnej i wynosi on 0.5893337, co oznacza, że wraz ze wzrostem stopy zwrotu z WIG0 o 1 % stopa zwrotu z Amici rośnie o 0.589 %. Mnożnik długookresowy jest określany jako suma parametrów przy opóźnionej i nieopóźnionej zmiennej niezależnej i wynosi on 0.5893337 + 0.40441, co daje 0.897749 i oznacza, że w długim okresie jednoprocentowemu wzrostowi stopy zwrotu z WIG0 towarzyszy 0.83 % wzrost stopy zwrotu z Amici. Porównując otrzymane wielkości z oszacowaniem, które otrzymaliśmy w modelu bez uwzględnienia opóźnień, można zauważyć, że wielkości te są dość zbliżone, aczkolwiek w długim okresie stopa zwrotu z Amici wykazuje większe powiązanie z WIG0 niż początkowo wyestymowaliśmy. Jednak ciągle akcje Amici mają charakter defensywny. 10.Przyczynowość w sensie Grangera Definicja. Zmienna jest przyczyną w sensie Grangera, jeśli bieżące wartości zmiennej zależnej można dokładniej prognozować przy użyciu opóźnionych zmiennych niezależnych niż bez ich użycia. Ponieważ w naszym modelu występuje tylko jedno opóźnienie zmiennej niezależnej, więc aby sprawdzić czy zmienna jest przyczyną w sensie Grangera, wystarczy posłużyć się statystyką t dla tej zmiennej. Ponieważ statystyka t wynosi.45, co daje p-value na poziomie 0.015 (<0.05), czyli hipotezę zerową mówiącą o tym, że stopa zwrotu z WIG0 nie jest przyczyną w sensie

Grangera - odrzucamy. Stąd otrzymujemy, że stopa zwrotu z WIG0 jest przyczyną w sensie Grangera stopy zwrotu z Amici. 11.Diagnostyka Homoskedastyczność Przeprowadzony test Breusch-Pagana na homoskedastyczność błędy losowego daje następujące wyniki: Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticity Ho: Constant variance Variables: WIG0 L.WIG0 chi() = 5.15 Prob > chi = 0.0763 Na jego podstawie stwierdzamy, że jest brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o homoskedastyczność składnika losowego (0.0763>0.05). Podobne wyniki daje test White`a, ponieważ również na jego podstawie stwierdzamy, że składnik losowy jest homoskedastyczny (0.5951>0.05). White's test for Ho: homoskedasticity against Ha: unrestricted heteroskedasticity chi(5) = 3.69 Prob > chi = 0.5951 Cameron & Trivedi's decomposition of IM-test --------------------------------------------------- Source chi df p ---------------------+----------------------------- Heteroskedasticity 3.69 5 0.5951 Skewness 5.46 0.065 Kurtosis 8.61 1 0.0034 ---------------------+----------------------------- Total 17.76 8 0.031

Normalność składnika losowego Do sprawdzenia normalności składnika losowgo posłużymy się testem Jarque a-bery (JB). Skewness/Kurtosis tests for Normality ------- joint ------ Variable Pr(Skewness) Pr(Kurtosis) adj chi() Prob>chi -------------+------------------------------------------------------- E 0.000 0.000 5.77 0.0000 Na podstawie wyniku tego testu odrzucamy hipotezę zerową mówiącą o tym, że składnik losowy ma rozkład normalny (0.0000<0.05). Poniższy wykres przedstawia porównanie rzeczywistego rozkładu reszt z modelu z rozkładem normalnym (Wykres 1). Również on potwierdza odrzucenie hipotezy o normalności składnika losowego. Density 0.1..3-5 0 5 10 Residuals Kernel density estimate Normal density Wykres 1. Porównanie rozkładu reszt z rozkładem normalnym Stabilność strukturalna Do przetestowania stabilności strukturalnej użyjemy testu Chowa. Aby tego dokonać wprowadzamy do modelu dodatkowe zmienne, które dzielą obserwacje na trzy grupy: poniżej 80, powyżej 160 i grupę pośrednią. Po przeprowadzeniu testu na nieistnotność wprowadzonych zmiennych mamy podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej o stabilności parametrów

(0.0019<0.05), czyli występują istotne różnice w wielkości parametrów pomiędzy tymi trzema grupami. test (d=0) (d1=0) (dx1=0) (dx=0) ( 1) d = 0 ( ) d1 = 0 ( 3) dx1 = 0 ( 4) dx = 0 F( 4, 40) = 4.39 Prob > F = 0.0019 Gdybyśmy jednak podzielili badaną próbę tylko na dwie części, a nie na trzy tak, jak wyjściowo, to otrzymujemy odmienny wynik. Na podstawie tego testu jest brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerwej mówiącej o stabilności parametrów pomiędzy grupami (0.0611 > 0.05). ( 1) d = 0 ( ) dx3 = 0 F(, 4) =.83 Prob > F = 0.0611 1.Heteroskedastyczność warunkowa W przypadku szeregów czasowych często zdarza się tak, że mimo iż nie wykazują one autokoralcji, to wariancja może być zmienna w czasie. Problem ten nazywa się heteroskedastycznością warunkową. Aby sprawdzić, czy w naszym modelu pojawia się ten problem, przeprowadzimy najpierw test LM, który odpowie nam na pytanie, czy jest w ogóle sens zajmowania się tą kwestią w kontekście naszego modelu. Hipoteza zerowa tego testu mówi o tym, że w modelu nie występuje heteroskdastyczność warunkowa. Dla naszego modelu otrzymujemy następujące wyniki: LM test for autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) lags(p) chi df Prob > chi -------------+------------------------------------------------------------- 1 5.431 1 0.0198 5.896 0.055 3 6.457 3 0.0914 H0: no ARCH effects vs. H1: ARCH(p) disturbance

Na podstawie uzyskanych wyników (0.0198<0.05) odrzucamy hipotezę zerową - w modelu uzasadnione wydaje się stosowanie modeli z rodziny ARCH. Model ARCH Modelem, od którego rozpoczniemy nasze rozważania jest model ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedacity). Oszacujemy jego postać, a potem będziemy go rozszerzać o dodatkowe elementy. Model ARCH zakłada, że błąd losowy ma następująco postać: ε t = u t * (θ 0 + θ 1 *ε t-1) 1/ gdzie u t ~ N(0,1), u t jest niezależne i E(ε t x t, ε t -1 ) = 0 Jego ogólna postać wygląda w taki sposób: gdzie q określa ilość opóźnień. y t = x t *β + ε t ε t = u t * σ t σ t = θ 0 + θ 1 *ε t-1 +... + θ q *ε t-q, Naszym zadaniem jest ustalenie q. Dla q=3 otrzymujemy poniższy model: ARCH family regression Sample: to 48 Number of obs = 47 Wald chi() = 75.71 Log likelihood = -465.7536 Prob > chi = 0.0000 OPG Amica Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] Amica WIG0 --.5878556.0754 8.14 0.000.446435.794677 L1.679476.093051.88 0.004.0855688.450363 _cons.001908.106645 0.19 0.850 -.18883.9116

ARCH arch L1.099487.0506568 1.96 0.050.0001971.198768 L.08705.04075 0.69 0.488 -.051603.1081433 L3 -.078319.0095048-8.4 0.000 -.0969419 -.0596839 _cons.705449.34484 11.54 0.000.4587 3.16506 Z oszacowania wynika, że model jest istotny statystycznie (0.000<0.05). Przy poziomie istotności 5 % tylko trzecie opóźnienie ARCH jest istone (0.000<0.05). A pierwsze i drugie mają p- value większe od założoneogo poziomu istności (0.050, 0.488>0.05). Gdy przetestujemy istotność tych zmiennych, to na podstawie otrzymanego wyniku orzekamy, że jest brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej mówiącej o łącznej nieistności tych dwóch opóźnień (0.1081>0.05). ( 1) [ARCH]L.arch = 0 ( ) [ARCH]L.arch = 0 chi( ) = 4.45 Prob > chi = 0.1081 Oszacowanie modelu z usuniętymi nieistnotnymi zmiennymi wygląda następująco: ARCH family regression Sample: to 48 Number of obs = 47 Wald chi() = 49.63 Log likelihood = -477.4754 Prob > chi = 0.0000 OPG Amica Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] Amica WIG0 --.590614.089946 6.57 0.000.414331.766905 L1.34086.0967716.4 0.016.0443597.436974 _cons.0138581.1094508 0.13 0.899 -.006615.83777 ARCH arch L3 -.075039.0163104-4.60 0.000 -.1070068 -.043071 _cons 3.080659.137751 14.41 0.000.661667 3.49965

Tak jak przypuszczaliśmy, trzecie opóźnienie jest istotne statystycznie (0.000<0.05), również cały model jest istotny (0.000<0.05). Dzięki temu możemy zapisać, że wariancja błędu losowego ma następującą postać: σ t = θ 0 + θ 1 *ε t -3, gdzie za θ podstawimy oszacowane parametry. (4) Model GARCH Teraz do modelu, który udało nam się ustalić powyżej, dodamy dodatkowe elementy. Będą nimi opóźnienia wariancji. Owy model nazywa się GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedacity) i jego założenia są następujące: y t = x t *β + ε t ε t = u t * σ t σ t = α 1 *σ t-1 + α *σ t- +... + α p *σ t-p + θ 0 + θ 1 *ε t-1 +... + θ q *ε t-q Wyniki dla GARCH (1,4): ARCH family regression Sample: to 48 Number of obs = 47 Wald chi() = 43.40 Log likelihood = -461.938 Prob > chi = 0.0000 OPG Amica Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] Amica WIG0 --.6049454.110851 5.46 0.000.38773.81586 L1.16733.071155 3.01 0.003.0753893.358077 _cons -.0384107.098803-0.39 0.697 -.30596.155383

ARCH arch L3.03435.0054137 4.33 0.000.01845.0340456 garch L1-1.538344.0080365-191.4 0.000-1.554095-1.5593 L -1.374058.010559-133.98 0.000-1.394159-1.353957 L3-1.586786.0057005-78.36 0.000-1.597959-1.575613 L4 -.981809.0091603-107.1 0.000 -.999349 -.96337 _cons 1.4164.6896368 31.05 0.000 0.06475.76808 -- Ponieważ wszystkie zmienne są istotne (0.000<0.05), to w ten sposób otrzymaliśmy następujące rozszerzenie dla oszacowania wariancji błędu losowego: σ t = α 1 *σ t-1 + α *σ t- +α 3 *σ t-3 + α 4 *σ t - 4 + θ 0 + θ 1 *ε t-3 (5) ARCH w średnich Rozpatrzmy teraz kolejny model z rodziny ARCH. Model ten dodatkowo w wyjściowej regresji uwzględnia wariancję błędu losowego. Wygląda to w następujący sposób: y t = x t *β + δ*σ t +ε t ε t = u t * σ t σ t = θ 0 + θ 1 *ε t-1 +... + θ q *ε t-q Założenia te są szczególnie interesujące w przypadku szacowanego przez nas modelu, ponieważ szacujemy w nim stopę zwrtotu, która w oczywisty sposób powinna wiązać się z ryzykiem, a parametr δ jest związany z awersją do ryzyka. Ponieważ wyższe ryzyko wiąże się z większą stopą zwrotu, więc parametr ten powinien być dodatni. Poniżej znajdują się wyniki dla ARCH z uwzględnieniem średnich.

ARCH family regression Sample: to 48 Number of obs = 47 Wald chi(3) = 49.5 Log likelihood = -477.4748 Prob > chi = 0.0000 OPG Amica Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] Amica WIG0 --.5896716.093457 6.39 0.000.4086773.7706658 L1.33685.0967863.41 0.016.0439876.43388 _cons.0300154.4369644 0.07 0.945 -.864191.8864499 ARCHM sigma -.0058071.160053-0.04 0.971 -.3194509.3078368 ARCH arch L3 -.0746858.001733-3.70 0.000 -.11448 -.0351468 _cons 3.078451.3757 13.76 0.000.639957 3.516946 Na podstawie oszacowania możemy stwierdzić, że w naszym modelu σ jest nieistotna statystycznie (0.971>0.05 znaczny brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o nieistności parametru). Zresztą parametr przy nim stojący jest bardzo bliski zeru (-0.0058071). W związku z tym nie można rozszerzyć naszego modelu o parametr związany z ryzykiem. 13. Podsumowanie Po wyestymowaniu modelu stwierdzamy, że stopę zwrotu z Amici można wyjaśniać przy pomocy stopy zwrotu z WIG0. Model Sharpe`a możemy rozszerzyć, dodając jedno opóźnienie WIG0. Początkowo zakładaliśmy, że będzie to model typu ADL jednak w trakcie ustalenia liczby opóźnień okazało się, że zmienna zależna nie będzie opóźniana, w związku z tym otrzymaliśmy model DL. Fakt, że do modelu nie udało nam się wprowadzić opóźnień zmiennej zależnej nie wydaje się być zaskakujący, ponieważ gdyby nam się to udało, to dzięki temu moglibyśmy w pewien sposób prognozować przyszłe stopy zwrotu dla Amici, co mogło by zostać wykorzystane do

osiągnięcia zysków przy zmniejszonym ryzyku. Oszacowanie, które uzyskaliśmy jest zadowalające: błędy nie są skorelowane, homoskedastyczne. Co prawda stabilność parametrów jest dość kontrowersyjna, ale należy pamiętać, że dane te pochodzą z giełdy, co samo w sobie gwarantuje dużą zmienność parametrów. Jedyny istotny problem jaki wystąpił w diagnostyce modelu to fakt, że błędy losowe nie mają rozkładu normalnego. Dość ciekawym uzupełnieniem oszacowania modelu wydaje się być uwzględnienie problemu heteroskdastyczność warunkowej. Otrzymane przez nas wyniki są interesujące i świadczą o tym, że rzeczywiście model ten powinien być estymowany za pomocą modelu z rodziny ARCH. Dzięki temu uzyskujemy szersze spojrzenie na model niż wyjściowo. Szczególnie dobre oszacowanie wariancji błędu losowego daje model GARCH. Co można zauważyć wariancja błędu losowego zależy od wariancji z aż czterech okresów poprzednich, co można tłumaczyć tym, że wahania stopy zwrotu zależą od tego jak wyglądały te wahania w okresach poprzedzających dany moment i wahania te przechodzą etapami, co wydaje się być zgodne z intuicją, biorąc pod uwagę zmienny charakter rynku giełdowego i to, że giełda wykazuje ogólną tendencję w danym okresie czasu do wzrotu (hossa) lub spadku (bessa). Zgodnie z oszacowaniami możemy stwierdzić, że akcje Amici mają charakter defensywny w stosunku do WIG0, co oznacza, że stopa zwrotu z Amici w niewielkim stopniu zależy od zmian zachodzących na giełdzie. Wykres przedstawia, jak na przestrzeni czasu zmieniała się stopa zwrotu z Amici i WIG0 dla pierwszych 40 obserwacji. Można zauważyć, że Amica wykazuje dużo wieksze odchylenia niż WIG0, co wydaje się zrozumiałe, gdyż na WIG0 składa się 0 spółek, których notowania mogły zarówno spadać jak i wzrastać. Amica/WIG0-4 - 0 4 6 0 10 0 30 40 index Amica WIG0 Wykres. Zmiany stopy zwrotu z Amici i WIG0 dla obserwacji 1-40.

Bibliografia 1. Dębski W., Rynek finansowy i jego mechanizmy, PWN, Warszawa 00. Gadowska D., Finanse cz. II, Warszawa 004 3. Greene W. H., Econometric Analysis, 1997 4. Hull J. C., Option, Future, and Other Financial Instruments, Prentice - Hall, 1998