Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH

Transkrypt

1 Raport 10/2015 Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych z zastosowaniem w ekonomii ul. Cystersów 13A/ Kraków NIP: Regon: tel. +48 (12) kontakt@inime.pl

2 Spis treści I. Wprowadzenie 5 1. Publikacje makroekonomiczne i wskaźnik US Nonfarm Payrolls Modele ARIMA i GARCH Charakterystyka danych II. Metodologia badań 7 III. Wyniki 8 1. Stopień integracji procesu Dobór modeli ARMA Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Estymacja modeli ARMA-GARCH z warunkowym rozkładem normalnym Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Estymacja modeli ARMA-GARCH z warunkowym rozkładem t-studenta Odczyt z dnia str. 2

3 4.2. Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia Odczyt z dnia IV. Wnioski 86 str. 3

4 Streszczenie Publikacja wskaźnika US Nonfarm Payrolls, informującego o zmianie w liczbie zatrudnionych w przemyśle i usługach Stanów Zjednoczonych jest jedną z najbardziej wpływowych informacji makroekonomicznych. Ogłoszenie tego odczytu powoduje zazwyczaj gwałtowny skok kursów walutowych powiązanych z Dolarem amerykańskim i jest przyczyną znacznego pobudzenia rynku, rozpoczynającego się kilka minut przed planowaną datą publikacji i utrzymującego się przez kilkadziesiąt minut po niej. Niniejszy raport skupia się na próbie modelowania zachowania kursu EURUSD bezpośrednio po wystąpieniu pierwszego skoku wynikłego z opublikowania wskaźnika Nonfarm Payrolls. W próbach opisu zachowania kursu zastosowano model ARIMA-GARCH. str. 4

5 I. Wprowadzenie 1. Publikacje makroekonomiczne i wskaźnik US Nonfarm Payrolls Publikacje makroekonomiczne są ważnymi wskaźnikami informującymi o stanie gospodarek krajów, których dotyczą. Zazwyczaj tym pojęciem definiuje się istotne informacje dotyczące struktury stóp procentowych, inflacji, koniuktury gospodarczej i sytuacji społecznej. Ważną cechą odczytów makroekonomicznych jest fakt iż ich publikacja ma miejsce według z góry ustalonego i podanego do informacji publicznej harmonogramu. Ponadto posiadają one wartość liczbową, co pozwala na ich prostą interpretację. Na kilka dni przed planowanym ogłoszeniem odczytu agencje informacyjne Reuters i Bloomberg publikują prognozy wartości dla najważniejszych wskaźników makroekonomicznych istotnych gospodarek. Prognozy przygotowywane są na podstawie ankiet przeprowadzanych w grupie ekonomistów i analityków rynku. Sam fakt opublikowania odczytu wiąże się zazwyczaj z wystąpieniem znacznego i błyskawicznego skoku kursu waluty powiązanej z danym odczytem. Znaczne odbieganie wartości odczytu od prognoz wydatnie wzmacnia to zjawisko, a co więcej pozwala na przewidywanie kierunku pierwszego ruchu. W związku z tym odnotowuje się zdecydowanie zwiększoną aktywność inwestorów spekulacyjnych w okresach bezpośrednio poprzedzających i następujących tuż po ogłoszeniu ważnych odczytów makroekonomicznych. Aktywność ta powoduje znaczny wzrost zmienności kursu i wpływa na zmianę jego statystycznych charakterystyk. Wskaźnik US Nonfarm Payrolls jest jednym z najbardziej wpływowych na kurs EURUSD odczytów makroekonomicznych. Jego publikacja następuje w pierszy piątek miesiąca o 8:30 czasu wschodniego. Odczyt informuje o wzroście liczby zatrudnionych w Stanach Zjednoczonych Ameryki Północnej w stosunku do poprzedniego miesiaca z wyłączeniem osób zatrudnionych w rolnictwie, organizacjach non-profit i przy gospodarstwach domowych. Organizacją odpowiadającą za jego wyznaczenie i ogłoszenie jest Departament Pracy Stanów Zjednoczonych. 2. Modele ARIMA i GARCH Na potrzeby rozważań załóżmy, że (Ω, Σ, P) jest przestrzenią probabilistyczną, Φ n, n Z jest procesem stochastycznym określonym na zadanej przestrzeni i opisującym modelowane zjawisko, zaś y n jest zaobserwowanym szeregiem czasowym (ścieżką) tego procesu (tzn. dla każdego n y n = Φ n (ω) gdzie ω Ω). Modele klasy ARIMA (autoregressive integrated moving average) są jednymi z najpowszechniej stosowanych modeli służących do opisu i predykcji szeregów czasowych. Jeżeli proces Φ n jest słabostacjonarny (tzn. E(Φ n ) = E(Φ n+k ) dla każdego k Z oraz Cov(Φ n, Φ k ) = f( n k ), gdzie f jest pewną funkcją) to może zostać zapisany w postaci: Φ n = ν + α 1 Φ n 1 + α 2 Φ n α p Φ n p + ϵ n + β 1 ϵ n 1 + β 2 ϵ n β q ϵ n q (I.1) gdzie ν, α 1,..., α p, β 1,..., β p R, zaś (ϵ k ) k Z jest białym szumem (słabostacjonarnym procesem stochastycznym o zerowej wartości średniej, funkcji kowariancji Cov(ϵ n, ϵ k ) = 0 dla k n oraz wariancji równej σ 2. Takie przedstawienie procesu stacjonarnego oznaczane jest jako ARMA(p,q). Pierwsza część równania związana jest ze strukturą autoregresyjną procesu (AR), zaś druga odpowiada za proces średniej str. 5

6 ruchomej (MA). W przypadku, gdy proces Φ nie jest stacjonarny należy zdefiniować nowy proces przyrostów jako: Φ n = Φ n Φ n 1. Jeżeli otrzymany proces w dalszym ciągu nie jest stacjonarny należy przejść do przyrostów wyższego rzędu, tzn. Φ n = Φ n Φ n 1 itd. Ilość transformacji tego typu niezbędnych do uzyskania stacjonarności nazywana jest stopniem zintegrowania procesu. Zazwyczaj nie obserwuje się procesów o stopniu zintegrowania większym niż 2. W praktyce posiadamy informację o tylko jednej z możliwych ścieżek procesu i to na jej podstawie dokonujemy identyfikacji modelu. Modele klasy GARCH (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity) znajdują zastosowanie w modelowaniu szeregów czasowych o niestałej zmienności (wariancji). Proces y n nazywamy procesem GARCH(p,q) gdy można zapisać go w postaci: { yn = h n ϵ n h n = α 0 + α 1 yn α 2 yn α p yn p 2 (I.2) + β 1 h n 1 + β 2 h n β q h n q przy czym zakładamy, że α 0 > 0,, α 1,...α p, β 1, β 2,..., β q 0. W zastosowaniach często spotyka się połączenie dwóch modeli, tzn zakłada się, że analizowany szereg czasowy jest realizacją procesu opisanego równanem I.1, oraz że proces ϵ k z definicji procesu ARMA spełnia równanie I.2. Tak określone modele nazywa się modelami ARIMA-GARCH. 3. Charakterystyka danych W przeprowadzonych badaniach wykorzystano dane tickowe, przedstawiające kolejne kwotowania pary walutowej EURUSD. Dane tickowe charakteryzują się dużą nieregularnością. W okresie spokoju na rynku, dla analizowanych danych, występuje od kilku do kilkunastu kwotowań w ciągu minuty zaś w czasie wzmożonej aktywności inwestorów liczba ta może wzrosnąć do kilkuset kwotowań w ciągu minuty. W związku z wymogiem posiadania regularnego szeregu czasowego niezbędne było wykonanie odpowiedniej transformacji danych. Na potrzeby badań jako minimalną różnicę czasu pomiędzy kolejnymi obserwacjami wartości kursu przyjęto t =1 sekunda. Jako wartości kursu w ustalonej chwili t przyjęto średnią wartość kursu na przestrzeni ostatniej sekundy. W przypadku braku kwotowań w danej sekundzie zastosowano interpolację liniową na podstawie najbliższych, sąsiadujących z daną sekundą wartości. Należy odnotować, że takie podejście wiąże się z utratą potencjalnie istotnych informacji (takich jak zachowanie kursu na przestrzeni ustalonej sekundy lub częstotliwość kwotowań), zastosowanie transformacji innego typu może znacznie wpłynąć na jakość otrzymanych wyników. W analizach wykorzystano dane dotyczące kursu EURUSD z dni publikacji wskaźnika US Nonfarm Payrolls z okresu od 1 stycznia 2015 do 15 listopada 2015 obejmujące pierwsze piętnaście minut po ogłoszeniu odczytu, z pominięciem pierwszych dziesięciu sekund w celu usunięcia pierwszego nagłego skoku kursu mogącego wywierać zbyt duży wpływ na proces estymacji. Modele zostały dopasowane niezależnie od siebie, dla każdego dnia ogłoszenia odczytu osobno. str. 6

7 II. Metodologia badań Pierwszym problemem pojawiającym się przy próbie dopasowania modelu do danych empirycznych jest prawidłowe określenie ilości różnicowań szeregu czasowego niezbędnych do uzyskania jego stacjonarności. W niniejszym badaniu w tym celu zastosowano rozszerzony test Dickeya-Fullera dostępny w bibliotece tseries programu R. Rozpoczynając od szeregu reprezentującego wartości kursu EURUSD w kolejnych sekundach, dla każdego dnia wykonano sekwencję testów dla kolejnych różnicowań szeregu, aż do momentu odrzucenia hipotezy zerowej przez rozszerzony test Dickeya- Fullera (na poziomie istotności 0.05). Najmniejsza ilość różnicowań wystarczająca dla przyjęcia hipotezy o stacjonarności analizowanych szeregów została przyjęta jako stopień integracji procesu kursu EURUSD. Kolejnym zadaniem jest odpowiednie dobranie struktury modelu, czyli określenie rzędów opóźnień w modelu ARMA. Określenie rzędów opóźnień zostało dokonane na podstawie kryterium informacyjnego Akaikiego. Przyjęto, że zakres parametrów w modelu ARMA(p,q) wynosi 0-5 dla parametrów p i q. Następnie, za pomocą testu Ljung-Boxa przeprowadzonego dla kwadratów reszt modelu i i testu Engle a, sprawdzono hipotezę o heteroskedastyczności zmienności i występowaniu efektu ARCH. W przypadku wystąpnienia heteroskedastyczności niezbędne jest rozszerzenie modelu ARMA o element modelujący zmiany w strukturze zmienności w czasie. W przypadkach wykrycia efektu ARCH dokonywane było rozszerzenie poprzednio przyjętego modelu poprzez zastosowanie struktury GARCH do opisu składników losowych. Za nowy, najlepiej dopasowany model przyjmowany był ten, który minimalizował kryterium Akaikego. Przyjęto, że maksymalny dopuszczalny zakres parametrów w modelu ARMA(p,q)-GARCH(1,k) wynosi 0-5 dla p i q oraz 0-1 dla k. Estymacja parametrów wyznaczonych modeli została dokonana przy pomocy metody największej wiarygodności, przy zastosowaniu funkcji dostępnych w bibliotekach astsa oraz fgarch programu R. Ostatni etap badań dotyczy sprawdzenia założeń dotyczących reszt (standaryzowanych) wyestymowanego modelu (braku autokorelacji i zgodności z założonym rozkładem). Do przetestowania założeń o niezależności wykorzystano test Ljung-Boxa oraz wyznaczono wartości funkcji autokorelacji, zestawiając je następnie z 95% przedziałami ufności dla hipotezy o zerowej wartości tych funkcji. Zgodność z założonym rozkładem mierzona była przy pomocy testu Jarque-Bera w przypadku modelu z założonym warunkowym rozkładem normalnym oraz przy pomocy testu Kołmogorowa-Smirnowa w przypadku rozkładu t-studenta. Ponadto wykonano histogramy oraz wykresy kwantylowe w celu graficznego przedstawienia odstępstw od założeń. str. 7

8 III. Wyniki 1. Stopień integracji procesu Przeprowadzone analizy wyraźnie sugerują, że proces kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls jest procesem zintegrowanym w stopniu 1. Dla dziewięciu spośród jedenastu obserwacji rozszerzony test Dickeya-Fullera nie odrzucił hipotezy o istnieniu pierwiastka jednostkowego dla oryginalnego procesu kursu, ale odrzucił ją dla jego pierwszych przyrostów. W pozostałych dwóch przypadkach test ADF odrzucił hipotezę zerową dla oryginalnego procesu cen. Na podstawie otrzymanych wyników podjęto decyzję o rozważaniu w dalszych badaniach jedynie pierwszych przyrostów procesu kursu Euro do Dolara Amerykańskiego (nawet dla obserwacji dla których test ADF odrzucił hipotezę o losowym błądzeniu kursu). Uzasadnieniem takiego postępowania jest realistyczne założenie o niewystępowaniu zmian w stopniu integracji procesu kursu w kolejnych obserwacjach. Poniższa tabela przedstawia wyznaczone wartości p-value dla rozszerzonego testu Dickeya-Fullera, przy ustalonym stopniu integracji procesu, w kolejnych dniach ogłoszenia odczytu. Data i godzina publikacji (w czasie UTC) stopień 0 stopień 1 stopień :30: :30: :30: :30: :30: :30: :30: :30: :30: :30: :30: Na poniższych wykresach zaprezentowano oryginalny proces kursu EURUSD oraz jego pierwsze i drugie przyrosty (przeskalowane do wartości wyrażonej w punktach) dla kolejnych dni ogłoszenia odczytu. str. 8

9 Data :30:00 Delta 91 Kurs :00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Przyrosty Przyrost (w punktach) :00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Drugie przyrosty (w punktach) Drugie przyrosty 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) str. 9

12 Kurs Data :30:00 Delta :00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Przyrosty Przyrost (w punktach) :00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Drugie przyrosty (w punktach) Drugie przyrosty 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) str. 12

19 Data :30:00 Delta 91 Kurs :00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Przyrosty Przyrost (w punktach) :00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Drugie przyrosty (w punktach) Drugie przyrosty 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) 2. Dobór modeli ARMA Kolejny etap badań skupiał się na próbach jak najlepszego dopadowania modeli klasy ARMA(p,q) do danych. Poniższa tabela przedstawia wyznaczone (najlepsze) wartości parametrów p i q oraz wartość kryterium AIC osiągniętą dla każdego z modeli. str. 19

20 Data i godzina publikacji (w czasie UTC) p q AIC :30: :30: :30: :30: :30: :30: :30: :30: :30: :30: :30: W kolejnych podrozdziałach przedstawiono wyniki estymacji parametrów oraz sprawdzenia założeń dla wyznaczonych modeli Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(3,0) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar s.e sigma^2 estimated as 84.39: log likelihood = , aic = Standardized Residuals Time of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals Sample Quantiles LAG Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic str. 20

21 s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = , df = 1, p-value = 6.333e-07 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(3,5) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ma1 ma2 ma3 ma4 ma s.e sigma^2 estimated as 96.25: log likelihood = , aic = str. 21

22 Standardized Residuals Time of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals Sample Quantiles LAG Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = , df = 1, p-value = 1.027e-13 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność. str. 22

23 2.3. Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(4,4) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ar4 ma1 ma2 ma3 ma s.e sigma^2 estimated as 134.9: log likelihood = , aic = Standardized Residuals Time of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals Sample Quantiles LAG Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic str. 23

24 s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = , df = 1, p-value = Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(5,5) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma2 ma3 ma4 ma s.e sigma^2 estimated as 112.9: log likelihood = , aic = str. 24

25 Standardized Residuals Time of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals Sample Quantiles LAG Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = , df = 1, p-value = 2.13e-07 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność. str. 25

26 2.5. Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ma s.e sigma^2 estimated as 167.2: log likelihood = -3537, aic = 7080 Standardized Residuals Time of Residuals LAG Sample Quantiles Normal Q Q Plot of Std Residuals Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic str. 26

27 s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = , df = 1, p-value < 2.2e-16 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(3,4) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ma1 ma2 ma3 ma s.e sigma^2 estimated as 123.8: log likelihood = , aic = str. 27

28 Standardized Residuals Time of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals Sample Quantiles LAG Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = , df = 1, p-value < 2.2e-16 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność. str. 28

29 2.7. Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(3,5) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ma1 ma2 ma3 ma4 ma s.e. NaN NaN NaN NaN sigma^2 estimated as 69.49: log likelihood = , aic = Standardized Residuals Time of Residuals LAG Sample Quantiles Normal Q Q Plot of Std Residuals Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic str. 29

30 s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = , df = 1, p-value = 1.137e-05 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(5,3) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma2 ma s.e sigma^2 estimated as 73.58: log likelihood = , aic = str. 30

31 Standardized Residuals Time of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals Sample Quantiles LAG Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = , df = 1, p-value = Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność. str. 31

32 2.9. Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(5,4) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma2 ma3 ma s.e sigma^2 estimated as 143: log likelihood = , aic = Standardized Residuals Time of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals Sample Quantiles LAG Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic str. 32

33 s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = , df = 1, p-value = 3.592e-05 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(4,3) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ar4 ma1 ma2 ma s.e sigma^2 estimated as 60.83: log likelihood = , aic = str. 33

34 Standardized Residuals Time of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals Sample Quantiles LAG Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = , df = 1, p-value = ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects str. 34

35 data: z$fit$residuals Chi-squared = , df = 2, p-value = 1.191e-10 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH drugiego stopnia, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(5,5) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma2 ma3 ma4 ma s.e sigma^2 estimated as 150.5: log likelihood = , aic = Standardized Residuals Time of Residuals LAG Sample Quantiles Normal Q Q Plot of Std Residuals Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic str. 35

36 s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = , df = 2, p-value = 2.15e-10 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność. 3. Estymacja modeli ARMA-GARCH z warunkowym rozkładem normalnym Przeprowadzone analizy dobitnie pokazują, że do poprawnego opisania modelowanego zjawiska niezbędne jest uwzględnienie w modelu zmian wariancji w czasie. Z tego powodu rozważone zostały modele klasy ARMA-GARCH pozwalające nie tylko na uwzględnienie heteroskedastyczności błędów losowych, ale również umożliwiające modelowanie grupowania się zmienności (które to zjawisko można zaobserwować na wykresach reszt z modeli przedstawionych w poprzedniej sekcji). Poniższa tabela prezentuje wyniki doboru rzędów opóźnień w modelu ARMA(p,q)-GARCH(1,r) z warunkowym rozkładem normalnym. str. 36

37 Data i godzina publikacji (w czasie UTC) p q r AIC :30: :30: :30: :30: :30: :30: :30: :30: :30: :30: :30: Warto zauważyć, że w każdym modelu proces klasy GARCH(1,1) opisywał zachowanie błędów losowych istotnie lepiej niż proces ARCH(1) (GARCH(1,0)). Co więcej dodanie do modelu efektu GARCH znacznie poprawiło (biorąc pod uwagę kryterium informacyjne Akaikiego) dopasowanie modelu do danych. Poniżej przedstawione zostały wyniki estymacji parametrów modelu oraz wykonana diagnostyka założeń modelu Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(4,5)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): ar1 ar2 ar3 ar4 ma1 ma2 ma3 ma4 ma omega alpha1 beta Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) ar e e <2e-16 *** ar e e <2e-16 *** ar e e <2e-16 *** ar e e <2e-16 *** ma e e <2e-16 *** ma e e <2e-16 *** ma e e <2e-16 *** ma e e <2e-16 *** ma e e <2e-16 *** omega 3.640e e alpha e e ** beta e e <2e-16 *** str. 37

38 --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Log Likelihood: normalized: of Standardized Residuals Lags of Squared Standardized Residuals Lags s for Ljung Box statistic for residuals s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa dla reszt z modelu sugeruje, że nadal mamy do czynienia z korelacją pomiędzy błędami modelu. Wykres funkcji autokorelacji potwierdza występowanie istotnych statystycznie autokorelacji dla opóźnień rzędu 12 i 18. Test Ljung-Boxa i wykres funkcji autokorelacji reszt sugerują możliwość występowania niewielkich zależności w strukturze zmienności, nie wyjaśnionych przez model. str. 38

39 Jarque Bera Test data: X-squared = , df = 2, p-value < 2.2e-16 qnorm QQ Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles Wynik testu Jarque-Bera i wykres kwantylowy dla reszt pokazują wyraźne odstępstwa od założenia o normalności zaburzeń losowych. Niezbędne jest poprawienie modelu poprzez założenie innego rodzaju rozkładu dla reszt (wykres kwantylowy sugeruje zastosowanie rozkładu o grubszych ogonach) Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(5,5)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma2 ma ma4 ma5 omega alpha1 beta Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** str. 39

40 ar e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** omega 6.462e e ** alpha e e e-05 *** beta e e < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Log Likelihood: normalized: of Standardized Residuals Lags of Squared Standardized Residuals Lags str. 40

41 s for Ljung Box statistic for residuals s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa wskazuje na występowanie korelacji między kwadratami błędów. Wykres funkcji autokorelacji wskazuje na występowanie istotnych statystycznie zależności dla opóźnień rzędu 20 i 26 Jarque Bera Test data: z@residuals/z@sigma.t X-squared = , df = 2, p-value < 2.2e-16 qnorm QQ Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles Test Jarque-Bera i wykres kwantylowy sugerują wyraźne odstępstwa od zakładanego rozkładu normalnego dla błędów losowych. str. 41

42 3.3. Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(4,5)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ar4 ma1 ma2 ma3 ma ma5 omega alpha1 beta Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** omega 1.833e e * alpha e e e-05 *** beta e e < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Log Likelihood: normalized: str. 42

43 of Standardized Residuals Lags of Squared Standardized Residuals Lags s for Ljung Box statistic for residuals s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa wskazuje na występowanie korelacji między resztami i kwadratami modelu. Wykres funkcji autokorelacji wskazuje na występowanie istotnych statystycznie zależności dla opóźnień rzędu 25. Jarque Bera Test data: z@residuals/z@sigma.t X-squared = , df = 2, p-value < 2.2e-16 str. 43

44 qnorm QQ Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles Test Jarque-Bera i wykres kwantylowy wskazują na wyraźne odstępstwa od normalności standaryzowanych błędów modelu Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(3,5)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ma1 ma2 ma3 ma ma5 omega alpha1 beta Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu ar ar ar ma ma ma * ma ma omega ** alpha e-05 *** str. 44

45 beta e-11 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Log Likelihood: normalized: of Standardized Residuals Lags of Squared Standardized Residuals Lags s for Ljung Box statistic for residuals s for Ljung Box statistic for squared residuals Wyniki wskazują na nieistotność statystyczną parametrów stojących przy elementach AR i MA o największym rzędzie opóźnień, model można poddać uproszczeniu. Redukcja do modelu ARMA(3,4)-GARCH(1,1) powoduje jedynie nieznaczne pogorszenie kryterium AIC, jednocześnie parametry stojące przy trzecim opóźnieniu autoregresyjnym i czwartym opóźnieniem procesu średniej ruchomej są istotne statystycznie. Poniżej przedstawione zostały wyniki dopasowania modelu ARMA(3,4)-GARCH(1,1) str. 45

46 Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ma1 ma2 ma3 ma omega alpha1 beta Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu ar ** ar ** ar < 2e-16 *** ma ma ma < 2e-16 *** ma e-09 *** omega ** alpha e-05 *** beta e-10 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Log Likelihood: normalized: W dalszych rozważaniach przyjęty został model ARMA(3,5)-GARCH(1,1) Test Ljung-Boxa wskazuje na występowanie silnej korelacji między resztami modelu. Wykres funkcji autokorelacji wskazuje na występowanie istotnych statystycznie zależności dla opóźnień rzędu 14. Jarque Bera Test data: z@residuals/z@sigma.t X-squared = , df = 2, p-value < 2.2e-16 str. 46

47 qnorm QQ Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles Test Jarque-Bera i wykres kwantylowy wskazują na wyraźne odstępstwa od normalności standaryzowanych błędów modelu Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(4,4)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ar4 ma1 ma2 ma3 ma omega alpha1 beta Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu 6.838e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** omega 2.334e e *** alpha e e e-08 *** str. 47

48 beta e e e-15 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Log Likelihood: normalized: of Standardized Residuals Lags of Squared Standardized Residuals Lags s for Ljung Box statistic for residuals s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa wskazuje na występowanie silnej korelacji między resztami modelu. Wykres funkcji autokorelacji wskazuje na występowanie istotnych statystycznie zależności dla opóźnień rzędu 4. str. 48

49 Jarque Bera Test data: X-squared = , df = 2, p-value < 2.2e-16 qnorm QQ Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles Test Jarque-Bera i wykres kwantylowy wskazują na wyraźne odstępstwa od normalności standaryzowanych błędów modelu Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(3,5)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ma1 ma2 ma3 ma ma5 omega alpha1 beta Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** str. 49

50 ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** omega 5.731e e alpha e e *** beta e e < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Log Likelihood: normalized: of Standardized Residuals Lags of Squared Standardized Residuals Lags s for Ljung Box statistic for residuals s for Ljung Box statistic for squared residuals str. 50

51 Test Ljung-Boxa wskazuje na występowanie korelacji między resztami oraz kwadratami reszt modelu. Wykres funkcji autokorelacji dla kwadratów reszt wskazuje na występowanie istotnych statystycznie zależności dla opóźnień rzędu 24. Jarque Bera Test data: X-squared = , df = 2, p-value < 2.2e-16 qnorm QQ Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles Test Jarque-Bera i wykres kwantylowy wskazują na wyraźne odstępstwa od normalności standaryzowanych błędów modelu Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(3,3)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ma1 ma2 ma3 omega alpha beta Std. Errors: based on Hessian str. 51

52 Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** omega 1.639e e alpha e e e-05 *** beta e e < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Log Likelihood: normalized: of Standardized Residuals Lags of Squared Standardized Residuals Lags str. 52

53 s for Ljung Box statistic for residuals s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa wskazuje na występowanie korelacji między resztami. Jarque Bera Test data: z@residuals/z@sigma.t X-squared = , df = 2, p-value < 2.2e-16 qnorm QQ Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles Test Jarque-Bera i wykres kwantylowy wskazują na wyraźne odstępstwa od normalności standaryzowanych błędów modelu. str. 53

54 3.8. Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(5,4)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma ma3 ma4 omega alpha1 beta Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu e e <2e-16 *** ar e e <2e-16 *** ar e e <2e-16 *** ar e e <2e-16 *** ar e e <2e-16 *** ar e e <2e-16 *** ma e e <2e-16 *** ma e e <2e-16 *** ma e e <2e-16 *** ma e e <2e-16 *** omega 1.043e e alpha e e * beta e e <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Log Likelihood: normalized: str. 54

55 of Standardized Residuals Lags of Squared Standardized Residuals Lags s for Ljung Box statistic for residuals s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa wskazuje na występowanie bardzo silnej korelacji między resztami. Jarque Bera Test data: z@residuals/z@sigma.t X-squared = , df = 2, p-value < 2.2e-16 str. 55

56 qnorm QQ Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles Test Jarque-Bera i wykres kwantylowy wskazują na wyraźne odstępstwa od normalności standaryzowanych błędów modelu Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(5,4)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma2 ma ma4 omega alpha1 beta Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu ar e-13 *** ar *** ar ar e-10 *** ar e-05 *** ma e-07 *** ma * ma ma e-09 *** omega str. 56

57 alpha e-05 *** beta < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Log Likelihood: normalized: of Standardized Residuals Lags of Squared Standardized Residuals Lags s for Ljung Box statistic for residuals s for Ljung Box statistic for squared residuals Test Ljung-Boxa wskazuje na występowanie korelacji między kwadratami reszt modelu. str. 57

58 Jarque Bera Test data: X-squared = , df = 2, p-value < 2.2e-16 qnorm QQ Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles Test Jarque-Bera i wykres kwantylowy wskazują na wyraźne odstępstwa od normalności standaryzowanych błędów modelu Odczyt z dnia W wyniku dopasowania modelu ARMA(5,4)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma2 ma ma4 omega alpha1 beta Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu 1.425e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** str. 58

59 ar e e < 2e-16 *** ar e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** ma e e < 2e-16 *** omega 4.811e e alpha e e e-05 *** beta e e < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Log Likelihood: normalized: of Standardized Residuals Lags of Squared Standardized Residuals Lags str. 59

Pokazać jeszcze