INSRUKCJA Ćwiczenie A Wyznaczanie wpółczynnia prężytości prężyny metodą dynamiczną.
Przed zapoznaniem ię z intrucją i przytąpieniem do wyonania ćwiczenia należy zapoznać ię z natępującymi zagadnieniami: 1. Prawo Hooe a.. Metody wyznaczania wpółczynnia prężytości. 3. Podział ciał ze względu na właności prężyte. Cel ćwiczenia WSĘP Celem ćwiczenia jet zapoznanie ię z metodą dynamiczną wyznaczania wpółczynnia prężytości prężyny. WSĘP EOREYCZNY Ruch, w tórym punt materialny poonuje tai am odcine drogi w tałych odcinach czau nazywamy ruchem oreowym. Odcini czau, po tórych natępuje powtórzenie ruchu nazywamy oreem i oznaczamy literą. Ruch oreowy, polegający na przemiezczaniu ię puntu materialnego w przeciwne trony względem położenia równowagi, nazywamy ruchem drgającym. Ruch drgający, w tórym iła wywołująca ruch jet proporcjonalna do wychylenia i poiada zwrot przeciwny do wychylenia nazywamy ruchem harmonicznym (protym). Przyładem ruchu harmonicznego może być ruch prężyny śrubowej w zareie małych wychyleń (ry. 1). Na ryunu 1 przyjęto uład wpółrzędnych w tai poób, że wzytie wielości ierowane w dół przyjmują wartości dodatnie, a zwrócone do góry ujemne. Uład przyjęto ta, aby począte oi Y znajdował ię na poziomie położenia równowagi (ry 1b). Do rozważań przyjęto, że maa prężyny jet pomijalna w porównaniu z maą ciężara. Ja wynia z ryunu 1b, na maę m w tanie równowagi działają dwie iły: iła ciężości Q = m g oraz iła prężytości prężyny S = y = L = (L L 0 ), gdzie: wpółczynni prężytości prężyny, y wydłużenie prężyny powodowane maą m, L 0 długość prężyny w tanie wobodnym, L długość prężyny po obciążeniu maą m.
Ry. 1 Sprężyna łużąca do wyznaczania wpółczynnia prężytości a) prężyna w tanie wobodnym, bez obciążenia, b) prężyna w tanie równowagi, obciążona ciężariem o maie m, c) prężyna obciążona ciężariem o maie m i wychylona ze tanu równowagi o wartość z (położenie chwilowe w czaie drgań). W tanie równowagi zachodzi równość: ( L ) m 0 g = L (1) Ponieważ L L 0 = y, to równanie (1) można przedtawić w potaci: m g = y () Zależność (1) możemy przedtawić w potaci równania linii protej y = a x + b: g = m + L (3) L 0 gdzie: L = y rzędna równania protej, g przypiezenie ziemie, wpółczynni prężytości prężyny, g/ = a - wpółczynni ierunowy protej,
m = x odcięta równania protej, L 0 = b wyraz wolny protej. Parametry równania a i b można w proty poób wyznaczyć metodą najmniejzych wadratów i na tej podtawie wyliczyć wartość wpółczynnia prężytości oraz porządzić wyre zależności L(m). Itnieje również inna metoda wyznaczenia wpółczynnia prężytości prężyny. Załóżmy, że w tanie równowagi maa m znajduje ię w położeniu A. Po jej wychyleniu do położenia B pojawi ię iła oporu prężytego ierowana przeciwnie do wychylenia, w ierunu położenia równowagi. Po zwolnieniu may m będzie ona poruzała ię w ierunu położenia równowagi, a w wyniu działania iły bezwładności minie go i przemieści ię do puntu C w tórym ię na chwilę zatrzyma, a natępnie ponownie wróci do puntu B. Maa będzie wyonywała ruch harmoniczny poruzając ię między puntami zwrotnymi B i C. Zgodnie z prawem Hooe a (dla małych odztałceń) prężyna oddziałuje na maę m iłą prężytości: ( y y) S = L = + (4) Ponieważ na maę m działa również iła ciężości Q = m g, to iła wypadowa F wyrazi ię wzorem: ( y y) F = Q + S = m g + (5) Po uwzględnieniu zależności () otrzymujemy: F = y (6) Przypiezenie may m można wyrazić wzorem: d y = (7) d t am Zgodnie z II zaadą dynamii Newtona otrzymujemy: d y = m a = m (8) d t F m Po porównaniu wzorów (6) i (8) i przeztałceniu otrzymujemy: d y + y = 0 (9) d t m Do wzoru (9) wprowadźmy podtawienie:
= ω m Otrzymamy wówcza: (10) d y + y = 0 ω (11) d t Jet to równanie ruchu harmonicznego i wynia z niego, że wychylenie may m jet funcją czau. Rozwiązanie tego równania ma potać: gdzie: y = y in( ω t + ) (1) y 0 - amplituda drgań, 0 c ω t + c - faza drgań may m, c - faza początowa drgań may m. Jeżeli przyjmiemy, że cza ruchu may m rozpoczynamy mierzyć od momentu jej przejścia przez położenie równowagi, to c = 0 i wzór (1) przyjmie potać: y = y0 inω t (13) Maa m znajdując ię w rajnym dolnym położeniu B, przemiezcza ię do puntu C, a natępnie powraca ponownie do puntu wyjścia B. Cza potrzebny na poonanie tej drogi nazywamy oreem drgań. Ja wynia z równania (13) równy jet on: tąd = π (14) ω π ω = (15) Wielość ω nazywamy czętością drgań. Ze wzoru (15), uwzględniając wcześniejze podtawienie (10) można wyznaczyć wzór na ore drgań prężyny: = π m (16) Ze wzoru (16) otrzymujemy protą zależność na wpółczynni prężytości prężyny: 4 π m = o rozumowania przedtawiony powyżej nie uwzględnia may prężyny. Maę prężyny można uwzględnić przy założeniu, że zwoje prężyny ą równo zagęzczone na całej jej (17)
długości (w rzeczywitości ta nie jet, ponieważ dolna część prężyny rozciągana jet przez maę m, a górna część prężyny również przez jej maę właną). Otrzymujemy wówcza wzór: gdzie: m maa prężyny. 4 = π 1 m + m 3 (18) PRZEBIEG ĆWICZENIA Uład pomiarowy Uład pomiarowy łada ię ze tatywu laboratoryjnego, jednej prężyny z zaczepami, zetawu ciężarów, wagi, topera. Przebieg ćwiczenia 1. Wybrać dwa ciężari (płai orągły i w ztałcie uli). Zawieić prężynę wraz z jednym ciężariem na wyięgniu tatywu. 3. Odciągnąć ciężare pionowo do dołu na o. 4cm i wprawić go w ruch drgający. Zmierzyć cza trwania 0 pełnych cyli. Pomiar powtórzyć dzieięciorotnie. Jeśli różnica pomiędzy pomiarami będzie więza niż 0,5, błędny wyni należy odrzucić i powtórzyć pomiar. 4. Wynii umieścić w tabeli 1.
5. Czynności z puntów 4 powtórzyć dla drugiego ciężara abela 1 Wynii pomiaru wpółczynnia prężytości metodą dynamiczną Cza t Ni [] N Ore [] i =tn i /N m [g] 4 π m i = i OPRACOWANIE WYNIKÓW I DYSKUSJA BŁĘDÓW Sprawozdanie powinno zawierać: 1. Króti opi wyonywanych czynności i chemat uładu pomiarowego.. abele z wyniami pomiarów. 3. Korzytając ze wzorów (17) i (18) obliczyć wpółczynnii prężytości i wynii zamieścić w tabeli 1. 6. Porównać otrzymane wynii i przeprowadzić rachune błędu. Obliczyć średni błąd wadratowy oraz błąd przy zatoowaniu metody Studenta z założonym poziomem ufności α=0,95. Literarura: 1. Jay Orear, Fizya, Wydawnictwa Nauowo-echniczne, Warzawa1998. Robert Renic, David Halliday, Fizya, PWN, Warzawa, 1998 3. Jerzy Lech Kacperi, I pracownia fizyczna, Wydaw. UŁ, Łódź, 1998