Zszyty Polmo Maszyny Elktyzn N 87/00 Andzj Rudński Instytut Elktothniki, Waszaa BADANIE SKUECZŚCI ALGORYMU NIELINIOWEGO SIMPLEKSU Z LEKSYKOGRAFICZNYM SPOSOBEM OCENY ROZWIĄZAŃ W OPYMALIZACJI SILNIKÓW INDUKCYJNYCH EFFECIVENESS EXAMINAION OF HE -CONSRAINED SIMPLEX MEHOD IN OPIMAL INDUCION MOORS DESIGN Astat: h pap psnts modifid nonlina simpl algoithm ith liogaphi od ompaison of podud solutions and its appliation to th optimal indution motos dsign. In th ompaison of solutions podud in optimization poss hav n taking into aount oth th ojtiv funtion valu and th additional paamt alld satisfation lvl of onstaints. his mthod of ompaison allos advantag of fasil solutions and ontol of th dg of th advantag duing th optimization poss. h spial attntion as pointd out on th hoi of algoithm paamts and kind of mutation opato. Psntd algoithm hav n implmntd in ojt-ointd softa. Calulation sults of sltd doul-ag indution motos hav n ompad ith sults otaind y appliation volution statgy (+λ)-es and hyid algoithm assmld ith this statgy and modifid Pi algoithm. h additional alulation pimnt allos th ompaison of ploitation poptis tn -Constaind Simpl Mthod and Modifid Pi Algoithm. h aminations dmonstats, that th algoithm an usd in optimization of indution motos, ut only y not vy stitiv onstaints onning funtional paamts.. Wstęp Optymalizaja maszyn lktyznyh, szzgólnośi silnikó indukyjnyh, polga na poszukianiu oziązania okślongo pzz kto zminnyh nizalŝnyh, odznazajągo się minimalną atośią pzyjętj funkji lu f(), pzy jdnozsnym spłniniu szystkih oganizń g i () o do paamtó funkjonalnyh maszyny. Mtody pogamoania matmatyzngo, a takŝ nidtministyzn mtody optymalizaji dotyzą zadań oszaz nioganizonym. W lu uzględninia oganizń, stosuj się m.in. mtody funkji kay nętznj lu znętznj. W mtodah nidtministyznyh, zykl stosuj się mtodę funkji kay znętznj popzz dodani do atośi funkji lu składnika kay za pzkozni oganizń [6]. W pay [5] zapoponoano do optymalizaji oszaz oganizonym zmodyfikoany algoytm niliniogo simplksu, pzy jdnozsnym poadzniu mutaji. Uzyskian podzas posu optymalizaji oziązania onia się ni na podstai sumy atośi funkji lu i składnika kay za pzkozni oganizń, lz na podstai stopnia spłninia oganizń oaz atośi funkji lu pzy zminianym stopniu płyu jdnj z tyh atośi na ynik poónania. Autozy pay [5] pztstoali zapoponoaną poduę optymalizayjną na kilku złoŝonyh, al yaŝonyh analityzni funkjah tstoyh. Do yniki tstó skłoniły autoa tj pay do spadznia tj poduy optymalizaji silnikó indukyjnyh, któyh optymalizuj się funkję lu yaŝoną za pomoą złoŝonyh algoytmó z iloma pętlami i kunyjno-itayjnymi poduami.. Lksykogafizny sposó poónyania oziązań Poónyani atośi funkji lu poiększonj o składnik kay za pzkozni oganizń, pay [5] zastąpiono lksykogafiznym sposom ony oziązań uzyskianyh posi optymalizaji. Są on onian na podstai atośi funkji lu oaz dodatkogo paamtu stopnia spłninia oganizń, któgo atość oliza się g zalŝnośi: ( ) P ( ) = ma 0, () B pzy zym: P() składnik kay za pzkozni oganizń; B stała dodatnia (paamt algoytmu). Watość składnika kay P() moŝ yć okślo-
Zszyty Polmo Maszyny Elktyzn N 87/00 na óŝny sposó. Kilka statgii jgo yznazania pzdstaiono pay [6]. W pzypadku minimalizaji, onę oziązań pzpoadza się na podstai zalŝnośi: f < f, gdy, f f < f, gdy = () > gdy inazj (, ) < ( f, ) pzy zym: f, f : atośi funkji lu;, : stopni spłninia oganizń; zminny paamt algoytmu. Z zou () ynika, Ŝ oziązania o jdnakoym stopniu spłninia oganizń oaz taki, któ odznazają się iększym stopnim spłninia oganizń od zminianj atośi są onian tylko na podstai atośi funkji lu. Natomiast pzypadku, gdy stopiń spłninia oganizń dla oydu oziązań jst mnijszy od, jako lpsz pzyjmuj się to, któ odznaza się iększą atośią paamtu. aki sposó poónyania zapnia moŝliość upzyiljoania oziązań dopuszzalnyh oaz liŝszyh dopuszzalnym, a takŝ stoani stopnim tgo upzyiljoania koljnyh itajah algoytmu. Zapnia to utzymani ónoagi pomiędzy łaśiośiami ksploayjnymi i ksploatayjnymi poduy. Popzz odpoidnią statgię zmian paamtu podzas posu optymalizaji, uzyskuj się ziŝność algoytmu do minimum z jdnozsnym zapninim dopuszzalnośi oziązań. W tj pay zastosoano statgię g zalŝnośi: ( t) mai =, ( ) ( ) + i i i, gdy t = 0 N gdy t > ma ( β ) ( t ) + β, gdy 0 < t ma oaz ( t mo d ) ( t ), gdy 0 < t ma oaz ( t mod ) = 0 0 (3) pzy zym: N liza oziązań zioz; t koljny num itaji; ma maksymalna liza itaji (kytium zatzymania algoytmu); β, paamty algoytmu. Z zalŝnośi (3) ynika, Ŝ piszj połoi posu atość paamtu jst koygoana o itaji, natomiast dugij połoi posu oziązania są onian tylko na podstai atośi funkji lu. Pzy takij statgii zmian paamtu jst poŝądan, ay juŝ piszj połoi posu optymalizaji uzyskać maksymalną lizę oziązań dopuszzalnyh. 3. Algoytm niliniogo simplksu Zastosoany pay [5] algoytm jst modyfikają algoytmu niliniogo simplksu g [4]. Istota algoytmu polga na poszukianiu noyh oziązań nątz n+-ymiaogo simplksu (n liza ymiaó zadania) utozongo z losoo yanyh oziązań z pztazango ziou o liznośi N. Pzy yoz oziązań odpoiadająyh izhołkom simplksu zęsto stosuj się naisk slktyny, tj. zapnia się upzyiljoani lpszyh oziązań. Zió oziązań jst kaŝdj itaji sotoany niosnąo g kytium (). Roziązania są ię uszgoan od najlpszgo do najgoszgo. W tj pay zastosoano yó oziązań o skaźniku i yaŝonym zalŝnośią: ( ) i = N (4) pzy zym: liza losoa o ozkładzi ónominym pzdzial [0, ]. W kaŝdj itaji algoytmu tozy się punkty: odiia zględm śodka ntoidu 0 simplksu (fltion point), kspansji (pansion point) oaz gsji (ontation point) i zastępuj jdnym z tyh punktó najgosz oziązani zioz. Współzędn śodka ntoidu 0 okśla się z zou: 0 = k (5) n k pzy zym: k num koljngo izhołka ntoidu. Pzy olizaniu spółzędnyh śodka ntoidu g zou (5) pomija się punkt odpoiadająy najgoszmu z oziązań (k ). Punkty odiia, kspansji oaz gsji są tozon odpoidnio na podstai zalŝnośi: ( + a) 0 a > 0 = a ( ) 0 0 < < = + ( ) 0 > = + (6a) (6) (6) pzy zym: najgosz oziązani; a,,
Zszyty Polmo Maszyny Elktyzn N 87/00 3 stał paamty algoytmu. W pay [5], poza spomnianymi juŝ modyfikajami, tj. zastosoanim lksykogafizngo sposou poónyania oziązań oaz poadznim mutaji, zastosoano ilokotn tozni simplksu. Jst on tozony na noo kaŝdj itaji algoytmu, a tj opaji uzstnizy n+ punktó, n+ jako izhołki simplksu oaz najgoszy punkt z ałgo ziou o liznośi N. aki sposó postępoania zmnijsza yzyko uzyskania nipaidłoyh oziązań optymalnyh na skutk aku afiniznj nizalŝnośi punktó odpoiadająyh izhołkom simplksu. Shmat logizny zmodyfikoango algoytmu niliniogo simplksu z lksykogafiznym sposom poónyania oziązań pzdstaiono na ys.. ; ; ( f ( ), ( )) < ( f ( ), ( )) Epansion point = + ( ) 0 > Mutation ( f ( ), ( )) < ( f ( ), ( )) ( f ( ), ( )) < ( f ( ), ( )) s n dimnsion simpl, 0 Rfltion point = + a 0 a a > ( ) 0 ( f ( ), ( )) ( f ( ), ( )) ( f ( ), ( )) < ( f ( ), ( )) Contation point = ( ) 0 0 < < N sah points k, k =,,... N a = N [ 0,] a < p m s s, Contation point, = ( ) 0 <, < Rys.. Shmat zmodyfikoango algoytmu niliniogo simplksu 4. Opato mutaji W pay [5] do algoytmu niliniogo simplksu dodatkoo poadzono mutaję pzpoadzaną kaŝdj itaji z padopodoiństm p m. Zastosoany opato mutaji poszukuj oziązania dopuszzalngo dla atośi losoo yanj zminnj najdalszj kiunku dolngo lu góngo ksu jj zminnośi od jj atośi pzd mutają. Jst to tz. mutaja ganizna g [3], a jj yniku uzyskuj się oziązani na ganiy oszau dopuszzalngo. Natomiast tj pay, z zględu na mał ozmiay oszau dopuszzalngo poónaniu z oszam poszukiań o jst haaktystyzn pzy optymalizaji silnikó indukyjnyh zastosoano spjalny opato mutaji. Dla losoo yanj zminnj nizalŝnj poszukuj się oziązania dopuszzalngo zaksi jj zminnośi dla atośi iększyh lu mnijszyh od atośi pzd mutają. Jśli 0 koljnyh pó ni pzynisi zultatu, tj. ni uzyska się oziązania dopuszzalngo, to pzyjmuj się jako oziązani zmutoan najlpsz spośód nih, pzy zym oziązania są onian g zalŝnośi (). 5. Wyniki kspymntó oliznioyh Pzdstaiony algoytm zaimplmntoano oiktoj fomi pogamoj. Wstępn kspymnty oliznio miały na lu doó najadzij łaśiyh atośi paamtó algoytmu. Analizoano lizy itaji zakońzonyh suksm, tj. popaą najgoszgo oziązania z ziou o liznośi N, na skutk jgo zastąpinia oziązanim odpoiadająym punktom odiia, kspansji i gsji oaz lizę mutaji, któ spoodoały popaę najgoszgo oziązania. Analizoano óniŝ pzig kzyj, oazująj stosunk lizy oziązań dopuszzalnyh do szystkih zioz koljnyh itajah (kzya oznazona stzałką na ys.). Okazało się, Ŝ atośi paamtó algoytmu oaz pzyjęta statgia zmian atośi paamtu g zalŝnośi (3), mają istotny pły na haakt pzigu tj kzyj, zyli na szykość poiększania się lizy oziązań dopuszzalnyh uzstniząyh posi optymalizaji. W yniku tj analizy do olizń pzyjęto następują atośi paamtó: B = 000; β = 0,08; lizę oziązań zioz N = 000; maksymalną lizę itaji ma = 0000; oks zmian paamtu o = 50 itaji; paamty pzy tozniu punktó odiia, kspansji oaz gsji odpoidnio: a = ; = 0,75; = ; padopodoiństo mutaji p m = 0,.
4 Zszyty Polmo Maszyny Elktyzn N 87/00 Za pomoą pogamu optymalizoano pięć silnikó indukyjnyh duklatkoyh. W tali pzdstaiono yniki olizń optymalizayjnyh uzyskan pzy uŝyiu: adango algoytmu (atośi gón); statgii oluyjnj (+λ)-es pzy lizi odzió = 00, potomkó λ = 400 i lizi pokolń g = 00 (atośi śodko); najlpszgo oziązania uzyskango z algoytmu hyydogo [] złoŝongo z statgii oluyjnj (+λ)-es oaz zmodyfikoango algoytmu Pi a (atośi doln). ala. Wyniki olizń optymalizayjnyh uzyskan pzy uŝyiu algoytmu simplksogo, statgii oluyjnj (+λ)-es oaz algoytmu hyydogo Silnik P N = 7,5 p = P N = 8,5 P N = p = P N = P N = 75 P N = 90 Najlpsz pzystosoani f min [zł} 397,5 395,59 39.9 80,5 8065,00 8048.6 8889,45 888,5 8860,66 985,0 986,94 97.64 383,07 3740.08 745, 744,69 735.58 Śdni pzystosoani z 0 uuhomiń f av [zł] 3304,39 330,0 84,30 8078,69 890,70 8886,75 934,68 930,93 3936,99 749,3 748,63 Odhylni standado σ [%] 0,5 0,08 0,9 0, 0, 0,04 0,4 0,30 0,8 0,0 0,9 Śdni zas olizń t [s] 55,3,9,9+,9 83,7 50, 50,+5,8 7,4 34,3 34,3+,3 80,6 49, 49,+5,7 44,9 44,9+75,4 66,3 40, 40,+49,4 Dla silnika o moy znamionoj P N = 75 adany algoytm ni znalazł oziązań dopuszzalnyh, takŝ pzy innyh atośiah paamtó Rys.. Pzykłado pzigi funkji lu, stopnia spłninia oganizń oaz zględnj lizy oziązań dopuszzalnyh koljnyh itajah 6. Poónani łaśiośi ksploatayjnyh algoytmó -CSM oaz MPA W lu poónania łaśiośi ksploatayjnyh adango algoytmu (-CSM) oaz zmodyfikoango algoytmu Pi a (MPA) g [], ykonano dodatkoy kspymnt oliznioy. Polgał on na: zapisaniu ziou oziązań pztazanyh pzz algoytm -CSM po osiągnięiu dopuszzalnośi szystkih oziązań tym zioz. Zapis następoał najliŝszj itaji o numz podzilnym pzz a ; poadzniu tgo ziou do poduy MPA, ykonaniu olizń i poónaniu ynikó z uzyskanymi z poduy CSM po zakońzniu jj działania. Poónyano atośi funkji lu najlpszyh oziązań oaz óŝnię atośi funkji lu oziązań najlpszyh i najgoszyh. W tali pzdstaiono poónani ynikó uzyskanyh z algoytmu -CSM oaz zmodyfikoango algoytmu Pi a. Zastosoano nij następują oznaznia: f CSM, f MPA atośi funkji lu najlpszgo oziązania odpoidnio zioah uzyskanyh z algoytmu -CSM oaz zmodyfikoango algoytmu Pi a (MPA); f CSM, f MPA óŝni pomiędzy atośiami funkji lu oziązań najlpszgo i najgoszgo tyh zioah. Podan dugij kolumni taliy atośi niznazni óŝnią się od podanyh taliy. Wynika to stąd, Ŝ podzas dodatkogo kspymntu ykonano odęn oliznia, nizalŝni od dudzistu olizń, któ posłuŝyły do uzyskania danyh zaatyh taliy.
Zszyty Polmo Maszyny Elktyzn N 87/00 5 ala. Zstaini ynikó olizń pzy uŝyiu algoytmó -CSM oaz MPA zastosoanyh do zioó oziązań dopuszzalnyh. Silnik f CSM f CSM f MPA f MPA P N = 7,5 p = P N = 8,5 P N = p = P N = P N = 90 7. Wnioski 330,5,4 39,8 0,0 83,58,8 8083,73 0,0 8903,73 9,46 8879,89 0,0 937,73,7 99,54 0,0 7453,53,55 739,87 0,37 Algoytm niliniogo simplksu z lksykogafiznym sposom poónyania oziązań moŝ yć stosoany pojktoaniu optymalnyh silnikó indukyjnyh. Dla silnikó o słaszyh oganizniah yniki olizń są poónyaln z uzyskanymi g statgii oluyjnj (+λ)-es i niznazni gosz od uzyskanyh g algoytmu hyydogo złoŝongo z statgii oluyjnj i zmodyfikoango algoytmu Pi a. Czas olizń z uŝyim adango algoytmu jst jdnak dłuŝszy. Dla silnika o moy znamionoj P N = 75 algoytm ni znajduj oziązań dopuszzalnyh. Silnik tn odznaza się adzo stykyjnymi oganizniami dotyząymi paamtó funkjonalnyh i ozuhoyh. Pooduj to zmnijszni ozmiau oszau dopuszzalngo poónaniu z oszam poszukiań oaz jgo nispójność. Badania stuktuy oszau dopuszzalngo pzdstaiono pay []. Z adań tyh ynika, Ŝ nispójność oszau dopuszzalngo jst haaktystyzna dla zadań optymalizaji silnikó indukyjnyh pzy stykyjnyh oganizniah. Najadzij padopodoną pzyzyną goszyh ynikó uzyskanyh pzy zastosoaniu algoytmu simplksogo, są jgo gosz łasnośi ksploayjn poónaniu z statgią oluyjną (+λ)-es, o pooduj mnijszą óŝnoodność ziou oziązań. Dodatkoy kspymnt oliznioy ykazał, Ŝ adany algoytm -CSM ykazuj takŝ gosz łaśiośi ksploatayjn niŝ zmodyfikoany algoytm Pi a. Wynika to z zastosoanj statgii zmian paamtu g zalŝnośi (3). Pzy takij statgii, dugij połoi posu optymalizaji algoytm -CSM zahouj się tak, jak klasyzny algoytm niliniogo simplksu g [4], podzas gdy zmodyfikoanym algoytmi Pi a stosuj się huystyki mają na lu zliŝni noo tozonyh punktó pónyh do lpszyh oziązań z pztazango ziou.. Litatua [] Dąoski M., Rudński A.: Appliation of non-dtministi hyid mthod fo optimization of th-phas indution motos y inasd num of indpndnt vaials. Poznan Univsity of hnology Aadmi Jounals, Eltial Engining, No. 5, 006, pp. 45-57. [] Dąoski M., Rudński A.: Badani stuktuy oszau dopuszzalngo pzy optymalizaji silnikó indukyjnyh. XLV Intnational Symposium on Eltial Mahins SME 009, Kasizyn, Zszyty Polmo BOBRME n 8/009, s. 3-8. [3] Mihaliz Z.: Algoytmy gntyzn + stuktuy danyh = pogamy oluyjn. WN, Waszaa, 996. [4] Nald J.A., Mad R.: A simpl mthod fo funtion minimization. Comput. Jounal, Vol. 7, No. 4, 965, pp. 308-33. [5] akahama., Sakai S.: Constaind Optimization y Applying th Constaind Mthod to th Nonlina Simpl Mthod ith Mutations. IEEE ans, on Evolutionay Computation, Vol. 9, No. 3, Oto 005, pp 437-450. [6] Rudński A.: Zagadninia kay za pzkozni oganizń pojktoaniu optymalnyh maszyn lktyznyh za pomoą mtod oluyjnyh. Pzgląd Elktothnizny, N /007, s. 73-78. Auto D inŝ. Andzj Rudński, Instytut Elktothniki, Zakład Maszyn Elktyznyh, ul. PoŜayskigo 8, 04-703 Waszaa, -mail: a.udnski@il.a.pl Rnznt Pof. d ha. inŝ. Lh Noak