11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 1 11. 11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 11.1. Wprowadzenie 1. Optymalizacja potocznie i matematycznie 2. Przykład 3. Kryterium optymalizacji 4. Ograniczenia w zadaniach optymalizacji 5. Sformułowanie zadania optymalizacji 6. Podział zadania optymalizacji 7. Przykład zadania 8. Optymalizacja wymiarów 9. Optymalizacja kształtu 10.Optymalizacja topologii AR,IR α P l AS,Is h L 1. Rozwiązanie liczba 1 np.12400zł (w zależności od parametrów L 1,l 1,I 1,α 1...) 2. Rozwiązanie liczba 2 np.11700zł (w zależności od parametrów L 2,l 2,I 2,α 2...) 11.2. Kryteria optymalizacji 1. minimum kosztów,ciężaru lub objetości Należy rozważyć czy cała konstrukcja wykonana będzie z tego samego materiału czy z różnych materiałów o innych ciężarach. Proporcja wielkości M+R+S (gdzie M-materiał,R-robocizna, S-sprzęt) może znacząco wpływać na optymalizację
11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 2 2. minimum energii: potencjalnej odkształcenia sprężystej 3. maksimum sztywności(aby zapewnić jak najmniejszą odkształcalność konstrukcji) 4. minimum przemieszczeń 5. minimum odkształceń konfiguracji początkowej 6. maksimum siły krytycznej(np. przy dodwaniu do konstrukcji dodatkowych blach porównujemy rozwiązania dla różnych przypadków ich miejsca przyłożenia i wybieramy to przy którym zmiana wielkości siły krytycznej jest najoptymalniejsza) 7. maksimum częstości drgań własnych max ω1 ω2 ω3 ω Jeśli np. wielkość częstości drgań maszyny zamontowanej na konstrukcji zawiera się pomiędzy pierwszą i drugą częstością drgań własnych należy rozważyć czy zmiana któregoś z parametrów (np. wymiaru elementu) nie wpłynie korzystnie na rozsunięcie się przedziału między pierwszą i druga częstością drgań własnych. 8. maksimum momentu bezwładności (np.w zależności od stounku boków prostokąta przy tym samym polu mamy inne wartości momementów bezwładności danego przekroju). 9. maksimum niezawodności (niezawodność wyrażamy liczbami) 10.maksimum bezpieczeństwa 11.3. Parametry 1. Opisujące (O): h,b,l,e...(wymiary,charakterystyka materiału) 2. Wymuszające (W): P,q...(obciążenia) 3. Reakcje (R): u,ε,σ,r,m... 11.4. Ograniczenia występujące w optymalizacji konstrukcji. 1. Nieprzekraczanie wytężeń lub zapewnienie bezpieczeńtwa (dla wszystkichstanów obciążenia,np. przy obciążeniu wiatrem należy rozważyć różne schematy przyłożenia tego obciążenia i wybrać najniekorzystniejszy). M M (11.1)
11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 3 2. Nieprzekraczanie dopuszczalych wartości przemieszczeń u u (11.2) 3. Nieprzekraczanie minimalnych i maksylanych dopuszczalnych wymiarów elementów (względy użytkowe i technologiczne). s min s s max (11.3) Przy formułowaniu zadania optymalizacji należy zastanowić się i podjąć decyzję jakie jest główne kryterium, jakie są ograniczenia i jakimi parametrami możemy sterować w celu zoptymalizowania konstrukcji. 1. Przyjęcie funkcji celu. 11.5. Sformułowanie zadania optymalizacji Funkcja ta ma być minimalna ze względu na parametry sterujące. F s min (11.4) 2. Wybór zmiennej sterującej. Możemy sterować tylko jednym parametrem a także zespołem parametrów,wektorem,tensorem. 3. Wprowadzenie ograniczeń równościowych g s =0 lub nierównościowych g s 0 oraz określenie ograniczeń zmiennych decyzyjnych. 11.6. Przykład Dana jest belka swobodnie podparta,obciążona siłą skupioną P w połowie swej rozpietości. Pierwotny przekrój dwuteowy jest niewstarczający ze względu na przekroczone naprężenia. W środkowej części belki zaprojektować jako wzmocnienie przekroju optymalne nakładki. h g 1 2 nakładka 2h g a a l 2a l 2l
11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 4 1. Opisujące (O) :{ l,a,h,i,g,b,r,e } (wymiary,charakterystyka materiału) 2. Wymuszające (W) :{P} (obciążenia) 3. Reakcje (R) : {RA,M,T,u,ε,σ} 1. Przyjęcie funkcji celu. Minimalizacja ilości zastosowanego materiału V =4 a g b min ze względu na a i g (11.5) 2. Wybór zmiennej sterującej. s={a, g } (11.6) 3. Wprowadzenie ograniczeń g g min (11.7) 1 R 2 R (11.8) Rozwiązanie: u 2 u dop (11.9) 1 2 I 1 =I (11.10) I 2 =I 2 b g h 2 (11.11) P l a h 2 1 = R I (11.12)
11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 5 P 2 l 2 = I 2 b g h 2 h g R (11.13) M M E I d x f dop (11.14) s={a opt, g opt } (11.15) g σ1 u σ2 F2 F1 l gmin gopt aopt a 11.7. Funkcje celu Optymalizacja polega na wybraniu najlepszego rozwiązania ze wszystkich możliwych. Funkcje celu mogą być funkcjami liniowymi. Zmienne sterujące funkcji liniowych występują w pierwszej potędze. Tego typu zagadnienia możemy bez problemów rozwiązać przy pomocy programów komputerowych. Przykładowa funkcja celu: f (s) f..., s min g..., s g gr (11.16) rozwiązania dopuszczalne rozwiązania niedopuszczalne linia ograniczeń s
11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 6 Funkcje celu mogą mieć także postać na przykład funkcji kwadratowych: f (s) linie ograniczeń rozwiązanie optymalne, najlepsze z możliwych Rozwiązania optymalne bywają często blisko ograniczeń. W rozwiązaniach inżynierskich rozwiązanie optymalne najczęściej znajduje się na ograniczeniu: s f (s) rozwiązanie optymalne na ograniczeniu s 11.8. Obliczanie funkcjonału bez ograniczeń Metody obliczania funkcjonału bez ograniczeń: a) metoda gradientowa jej przykładem może być twierdzenie o minimum całkowitej energii potencjalnej: s =W P (11.17)
11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 7 Wiemy, iż rozważany funkcjonał ma jedno ekstremum: izolinie szukanie wartości kierunek największego spadku gradient funkcji jedno ekstremum, dla jednego zestawu wartości funkcja minimalna Szukanie wartości odbywa się w następujących etapach: rozpoczynamy obierając gradient funkcji f s : kierunek największego spadku gradient funkcji wykonujemy krok: możemy wykonać krok dowolnej długości
11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 8 dostajemy kolejny kierunek gradientu: Postępując dalej tym sposobem dochodzimy blisko do minimum. W omawianej metodzie można policzyć gradienty analitycznie. b) metoda bezgradientowa (metoda Powell'a). Gradienty obliczamy numerycznie. Metodę bezgradientową stosujemy w sytuacjach, gdy nie potrafimy obliczyć gradientu analitycznie. W zadaniach inżynierskich występują ograniczenia: rozwiązania dopuszczalne rozwiązania dopuszczalne rozwiązanie najmniejsze z możliwych przy danych ograniczeniach Stosowane przez nas funkcje celu mogą być różnego kształtu:
11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 9 Często okazuje się, że znalezione minimum (zakreślone na rysunku) jest tylko minimum lokalnym. Nas natomiast interesuje minimum globalne. Celem staje się zatem udowodnienie, że wyszukana wartość jest ekstremum globalnym, a nie lokalnym. W zadaniach inżynierskich wygodnie jest poruszać się po ograniczeniach, gdyż tam często znajduje się oczekiwane rozwiązanie. Szukamy minimum funkcjonału F s = f s g s (11.18) Funkcjonał ten wyprofiluje nam rozwiązanie: F(s) f (s) Zadanie optymalizacji jest zadaniem syntezy. Rozwiązujemy je wielokrotnie, zakładając określone parametry, sprawdzając, dokonując analiz. Mając wiele rozwiązań możemy wybrać rozwiązanie optymalne. 11.9. Optymalizacja kształtu Działanie to jest często stosowane w przypadku konstrukcji, dla których przy sprawdzaniu naprężeń dochodzimy do wniosku, że pewna część elementu jest niewykorzystana. W takim wypadku możemy zoptymalizować kształt: