Algebra WYKŁAD ALGEBRA
Lcbę espoloną możemy predstawć w postac gde a b ab ( ) rcos sn r moduł lcby espolonej, argument lcby espolonej. Defncja Predstawene Lcby espolone r cos sn naywamy postacą trygonometrycną lcby espolonej. ALGEBRA
Lcby espolone Twerdene Różne od lcby espolone r (cos sn ), r (cos sn ) są równe wtedy tylko wtedy, gdy r r ( k Z) (tn.: moduły lcb są równe, aś argumenty są równe modulo ). k ALGEBRA 3
Lcby espolone Mnożene lcb espolonych w postac trygonometrycnej Nech r sn ) (cos, r (cos sn ) Stąd [ r (cos sn )][ r (cos sn )] rr [(cos cos sn sn ) (cos sn sn cos ) rr [cos( ) sn( )] rr [cos( ) sn( )] ALGEBRA 4
Lcby espolone Delene lcb apsanych w postac trygonometrycnej wykonujemy wg woru r r [cos( ) sn( )] Mnożene lcb espolonych w postac trygonometrycnej polega na mnożenu ch modułów dodawanu argumentów. Delene lcb espolonych w postac trygonometrycnej polega na delenu ch modułów odejmowanu argumentów. ALGEBRA 5
Lcby espolone Postać kanoncna lcby espolonej jest dogodna do wykonywana operacj dodawana (odejmowana). Postać trygonometrycna jest wygodna do wykonywana operacj mnożena (delena). ALGEBRA 6
Lcby espolone Wór de Movre a Postać trygonometrycna lcby espolonej jest scególne prydatna pry podnosenu do potęg oblcanu perwastka tej lcby. Jeżel we wore na mnożene lcb espolonych w postac trygonometrycnej pryjmemy = = roserymy go na dowolną lość lcb espolonych, to otrymamy wór na n-tą (nn) potęgę lcby espolonej wany worem de Movre a n n (cos( n) sn( n)) ALGEBRA 7
Wór de Movre a powala w prosty sposób podnosć lcby espolone do dowolne wysokej potęg. Prykład ( ) Oblcyć Lcba ( ) ma predstawene trygonometrycne cos 4 sn 4 Stosując wór de Movre'a na potęgowane lcb espolonych otrymujemy ( ) Lcby espolone ( ) cos 4 64( ) 64 sn 4 ALGEBRA 8
Defncja Perwastkem n-tego stopna lcby w naywamy każdą lcbę k, spełnającą równane w Twerdene n k Jeżel w r cos sn k n Lcby espolone, to k k rcos sn, n n k,,..., n Wnosek Każda, różna od era lcba espolona ma dokładne n perwastków espolonych stopna n -tego ALGEBRA 9
Lcby espolone Uwag Wsystke perwastk mają ten sam moduł n na okręgu o środku w promenu Poneważ k k n n n r n., tn. leżą, dla n 3 perwastk są werchołkam welokąta foremnego wpsanego w okrąg o promenu r n środkowemu n. boku odpowadającym kątow ALGEBRA
Prykład Rowąać równane 3. Rowąane równana sprowada sę do naleena wsystkch perwastków trecego stopna (stneją ocywśce dokładne try). Poneważ moduł lcby jest równy, a argument, to korystając e woru na perwastk n-tego stopna lcby espolonej mamy w w w Lcby espolone cos sn, cos sn 3 3 4 4 cos sn 3 3 3, 3. ALGEBRA
Lcby espolone Interpretacja geometrycna 3 Im Re 3 ALGEBRA
Lcby espolone Prykład Wynacyć perwastk lcby espolonej, cos, sn Dla k = mamy Dla k = mamy 7 (cos 3 (cos sn ) 3 7 3 sn ) cos sn cos sn 6 6 6 6 6 6 Dla k = mamy 3 (cos sn ) cos sn cos sn 6 6 6 6 6 6 ALGEBRA 3
Lcby espolone Welomany w dedne espolonej Defncja Funkcję W: C C postac n W( ) a a... a n, a,..., a C, a gde a n n naywamy welomanem (espolonym) stopna n, nn {}. Defncja Mejscem erowym (perwastkem) welomanu naywamy każdą lcbę C, dla której W( ) = ALGEBRA 4
Lcby espolone Twerdene (Béouta) Lcba C jest perwastkem welomanu W wtedy tylko wtedy, gdy weloman ten jest podelny pre dwuman ( ). Defncja Perwastek naywamy k-krotnym jeżel weloman jest podelny pre ( ) k ne jest podelny pre ( ) k ALGEBRA 5
Lcby espolone Twerdene (asadnce twerdene algebry) Każdy weloman espolony stopna dodatnego ma co najmnej jeden perwastek espolony. Wnosek Weloman stopna nn ma w dedne espolonej dokładne n perwastków. ALGEBRA 6
Welomany o współcynnkach recywstych Twerdene Lcby espolone Jeżel jest perwastkem welomanu o współcynnkach recywstych, to jest równeż perwastkem tego welomanu. Wnosek Weloman o współcynnkach recywstych, stopna neparystego ma co najmnej jeden perwastek recywsty. Twerdene W dedne lcb recywstych każdy weloman o współcynnkach recywstych można rołożyć na cynnk stopna co najwyżej drugego. ALGEBRA 7
ALGEBRA 8 Prykłady Rowąać równana 3. lub 3 9 9 9 6 6 5 lub lub 4 lub 4) )( ( ) 4( ) ( 4 4 3 Lcby espolone
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ ALGEBRA 9