B. Patzák (borek.patzak@fsv.cvut.cz), verze 0 Úvodní přednáška Direct Approach to FEM
Úvod do Metody Konečných Prvků (MKP) Většina fyzikálních jevů může být popsána systémem parciálních diferenciálních rovnic. Analytické řešení klasickými metodami pro obecné oblasti je velmi obtížné či prakticky nemožné. MKP (Finite Element Method - FEM ) je nejčastěji užívaná, systematická a univerzální metoda pro numerické řešení problémů. Google FEM > 4 mil. odkazů, > 500 knih o MKP, výdaje > mld. USD na FEM Software a výpočetní čas
Idea MKP
Historie MKP 94 Courant - aplikace variačních principů, položil základ matematické teorie MKP 950 první inženýrská aplikace v letectví, Boeing&Bell. M.J.Turner, R.W.Clough ( Berkeley), M.C.Martin publikovali jeden z prvních článků. Berkeley: E. Wilson, R.L.Taylor a jejich PhD studenti: T.J.R. Hughes, C. Felipa, K.J. Bathe Swansea: O.C. Zienkiewicz, B. Irons, R.Owen 960 E. Wilson - první MKP program (freeware) 965 Nastran; 969 Ansys (hodnota společnosti.8 mld. $); 978 Abaqus dnes MKP aplikována pro řešení současných vědecko-technických problémů - komplexní návrh letadel, simulace výrobních procesů, nárazové testy automobilù, návrh spalovacích motorů, ochraných obálek jaderných reaktorů, seismická analýza přehrad, aplikace v lékařství - simulace provádění plastických operací,...
Historický vývoj rychlosti počítačů 0 6 ASCI 0 4 CRAY C90 Speed Mflops 0 0 0 CDC 6600 CRAY PC 0 - IBM 704 0-4 Eniac 940 950 960 970 980 990 000 Year Z obrázku je patrný lineární nárůst rychlosti (logaritmické měřítko). Toho si prvně všiml G. Moore v roce 965 a formuloval empirické pravidlo, známé jako Moorův zákon:složitost součástek (počet tranzistorů na čipu a jejich výkon) se každý rok zdvojnásobí při zachování stejné ceny. Spoluzakladatel firmy Intel v roce 968
Historický vývoj vybraných cen v USA 968 005 CDC 6600 (0.5- Mflopf) $8000000 5 Beowulf cluster, 00 ( Tflop) $500000 PC (00-600 Mflops) $500-$000 MSc Engineer, starting salary $9000 $5000 Assistant Prof. $000 $55000 Tuition at Northwestern ( year) $800 $000 GM, Ford sedan $000 $000 bez vlivu inflace; převzato z Hughes-Belytschko FEM course
Pr ı klady Aplikace MKP
MKP: Přímé odvození pro tažené-tlačené pruty Postup analogický odvození deformační metody Spočívá ve vyjádření uzlových sil v závislosti na koncových posunech prvku e e e e F, u e F,u Máme k dispozici následující rovnice: Podmínky rovnováhy mezi vnitřnímy silami (σ) a uzlovými silami (F e, F e ): F e = σa, F e = σa Vztah mezi napětím a deformací (Hookův zákon) σ = Eε Definice deformace jako poměrného protažení prutu ε = l l x
Pro napětí tedy platí σ = Eε = E l l A pro koncové síly konečně dostáváme F e EA = σa = (u e l ue ); F e Maticově { to lze } zapsat [ následovně: ] { F e k k u e F e = k k u e kde k = EA. l = E ue ue l EA = σa = (u e l ue ) }, F e = K e r e
{ F e F e } [ = k k k k ] { u e u e } Pokud u e = ue (posunutí prutu jako tuhého celku) nevzniknou žádné vnitřní síly a F e = F e = 0 Matice tuhosti je symetrická a singulární Linearita je důsledkem předpokladů (linearita konstitutivních vztahů, geomerických a rovnovážných rovnic)
Sestavení matice tuhosti konstrukce - Lokalizace E, A f = 0 f = 5 l E, A l 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 f,u f,u r,u () ()
Pro každý prut máme k dispozici vztah mezi koncovými silami a posuny F = K r, F = K r Podmínky rovnováhy v uzlech: () : F f = 0 () : F + F f = 0 () : F r = 0 f,u f,u r,u () () F F f F F F F f r F F u u u u u = u, u = u = u, u = u Uvážíme-li kompatibilitu posunutí mezi prvky, můžeme vyjádřit koncové síly pomocí uzlových posunů: () : (k u k u ) f = 0 () : ( k u + k u ) + (k u k u ) f = 0 () : ( k u + k u ) r = 0
Maticově zapsáno: () : () : () : F F 0 + 0 F F = f f r Abychom mohli koncové síly vyjádřené na jednotlivých prutech snadno sčítat, vyjádříme je pomocí globálních posunutí { } { } { } F F = K e u e u e = K e u u { } { } { } F = K e u e u e = K e u u F
Lokální vektory koncových sil a posunutí a matici tuhosti rozšíříme přidáním nulových prvků tak, aby obsahovali všechny hodnoty pro celou konstukci: F F 0 } {{ } F 0 F F }{{} F = = k k 0 k k 0 0 0 0 } {{ } K 0 0 0 0 k k 0 k k } {{ } K u u u u u u
Pak můžeme podmínky rovnováhy elegantně zapsat jako F + F = f Po dosazení za koncové síly pak k k 0 u 0 0 0 k k 0 u + 0 k k 0 0 0 u 0 k k }{{}}{{}}{{} K r K u u u }{{} r = f f r }{{} f Maticově pak ( K + K ) r = f }{{} K
Tento proces lze formalizovat. Definujme pro každý prvek tzv. distribuční matici L e, tak že platí r e = L e r. Např. pro prvek platí: } [ ] 0 0 r = { u u = 0 0 }{{} To platí obdobně i pro vektor pravé strany: L F = L F u u u = L r Naše rovnice na prvku K e r e = F e pak můžeme vyjádřit v globálních složkách jako K e L e r = F e A přenásobením zleva maticí L et nakonec dostáváme L et K e L e }{{} K e r = L et F e }{{} f
Lokalizace - algoritmizace sestavení globální matice tuhosti Zavedení kódových čísel, reprezentující očíslování neznámých (=posunů) f,u () f,u () r,u =u F F =u =u F F f f F F F F r F F u u u u k k F k k k k F k k f F k k u f f F F F r k k + k k k k u u = f r
Lokalizace - algoritmizace sestavení globální matice tuhosti Zavedení kódových čísel, reprezentující očíslování neznámých (=posunů) Jejich přiřazení lokálním posunům a silám na prvcích f,u () f,u () r,u =u F =u =u F F F f F F f F F r F F u u u u k k F k k k k F k k f F k k u f f F F F r k k + k k k k u u = f r
Lokalizace - algoritmizace sestavení globální matice tuhosti Zavedení kódových čísel, reprezentující očíslování neznámých (=posunů) Jejich přiřazení lokálním posunům a silám na prvcích Prvky lokální matice tuhosti se přičítají do prvku globální matice určeného kódovými čísly. f f F F f,u () f,u () r,u F r F =u F =u =u F F F f F F f F F r F F u u u u k k F k k k k F k k k k k k + k k k k u u u = f f r
Kódová čísla tedy představují mapování mezi lokálním číslováním na prvku a globálním číslování pro celou konstukci Formálně pak píšeme K g = i K i Obdobný proces i pro vektory
Zavedení okrajových podmínek Matice tuhosti konstrukce je singulární - obsahuje posunutí tělesa jako tuhého celku Zavedením okrajových podmínek dojde k regularizaci soustavy Rozdělme podmínky rovnováhy na ty, které přísluší volným [ a předepsaným ] { stupňům } { volnosti } K uu K up ū f = u r K up K pp Z prvního řádku můžeme spočíst neznámý vektor posunů: u = K uu (f K up ū) A z druhé rovnice můžeme následně dopočítat neznámé reakce: r = K up u + K pp ū.