Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki MATLAB przykłady Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych Część III termin T Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Michał Grochowski, dr inż. Robert Piotrowski, dr inż. Tomasz Rutkowski, dr inż. Gdańsk, luty
Przykład Wyjaśnij działanie poszczególnych części poniższego skryptu. % Czesc % Czesc disp('przykladowy m plik') % Czesc 3 t=::; k=; % Czesc 4 T=input ('Podaj dodatnia wartosc parametru T='); while T<= T=input('Wprowadziles niedodatnia wartosc parametru T, podaj dodatnia wartosc tego parametru T=') end % Czesc 5 y=6*t+k; y=t*t.^+5; % Czesc 6 subplot(,,); plot(t,y,'g'); title('wykres funkcji y'); xlabel('czas [s]'); ylabel('y'); % Czesc 7 pause(3); % Czesc 8 subplot(,,); plot(t,y,'r'); title('wykres funkcji y'); xlabel('czas [s]'); ylabel('y'); Przykładowe rozwiązanie:
% Czyszczenie przestrzeni roboczej (workspace) i okna Command Window % Wyswietlenie napisu w oknie Command Window disp('przykladowy m plik') % Okreslenie czasu symulacji w [s] i wartości parametru k t=::; k=; % Wprowadzenie z klawiatury wartosci parametru T z warunkiem, żeby byl dodatni T=input ('Podaj dodatnia wartosc parametru T='); while T<= T=input('Wprowadziles niedodatnia wartosc parametru T, podaj dodatnia wartosc tego parametru T=') end % Obliczenie wartości pierwszej i drugiej funkcji dla kolejnych wartosci t y=6*t+k; y=t*t.^+5; %, Podział okna na części i wykreslenie wykresu funkcji y w piewszym ekranie, narysowanie siatki, podpisanie wykresu i obu osi subplot(,,); plot(t,y,'g'); title('wykres funkcji y'); xlabel('czas [s]'); ylabel('y'); % Wykonanie 3 sekundowej przerwy pause(3) %, Podział okna na części i wykreslenie wykresu funkcji y w drugim ekranie, narysowanie siatki, podpisanie wykresu i obu osi subplot(,,); plot(t,y,'r'); title('wykres funkcji y'); xlabel('czas [s]'); ylabel('y'); Wynik działania m-pliku (T=3): 3
y y 8 Wykres funkcji y 6 4 3 4 5 6 7 8 9 Czas [s] 4 x 6 Wykres funkcji y 3 3 4 5 6 7 8 9 Czas [s] Rys.. Wynik działania m-pliku z Przykładu Przykład Rozważmy następujące zadanie: Wykorzystując instrukcję for napisz m-plik obliczający wartość funkcji y=*x dla czterech wartości x (x={,,3,4}) Wynik pokaż na ekranie monitora. Przykładowe rozwiązanie: % M plik wykorzystujacy instrukcje for disp('m plik wykorzystujacy instrukcje for') % Wprowadzenie danych p=4; % Wykorzystanie instrukcji for for x = :p y = x+*x end Wynik działania m-pliku: M plik wykorzystujacy instrukcje for 4
y = 3 y = 6 y = 9 y = Przykład 3 Rozważmy następujące zadanie: Wykorzystując instrukcję if napisz m-plik, który dla a=b oblicza wartość funkcji y=a+b, w przeciwnym przypadku obliczana jest wartość funkcji y=a-b. Wartości parametrów a i b zmieniaj w m-pliku. Przykładowe rozwiązanie: % M plik wykorzystujacy instrukcje if disp('m plik wykorzystujacy instrukcje if') % Wprowadzenie danych a=5 b=5 % Wykorzystanie instrukcji if if a == b y = a+b else y = a-b end Wynik działania m-pliku: M plik wykorzystujacy instrukcje if 5
a = 5 b = 5 y = Przykład 4 Rozważmy następujące zadanie: Napisz m-plik kreślący na jednym wykresie następujące funkcje: y k x, y x dla x,. Przyjmij następujące wartości parametrów: k 3, k i załóż możliwość zmiany ich wartości w m-pliku. Podpisz osie, umieść siatkę, tytuł wykresu i legendę. k Przykładowe rozwiązanie: % M plik kreslacy wykres dwoch funkcji: y i y disp('m plik kreslacy wykres dwoch funkcji: y i y') % Okreslenie wartosci x x=-:.:; % Wprowadzenie danych k=3; k=; %Obliczenie wartosci pierwszej funkcji y=k*x; %Obliczenie wartosci drugiej funkcji y=x.^k; %Wykreslenie dwoch funkcji y i y na jednym wykresie, narysowanie siatki, podpisanie wykresu i obu osi plot(x,y,x,y); title('dwa wykresy funkcji'); xlabel('x'); 6
y ylabel('y'); legend('y','y') Wynik działania m-pliku: 8 Dwa wykresy funkcji y y 6 4 - -4 - -8-6 -4-4 6 8 x Rys.. Wynik działania m-pliku z Przykładu 4 Przykład 5 Rozważmy następujące zadanie: Działanie nieobciążonego prądowo czwórnika RC (Rys. 3) opisane jest równaniem: du (t ) wy R C u wy(t ) u we(t ) dt u R (t) i R (t) i obc (t) R i C (t) u we (t) C u C (t) u wy (t) Rys. 3. Schemat do Przykładu 5 Zakładając zerowe warunki początkowe i korzystając z pojęcia transmitancji operatorowej napisz m-plik kreślący na dwóch wykresach w dwóch oknach charakterystyki skokowe obiektu ( U V ): we 7
dla jednej wartości stałej czasowej bezwładności równej Tb s i trzech różnych wartości wzmocnienia K p obliczonych dla Rf, R K p, Rf, R K p i Rf, R K p3, dla jednej wartości wzmocnienia równego K p i trzech różnych wartości stałej czasowej bezwładności T b obliczonych dla R f 3, C f 4F T b, R f, C f 6F T b i R f3, C f3 F T b3. Podpisz osie, umieść siatkę, tytuł wykresu i legendę. Przykładowe rozwiązanie: % M plik kreslacy odpowiedz skokowa obiektu inercyjnego pierwszego rzedu % Przypadki, i 3 dotycza trzech roznych Kp dla tej samej Tb= [s] % Przypadek - Rf = [om], R = [om], to Kp= % Przypadek - Rf = [om], R = [om], to Kp= % Przypadek 3 - Rf3 = [om], R3 = [om], to Kp3=,5 % Przypadki 4, 5 i 6 dotycza trzech roznych Tb dla tej samej Kp= % Przypadek 4 - Rf4 = 3 [om], Cf4 = 4 [F], to Tb= [s] % Przypadek 5 - Rf5 = [om], Cf5 = 6 [F], to Tb=6 [s] % Przypadek 6 - Rf6 = [om], Cf6 = [F], to Tb3= [s] disp('m plik kreslacy odpowiedz skokowa obiektu inercyjnego pierwszego rzedu') % Wprowadzenie danych dla przypadkow, i 3 Tb=; Rf=; R=; Rf=; R=; Rf3=; R3=; % Obliczenie wspolczynnikow wzmocnienia Kp, Kp i Kp3 dla przypadkow, i 3 Kp=Rf/R; Kp=Rf/R; Kp3=Rf3/R3; % Liczniki i mianowniki transmitancji operatorowej dla przypadkow, i 3 L=[ Kp]; M=[Tb ]; L=[ Kp]; M=[Tb ]; L3=[ Kp3]; M3=[Tb ]; % Transmitancje operatorowe dla przypadkow, i 3 8
G=tf(L,M); G=tf(L,M); G3=tf(L3,M3); % Wprowadzenie danych dla przypadkow 4, 5 i 6 Kp=; Rf4=3; Cf4=4; Rf5=; Cf5=6; Rf6=; Cf6=; % Obliczenie stalych czasowych bezwladnosci Tb, Tb, Tb3 dla przypadkow 4, 5 i 6 Tb=Rf4*Cf4; Tb=Rf5*Cf5; Tb3=Rf6*Cf6; % Liczniki i mianowniki transmitancji operatorowej dla przypadkow 4, 5 i 6 L4=[ Kp]; M4=[Tb ]; L5=[ Kp]; M5=[Tb ]; L6=[ Kp]; M6=[Tb3 ]; % Transmitancje operatorowe dla przypadkow 4, 5 i 6 G4=tf(L4,M4); G5=tf(L5,M5); G6=tf(L6,M6); % Wykreslenie na jednym wykresie odpowiedzi skokowej dla przypadkow, i 3 figure(); step(g); hold on step(g); hold on step(g3); title('odpowiedz skokowa czlonu inercyjnego I rzedu dla trzech roznych wartosci Kp'); xlabel('czas'); ylabel('uwy [V]'); legend('uwy dla Kp','Uwy dla Kp','Uwy3 dla Kp3') pause(4); % Wykreslenie na jednym wykresie odpowiedzi skokowej dla przypadkow 4, 5 i 6 figure(); step(g4,g5,g6); title('odpowiedz skokowa czlonu inercyjnego I rzedu dla roznych wartosci Tb'); 9
Uwy [V] Uwy [V] xlabel('czas'); ylabel('uwy [V]'); legend('uwy dla Tb','Uwy dla Tb','Uwy3 dla Tb3') Wynik działania m-pliku:.8.6 Odpow iedz skokow a czlonu inercyjnego I rzedu dla trzech roznych w artosci Kp Uw y dla Kp Uw y dla Kp Uw y3 dla Kp3.4..8.6.4. 3 4 5 6 Czas (sec).8.6 Odpow iedz skokow a czlonu inercyjnego I rzedu dla roznych w artosci Tb Uw y dla Tb Uw y dla Tb Uw y3 dla Tb3.4..8.6.4. 3 4 5 6 7 Czas (sec) Rys. 4. Wynik działania m-pliku z Przykładu 5 Przykład 6 Rozważmy następujące zadanie: Dany jest obiekt inercyjny drugiego rzędu o transmitancji operatorowej postaci:
Gs ( ) 3 s 5s Napisz m-plik kreślący na czterech wykresach w jednym oknie charakterystykę impulsową, charakterystykę skokową, rozkład zer i biegunów oraz charakterystykę Nyquist a tego obiektu. Podpisz osie, umieść siatkę i tytuł wykresu. Przykładowe rozwiązanie: % M plik kreslacy odpowiedzi obiektu inercyjnego drugiego rzedu % Wprowadzenie danych Kp=3; Tb=; Tb=5; % Transmitancja operatorowa s=tf('s'); G=tf(Kp/((+Tb*s)* (+Tb*s))); % Wykreslenie na jednym wykresie odpowiedzi impulsowej, odpowiedzi skokowej, zer i biegunow oraz charakterystyki Nyquista figure; subplot(,,); impulse(g); title('odpowiedz impulsowa'); xlabel('czas'); ylabel('odpowiedz'); subplot(,,); step(g); title('odpowiedz skokowa'); xlabel('czas'); ylabel('odpowiedz'); subplot(,,3); pzmap(g); title('zera i bieguny'); xlabel('re'); ylabel('im'); subplot(,,4); nyquist(g);
Im Im Odpowiedz Odpowiedz title('charakterystyka Nyquista'); xlabel('re'); ylabel('im'); Wynik działania m-pliku:.4 Odpow iedz impulsow a 3 Odpow iedz skokow a.3.. 3 Czas (sec) 3 Czas (sec).56.74.5.9 Zera i bieguny.4.3..4.7.8.6.4..9. -.5.4.74.6.56.4.3..4.7.8 - -.8 -.6 -.4 -. Re - Charakterystyka Nyquista db db -4 db 4 db 6 db -6 db db- db db- db - db - - 3 Rys. 5. Wynik działania m-pliku z Przykładu 6 Re Przykład 7 Rozważmy następujące zadanie: Dane są dwa obiekty: całkujący rzeczywisty i różniczkujący rzeczywisty o transmitancji operatorowej równej odpowiednio: s G ( s) ; G ( s) 5s s 5s Napisz m-plik kreślący na dwóch wykresach w jednym oknie logarytmiczne charakterystyki Bode a tych obiektów. Podpisz osie, umieść siatkę i tytuł wykresu. Przykładowe rozwiązanie: % M plik kreslacy charakterystyki Bode'a obiektu calkujacego rzeczywistego i rozniczkujacego rzeczywistego
% Wprowadzenie danych obiektu calkujacego rzeczywistego Ti=5; Tb=; % Transmitancja operatorowa obiektu calkujacego rzeczywistego s=tf('s'); G=tf(/(Ti*s*(Tb*s+))); % Wprowadzenie danych obiektu rozniczkujacego rzeczywistego Td=; Tb=5; % Transmitancja operatorowa obiektu rozniczkujacego rzeczywistego G=tf(Td*s/(Tb*s+)); % Wykreslenie charakterystyki Bode'a obiektu calkujacego rzeczywistego i rozniczkujacego rzeczywistego subplot(,,); bode(g); title('charakterystyka Bodea - obiekt calkujacy rzeczywisty'); subplot(,,); bode(g); title('charakterystyka Bodea - obiekt rozniczkujacy rzeczywisty'); Wynik działania m-pliku: 3
Phase (deg) Magnitude (db) Phase (deg) Magnitude (db) Charakterystyka Bodea - obiekt calkujacy rzeczyw isty - -9-8 -3 - - Frequency (rad/sec) 5 Charakterystyka Bodea - obiekt rozniczkujacy rzeczyw isty -5 9 45 - - Frequency (rad/sec) Rys. 6. Wynik działania m-pliku z Przykładu 7 Przykład 8 Rozważmy następujące zadanie: Dane jest następujące równanie charakterystyczne układu regulacji: 3 s s s Napisz m-plik umożliwiający zbadanie stabilności tego układu z wykorzystaniem kryterium Routh a. Przykładowe rozwiązanie: % M plik sluzacy do badania stabilnosci układu za pomoca kryterium stabilnosci Routha % Okreslenie wspolczynnikow rownania charakterystycznego a=; a=; a=; a3=; % Okreslenie dwoch pierwszych wierszy tablicy Routha disp('dwa pierwsze wiersze tablicy Routha są postaci:') 4
poczatek_tablicy=[a3, a; a, a] % Okreslenie kolejnych elementow tablicy Routha liczac odpowiednie wyznaczniki disp('wyznaczamy kolejne elementy tablicy Routha liczac odpowiednie wyznaczniki:') b=-det([a3, a; a, a])/a b=-det([a3, ; a, ])/a c=-det([a, a; b, b])/b % Okreslenie calej tablicy Routha disp('zatem cala tablica Routha jest postaci:') cala_tablica=[a3, a; a, a; b, b; c, ; a, ] if (a3>)&(a>)&(b>)&(c>)&(a>) disp('zgodnie z kryterium Routha uklad jest stabilny.') elseif ((a3>)&((a<) (b<) (c<) (a<))) ((a>)&((a3<) (b<) (c<) (a<))) ((b>) &((a3<) (a<) (c<) (a<))) ((c>)&((a3<) (a<) (b<) (a<))) ((a>)&((a3< ) (a<) (b<) (c<))) disp('zgodnie z kryterium Routha uklad jest niestabilny.') end Wynik działania m-pliku: Dwa pierwsze wiersze tablicy Routha są postaci: poczatek_tablicy = Wyznaczamy kolejne elementy tablicy Routha liczac odpowiednie wyznaczniki: b = -9 b = c = Zatem cala tablica Routha jest postaci: cala_tablica = -9 5
Zgodnie z kryterium Routha uklad jest niestabilny. Przykład 9 Rozważmy następujące zadanie: Dany jest układ regulacji pokazany na Rys. 7. X (s) E (s) G r (s) G ob (s) Y (s) Rys. 7. Schemat do Przykładu 9 Transmitancja operatorowa obiektu i regulatora typu PI są równe odpowiednio: 5 Gob( s) ; G r ( s) k p 3,3,s 5s T i s 5s Napisz m-plik kreślący na dwóch wykresach w jednym oknie odpowiedź układu na skok jednostkowy x t () t x t t. Podpisz osie, umieść siatkę i tytuł wykresu. i odpowiedź na sygnał liniowy Przykładowe rozwiązanie: % M plik kreslacy odpowiedzi ukladu regulacji % Wprowadzenie danych obiektu K=5; T=.; T=5; % Transmitancja operatorowa obiektu s=tf('s'); Gob=tf(K/((T*s+)*(T*s+))); % Wprowadzenie danych regulatora typu PI kp=3.3; Ti=5; % Transmitancja operatorowa regulatora typu PI Gr=tf(kp*(+(/(Ti*s)))); 6
y(t) y(t) % Transmitancja operatorowa ukladu otwartego Go=series(Gob,Gr); % Transmitancja operatorowa ukladu zamknietego (ujemne sprzezenie zwrotne) Gz=feedback(Go,); % Wykreslenie odpowiedzi ukladu regulacji subplot(,,); step(gz); title('odpowiedz skokowa ukladu regulacji'); xlabel('czas [s]'); ylabel('y(t)'); subplot(,,); t = :.:; xwe=t; lsim(gz,xwe,t) title('odpowiedz ukladu regulacji na sygnal liniowy'); xlabel('czas'); ylabel('y(t)'); Wynik działania m-pliku:.5 Odpow iedz skokow a ukladu regulacji.5.5..5 Czas (sec) Odpow iedz ukladu regulacji na sygnal liniow y 5 Bibliografia 3 4 5 6 7 8 9 Czas (sec) Rys. 8. Wynik działania m-pliku z Przykładu 9 Brzózka J. Ćwiczenia z automatyki w Matlabie i Simulinku. Wydawnictwo MIKOM, 997. Brzózka J., Dorobczyński L. Matlab środowisko obliczeń naukowo technicznych. Wydawnictwo MIKOM, 5. 7
Mrozek B., Mrozek Z. Matlab i Simulink. Poradnik użytkownika. Wydanie II. Wydawnictwo HELION, 4. The Mathworks. Control System Toolbox for use with Matlab. Natick,. Zalewski A., Cegieła R. Matlab obliczenia numeryczne i ich zastosowania. Wydawnictwo NAKOM, 996. 8