Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 3. Podstawowe obliczenia finansowe w Matlabie. Obligacje Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka w ekonomii i finansach Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 1/55
Wartość pieniądza w czasie Jedną z podstawowych kwestii, którą zajmuje się matematyka finansowa jest porównywanie wartości pieniądza w różnych momentach czasu. Złotówkę, która posiadamy teraz, możemy wpłacić na bezpieczną lokatę bankową i za rok, dzięki odsetkom, wypłacić kwotę odpowiednio większą. Przyszła wartość naszej złotówki jest więc większa od obecnej. Z drugiej strony jeżeli wiemy, że za rok będziemy potrzebowali złotówki, możemy dziś wpłacić na konto mniejszą kwotę, która za rok po dopisaniu do niej odsetek, da nam potrzebną złotówkę. Wynika stąd, że obecna wartość tej złotówki jest mniejsza od przyszłorocznej. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 2/55
Podstawowe pojęcia K t kapitał posiadany w chwili czasu t. K 0 kapitał początkowy, czyli pierwotnie zainwestowaną kwotą pieniędzy. podstawowa jednostka czasu (okres bazowy) to 1 rok. K 1 K 0 zysk (roczny), albo odsetki (roczne). Stosunek zysku do zainwestowanego kapitału r = K 1 K 0 K 0 (1) nazywać będziemy stopą procentową lub stopą zwrotu (ang. interest rate, rate of return). Wzór (1) zapisujemy często w innej formie K 1 = K 0 + rk 0 = K 0 (1 + r). (1 + r) czynnik oprocentowujący Stopa procentowa jest ściśle związana z wybraną jednostką czasu. Zmiana tej jednostki prowadzi do innej wartości stopy procentowej. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 3/55
Stopy procentowe Na rynku funkcjonuje wiele różnych stóp procentowych. Najważniejsze polskie stopy procentowe to ustalane przez NBP stopy: referencyjna, lombardowa, depozytowa, redyskontowa, oraz ustalane przez 13 banków stopy WIBOR i WiWID. W naszych rozważaniach najczęściej będziemy posługiwali się tzw. stopą procentową wolną od ryzyka (ang. risk-free interest rate). Pojęcie to odnosi się do stopy, przy której udzielenie pożyczki lub lokata terminowa nie są zagrożone możliwością niewywiązania się drugiej strony takiej transakcji z warunków umowy. Jest to wielkość teoretyczna, w praktyce przyjmujemy najczęściej, że jest ona równa oprocentowaniu gwarantowanemu przez krótkoterminowe obligacje rządowe. Z reguły będziemy zakładać, że stopa ta jest stała w czasie i nie zależy od długości inwestowania. Będziemy zakładać, że oprocentowanie lokat i kredytów jest jednakowe. Jest to pewne uproszczenie, ale w stosunku do dużych i wiarygodnych inwestorów nie odbiega zbytnio od rzeczywistości. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 4/55
Kapitalizacja prosta Proces dopisywania odsetek do kapitału nazywamy kapitalizacją. Kapitalizacja prosta polega na obliczaniu odsetek od tego samego stałego kapitału początkowego. Same odsetki nie są kapitalizowane w następnych okresach. Możemy zakładać, że nie są one dopisywane do kapitału, ale są od razu wypłacane posiadaczowi tego kapitału. Schemat kapitalizacji prostej wygląda następująco: K 0, K 1 = K 0 + rk 0 = K 0 (1 + r), K 2 = K 1 + rk 0 = K 0 (1 + 2r),. K n = K n 1 + rk 0 = K 0 (1 + nr). Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 5/55
Kapitalizacja złożona Kapitalizacja złożona polega na każdorazowym dopisywaniu odsetek do kapitału. Przynoszą one dodatkowy zysk w następnym okresie, ponieważ są również kapitalizowane. Schemat kapitalizacji złożonej wygląda tak: K 0, K 1 = K 0 + rk 0 = K 0 (1 + r), K 2 = K 1 (1 + r) = K 0 (1 + r) 2,. K n = K n 1 (1 + r) = K 0 (1 + r) n. W dalszej części stosować będziemy głównie kapitalizację złożoną. W obu opisanych modelach odsetki dopisywane były na końcu każdego okresu. Jest to tzw. kapitalizacja z dołu. Czasami rozważamy modele, w których odsetki dopisujemy na początku okresu, mówimy wówczas o kapitalizacji z góry. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 6/55
Kapitalizacja w podokresach Do tej pory zakładaliśmy, że odsetki dopisywane są jednorazowo na końcu każdego okresu (roku). Często okres kapitalizacji jest mniejszy od okresu stopy procentowej, tzn. odsetki dopisywane są częściej, np. raz w miesiącu. Mówimy wówczas o kapitalizacji w podokresach. W dalszym ciągu zakładać będziemy, że okres stopy procentowej = m okres kapitalizacji, gdzie m N. Najczęściej używane wartości m to: m = 1 m = 2 m = 4 m = 12 m = 360 (lub 365) m = 8640 kapitalizacja roczna, kapitalizacja półroczna, kapitalizacja kwartalna, kapitalizacja miesięczna, kapitalizacja dzienna, kapitalizacja godzinna. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 7/55
Stopa nominalna, a stopa względna Niech r będzie roczną stopą procentową, a kapitalizacja dokonywana będzie w m podokresach. Wówczas kapitał po n podokresach wynosić będzie: K n/m = K 0 ( 1 + r m) n. Wówczas r (m) = r/m nazywamy względną stopą procentową, a r nominalną stopą procentową (ang. nominal interest rate). Wartość kapitału po roku wynosi K 1 = K m/m = K 0 (1 + r m )m. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 8/55
Stopa nominalna, a stopa efektywna Niech r będzie roczną stopą procentową, a kapitalizacja dokonywana będzie w m podokresach. Efektywną stopą procentową (roczną) (ang. effective interest rate) nazywamy liczbę r (m) eff spełniającą równanie K 0 (1 + r (m) eff ) = K 0 ( 1 + r m) m. (2) Jest to taka wartość stopy procentowej, dla której zysk przy kapitalizacji rocznej jest taki sam jak zysk przy kapitalizacji w m podokresach z względną stopą r m. Z wzoru (2) łatwo wynika, że r (m) eff = ( 1 + m) r m 1. Możemy rozważać też problem odwrotny, przy ustalonej stopie efektywnej r (m) eff i ustalonej liczbie podokresów m znaleźć wartość stopy nominalnej r spełniającej równanie (2). Nietrudno zauważyć, że: [ ( ) ] r = m 1 + r (m) 1/m eff 1. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 9/55
Funkcje effrr i nomrr Matlab udostępnia dwie funkcje effrr i nomrr służące do zamiany stopy nominalnej na efektywną i odwrotnie. Przyjmują one dwa parametry: stopę procentową, którą chcemy zamienić i liczbę podokresów. Załóżmy, że nominalna stopa procentowa wynosi r = 0,08. W przypadku kapitalizacji miesięcznej stopa efektywna wynosi > > effrr(0.08,12) ans = 0.0830 a w przypadku kapitalizacji dziennej > > effrr(0.08,360) ans = 0.0833 Wyznaczymy ponownie nominalną stopę procentową: > > nomrr(0.0830,12) ans = 0.0800 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 10/55
Kapitalizacja ciągła Wraz ze wzrostem liczby podokresów stopa efektywna rośnie. Możemy wyobrazić sobie, że kapitalizację wykonujemy w każdej chwili, tzn. przechodzimy z m do nieskończoności. Efektywna stopa procentowa rośnie wówczas do [( r eff = lim 1 + r m ] m m) 1 = e r 1, a czynnik oprocentowujący wynosi 1 + r eff = e r. Liczbę r nazywamy wówczas intensywnością oprocentowania. Dopisywanie odsetek w sposób ciągły może wydawać się nieco sztuczne, lecz upraszcza wiele obliczeń. Możemy np. wyznaczyć wartość kapitału w dowolnej chwili t, a nie tylko w momentach będących wielokrotnościami okresu kapitalizacji. Nietrudno zauważyć, że wynosi ona K t = e rt K 0. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 11/55
Dyskontowanie Do tej pory zajmowaliśmy się odpowiedzią na pytanie jaka będzie wartość naszego kapitału w przyszłości. Możemy odwrócić problem jaką kwotę musimy mieć teraz, aby w przyszłości wartość naszego kapitału wynosiła K t. Inaczej mówiąc, jaka jest obecna wartość tego kapitału. Jeżeli stosujemy kapitalizację złożoną z roczną stopą procentową r, to z podanych wcześniej wzorów wynika, że K 0 = K n (1 + r) n. Operację obliczania wartości obecnej nazywamy dyskontowaniem, a liczbę (1 + r) 1 czynnikiem dyskontującym (ang. discount factor). Jeżeli stosujemy ciągły model kapitalizacji z intensywnością oprocentowania r, to K 0 = e rt K t. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 12/55
Strumień pieniądza Strumieniem pieniądza (ang. cash flow)nazywamy ciąg płatności C k w określonych momentach czasu t = t 0, t 1,..., t k. Najczęściej momenty te są równomiernie rozłożone, płatności następują np. na końcu każdego roku, wówczas t = 0, 1, 2,..., k. Przyjmujemy następującą konwencję: jeżeli my płacimy komuś, to płatność zapisujemy ze znakiem minus (C k < 0), jeżeli ktoś nam płaci, to ze znakiem plus (C k > 0). Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 13/55
Wartość przyszła (FV) Niech C 0, C 1,..., C n będzie strumieniem pieniądza. Załóżmy, że C 0 oznacza płatność dokonaną w chwili początkowej t = 0, C 1 płatność dokonaną na końcu pierwszego roku, C 2 drugiego itd. Niech r będzie roczną stopą procentową. Załóżmy, że stosujemy kapitalizację złożoną roczną z dołu. Ile będzie wynosić wartość tego strumienia na końcu n-tego roku? Wielkość tę nazywamy wartością przyszłą strumienia i oznaczamy symbolem FV (z ang. future value). Jak łatwo sprawdzić, w naszym przypadku FV n = n C k (1 + r) n k. (3) k=0 Widzimy, że płatność początkowa jest kapitalizowana n razy, następna n 1 razy, a ostatnia płatność C n w ogóle nie jest kapitalizowana. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 14/55
Wartość przyszła (FV) W przypadku, gdy stosujemy inny model kapitalizacji, wzór (3) zmienia się. Jeżeli np. płatności dokonywane są m razy do roku w równych odstępach czasu, to wartość przyszła po n latach wynosić będzie mn FV n = C k (1 + r/m) nm k. k=0 Jeżeli płatności nie są dokonywane regularnie, ale w dowolnych momentach t 0, t 1,..., t n, to wzór może przyjąć skomplikowaną postać. W takim przypadku wygodniej jest użyć ciągłego modelu kapitalizacji. Otrzymujemy wówczas FV tn = n C k e tn t k. k=0 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 15/55
Funkcja fvvar Do obliczania wartości przyszłej służy funkcja fvvar(str,r) str wektor zawierający kolejne płatności wykonywane w regularnych odstępach, na końcu każdego okresu, r okresowa stopa procentowa. Funkcja zwraca wartość przyszłą strumienia w momencie dokonywania ostatniej płatności. Załóżmy, że roczna stopa procentowa wynosi 7%. Wpłacamy na konto najpierw 100 zł, po roku 300 zł, a po kolejnym roku 200 zł. Jaka będzie wartość naszej lokaty po dokonaniu ostatniej wpłaty, a jaka po 4 latach od dokonania pierwszej wpłaty? > > fvvar([100 300 200],0.07) ans = 635.4900 > > fvvar([100 300 200 0 0],0.07) ans = 727.5725 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 16/55
Funkcja fvvar Funkcja fvvar pozwala obliczać wartość przyszłą również w przypadku, gdy wpłaty nie są dokonywane regularnie. Wywołujemy ją wówczas z dodatkowym parametrem wektorem zawierającym daty, w których dokonywane są płatności. Obliczmy wartość przyszłą następującego strumienia: 10 grudnia 2007 1000 zł 13 lutego 2008 1500 zł, 14 maja 2008 3000 zł, 5 listopada 2009 2000 zł, 2 grudnia 2010 1500 zł. Jaka będzie wartość tego strumienia 2 grudnia 2010 roku, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 8%? > > str = [1000 1500 3000 2000 1500]; > > r = 0.08; > > daty = [ 10-Dec-2007 ; 13-Feb-2008 ; 14-May-2008 ; 05-Nov-2009 ; 02-Dec-2010 ]; > > fvvar(str,r,daty) ans = 10440.57 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 17/55
Funkcja fvfix Jeżeli płatności mają zawsze tę samą wartość i dokonywane są regularnie, to do obliczania wartości przyszłej wygodniej jest użyć funkcji fvfix(r,n,c,c0,d). Jej trzy pierwsze parametry są obowiązkowe, dwa kolejne opcjonalne: r okresowa stopa procentowa, n liczba okresów, C wysokość pojedynczej płatności. Opcjonalnie możemy podać C0 początkowa wartość strumienia (domyślnie C0=0) d czy płatności na końcu każdego okresu (d=0, wartość domyślna), czy na początku (d=1). Załóżmy, że początkowy stan konta to 1500 zł. Przez 20 lat na końcu każdego miesiąca wpłacamy 200 zł. Roczna stopa procentowa jest stała i wynosi 8%, a odsetki dopisywane są co miesiąc, obliczyć stan lokaty po 20 latach. > > fvfix(0.08/12, 12 * 20, 200, 1500 ) ans = 125194.29 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 18/55
Wartość obecna (PV) Obecna wartość (ang. present value (PV)) przyszłej kwoty pieniądza to ilość pieniędzy, jaką należy wpłacić dziś na rachunek bankowy, aby w przyszłości otrzymać daną kwotę. Inaczej mówiąc jest to zdyskontowana wartość tej kwoty. Wartość obecna strumienia pieniądza jest równa sumie wartości obecnych poszczególnych płatności należących do tego strumienia. Niech C 0, C 1,..., C n będzie strumieniem pieniądza, a r będzie roczną stopą procentową. Zakładamy, że stosujemy kapitalizację złożoną roczną z dołu. Wówczas PV = n k=0 C k (1 + r) k. Jeżeli stosujemy ciągły model kapitalizacji, a strumień składa się z płatności wykonywanych w momentach t 0, t 1,..., t n, to n PV = C k e rt k. k=0 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 19/55
Wartość obecna (PV) Warto zauważyć, że między wartością przyszłą FV n, a wartością obecną PV zachodzą związki w przypadku dyskretnym i w przypadku ciągłym. FV n = PV (1 + r) n FV t = PV e rt. W Matlabie do obliczania wartości obecnej służą funkcje pvvar(str,r,daty) i pvfix(r,n,c,cn,d). Używamy ich w sposób podobny do funkcji fvvar i fvfix. Jedyna różnica to czwarty parametr funkcji pvfix. Cn oznacza dodatkową płatność dokonywaną w ostatnim momencie. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 20/55
Wartość obecna netto (NPV) Wartość obecna jest często stosowanym kryterium opłacalności inwestycji. Załóżmy, że w czasie trwania inwestycji ma miejsce n+1 przepływów gotówki C 0, C 1,..., C n w momentach 0, 1, 2,... n. Najczęściej (choć nie zawsze) C 0 < 0 na początku inwestujemy pieniądze, i C k 0 dla k 1 inwestycja przynosi nam zysk. Wartością obecną netto (ang. net present value (NPV)) tej inwestycji nazywamy liczbę NPV = n k=0 C k (1 + r) k. Jeżeli NPV < 0, to inwestycja jest nieopłacalna, lepiej wpłacić pieniądze na lokatę bankową. Jeżeli NPV > 0, to warto zainwestować. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 21/55
Wartość obecna netto (NPV) przykład Znajomy proponuje nam żebyśmy zainwestowali w jego firmę 10 000 zł. Obiecuje, że w pięciu kolejnych latach inwestycja przyniesie nam zyski równe odpowiednio 3000, 2500, 3000, 2000 i 2000 zł. Czy warto przyjąć propozycję, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi a) 7%, b) 10%? > > str = [-10000 3000 2500 3000 2000 2000]; > > r = 0.07; > > pvvar(str,r) ans = 387.9916 Wynika stąd, że warto zainwestować. Czy na pewno? Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 22/55
Wartość obecna netto (NPV) przykład Sprawdźmy. Jeżeli wpłacimy 10 000 zł na lokatę bankową, to po 5 latach otrzymamy: > > 10000*(1+0.07)ˆ 5 ans = 14025.52 Jeżeli zainwestujemy w firmę znajomego, a wypłacane zyski będziemy wpłacać na lokatę, to po 5 latach jej stan wynosić będzie: > > fvvar([3000 2500 3000 2000 2000],r) ans = 14569.69 Zysk jest o około 544,18 zł większy. Warto zauważyć, że taka jest właśnie przyszła wartość naszej inwestycji > > fvvar(str,r) ans = 544.18 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 23/55
Wartość obecna netto (NPV) przykład Sprawdźmy teraz, czy sytuacja zmieni się, jeżeli stopa procentowa wzrośnie do 10%. > > r = 0.1; > > pvvar(str,r) ans = -344.80 Widzimy, że inwestycja przestała być opłacalna. Rzeczywiście, 10 000 zł wpłacone na lokatę po 5 latach da nam > > 10000*(1+0.1)ˆ 5 ans = 16105.10 Wpłacanie na lokatę zysków z inwestycji przyniesie tylko > > 3000*(1.1)ˆ 4 + 2500*(1.1)ˆ 3 + 3000 *(1.1)ˆ 2 + 2000*(1.1)+2000 ans = 15549.80 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 24/55
Wartość obecna netto (NPV) przykład Ostatni przykład pokazuje, że dla niższej stopy procentowej bardziej opłacalna była inwestycja w firmę, a dla wyższej wpłata pieniędzy na lokatę bankową. Możemy sobie zadać pytanie, czy istnieje taka wartość stopy procentowej, że obie te inwestycje będą jednakowo opłacalne? Inaczej mówiąc, czy istnieje taka wartość stopy procentowej, dla której wartość obecna inwestycji jest równa zero? Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 25/55
Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) Niech C 0, C 1,..., C n będzie strumieniem pieniądza. Wewnętrzną stopą zwrotu (ang. internal rate of return (IRR)) nazywamy taką wartość stopy procentowej, dla której obecna wartość strumienia jest równa zero. Inaczej mówiąc, jest to wartość r spełniająca równanie n C k NPV = (1 + r) k = 0 k=0 lub, w przypadku kapitalizacji ciągłej, NPV = n C k e rt k = 0. k=0 W Matlabie do wyznaczania wewnętrznej stopy zwrotu służy funkcja irr. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 26/55
Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) przykład Wyznaczymy wewnętrzną stopę zwrotu dla strumienia z poprzedniego przykładu: > > irr([-10000 3000 2500 3000 2000 2000]) ans = 0.0854 Rzeczywiście, > > pvvar([-10000 3000 2500 3000 2000 2000],ans) ans = 0 Przy takiej stopie procentowej nie ma znaczenia, czy zainwestujemy w firmę znajomego, czy wpłacimy pieniądze na lokatę bankową. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 27/55
Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) wady Niestety przy obliczaniu wewnętrznej stopy zwrotu mogą pojawić się problemy. Równanie NPV = n k=0 C k (1 + r) k = 0 (4) może nie mieć rozwiązania, może mieć więcej niż jedno rozwiązanie, może mieć też tylko rozwiązania zespolone. Wiadomo jednak, że jeżeli wszystkie wpłaty nastąpiły przed wypłatami, oraz przynajmniej jedna wpłata i jedna wypłata były różne od zera, to równanie (4) ma jednoznaczne rozwiązanie rzeczywiste. Wewnętrzna stopa zwrotu może posłużyć jako kryterium opłacalności inwestycji. Jeżeli jest ona wyższa od obowiązującej na rynku stopy procentowej, to inwestycja warta jest rozważenia, w przeciwnym wypadku lepiej włożyć pieniądze do banku. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 28/55
Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) wady Wewnętrznej stopy zwrotu nie należy natomiast używać do porównywania różnych projektów. Może się zdarzyć, że projekt A ma wyższą IRR niż projekt B, a mimo to bardziej opłacalna jest inwestycja w ten drugi projekt. Przy obliczaniu IRR zakłada się, że wszystkie zyski, jakie przynosi projekt, są inwestowane w ten sam projekt lub w inny o takiej samej rentowności. Często jednak zyski inwestuje się w inne projekty o niższej stopie zwrotu. Również koszty pozyskania kapitału są zazwyczaj różne od IRR. Bardziej wiarygodnym kryterium oceny może być tzw. zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu (ang. modified internal rate of return (MIRR)). Uwzględnia ona wymienione wyżej problemy, ma również tę zaletę, że zawsze jest jednoznacznie wyznaczona. Aby obliczyć MIRR w Matlabie, używamy funkcji mirr(str,r1,r2), gdzie r1 jest stopą według której pozyskujemy kapitał, a r2 stopą według której reinwestujemy zyski z projektu. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 29/55
Spłata kredytu Najważniejszymi wartościami charakteryzującymi kredyt są: jego wysokość P, oprocentowanie r, czas spłaty n, wysokość raty C. Ograniczymy się do przypadku, gdy oprocentowanie jest stałe przez cały okres spłaty pożyczki, raty są płacone w równych odstępach czasu i są równej wysokości. Wówczas parametry charakteryzujące kredyt są powiązane następującym wzorem: P = n k=1 C (1 + r) k. (5) Jeżeli znamy trzy parametry kredytu możemy obliczyć czwarty. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 30/55
Funkcja payper Funkcja payper(r,n,pv,fv,d) dla danej okresowej stopy procentowej r, liczby okresów spłaty n oraz obecnej wysokości kredytu pv wyznacza wysokość raty. Opcjonalnie możemy podać wartość kredytu fv, którą chcemy osiągnąć po n okresach, domyślnie jest to 0 (tzn. chcemy spłacić cały kredyt) oraz informację, czy raty będziemy płacić na końcu każdego okresu (d=0, wartość domyślna), czy na początku d=1. Załóżmy, że bierzemy kredyt w wysokości 10 000 zł i musimy go spłacić w ciągu 5 lat. Ile powinna wynosić miesięczna rata, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 10%? > > payper(0.1/12, 5*12, 10000) ans = 212.47 Miesięczna rata wynosi nieco ponad 212 zł. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 31/55
Funkcja annuterm Jeżeli znamy obecną wysokość kredytu pv, wysokość pojedynczej raty c oraz okresową stopę procentową r, to za pomocą funkcji annuterm(r,c,pv,fv,d) możemy obliczyć jak długo będziemy musieli spłacać kredyt. Pozostałe dwa parametry tej funkcji są opcjonalne i ich znaczenie jest takie samo jak w przypadku funkcji payper. Tak samo jak w poprzednim przykładzie bierzemy kredyt w wysokości 10 000 zł, roczna stopa procentowa wynosi 10%, a wysokość miesięcznej raty to 212,47 zł. Jak długo będziemy musieli spłacać taki kredyt? > > annuterm(0.1/12,212.47,-10000) ans = 60.00 Kredyt będziemy spłacać przez 60 miesięcy, czyli 5 lat. Wynik ten zgadza się z poprzednim przykładem. Zauważmy, że wysokość kredytu podaliśmy ze znakiem minus. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 32/55
Funkcja annurate Załóżmy teraz, że znane są wysokość kredytu pv, wysokość raty c oraz liczba okresów spłaty n. Na podstawie tych danych za pomocą funkcji annurate(n,c,pv,fv,d) możemy wyznaczyć wysokość okresowej stopy procentowej. Ponownie bierzemy kredyt w wysokości 10 000 zł i spłacamy go w całości w ciągu 5 lat w miesięcznych ratach w wysokości 212,47 zł. Ile wynosi oprocentowanie tego kredytu? > > annurate(5*12, 212.47, 10000) ans = 0.0083 Jest to miesięczna stopa procentowa, aby otrzymać roczną trzeba ją przemnożyć przez 12. > > ans * 12 ans = 0.1000 Czyli około 10%. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 33/55
Funkcja pvfix (raz jeszcze) Pozostała jeszcze jedna możliwość: znamy wysokość raty, oprocentowanie i okres spłaty kredytu. Za pomocą omawianej wcześniej funkcji pvfix możemy obliczyć początkową wysokość kredytu: > > pvfix(0.1/12, 5*12, 212.47) ans = 10000 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 34/55
Funkcja amortize Funkcja amortize(r,n,pv,fv,d) przyjmuje takie same argumenty jak funkcja payper, ale pozwala uzyskać bardziej szczegółowe informacje na temat miesięcznej raty. Wiadomo, że każda rata składa się z części kapitałowej przeznaczonej na spłatę podstawowej pożyczki oraz z części odsetkowej przeznaczonej na spłatę odsetek. Funkcja amortize zwraca cztery wartości. Dwie pierwsze to n-elementowe wektory zawierające części kapitałowe i odsetkowe każdej z rat. Trzecia ze zwracanych wartości to również n-elementowy wektor zawierający wartości długu bieżącego po każdym okresie (czyli ile zostało jeszcze do spłaty), a czwarta to skalar zawierający wysokość miesięcznej raty. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 35/55
Funkcja amortize Sprawdźmy, jak zmieniają się części odsetkowe i kapitałowe raty dla danych z naszego przykładu. Aby zaoszczędzić miejsce, podajemy tylko dwie pierwsze i dwie ostatnie wartości każdego z 60-elementowych wektorów. > > [rkap rods biez rata] = amortize(0.1/12, 5*12, 10000) rkap = 129.1371 130.2133... 208.9731 210.7145 rods = 83.3333 82.2572... 3.4974 1.7560 biez = 9870.9 9740.6... 210.7 0.0 rata = 212.4704 Wraz ze spłatą długu, część kapitałowa raty rośnie, a odsetkowa maleje. Na początku odsetki stanowią około 40% raty, na końcu jest to już niecały 1%. Wartość bieżąca długu maleje do zera. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 36/55
Obligacje Obligacja (ang. bond) jest papierem wartościowym, w którym emitent (wystawca) stwierdza istnienie określonego zobowiązania finansowego w stosunku do nabywcy obligacji, zobowiązując się jednocześnie do jego spełnienia w określony sposób i w określonym czasie. Innymi słowy emitent potwierdza zaciągnięcie pożyczki w określonej kwocie i zobowiązuje się do jej zwrotu w określonym terminie. W odróżnieniu od akcji obligacje nie dają ich posiadaczowi żadnych uprawnień typu współwłasność, dywidenda, czy uczestnictwo w walnych zgromadzeniach. Obligacje mogą być emitowane przez skarb państwa, samorządy oraz przedsiębiorstwa. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 37/55
Obligacje Obligacje emitowane są z określoną wartością nominalną (ang. face value, par value, principal). Jest to suma, jaką emitent zobowiązuje się wypłacić posiadaczowi obligacji po upływie terminu wykupu (ważności) (ang. maturity date). Dodatkowo co pewien ustalony okres (np. co rok lub co miesiąc) posiadaczowi obligacji wypłaca się odsetki ze względów historycznych nazywane kuponami (ang. coupons). Kupony przynoszą posiadaczowi pewien stały dochód, dlatego obligacje zaliczamy do tzw. fixed income securities. (Czasami dochód ten zmienia się, wysokość kuponu może zależeć np. od aktualnej stopy procentowej.) Istnieją również tzw. obligacje zerokuponowe (ang. zero-coupon bonds), od których nie otrzymuje się odsetek. Po upływie terminu wykupu posiadacz obligacji otrzymuje od emitenta kwotę równą wartości nominalnej. Takie obligacje sprzedawane są z dyskontem, tzn. po cenie niższej od nominalnej. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 38/55
Obligacje Obligacji nie musimy kupować bezpośrednio od ich wystawcy w momencie ich emisji, nie musimy ich też trzymać aż do momentu wykupu. Dlatego musimy odróżniać datę emisji (ang. issue date) od daty dokonania transakcji kupna-sprzedaży (ang. settlement date). Funkcjonuje dobrze rozwinięty wtórny rynek obligacji, na którym możemy je kupować i sprzedawać w dowolnym momencie. Pojawia się zatem problem właściwej wyceny obligacji. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 39/55
Cena sprawiedliwa i arbitraż Zanim zajmiemy się wyceną obligacji musimy się zastanowić, jaka jest właściwa definicja ceny instrumentu finansowego i jakie warunki powinna ona spełniać. W matematyce finansowej najczęściej korzystamy z pojęcia tzw. ceny sprawiedliwej (ang. fair price). Nazywamy tak cenę, która nie faworyzuje żadnej ze stron transakcji. Sprzedaż czy kupno po tej cenie nie powinny przynieść zysku ani straty. Inaczej mówiąc, jest to cena niedopuszczająca możliwości arbitrażu (ang. arbitrage), czyli osiągania zysku bez ponoszenia ryzyka. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 40/55
Cena sprawiedliwa i arbitraż przykład Jeżeli w banku A roczna stopa oprocentowania kredytów wynosi 10%, a w banku B roczna stopa oprocentowania depozytów wynosi 12%, to możemy zaciągnąć kredyt w banku A i wpłacić całą otrzymaną kwotę do banku B. Po upływie roku likwidujemy lokatę i zwracamy kredyt. Z każdej pożyczonej złotówki zostaną nam dwa grosze. Osiągnęliśmy więc zysk i to bez angażowania środków własnych. Przykład ten uzasadnia inną często spotykaną definicją arbitrażu. Jest to taka strategia gry rynkowej, w której startując z zerowego kapitału początkowego, nasz kapitał końcowy na pewno nie będzie ujemny, a z niezerowym prawdopodobieństwem będzie dodatni. Czyli na pewno nie stracimy, a być może nawet zyskamy. W praktyce na rynku występują możliwości arbitrażu, ale prawa rynku szybko je eliminują. Bank A po stwierdzeniu wzmożonego popytu na kredyty podniesie ich oprocentowanie, a duży napływ gotówki do banku B spowoduje spadek oprocentowania lokat i po niedługim czasie obie stopy procentowe powinny się wyrównać. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 41/55
Wycena obligacji zerokuponowych Rozważmy obligację zerokuponową, o wartości nominalnej F. Załóżmy, że kupujemy ją dokładnie rok przed terminem ważności po cenie P. Roczna stopa zwrotu naszej inwestycji wynosi oczywiście r = F P P. Jeżeli to F i r są ustalone, to po przekształceniu otrzymamy wzór na bieżącą cenę obligacji P = F 1 + r. (6) Pozostaje pytanie: jaką wartość r powinniśmy wstawić do powyższego wzoru, aby otrzymana cena P była ceną sprawiedliwą? Pokażemy, że r powinno być równe obowiązującej na rynku stopie procentowej wolnej od ryzyka. W praktyce często mamy do czynienia z sytuacją odwrotną. To ustalona przez skarb państwa cena obligacji wyznacza stopę procentową wolną od ryzyka. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 42/55
Wycena obligacji zerokuponowych Załóżmy najpierw, że obligacje są sprzedawane po cenie P 1 niższej niż ta określona wzorem (6), tzn. P 1 < P = F 1 + r. Wówczas możemy pożyczyć kwotę P 1 i kupić za nią jedną obligację. Po roku za obligacje otrzymamy F i zwracamy dług, który wraz z odsetkami wynosi P 1 (1 + r). Ponieważ P 1 < P, to F P 1 (1 + r) > F P(1 + r) = 0. Widzimy, że udało nam się osiągnąć zysk bez żadnego wkładu własnego. Istnieje zatem możliwość arbitrażu. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 43/55
Wycena obligacji zerokuponowych Załóżmy, że obligacje sprzedawane są po cenie P 1 wyższej niż P P 1 > P = F 1 + r. Tym razem zamiast gotówki pożyczamy jedną obligację i sprzedajemy ją po cenie P 1. Jest to tzw. krótka sprzedaż (ang. short selling). W praktyce jest ona obłożona wieloma ograniczeniami, ale w modelach teoretycznych zwykle zakłada się, że jest ona dopuszczalna. Pieniądze otrzymane ze sprzedaży obligacji wpłacamy na lokatę. Po roku jej wartość wzrośnie do P 1 (1 + r). Po oddaniu poprzedniemu właścicielowi obligacji jej wartości nominalnej F zostaje nam kwota P 1 (1 + r) F > P(1 + r) F = 0. Osiągnęliśmy zysk bez żadnego wkładu własnego. Wynika stąd, że P określone wzorem (6) jest jedyną ceną niedającą możliwości arbitrażu, czyli ceną sprawiedliwą. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 44/55
Wycena obligacji kuponowych Obligacje kuponowe przynoszą posiadaczowi pewien dodatkowy dochód wypłacany przed terminem wykupu. Wysokość tego dochodu najczęściej wyraża się jako pewien procent nominalnej wartości obligacji, nazywany stopą oprocentowania obligacji (ang. coupon rate). Jeżeli np. nominalna wartość obligacji wynosi 100 zł, a jej stopa oprocentowania 8%, to posiadacz obligacji co roku otrzyma 8 zł, a w terminie wykupu 108 zł (wartość nominalna plus ostatni kupon). Zdarza się, że kupony wypłacane są częściej, np. co pół roku. Wówczas posiadacz otrzymuje 4 zł co 6 miesięcy. Załóżmy, że wartość nominalna obligacji wynosi F, wysokość pojedynczego kuponu C, a do terminu wykupu zostało n lat. Postępując podobnie jak w przypadku obligacji zerokuponowych, można pokazać, że sprawiedliwa cena takiej obligacji wynosi: P = n k=1 C (1 + r) k + F (1 + r) n, gdzie r jest roczną Bartosz stopą Ziemkiewicz procentową. Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 45/55