O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH

O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH NA PODSTAWIE REFERATU NGUYEN QUANG LOCA Przez cały referat K oznaczać będzie ustalone ciało algebraicznie domknięte. 1. Przez cały referat N oznaczać będzie ustaloną kratę izomorficzną z kratą Z n, zaś M := Hom Z (N, Z). Ponadto N R := N Z R R n i M R := Hom R (N R, R) (R n ). Wymiernymi stożkami wielościennymi w przestrzeni N R nazywamy zbiory postaci cone(v 1,..., v t ) := R + v 1 + + R + v t dla wektorów v 1,..., v t N. Stożkiem dualnym do stożka σ N R nazywamy podzbiór σ M R dany wzorem σ := {u M R u(v) 0 dla wszystkich v σ}. Twierdzenie Farkasa orzeka, że jeśli σ jest wymiernym stożkiem wielościennym w przestrzeni N R, to σ jest wymiernym stożkiem wielościennym w przestrzeni M R. Ścianami wymiernego stożka wielościennego σ N R nazywamy zbiory postaci σ u dla wektorów u σ, gdzie u := {v N R u(v) = 0} dla wektora u M R. Łatwo pokazać, że ściany wymiernego stożka wielościennego są wymiernymi stożkami wielościennymi oraz że przekrój dwóch ścian jest ścianą. Wymierny stożek wielościenny σ N R nazywamy ściśle wypukłym, jeśli σ ( σ) = {0}. Warunek ten jest równoważny warunkowi, że zbiór {0} jest ścianą stożka σ, oraz warunkowi, że dim σ = n. Będziemy odtąd zakładać, że stożki rozważane w przestrzeni N R są ściśle wypukłymi wymiernymi stożkami wielościennymi i nazywali je po prostu stożkami. Jeśli σ N R jest stożkiem, to półgrupę S σ := σ M nazywamy półgrupą stożka σ. Półgrupa S σ jest skończenie generowana. Istotnie, załóżmy, że stożek σ jest generowany przez wektory u 1,..., u t M. Niech { t } K := δ i u i 0 δ i 1. i=1 Ponieważ zbiór K jest zwarty, więc zbiór K M jest skończony. Wtedy półgrupa S σ jest generowana przez zbiór K M. Data: 27.10.2005, 10.11.2005 i 24.11.2005. 1

2 NA PODSTAWIE REFERATU NGUYEN QUANG LOCA W powyższej sytuacji wiadomo też, że półgrupa S σ generuje grupę M oraz jest nasycona. Podpółgrupę S wolnej grupy abelowej G nazywamy nasyconą, jeśli z warunku ku S σ dla wektora u S oraz liczby całkowitej k > 0 wynika, że u S σ. Pokazuje się też, że jeśli podpółgrupa S M jest skończenie generowana, nasycona i generuje grupę M, to istnieje dokładnie jeden stożek σ N R taki, że S = S σ. W dalszych rozważaniach będziemy odwoływać się do następujących przykładów. Dla σ = cone(e 1, e 2 ) R 2, σ = cone(e 1, e 2) oraz S σ = e 1, e 2. Dla σ = cone(e 2 ) R 2, σ = cone(e 1, e 1, e 2) oraz S σ = e 1, e 1, e 2. Dla σ = cone(e 2, 2e 1 e 2 ), σ = cone(e 1, e 1 + 2e 2) oraz S σ = e 1, e 1 + e 2, e 1 + 2e 2. Dla σ = cone(e 1, e 2, e 1 + e 3, e 2 + e 3 ) R 3, σ = cone(e 1, e 2, e 3, e 1 + e 2 e 3) oraz S σ = e 1, e 2, e 3, e 1 + e 2 e 3. Na zakończenie tego paragrafu dodamy jeszcze, że jeśli τ jest ścianą stożka σ N R, to istnieje wektor u S σ taki, że τ = σ u oraz S τ = S σ + Z + ( u). 2. Jeśli S jest półgrupą, to przez K[S] oznaczamy K-algebrę półgrupową półgrupy S. Na przykład, K[N n ] = K[X 1,..., X n ] oraz K[Z n ] = K[X 1, X1 1,..., X n, Xn 1 ]. Jeśli σ N R jest stożkiem, to K[S σ ] = K[V ] jest skończenie generowaną K-algebrą bez dzielników zera różnych zera. Skończona generowalność jest oczywista, zaś brak dzielników zera różnych od zera wynika z faktu, że zanurzenie półgrup S σ M indukuje zanurzenie pierścieni K[S σ ] K[M]. W szczególności K[S σ ] jest pierścieniem współrzędnych pewnej nieprzywiedlnej rozmaitości afinicznej, którą będziemy oznaczać U σ i nazywamy rozmaitością toryczną stowarzyszoną ze stożkiem σ. Utożsamienie U σ = Hom k algebras (K[S σ ], K) implikuje często wykorzystywaną równość U σ = Hom semigroups (S σ, K), gdzie ciało K traktujemy jako półgrupę ze względu na mnożenie. Jeśli σ = cone(e 1,..., e n ) R n, to U σ = K n. Ogólniej, gdy σ = cone(e 1,..., e d ) R n, to U σ = K d (K ) n d. W szczególności, dla σ = 0 otrzymujemy U σ = (K ) n. Rozmaitość tę, która jest jednocześnie grupą algebraiczną, nazywamy n-wymiarowym torusem i oznaczamy T N. Gdy σ = cone(e 2, 2e 1 e 2 ), to K[S σ ] K[Z 1, Z 2, Z 3 ]/(Z 1 Z 3 Z2), 2 zaś dla σ = cone(e 1, e 2, e 1 +e 3, e 2 +e 3 ) R 3, U σ = Z (Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 ) K 4. Dla stożka σ N R oraz homomorfizmów x U σ i t T N definiujemy homomorfizm tx U σ wzorem (tx)(u) = t(u)x(u). Uzyskane w ten sposób odwzorowanie T N U σ U σ jest działaniem torusa na rozmaitości U σ. Regularność tego działania wynika z faktu, że stowarzyszony homomorfizm algebr dany jest wzorem χ u χ u χ u, u S σ. Zdefiniujmy homomorfizm x 0 U σ wzorem x 0 (u) = 1, u S σ. Wtedy T N x 0 = {t Sσ t T N }. Zatem odwzorowanie T N U σ, t t Sσ, jest T N -włożeniem torusa T N w rozmaitość U σ. Injektywność tego odwzorowania wynika z faktu, że półgrupa S σ generuje grupę M. Ogólniej, jeśli τ jest ścianą stożka σ, to odwzorowanie U τ U σ, x x Sσ,

O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH 3 jest otwartym T N -włożeniem. Otwartość tego odwzorowania wynika z faktu, że opowiada ono włożeniu K[S σ ] K[S σ ] χ u = K[S τ ], gdzie wektor u M jest taki, że S τ = S σ + Z + ( u). W szczególności podzbiór U 0 U σ jest otwartą T N -orbitą. Wachlarzem w przestrzeni N R nazywamy skończony zbiór stożków w przestrzeni N R takich, że: (1) jeśli σ, to wszystkie ściany stożka σ też należą do wachlarza, (2) jeśli σ, σ, to zbiór σ σ jest ich wspólną ścianą. Dla wachlarza definiujemy rozmaitość X( ) jako sklejenie zbiorów U σ, σ, przy pomocy włożeń U τ U σ, gdzie τ jest ścianą stożka σ. Dla przykładu, gdy = {σ, σ, 0}, gdzie σ = cone(e 1 ) R, to K[U σ ] P 1. Podobnie, płaszczyznę rzutową P 2 otrzymujemy dla wachlarza, którego stożkami maksymalnymi są stożki cone(e 1, e 2 ), cone(e 1, e 1 e 2 ), cone(e 2, e 1 e 2 ). Działanie torusa T N na rozmaitościach U σ indukuje działanie na rozmaitości X( ). Otrzymujemy zatem następujące twierdzenie. Twierdzenie. Niech będzie wachlarzem w przestrzeni N R. Wtedy torus T N działa na rozmaitości X( ), przy czym działanie to indukuje otwarte włożenie torusa T N. Mamy też twierdzenie odwrotne. Twierdzenie. Niech X będzie rozmaitością nieprzywiedlną, rozdzielczą i normalną. Jeżeli torus T N działa na rozmaitości X w taki sposób, że działanie to indukuje otwarte włożenie torusa T N, to istnieje (dokładnie jeden z dokładnością do izomorfizmu) wachlarz w przestrzeni N R taki, że X X( ). Dla każdego stożka τ mamy homomorfizm półgrup x τ : S τ K dany wzorem { 1 u S τ, x τ (u) = 0 u S τ. Przez O τ oznaczać będziemy T N -orbitę punktu x τ, zaś przez V (T ) jej domknięcie. Stwierdzenie. Mamy następujące własności. (1) O τ (K ) n dim τ. (2) U σ = τ<σ O τ. (3) V (τ) = τ<γ O γ. (4) O τ = V (τ) \ ( τ<γ,τ γ V (γ). 3. Przypomnijmy, że nieprzywiedlną rozmaitość afiniczną nazywamy normalną o ile pierścień K[V ] jest całkowicie domknięty w swym ciele ułamków.

4 NA PODSTAWIE REFERATU NGUYEN QUANG LOCA Twierdzenie. Dla każdego stożka σ w przestrzeni N R pierścień K[S σ ] jest całkowicie domknięty w swym ciele ułamków. Dowód. Jeśli σ = cone(v 1,..., v r ), to σ = r i=1 cone(v i), skąd wynika, że K[S σ ] = r i=1 K[S cone(v i )]. Możemy zatem założyć, że σ = cone(v) dla pewnego niezerowego wektora v. Wtedy { K[X 1, X 2, X2 1,..., X n, Xn 1 ] v 0 K[S σ ] K[X 1, X1 1,..., X n, Xn 1 ] v = 0 co kończy dowód. Wniosek. Rozmaitość toryczne są normalne. Wniosek. Niech S będzie skończenie generowaną podpółgrupą grupy Z n. Wówczas dziedzina K[X] jest całkowicie domknięta w swoim ciele ułamków wtedy i tylko wtedy, gdy półgrupa S jest nasycona. 4. Niech R będzie pierścieniem przemiennym i niech P będzie ideałem pierwszym w pierścieniu R. Kres górny długości n łańcuchów P = P 0 P 1 P n ideałów pierwszych w pierścieniu R nazywamy wysokością ideału P oraz oznaczamy ht(p ). Dla dowolnego ideału I definiujemy ht(i) jako kres dolny wysokości wszystkich ideałów pierwszych zawierających ideał I. Wymiarem Krulla dim R pierścienia R nazywamy kres górny wysokości wszystkich ideałów maksymalnych pierścienia R. Ciąg a 1,..., a n elementów pierścienia R nazywamy R-ciągiem o ile (1) (a 1,..., a n ) R, (2) dla każdego indeksu 1 i n element a i nie jest dzielnikiem zera w pierścieniu R/(a 1,..., a i 1 ). Niech R będzie pierścieniem noetherowskim oraz niech I będzie ideałem pierścienia R. Pokazuje się, że maksymalne R-ciągi zawarte w ideale I mają wspólną długość, którą nazywamy głębokością ideału I oraz oznaczamy depth(i). Pierścień noetherowski R nazywamy pierścieniem Cohena Macaulaya, jeśli depth(m) = ht(m) dla każdego ideału maksymalnego w pierścieniu R. Równoważnie warunek ten można by sformułować dla wszystkich ideałów (pierwszych) pierścienia R. Twierdzenie. Jeśli σ jest stożkiem w przestrzeni N R, to pierścień K[S σ ] jest pierścieniem Cohena Macaulaya. Wniosek. Dla dowolnego wachlarza w przestrzeni N R rozmaitość X( ) jest rozmaitością Cohena Macauleya. Równoważne sformułowanie powyższego twierdzenia jest następujące. Stwierdzenie. Niech S będzie nasyconą podpółgrupą skończenie generowaną grupy Z n. Wtedy pierścień k[s] jest pierścieniem Cohena Macaulaya.

O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH 5 Fundamentalnym faktem wykorzystywanym w dowodzie powyższego stwierdzenia, jest następujące twierdzenie. Stwierdzenie (Hochster, 1972). Niech M będzie nasyconą podpółgrupą skończenie generowaną półgrupy N n. Wtedy pierścień K[M] jest pierścieniem Cohena Macaulaya. 5. Mówimy, że punkt P rozmaitości afinicznej jest regularny, jeśli dim K[V ] mp = dim K (m P /m 2 P ), gdzie m P = {f K[V ] f(p ) = 0}. Twierdzenie. Rozmaitość U σ jest regularna wtedy i tylko wtedy, gdy stożek σ jest generowany przez wektory, które można uzupełnić do bazy kraty N.