Kwantowa kryptografia i teleportacja. Splątanie kwantowe Świat klasyczny i kwantowy por. WYKŁAD nr a. Poplątane stany. i. Eksperyment EPR. ii. Eksperyment Bella b. Star-Trec, czyli teleportujcie mnie! i. Co wlasciwie teleportujemy ii. Ile kosztuje ubezpieczenie c. Kryptografia kwantowa i. Czy są szyfry nie do złamania ii. Klucze duŝe i małe iii. Alice i Bob w świecie kwantów iv. Ewa chce posłuchać Dialog z przyroda musi byc prowadzony w jezyku matematyki, w przeciwnym razie przyroda nie odpowiada na nasze pytania. Michał Heller Jacek Szczytko, Wydział Fizyki UW Stan cząstki musi być określony w CAŁEJ przestrzeni FUNKCJA FALOWA Ψ n ( r, t ) n liczby kwantowe Uwaga : funkcję falową określają m.in LICZBY KWANTOWE: Uwaga : funkcja falowa jest określona w całej przestrzeni, w tym sensie jej ewolucja opisuje wszystkie moŝliwe historie cząstki: Uwaga 3: liniowa kombinacja funkcji falowych teŝ jest funkcja falową (zasada superpozycji) Uwaga 4: ewolucja funkcji falowej jest DETERMINISTYCZNA. Jednak w momencie pomiaru dowiadujemy się w jakim stanie jest funkcja (tzw. redukcja f. falowej) Uwaga 5: cząstki kwantowe są NIEROZRÓśNIALNE przestrzeń wektorowa f. falowych (Hilberta), operatory, funkcje i wartości własne, reprezentacje itp. D Y G R E S J A Splątane stany - EPR. por. WYKŁAD nr Stan pojedynczej cząstki: Stan s Np.: funkcja falowa atomu wodoru Liczby kwantowe! D Y G R E S J A (czyli tak naprawdę) Splątane stany - EPR. Ψn, l, m( r, t) = r n, l, m = n, l, m Reprezentacja połoŝeniowa Zapis skrócony
Świat klasyczny i kwantowy Uwaga 3: liniowa kombinacja funkcji falowych teŝ jest funkcja falową (zasada superpozycji) Ψ = AΨ Ψ = A + BΨ B ( AΨ + BΨ ) A B A Ψ = A ΨA + B ΨB + ABΨAΨ Człon interferencyjny B Ψ Nie dodajemy prawdopodobieństw! A + B Ψ Uwaga 4: ewolucja funkcji falowej jest DETERMINISTYCZNA. Jednak w momencie pomiaru dowiadujemy się w jakim stanie jest funkcja (tzw. redukcja f. falowej) Ψ = AΨ A + BΨ B pomiar A lub B prawdopodobieństwo A lub B B Ψ = Ψ A Ψ = Ψ B por. WYKŁAD nr Ψ = ΨA Ψ = Ψ B Świat klasyczny i kwantowy Uwaga 4: (tzw. redukcja f. falowej) tzw. stany własne (ortogonalne, ang. eigen states) dwa poziomy atomu spin elektronu {, { g, e } foton o dwóch wzajemnie ortogonalnych stanach polaryzacji } np. g = s, e = s Jeśli cząstka jest w superopozycji stanów A i B, to z definicji (tzw. ortogonalność stanów) nie moŝe być zaobserwowana w obu z nich na raz! Ψ = AΨ {, A } + BΨ B Splątane stany - EPR. Układ cząstek? Ψ n n, n,...( r, r, r3,... t) = n n 3, n 3 Np. spiny elektronów... Jeden elektron: baza:, Ψ = α + α α + α = Dla dwóch elektronów: baza:,,, Dla trzech elektronów: baza:,, itd.. Ψ = α + α + α + α Ψ = α + α α + α + α + α α + α + α + α =,, + α + α,, + α,, + α + α + α + α + α + α + α = +
Ψ = α + α + α + α α + α + α + α = Stany Bella np: = Φ = + ( Φ + Φ ) Ψ + = ( + ) ( ) = ( ) Ψ po prostu inna baza... Stany Bella Φ = Ale stanów Bella nie da się przedstawić w postaci iloczynu dwóch funkcji jednocząstkowych typu: Φ = ϕ ϕ Ψ + = gdzie ϕ i ( + ) ( ) = ( ) Ψ = ai + ai Motto na dziś: Stany splątane są splątane = cos + sin = sin + cos + = + (w kaŝdej bazie) = cos = sin sin + cos Stany Bella są SPLĄTANE spiny, polaryzacja fotonów, atom + foton, dwa atomy, atom w róŝnych stanach... 3
Stany Bella = ( ) = ( + ) = ( ) Φ Ψ + Ψ Splątane stany - EPR ZałóŜmy, Ŝe przygotowaliśmy stan kwantowy w postaci a następnie cząstki rozsunęliśmy na znaczną odległość: Prawdopodobieństwo pomiaru wartości jest, a prawdopodobieństwo pomiaru wartości jest. Łatwo więc moŝemy odgadąć jaki wynik pomiaru uzyskamy na drugiej cząstce A co będzie jeśli stanem wyjściowym jest stan Bella? spiny, polaryzacja fotonów, atom + foton, dwa atomy, atom w róŝnych stanach... Splątane stany - EPR ZałóŜmy, Ŝe przygotowaliśmy stan kwantowy w postaci stanu splątanego a następnie cząstki rozsunęliśmy na znaczną odległość: Prawdopodobieństwo pomiaru wartości jest /, i prawdopodobieństwo pomiaru wartości jest /. Ale równie łatwo moŝemy odgadąć jaki wynik pomiaru uzyskamy na drugiej cząstce Jeśli dla pierwszej zmierzyliśmy wtedy dla drugiej P( ) =, P( ) = Splątane stany - EPR ZałóŜmy, Ŝe przygotowaliśmy stan kwantowy w postaci stanu splątanego a następnie cząstki rozsunęliśmy na znaczną odległość: dla pierwszej dla drugiej P( ) =, P( ) = P( ) =, P( ) = niezaleŝnie od odległości, czasu pomiędzy pomiarami, rodzaju splątanych cząstek Kwantowo: w momencie pomiaru następuje redukcja funkcji falowej Jeśli dla pierwszej zmierzyliśmy wtedy dla drugiej P( ) =, P( ) = Zdarzenia są ZALEśNE 4
Splątane stany - EPR. Problem: Czy cząstki splątane mają określone cechy (takie jak spin, polaryzacja itp.) juŝ w momencie narodzin, czy nabywają je dopiero w chwili pomiaru? P=/ Splątane stany - EPR dla pierwszej dla drugiej P( ) =, P( ) = P ( ) =, P ( ) = Obrazek klasyczny (niekwantowy): funkcja falowa jest opisana przy pomocy ukrytych parametrów Źródło: NASA Splątane stany - EPR Poplątane stany - EPR. obrazek klasyczny (niekwantowy) Źródło: NASA Einstein:. informacja w przyrodzie nie porusza się szybciej niŝ światło w próŝni. nie ma absolutnej równoczesności zdarzeń MQ: ewolucja funkcji falowej jest DETERMINISTYCZNA. Jednak w momencie pomiaru dowiadujemy się w jakim stanie jest funkcja (tzw. redukcja f. falowej) Ψ = AΨ A + BΨ B pomiar A lub B Ψ = Ψ A Ψ = Ψ B Ψ = ΨA Ψ = Ψ B 5
Poplątane stany - EPR. A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen Gedankenexperiment (eksperyment myślowy) Poplątane stany - EPR. "God does not play at dice with the universe." A. Einstein "Quit telling God what to do! " N. Bohr "spooky action-at-a-distance" Nierówność Bella. John Bell Nierówność Bella. A: męŝczyźni B: wzrost powyŝej 7 C: oczy niebieskie ilość obiektów, które posiadają cechę A ale nie mają B + ilość obiektów, które posiadają cechę B ale nie mają C jest większa bądź równa ilość obiektów, które posiadają cechę A ale nie mają C ilość(a, not B) + ilość(b, not C) ilość(a, not C) Nierówność Bella (Bell's inequality) http://www.upscale.utoronto.ca/pvb/harrison/bellstheorem/bellstheorem.html 6
John Bell Nierówność Bella. A: męŝczyźni B: wzrost powyŝej 7 C: oczy niebieskie ilość(a, not B, C) + ilość(not A, B, not C) ilość obiektów, które posiadają cechę A ale nie mają B + ilość obiektów, które posiadają cechę B ale nie mają C jest większa bądź równa ilość obiektów, które posiadają cechę A ale nie mają C ilość(a, not B) + ilość(b, not C) ilość(a, not C) Dodajemy stronami ilość(a, not B, not C) + ilość(a, B, not C) ilość(a, not B, C) + ilość(not A, B, not C) + ilość(a, not B, not C) + ilość(a, B, not C) + ilość(a, not B, not C) + ilość(a, B, not C) c.b.d.o. John Bell Nierówność Bella. A: męŝczyźni B: wzrost powyŝej 7 C: oczy niebieskie ilość obiektów, które posiadają cechę A ale nie mają B + ilość obiektów, które posiadają cechę B ale nie mają C jest większa bądź równa ilość obiektów, które posiadają cechę A ale nie mają C ilość(a, not B) + ilość(b, not C) ilość(a, not C) Bell pokazał, Ŝe w pewnych przypadkach mechanika kwantowa daje ilość(a, not B) + ilość(b, not C) < ilość(a, not C)! http://www.upscale.utoronto.ca/pvb/harrison/bellstheorem/bellstheorem.html http://www.upscale.utoronto.ca/pvb/harrison/bellstheorem/bellstheorem.html Poplątane stany - EPR. 7
Źródło splątanych fotonów If one overlaps two particles at a beamsplitter, interference effects determine the probabilities to find the two particles incident one each from a and b either both in one of the two outputs c and d or to find one in each output. Only if two photons are in the state Źródło splątanych fotonów they will leave the beamsplitter into different output arms. If one puts detectors there, a click in each of them, i.e. a coincidence, means the projection of the two photons onto the state Źródło splątanych fotonów Polaryzatory dwójłomne I(a) II(b) a, b orientacja (kąt) Źródło splątanych fotonów Polaryzatory dwójłomne I(a) II(b) a, b orientacja (kąt) Detektory (+, -) polaryzacja 8
Dla pojedynczych cząstek: Dla obu cząstek: Dla polaryzatorów ustawionych równolegle Dla pojedynczych cząstek: Dla obu cząstek: Pełna korelacja! (+,+) i (-,-) Dla polaryzatorów ustawionych równolegle Funkcja korelacji np: dla ZałóŜmy teraz, Ŝe funkcja falowa obu fotonów jest określona przez pewne ukryte parametry (oznaczmy je λ) w momencie emisji. Dla danej pary fotonów i dla danego parametru λ wynik pomiaru jest dany przez funcje Rozkład parametrów λ, funkcje A(λ,a) i B(λ,b) określają konkretną Teorię Parametrów Ukrytych itd... 9
Nierówności Bella: niech polaryzatory będą ustawione w czterech pozycjach a, a, b i b wtedy, z racji tego, Ŝe A = i B =, dla Teorii Parametrów Ukrytych Nierówności Bella: niech polaryzatory będą ustawione w czterech pozycjach a, a, b i b Korelacje (uśrednione dla Teorii Parametrów Ukrytych): Okazuje się, Ŝe dla QM! Korelacje (uśrednione):
Kluczowe załoŝenie odnośnie parametrów λ: LOKALNOŚĆ, czyli wynik pomiaru A(λ,a) nie zaleŝał od wyniku B(λ,b) oraz rozkład prawdopodobieństwa parametru λ nie zaleŝał od orientacji polaryzatorów a i b. Wnioski:. Stan kwantowy splątanych cząstek nie jest ustalony oddzielnie dla kaŝdej z nich.. Redukcja funkcji falowej następuje w momencie pomiaru. Eksperyment: Bez paniki, bywają cięŝsze prace... ZałóŜmy, Ŝe dysponujemy stanem np. dwa fotony. Wtedy, oznaczają dwie ortogonalne polaryzacje: lub
ZałóŜmy, Ŝe dysponujemy stanem ZałóŜmy, Ŝe moŝemy na tym stanie wykonać trzy róŝne pomiary: A, B i C, które dają wyniki lub z prawdopodobieństwem. np. dwa fotony. Wtedy, oznaczają dwie ortogonalne polaryzacje: lub np. polaryzatory w pozycji, 6, A, B i C Uwaga (ale bez znaczenia) W tym przykładzie wybraliśmy stan Bella w taki sposób, Ŝe wyniki TYCH SAMYCH pomiarów na OBU składnikach pary są w pełni skorelowane (np. pomiar A na obu daje w wyniku tylko pary lub ). Ale mogliśmy teŝ wybrać pełną antykorelację ( lub ) nie ma to znaczenia. ZałóŜmy, Ŝe dysponujemy stanem ZałóŜmy, Ŝe moŝemy na tym stanie wykonać trzy róŝne pomiary: A, B i C, które dają wyniki lub z prawdopodobieństwem. np. dwa fotony. Wtedy, oznaczają dwie ortogonalne polaryzacje: lub np. polaryzatory w pozycji, 6, A, B i C MoŜemy teraz odseparować oba składniki stanu splątanego i niezaleŝnie wykonać na nich pomiary A, B i C, pierwszy drugi pierwszy A B 6 C A B 6 C drugi A B 6 C Niespolaryzowany foton. Spolaryzowany foton. Uwaga: MoŜemy wykonać na raz tylko JEDEN z pomiarów (róŝne polaryzacje nie są współmierzalne). P = P = cos () Prawo Malusa
3 Skoro moŝemy na tym stanie wykonać trzy róŝne pomiary A, B i C, które dają wyniki lub z prawdopodobieństwem, to jak wyglądają korelacje między nimi? pierwszy drugi Np. pytamy: jeśli na pierwszym składniku wynik był dla A to znaczy, Ŝe dla drugiego był: dla A, i dowolny ( lub ) dla B i C z prawd. P = cos () cos ()= cos (6 )= cos ( )= KWANTOWO: Średni rozkład = (3 + 6 ) / 9 = Gdy oba eksperymenty wybrane zostaną przypadkowo ( ) + = Φ + ZałóŜmy Ŝe stan kwantowy splątanych cząstek jest ustalony oddzielnie dla kaŝdej z nich, a redukcja funkcji falowej nastąpiła w momencie rozdzielenia cząstek. Jakie są klasyczne wyniki pomiaru? pierwszy drugi A, B i C A, B i C Średni rozkład = (3 + 6 ) / 9 = /3 pierwszy drugi A, B i C A, B i C h g f e d c b a (QM) = a+b+g+h = pierwszy drugi A, B i C A, B i C (QM) = a+b+g+h = h g f e d c b a (QM) = a+c+f+h =
pierwszy (QM) = a+b+g+h = (QM) = a+c+f+h = (QM) = a+d+e+h = a b c d e f g h A, B i C drugi A, B i C (QM) = a+b+g+h = (QM) = a+c+f+h = (QM) = a+d+e+h = + + = a+b+g+h + a+c+f+h + a+d+e+h = = (a+h) + (a+b+c+d+e+f+g+h) = ¾ (a+h) + (a+b+c+d+e+f+g+h) = ¾ (a+h) + = ¾ a+h = /8 < Nie ma klasycznych prawdopodobieństw dla NIEZALEśNYCH zdarzeń śadna LOKALNA teoria parametrów ukrytych nie moŝe odtworzyć wyników QM. John Bell Nierówność Bella. A: męŝczyźni B: wzrost powyŝej 7 C: oczy niebieskie ilość obiektów, które posiadają cechę A ale nie mają B + ilość obiektów, które posiadają cechę B ale nie mają C jest większa bądź równa ilość obiektów, które posiadają cechę A ale nie mają C ilość(a, not B) + ilość(b, not C) ilość(a, not C) Nierówność Bella (Bell's inequality) Cechy A, B i C nie istnieją równocześnie (niezaleŝnie od siebie) w QM. A: polaryzacja B: polaryzacja C: polaryzacja Za to stają się określone w momencie pomiaru (w przypadku stanów splątanych niezaleŝnie od dzielącej cząstki odległości)! Mechanika kwantowa jest NIELOKALNA. Concurrence W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 8, 45 (998) {λ i } wartości własne macierzy Negativity A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 43 (996) P. Horodecki, Phys. Lett. A 3, 333 (997) {ν i } ujemne wartosci własne częściowo transponowanej macierzy gestosci ρ T Prof.. Ryszard Tanas http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas/ 4
Prof.. Ryszard Tanas http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas/ Prof.. Ryszard Tanas http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas/ Badanie na HoŜej: splątane fotony Ψ =, ( +, + + ) Metoda: kaskada Biekscyton - ekscyton w kropce kwantowej or Ψ Biexciton Exciton = Ground state ( V, V + H, H ) Correlation measurement From laser To sample prof. J. A. Gaj prof. M. Nawrocki dr hab. A. Golnik dr P. Kossacki mgr W. Maślana mgr J. Suffczyński mgr K. Kowalik mgr W. Pacuski mgr A. Trajnerowicz mgr B. Piechal M. Goryca T. Kazimierczuk 5
~ ~ Skorelowane pary fotonów z QD na Ŝądanie Energia V V H H XX X Counts Counts 75 5 5 75 5 5 Korelacja XX-X w polaryzacjach liniowych: 5.7 V/V 5.5 XX/X H/H -8-6 -4-4 6 8 τ = t X -t XX [ns] 5 5 Współczynnik korelacji polaryzacyjnej:.36 V/H.44 XX/X H/V -8-6 -4-4 6 8 τ = t X -t XX [ns] =.86 ~ ~ Energia V V H H W poszukiwaniu splątania XX X Counts Counts 5 4 3 6 5 4 3 Korelacja XX-X w polaryzacjach kołowych:.8 σ.8 XX/X σ / σ σ+/ σ+ -8-6 -4-4 6 8 τ = t X -t XX [ns] 8 6 4 8 6 4.66.73 XX/X σ / σ+ σ+/ σ -8-6 -4-4 6 8 τ = t X -t XX [ns] brak splątania Splątane stany - EPR. POJEDYNCZE POMIARY NIE DAJĄ INFORMACJI O CAŁEJ FUNKCJI FALOWEJ odpowiedź probabilistyczna Kwantowa kryptografia i teleportacja. Splątanie kwantowe a. Poplątane stany. i. Eksperyment EPR. ii. Eksperyment Bella b. Star-Trec, czyli teleportujcie mnie! i. Co wlasciwie teleportujemy ii. Ile kosztuje ubezpieczenie c. Kryptografia kwantowa i. Czy są szyfry nie do złamania ii. Klucze duŝe i małe iii. Alice i Bob w świecie kwantów iv. Ewa chce posłuchać Dialog z przyroda musi byc prowadzony w jezyku matematyki, w przeciwnym razie przyroda nie odpowiada na nasze pytania. Michał Heller 6