1 Polowanie na asteroidę 3D

Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.01.02-00-034/11 współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskieo Funduszu Społeczneo w ramach Proramu Operacyjneo Kapitał Ludzki. Kurs Plus - Fizyka - wersja dla nauczyciela Materiały na kurs podstawowy, uzupełniajacy Przyotowanie: Piotr Nieżurawski, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskieo e-mail: Piotr.Niezurawski@fuw.edu.pl Powinniśmy porzucić rozróżnienie pomiędzy myśla naukowa a nienaukowa. Właściwe rozróżnienie polea na podziale na myśl loiczna i nieloiczna. Clive Staples Lewis (1898 1963) Zadania oznaczone wiazdką są trudniejsze. W zadaniach, w których pojawia się moment bezwładności, można przyjmować, że dany obiekt jest nieważki. 1 Polowanie na asteroidę 3D W przestrzeni kosmicznej porusza się bryła skalna. W pewnym układzie kartezjańskim jej położenie zależy od czasu następująco v x t + x 0 r(t) = v y t v z t Jaki jest tor bryły skalnej? Jakie warunki musimy spełnić, ustawiając działo, którym powinniśmy rozbić bryłę skalną, jeśli: wylot działa znajduje się w początku układu współrzędnych, musimy strzelać w chwili t = 0, a prędkość pocisku wynosi u? Jeśli v x = 3 m/s, x 0 = 200 m, v y = v z = 6 m/s oraz u = 11 m/s, znajdź wektor (wektory?) prędkości pocisku, który uderzy w bryłę. Podaj przykład sytuacji, w której trafienie pociskiem w bryłę nie jest możliwe. Równanie ruchu pocisku: r P (t) = u x t u y t u z t Warunek spotkania się bryły i pocisku: r P (t S ) = r(t S ) 1

Rozpisany na składowe: u x t S = v x t S + x 0 u y t S = v y t S u z t S = v z t S rzy warunki spotkania: t S 0 dzie t S = x 0 /(u x v x ) u y = v y u z = v z Dodatkowy, czwarty warunek: razem z druim i trzecim prowadzą do wyniku: u 2 = u 2 x + u 2 y + u 2 z który należy uwzlędnić w pierwszym warunku. u x = ± u 2 v 2 y v 2 z Jeśli v x = 3 m/s, x 0 = 200 m, v y = v z = 6 m/s oraz u = 11 m/s, to: u x = ±7 m/s t S,+ = 20 s t S, = 50 s Może nastąpić więc tylko jedno zderzenie, jeśli wektor prędkości pocisku jest równy: u = 7 6 6 m/s rafienie nie jest możliwe, dy np. u 2 v 2 y v 2 z < 0. Jaka jest interpretacja fizyczna teo warunku? 2 Wioślarz Wioślarz płynie łodzią w órę rzeki. Gdy przepływał pod mostem, z jeo łodzi wypadło koło ratunkowe. Po czasie t = 15 min wioślarz zauważył zubę. Natychmiast zaczął płynąć w dół rzeki i dopędził zubione koło w odlełości s = 1 km od mostu. Obliczyć prędkość prądu rzeki, jeżeli wioślarz cały czas wiosłował z jednakowym wysiłkiem. Proszę na poczatku rozwiazać zadanie w myślach, bez wypisywania wzorów. Wzlędem wody szybkość wioślarza jest stała, więc płynął przez czas 2t = 30 min. Prędkość nurtu u = s 2t = 2 km/h 2

3 Łódka (ukośnie wzlędem brzeu) Przewoźnik, który przeprawia się przez rzekę o szerokości H z punktu A, przez cały czas kieruje łódź pod kątem α wzlędem brzeu rzeki (czyli między brzeiem a prostą przechodzącą przez dziób i środek rufy jest kąt α; Rys. 3). Wyznacz prędkość łódki wzlędem wody v 1, jeśli prędkość wody wzlędem brzeu wynosi v 2 (równoleła do brzeu), a łódkę zniosło na odlełość l poniżej punktu B. Rys. 3 B l H v 2 α A Prędkość łódki wzlędem brzeu: v = v 1 + v 2 W wybranym układzie współrzędnych: v 1 = v 1 [ cos α, sin α] v 2 = v 2 [1, 0] A więc: v = [v 2 v 1 cos α, v 1 sin α] Przy warunku początkowym r(t = 0) = [0, 0] równanie ruchu łódki: x = v X t = (v 2 v 1 cos α)t y = v Y t = v 1 sin αt Łódka przepływa rzekę w czasie, y(t = ) = H, i znajduje się o l poniżej punktu B, x(t = ) = l. Eliminując z tych dwóch równań, otrzymujemy wartość prędkości łódki: v 1 = v 2 /(l sin α/h + cos α) 4 arcza antyrakietowa W chwili, dy nad stanowiskiem artyleryjskim przelatuje rakieta, kanonier strzela z armatki. Prędkość początkowa pocisku wynosi v P. Pod jakim kątem do poziomu powinna być ustawiona armata, aby strącić rakietę, jeśli leci ona cały czas z poziomą prędkością v R? Na jakiej wysokości powinna lecieć rakieta, aby przy opisanym postępowaniu kanoniera uniknęła ona zestrzelenia? Zaniedbaj wysokość armatki oraz opory ruchu. Uzyskaj również wyniki liczbowe w przypadku, dy v R = 500 m/s oraz v P = 1 km/s. Przyjmij przyśpieszenie ziemskie = 10 m/s 2. 3

Równanie ruchu rakiety w wybranym układzie współrzędnych: x R = v R t y R = H Równanie ruchu pocisku: x P = v P cos αt y P = v P sin αt 1 2 t2 Warunek zestrzelenia: x R = x P oraz y R = y P. Z pierwszeo równania otrzymujemy warunek na kąt: cos α = v R /v P Druie równanie może być spełnione tylko wtedy, dy: 1 (v P sin α) 2 2 H A więc rakieta uniknie zestrzelenia, jeśli będzie lecieć na wysokości większej niż H min : H min = 1 (v P sin α) 2 2 W przypadku, dy v R = 500 m/s oraz v P = 1 km/s: cos α = v R /v P = 1/2, a więc α = 60, H min = (v 2 P v 2 R)/(2) = 37.5 km. = 1 2 (v2 P v 2 R) 5 Kaskaderski skok Samochód rusza z początku równi ze stałym przyśpieszeniem. Kąt nachylenia równi do poziomu wynosi α, a jej wysokość h. W odlełości D od końca równi ustawiona jest bariera o wysokości H. Załóż, że po opuszczeniu równi na samochód działa tylko siła pochodząca od stałeo, jednorodneo pola rawitacyjneo. Oblicz minimalne przyśpieszenie samochodu, z jakim powinien poruszać się w órę równi, aby przelecieć nad barierą. Uzyskaj również wynik liczbowy w przypadku, dy α = 45, h = 5 m, D = 10 m, H = 3 m. α h H D Początek układu współrzędnych umieszczam na prou równi, dzie samochód rozpocznie lot. Równanie ruchu samochodu: 4

x(t) = v 0 cos αt y(t) = v 0 sin αt 1 2 t2 Chwila, w której samochód będzie mieć współrzędną x = D: t B = D/(v 0 cos α) Do przelotu tuż nad barierą samochód będzie potrzebował najmniejszej prędkości w chwili opuszczania równi, a więc również najmniejszeo przyśpieszenia na równi. Warunek na najmniejszą prędkość na prou: y(t B ) = H h Stąd prędkość: v 0 = D cos α 2(D tan α + h H) Przy okazji otrzymujemy warunek konieczny realizacji kaskaderskieo przedsięwzięcia: H h < D tan α Na równi samochód osiąa prędkość v 0, przebywając z przyśpieszeniem a droę L w czasie : h/l = sin α L = 1 2 a v 0 = a Stąd poszukiwane przyśpieszenie: a = 1 v0 2 2 h/ sin α = D 2 sin α 4h cos 2 α(d tan α + h H) W przypadku, dy α = 45, h = 5 m, D = 10 m, H = 3 m: 6 Oscylator tłumiony * a = 5 2 12 Oblicz prędkość i przyśpieszenie ciężarka, któreo położenie na osi X jest opisane równaniem x(t) = A e λt sin(ωt + φ), dzie A, λ, ω, φ są pewnymi stałymi. Wyraź przyśpieszenie jako funkcję prędkości i położenia. 7 Zakręcona ćma (wersja liht) Ćma leci do źródła światła. Wektor prędkości ćmy jest nachylony pod stałym kątem α 0 = 60 wzlędem odcinka ćma źródło. or zawarty jest w płaszczyźnie (tzw. ruch płaski). Owad startuje z odlełości ρ 0 = 6 m od źródła światła. Szybkość ćmy jest stała i równa v 0 = 3 m/s. Oblicz czas lotu ćmy do źródła światła. Naszkicuj tor, po jakim porusza się owad. Oblicz dłuość toru. 8 Podwieszenie Y Kulka o masie m została zawieszona za pomocą nieważkich, nierozciąliwych linek. Wyznacz siły raficznie i alebraicznie jakimi linki działają na sufit w punktach A i B w sytuacji przedstawionej na Rysunku 1. Kąty α i β oraz przyśpieszenie ziemskie są dane. Po uzyskaniu odpowiedzi zastanów się, czy naprężoną linę rzeczywiście można rozerwać za pomocą niewielkiej, poprzecznej siły. 5

Rys. 1 A α β B m Graficznie Musimy rozłożyć siłę ciężkości kulki na dwa wektory o kierunkach zodnych z framentami linki. Przedłużamy linkę od punktu A; rysujemy równolełą prostą do linki z punktu B tak, żeby przechodziła przez koniec wektora Q siły ciężkości kulki: Rys. 1.1 A α β B Q Siły reakcji, jakimi linka działa na sufit, składają się na Q (wzdłuż odpowiednich prostych działania, tożsamych z kierunkami linek): Rys. 1.2 A α β B R A Q R B Alebraicznie W wybranym układzie współrzędnych siły, jakimi linki działają na sufit: RA = R A [cos α, sin α] i R B = R B [ cos β, sin β]. A więc siły, jakimi sufit działa na linki to: R A oraz R B. Na linki działa też siłą Q = [0, m] kulka. Ponieważ linki się nie poruszają oraz są nieważkie, więc (I zasada dynamiki): ( R A ) + ( R B ) + Q = 0 6

Uwaa: Wystarczy to, że linki są nieważkie, ale na razie nie możemy skorzystać jeszcze z II zasady dynamiki. Rozwiązując układ dwóch równań, uzyskujemy odpowiedź: R A = m/(sin α + cos α tan β) R B = m/(sin β + cos β tan α) Naprężoną linę rzeczywiście można by rozerwać za pomocą niewielkiej, poprzecznej siły (np. siła reakcji R A staje się nieskończona przy α i β równych 0), ale nie ma lin nierozciąliwych (przy wydłużaniu się liny, kąty rosną). 9 Lina i pochyły stół Połowa elastycznej liny zwisa ze stołu, któreo blat jest nachylony pod kątem α wzlędem poziomu. Lina pozostaje w spoczynku. Co można powiedzieć o współczynniku tarcia statyczneo liny o stół? uż przy brzeu blatu tarcie nie występuje (tam, dzie zaina się lina). α Uwaa: Pamiętaj, że w przypadku statycznym = µn jest wartościa maksymalna siły tarcia statyczneo (aktualna wartość może być mniejsza lub równa). Warunek spoczynku: maksymalna wartość siły tarcia działająca na leżący frament liny jest >= niż siła ciężkości zwisająceo framentu oraz siła zsuwająca (składowa siły ciężkości nie równoważona przez reakcję) leżąceo framentu: µ 1 2 m cos α 1 2 m + 1 m sin α 2 Skąd otrzymuję odpowiedź: µ 1 + sin α cos α 7

10 Ciekawy skutek braku masy Udowodnij następujące twierdzenie. Wypadkowa siła działajaca na nieważkie ciało jest zawsze równa 0. Jest ono bardzo przydatne zaadnieniach, w których występują nieważkie liny, pręty, bloczki itd. Korzystamy z II zasady dynamiki: m a = F Jeśli m = 0, to oczywiście F = 0. Warto o tym pamiętać, dyż często spotykam błędne uzasadnienia faktu, że np. siły działające na nieważką linkę z obu stron mają taką samą wartość. 11 Wjazd Na równi pochyłej o kącie nachylenia α znajduje się odważnik o masie M (Rys. 2), który zawsze dotyka całą powierzchnią swojej podstawy równi. Współczynnik tarcia kinetyczneo między odważnikiem a równią wynosi f. Odważnik jest połączony nieważką, nierozciąliwą linką z odważnikiem o masie m, który wisi poza krawędzią równi. Linka przesuwa się bez tarcia po bloczku. Wiadomo, że frament linki między odważnikiem o masie M i bloczkiem jest zawsze równoleły do stoku równi, a przedłużenie teo framentu linki zawsze przechodzi przez środek masy odważnika o masie M. Przyśpieszenie ziemskie wynosi. a) Jaki warunek musi spełniać współczynnik tarcia statyczneo f S, aby odważniki spoczywały, jeśli nie nadano im prędkości początkowych? b) Oblicz wartość przyśpieszenia odważnika o masie m, jeśli wiadomo, że odważniki zaczęły się poruszać i odważnik o masie m opada. Zaproponuj wartości liczbowe wielkości występujących w zadaniu i uzyskaj wyniki liczbowe. Rys. 2 m f M α Wskazówki W podpunkcie (a) należy rozpatrzyć dwie możliwości: siła tarcia statyczneo może powstrzymywać ciało przed zjeżdżaniem lub wjeżdżaniem po stoku. 8

12 W kulki Dwie identyczne kulki, każda o masie m = 20 odbijają się idealnie sprężyście od nieruchomej ściany, której powierzchnia w wybranym, prawoskrętnym układzie współrzędnych kartezjańskich jest opisana równaniem x = 0. Prędkości kulek przed odbiciem są równe v 1 = [2; 3; 5] m/s v 2 = [5; 2; 1] m/s a) Określ prędkości kulek po odbiciu (dzie muszą znajdować się początkowo kulki, by zaszło odbicie?). b) Wyznacz wektor zmiany pędu każdej z kulek. c) Oblicz średnią siłę, jaką działają kulki na ścianę, jeśli takie zdarzenie powtarza się co 2 s. d) Oblicz enerię kinetyczną kulek. e) Oblicz kąt między prędkościami kulek przed zderzeniem i po nim. 13 Spadochroniarz Spadochroniarz o masie 75 k opada na spadochronie pionowo w dół ze stałą prędkością o wartości 4 m/s. Oblicz siłę oporów ruchu działającą na spadochroniarza wraz ze spadochronem. Z której zasady dynamiki skorzystałeś? 14 Statek kosmiczny Statek kosmiczny spoczywał, a następnie rozpadł się na dwie części: jedna część o masie 5000 k porusza się z prędkością 20 m/s. Oblicz masę druieo framentu statku, jeśli jeo prędkość jest równa 4 m/s. 15 Rozstanie Z dala od innych ciał spoczywa układ dwóch odważników o masach m 1 i m 2 ściskających nieważką sprężynę, której współczynnik sprężystości wynosi k, a dłuość swobodna równa jest L. Nieruchome odważniki znajdują się w odlełości l od siebie. Oblicz prędkości odważników po chwili, dy sprężyna przestanie na nie oddziaływać. Uzyskaj również wyniki liczbowe w przypadku, dy m 1 = 20 k, m 2 = 10 k, k = 500 N/m, L = 50 cm, l = 30 cm. Zaniedbaj oddziaływanie rawitacyjne między odważnikami. Eneria początkowa układu: E i = E s, dzie eneria potencjalna sprężyny: E s = 1 2 k(l L)2. Eneria końcowa układu: E f = E k, dzie eneria kinetyczna odważników: E k = 1 2 (m 1v 2 1 + m 2 v 2 2) Z zasady zachowania enerii, E f = E i, otrzymujemy: 1 2 (m 1v1 2 + m 2 v2) 2 = 1 k(l L)2 2 9

Dyresja. Zaniedbaliśmy zmianę enerii potencjalnej układu wynikajac a z oddziaływania rawitacyjneo. Poprawne równania wyladaj a następujaco: E i = 1k(l 2 L)2 Gm 1 m 2 /l E f = 1(m 2 1v1 2 + m 2 v2) 2 Gm 1 m 2 /r, dzie r jest odlełościa między odważnikami. Uzyskujemy teraz równanie: 1 2 (m 1v 2 1 + m 2 v 2 2) = 1 2 k(l L)2 Gm 1 m 2 ( 1 l 1 r ) Czy możemy zaniedbać oddziaływanie rawitacyjne? Stała rawitacji wynosi G 6.7 10 11 m 3 k 1 s 2. Dla podanych w zadaniu wartości eneria potencjalna sprężyny wynosi: 1 k(l 2 L)2 = 10 J Natomiast zmiana enerii potencjalnej - a w naszym przypadku poprawka do uzyskaneo równania - wynosi: Gm 1 m 2 (1/l 1/r) 1.8 10 8 J dla r = L Gm 1 m 2 (1/l 1/r) 4.5 10 8 J dla r + A więc w rozważanym problemie poprawka zwiazana z oddziaływaniem rawitacyjnym jest zaniedbywalna. Koniec dyresji. Kolejne równanie wynika z zasady zachowania pędu. Pęd odważnika o masie m i i prędkości v i wynosi: p i = v i m i. Pęd początkowy układu, ze wzlędu na zerowe prędkości ciężarków: P = p 1 + p 2 = 0. Pęd końcowy układu: P = p 1 + p 2 = v 1 m 1 + v 2 m 2. Zasada zachowania pędu: P = P A więc: v 1 m 1 + v 2 m 2 = 0 Wektory muszą mieć ten sam kierunek, aby równanie moło być spełnione. Zakładając postać wektorów: v 1 = v 1 ê x oraz v 2 = v 2 ê x, uzyskujemy równanie: m 1 v 1 = m 2 v 2 Wyznaczamy z teo równania v 2 i podstawiamy do równania wynikająceo z zasady zachowania enerii, otrzymując wynik: k v 1 = l L m 1 (1 + m 1 /m 2 ) Prędkość druieo odważnika: v 2 = v 1 m 1 /m 2. W przypadku, dy m 1 = 20 k, m 2 = 10 k, k = 500 N/m, L = 50 cm, l = 30 cm: v 1 0.58 m/s v 2 = 2v 1 1.15 m/s 16 Zderzenie centralne * Kula o masie m 1 i prędkości v 1 zderza się z kulą o masie m 2 i prędkości v 2. Zderzenie jest idealnie sprężyste, a środki eometryczne kul cały czas znajdują się na tej samej prostej. Kule nie wirują. Oblicz prędkość kuli o masie m 1 po zderzeniu. Wynik doprowadź do postaci, w której nie występuje pierwiastek kwadratowy. Sprawdź wynik w przypadku, dy m 1 /m 2 0, oraz w przypadku, dy m 2 /m 1 0. Spróbuj rozwiazać układ równań sprytnie, bez standardowej procedury dla trójmianu kwadratoweo. 10

17 Winda Na zamocowanym do sufitu windy siłomierzu wisi odważnik. Gdy winda znajdowała się w spoczynku, siłomierz wskazywał 40 N. Gdy winda poruszała się, siłomierz wskazywał 44 N. a) Jak nazywa się siła, która powoduje zmianę wskazań siłomierza? b) Jakimi rodzajami ruchu i w którą stronę moła poruszać się winda? c) Oblicz wartość przyspieszenia windy. Przyjmij wartość przyspieszenia ziemskieo 10 m/s 2. a) Siła pozorna bezwładności występująca w układzie nieinercjalnym. Krótkie wyjaśnienie dla układów niewirujących: a w iner m = F rzecz a w iner = A uk l niein + a w niein a w niein m = F rzecz A uk l niein m F poz = A uk l niein m b) Dwie możliwości: ruch jednostajny przyśpieszony w órę lub ruch jednostajny opóźniony w dół. c) F poz = 4 N, m = 4 k, A uk l niein = F poz /m = 1 m/s 2 18 ramwaj Podczas hamowania tramwaju uchwyt do trzymania się, zamocowany pod sufitem waonu, odchylił się od pionu o kąt 10. Pojazd poruszał się po prostych, poziomych szynach ruchem jednostajnie opóźnionym. Przyjmij, że wartość przyspieszenia ziemskieo wynosi 10 m/s 2. a) Narysuj, oznacz i nazwij wszystkie siły działające na swobodnie wiszący uchwyt podczas hamowania w układzie odniesienia zwiazanym z tramwajem. b) Oblicz wartość opóźnienia tramwaju podczas hamowania. a) 11

Q - siła ciężkości R - siła reakcji linki lub siła napięcia linki P - pozorna siła bezwładności b) Suma wektorów sił = 0, a więc musi być P Q = tan α Wiadomo, że Q = m, P = ma, dzie a jest przyśpieszeniem/opóźnieniem tramwaju. Otrzymujemy a = tan α = 10 m/s 2 tan 10 = 10 m/s 2 0.176 = 1.76 m/s 2 19 rochę inne zadanie -?B Oszacuj ilość pamięci, jaką powinien dysponować każdy mieszkaniec planety Ziemia, aby można było zapisać tyle bajtów, ile jest atomów w próbce zawierającej jedynie 12 C i ważącej 12. 20 Postrzelone wahadło * Metalowy ciężarek o masie M = 1960 wisi na bardzo lekkim sznurku o dłuości l = 50 cm. Sznurek zaczepiony jest jednym końcem w środku ciężkości ciężarka, a druim w taki sposób, że po nadaniu ciężarkowi prędkości o odpowiednio dużej wartości ciężarek może poruszać się po okręu leżącym w płaszczyźnie pionowej. W pewnej chwili w ciężarek uderza poziomo lecący z prędkością o wartości v pocisk o masie m = 40. Pocisk zlepia się trwale z ciężarkiem. Powstałą bryłę można traktować jak punkt materialny (w rozważaniach można pominąć rozmiary bryły). Jaka powinna być minimalna wartość prędkości pocisku, aby utworzona bryła zatoczyła pełny okrą o promieniu l w płaszczyźnie pionowej? Przyjmij wartość przyśpieszenia ziemskieo = 9,8 m/s 2. 12

l M v m Z.z. pędu vm = V b (M + m) V b = vm/(m + m) W najwyższym punkcie przyśpieszenie rawitacyjne ra rolę przyśpieszenia dośrodkoweo a d = = V 2 /l Z.z. enerii 1 2 V b 2 = 1 2 V 2 + 2l Stąd mamy v. 21 Ruchoma równia z zaadka Równia pochyła o kącie nachylenia α oraz o masie M może przesuwać się bez tarcia po stole. Na równię położono ciężarek o masie m. Ciężarek zaczął zsuwać się bez tarcia po równi, a po przebyciu droi L wzdłuż stoku uzyskał prędkość v w układzie związanym z równią. Ile wynosi w tym momencie prędkość równi wzlędem stołu? Uzyskać również wynik liczbowy w przypadku, dy m = 1 k, v = 0.1 m/s, L = 0.5 mm, M = 0.5 k, α = 30, = 10 m/s 2. Która informacja jest zbędna? Układ nie jest izolowany, ale możemy skorzystać z zasady zachowania pędu dla składowej poziomej, wzlędem której pole rawitacyjne jest prostopadłe (oś X wyznacza poziom). Pęd początkowy wynosi 0, więc: (m v + M V ) ê x = 0, dzie v jest prędkością ciężarka w układzie związanym ze stołem, a V prędkością równi wzlędem stołu. Prędkość ciężarka wzlędem równi, v, spełnia: v = V + v, a więc: 13

(m v + (M + m) V ) ê x = 0 Jeśli przyjmiemy, że ciężarek przesuwa się na lewo, a równia porusza się w prawo, to: v x = v cos α V x = V Stąd: v cos αm + (M + m)v = 0 A więc ostatecznie prędkość równi wzlędem stołu wynosi: V = v cos αm/(m + m) W przypadku, dy m = 1 k, v = 0.1 m/s, M = 0.5 k, α = 30 : V = 3/30 m/s 58 mm/s Zbędna jest informacja o L. 22 Bloczek w dwóch odsłonach Dwa odważniki o masach m 1 oraz m 2 połączono nieważką, nierozciąliwą liną i przewieszono przez bloczek o promieniu R, który przymocowano do sufitu (układ przedstawiono na rysunku). Z jakim przyśpieszeniem będzie poruszać się odważnik o masie m 1, jeśli: a) bloczek jest nieważki, b) moment bezwładności bloczka wzlędem jeo osi obrotu wynosi I. Układ znajduje się w jednorodnym polu rawitacyjnym. Wybór osi x: = ê x. Równania ruchu wzdłuż osi x: a 1 m 1 = m 1 1 oraz a 2 m 2 = m 2 2. a) W przypadku nieważkich liny i bloczka (zakładamy, że lina nie śliza się po bloczku) można pokazać równość 1 = 2 przynajmniej na dwa sposoby: 1) Z równania na ruch liny: M L+B eff a L = 1 2. 2) Z równania na ruch bloczka: I L+B eff ε B = R( 1 2 ), dzie R jest promieniem bloczka. Ponieważ lina i bloczek są nieważkie, więc M L+B eff = 0 oraz I L+B eff = 0, co prowadzi do wniosku 1 = 2 =. Wiąz na dłuość liny: x 1 + πr + x 2 = L =const. A więc: a 1 = a 2. Odpowiedź: a 1 = (m 1 m 2 )/(m 1 + m 2 ). b) Z równania dla bloczka I ε = r F mamy: Iε = R( 1 2 ). Położenie ciężarka 1 możemy powiązać z kątem obrotu bloczka: x 1 = Rα. Prowadzi to do: a 1 = Rε. Odpowiedź: a 1 = (m 1 m 2 )/(m 1 + m 2 + I/R 2 ). m 2 m 1 m 1 m 2 Rysunek do Zadania 22 Rysunek do Zadania 23 14

23 O tym, jak jeden może wcian ać dwóch Odważnik o masie m 1 przymocowano do nieważkiej, nierozciąliwej liny, którą przewieszono przez bloczek przyczepiony do sufitu. Na linę nawleczono następnie drui bloczek z uwiązanym do jeo osi odważnikiem o masie m 2. Koniec liny zaczepiono pod sufitem (układ przedstawiono na rysunku). Z jakim przyśpieszeniem będzie poruszać się odważnik o masie m 1, jeśli bloczki są nieważkie? Układ znajduje się w jednorodnym polu rawitacyjnym. Wybór osi x: = ê x. Równania ruchu wzdłuż osi x: a 1 m 1 = m 1 oraz a 2 m 2 = m 2 2. Wiąz na dłuość liny: x 1 + πr + x 2 + πr + x 2 = L =const. A więc: a 1 = 2a 2. Odpowiedź: a 1 = (m 1 m 2 /2)/(m 1 + m 2 /4). 24 Małpa Odważnik o masie M przymocowano do nieważkiej, nierozciąliwej liny, którą przewieszono przez bloczek przyczepiony do sufitu. Za swobodny koniec liny chwyciła małpa o masie m i wspina się. Jakim ruchem wzlędem liny przemieszcza się małpa, skoro jej odlełość od sufitu się nie zmienia? Obliczyć parametry teo ruchu. Bloczek jest nieważki, a układ znajduje się w jednorodnym polu rawitacyjnym. Wybór osi x: = ê x. Równania ruchu wzdłuż osi x: AM = M oraz am = m. Wiąz na dłuość liny: X + πr + x = L, dzie L jest dłuością liny miedzy odważnikiem a małpą. A więc przyśpieszenie małpy wzlędem liny a L = A + a. Warunek zadania: a = 0, co oznacza, że: a L = A Odpowiedź: Ruch jednostajnie przyśpieszony z a = (1 m/m). Jeśli m > M, to rzeczywiście małpa się wspina. 25 Bloczek-dźwinia Bloczek składający się z dwóch sztywno połączonych jednorodnych walców może obracać się dookoła własnej osi symetrii. Na walec o promieniu R 1 i masie M 1 nawinięto nierozciąliwy sznurek, do któreo przymocowano ciężarek o masie m 1. W przeciwnym kierunku nawinięto na walec o promieniu R 2 i masie M 2 nierozciąliwy sznurek, do któreo przymocowano ciężarek o masie m 2. Układ znajduje się w stałym jednorodnym polu rawitacyjnym. Obliczyć przyśpieszenie ciężarka o masie m 1. R 1 M 1 R 2 M 2 m 1 m 2 15

Równania dla ciężarków: m 1 a 1 = m 1 1 m 2 a 2 = m 2 2 Równanie dla układu walców: Iε = 1 R 1 2 R 2, dzie I = M 1 R 2 1/2 + M 2 R 2 2/2 Równania więzów: a 1 = R 1 ε a 2 = R 2 ε Odpowiedź: a 1 = R 1 (m 1 R 1 m 2 R 2 )/(I + m 1 R 2 1 + m 2 R 2 2) 26 Bloczki trzy Z jakim przyśpieszeniem będzie poruszać się odważnik o masie M A w układzie przedstawionym na rysunku, jeśli masy wszystkich odważników M A, M B oraz M C są znane? Bloczki są nieważkie, a nieważka, nierozciąliwa lina porusza się bez tarcia. Układ znajduje się w jednorodnym polu rawitacyjnym. M A M B M C Wybór osi X: = ê x. Równania ruchu wzdłuż osi x: 16

a A M A = M A a B M B = M B 2 a C M C = M C Wiąz na dłuość liny: x A + 2x B + x C =const. A więc: a A + 2a B + a C = 0 Po rozwiązaniu otrzymaneo układu 4 równań znajdujemy odpowiedź: a A = (M A M B + 4M A M C 3M C M B )/(M A M B + 4M A M C + M C M B ) 27 Straszliwy wielokrażek * Z jakimi przyśpieszeniami będą poruszać się odważniki o masach M A oraz M B w układzie przedstawionym na rysunku? Wszystkie bloczki są nieważkie, a nieważka, nierozciąliwa lina porusza się bez tarcia. Układ znajduje się w jednorodnym polu rawitacyjnym. C M A M B Zadanie to wymyśliłem na kolokwium z Fizyki IBC na jesieni 2006 r. Spośród 155 piszacych kolokwium 7 osób przedstawiło poprawne rozwiazanie. Zadanie zostało następnie wykorzystane w Olimpiadzie Fizycznej. 17

- Sposób 1 Lina jest nieważka (czyli jej masa wynosi 0) oraz może ślizać się bez tarcia po bloczkach, więc zodnie z II zasadą dynamiki suma sił działających wzdłuż liny na dowolny jej frament wynosi 0. Wobec teo np. siły, jakimi lina działa na ciężarek o masie M A oraz oś nieważkieo bloczka C, mają tę samą wartość (tutaj: wartość oznacza dłuość wektora),. Na rysunku zaznaczono wektory sił, jakimi lina działa na bloczki oraz na ciężarek o masie M A : C M A M B Z rysunku wynika, że na bloczek C działa wypadkowa siła o wartości. Ze wzlędu na to, że bloczek jest nieważki, korzystając z II zasady dynamiki, dochodzimy do wniosku (podobnie jak dla liny), że = 0. Na ciężarki działa tylko siła rawitacji, więc każdy z nich porusza się w dół z przyśpieszeniem. 18

- Sposób 2 Korzystając z wniosku o równości siły naciąu liny na całej jej dłuości z pararafu Rozwiązanie - Sposób 1, rozważam całkowitą siłę działającą na oba odważniki. Można to zrobić na dwa sposoby: C C M A M A M B M B Przy czym niezaznaczone siły rawitacyjne są oczywiście takie same w obu przypadkach. Ponieważ całkowita siła działająca na bloczki musi być taka sama w danym układzie odniesienia niezależnie od konfiuracji nieważkich obiektów, które pośredniczą w jej przekazywaniu, więc otrzymujemy warunek 3 = 2, który jest spełniony jedynie dla = 0. Na ciężarki działa tylko siła rawitacji, więc każdy z nich porusza się w dół z przyśpieszeniem. 19

- Sposób 3 Korzystam z wniosku o równości siły naciąu liny na całej jej dłuości z pararafu Rozwiązanie - Sposób 1. Zakładam, że do osi bloczka C doczepiono odważnik o masie M C. Wybierając oś X jako zodną z wektorem przyśpieszenia ziemskieo ( = ê x ) oraz jej początek (na przykład) tak jak na rysunku, 0 C x C M C x A M A x B M B X uzyskuję następujące równania ruchu dla odważników wzdłuż tej osi: a A M A = M A a B M B = M B 2 a C M C = M C + 2 Wiąz na dłuość liny, która jest nierozciąliwa, x A x C + 2x B = const., prowadzi do związku między przyśpieszeniami: a A a C + 2a B = 0 Rozwiązując powyższy układ 4 równań, otrzymujemy: = 2M A M B M C /(4M A M C + M B M C + M A M B ) a A = (4M A M C M B M C + M A M B )/(4M A M C + M B M C + M A M B ) a B = (M B M C + M A M B )/(4M A M C + M B M C + M A M B ) Uwzlędniając warunki zadania, czyli M C = 0, uzyskujemy odpowiedź: = 0 a A = a B = 20

Komentarz Poniżej omówione są zaadnienia, których niezrozumienie było najczęstszą przyczyną błędneo rozwiązania zadania. Drua zasada dynamiki definiuje wypadkową siłę działającą na obiekt za pomocą zmiany jeo pędu: F = d p dt A więc w przypadku obiektów, których pęd nie zmienia się w czasie, otrzymujemy: F = 0 akimi są w mechanice klasycznej na przykład obiekty bezmasowe, dyż mają stały, zerowy pęd (m = 0 p = m v = 0). Stąd bierze się np. równość siły naciąu na całej dłuości nieważkiej liny. W rozwiązaniach kolokwialnych pojawiało się wielokrotnie błędne stwierdzenie, że jest to wynikiem również nierozciąliwości liny. Nie jest to prawdą. Siła naciąu będzie taka sama na całej dłuości dla nieważkiej umy, sprężyny itp. Równość ta jest spełniona również w nieinercjalnych układach, dyż siły pozorne działające na obiekt są proporcjonalne do jeo masy. Istotne jest, czy na ciało nie działają styczne do kierunku jeo ruchu siły, które nie znikają przy m = 0. Np. w przedstawionych dwóch przypadkach ruchu liny o masie m (bloczek jest nieważki i obraca się bez oporów lub lina przesuwa się po nim bez tarcia): X 1 2 1 2 otrzymujemy takie samo równanie ruchu wzdłuż osi X, ma = 1 2 a dla liny nieważkiej (m = 0) w obu przypadkach równość: 1 = 2 W druim przypadku na linę działa bloczek, ale w każdym jej punkcie tylko prostopadle do wybranej osi, wzdłuż której rozpatrujemy ruch. Jak widać, powyższe rozważania są prawdziwe, a wyniki wiaryodne, jeśli problem jest dobrze określony, tzn. nie pojawiają się np. nieskończone przyśpieszenia. X 28 Moment pędu punktu materialneo Wychodząc z II zasady dynamiki p = F, dzie p jest pędem punktu materialneo, a F działającą na nieo siłą, udowodnij, że obowiązuje równanie J = M, dzie J = r p (moment pędu), M = r F (moment siły), a r jest wektorem położenia punktu materialneo. 21

r p = r F = M r p = r vm = ( v v + r v)m = d dt ( r v)m = J, dzie skorzystaliśmy z v v = 0. 29 Kamień na sznurku Przymocowany do sznurka kamień rozkręciłeś tak, że w czasie 2 s zakreśla okrą o promieniu 1 m. Sznurek można skracać, wyciąając o w punkcie zamocowania, czyli w środku okręu, po jakim porusza się kamień. Jaki będzie okres obieu kamienia po okręu, jeśli promień okręu zmniejszysz do 30 cm? Pomiń wpływ oddziaływań rawitacyjnych oraz oporów ruchu. Sprawdź jakościowe przewidywania w doświadczeniu. 30 Kometa Halleya * Oblicz największą i najmniejszą wartość prędkości komety, jeśli najmniejsza i największa odlełość od komety do Słońca równa jest odpowiednio d oraz D. Dane są masa Słońca M S oraz stała rawitacji G. Uzyskaj również wyniki liczbowe, jeśli przyjmiemy d = 9 10 10 m, D = 5 10 12 m, M S = 2 10 30 k oraz G = 7 10 11 Nm 2 k 2. Z zasady zachowania momentu pędu: Z zasady zachowania enerii: vd = V D v 2 α d = V 2 α D, dzie α = 2GM S. Po wstawieniu V = d v z pierwszeo równania do równania druieo: D v 2 (1 ( d D )2 ) = α(d 1 D 1 ) Ostatecznie: v = V = α(d 1 D 1 )/(1 ( d D )2 ) α(d 1 d 1 )/(1 ( D d )2 ) Wartości liczbowe: v 55000 m/s V 1000 m/s 22

31 Wirujacy pocisk Pocisk składający się z dwóch ciężarków o masach m 1 i m 2, połączonych sztywnym, nieważkim prętem o dłuości D, wyrzucono pionowo do óry. Początkowa prędkość środka masy teo układu wynosiła v 0, a początkowa prędkość kątowa, z jaką układ obraca się wzlędem osi przechodzącej przez środek jeo masy i prostopadłej do pręta, była równa ω 0. Pocisk wiruje w płaszczyźnie zawierającej kierunek pionowy. Jaki jest maksymalny pionowy zasię pocisku w tym rzucie, jeśli rozmiary ciężarków są zaniedbywalnie małe? Z jaką prędkością kątową będzie wirować pocisk, dy osiąnie maksymalną wysokość? Uzyskać również wynik liczbowy w przypadku, dy v 0 = 60 m/s, ω 0 = 2 rad/s, D = 4 m, m 1 = 1 k, m 2 = 4 k, = 10 m/s 2. Ze wzlędu na nieważkość pręta, siły, jakimi pręt działa na ciężarki, mają tę samą dłuość, kierunek oraz przeciwne zwroty. Równania ruchu: m 1 r1 = m 1 + N m 2 r2 = m 2 N Dzięki temu uzyskujemy równanie ruchu środka masy układu: M R = M, dzie M = m 1 + m 2 oraz R = (m 1 r 1 + m 2 r 2 )/M. A więc maksymalną wysokość, H, na jakiej znajdzie się środek ciężkości układu możemy wyznaczyć z równania: Mv 2 0/2 = MH H = v 2 0/(2) W równaniach nie występuje prędkość kątowa, a więc eneria ruchu obrotoweo pozostaje stała. Innymi słowy: zmiana enerii potencjalnej wpływa tylko na prędkość środka masy. Jeszcze inaczej: wirowanie pocisku nie zmienia jeo enerii potencjalnej. Dla dopełnienia formalności: wzlędem środka masy moment pędu jest stały, dyż moment siły znika, r 1 m 1 + r 2 m 2 = ( r 1m 1 + r 2m 2 ) = 0, dzie r 1, r 2 są wektorami położenia wzlędem środka masy. Z każdeo z tych wnioskowań wynika, że w ciąu całeo ruchu pocisk wiruje ze stałą prędkością kątową ω 0. Załóżmy, że m 1 m 2. Położenie odważnika m 1 możemy zapisać: r 1 = R + ( r 1 r 2 )m 2 /M, a więc odważnik m 1 znajduje się w odlełości ( r 1 r 2 )m 2 /M = Dm 2 /M od środka masy pocisku. Ostatecznie maksymalny zasię pionowy pocisku w tym rzucie, Z p, wynosi: Z p = v 2 0/(2) + Dm 2 /M W przypadku, dy v 0 = 60 m/s, D = 4 m, m 1 = 1 k, m 2 = 4 k, = 10 m/s 2 : Z p = v 2 0/(2) + Dm 2 /M = 180 m + 3.2 m = 183.2 m 32 Akcelerator, manes i ekran Początkowo spoczywającą cząstkę o dodatnim ładunku Q i masie m przyśpieszono za pomocą akceleratora o dłuości L. W akceleratorze wytwarzane jest jednorodne pole elektryczne E. uż za akceleratorem cząstka wleciała w obszar jednorodneo pola manetyczneo B. W jakiej odlełości D od końca akceleratora cząstka uderzy w ekran? Kąt między osią akceleratora a płaszczyzną ekranu wynosi α. W wybranym układzie współrzędnych wektory pól są wyrażone następująco: E = E(cos αê x + sin αê y ) i B = Bê z, równanie ekranu ma postać y = 0, a cząstka opuszczając akcelerator przelatuje przez początek układu współrzędnych. 23

Układ eksperymentalny (rozwiązujący powinien sporządzić o na podstawie opisu): B v α D α E W akceleratorze cząstka porusza się z przyśpieszeniem: a = QE/m. Na dłuości L uzyska prędkość v = 2QEL/m. W polu B będzie poruszać się po łuku o promieniu R wynikającym z równości: siła Lorentza = siła dośrodkowa, mv 2 /R = QvB. A więc R = mv/(qb). Cząstka od wylotu z akceleratora do uderzenia w ekran będzie się poruszać po łuku o mierze kątowej 2α. Stąd D = 2R sin α = 2 sin α 2ELm/Q/B 33 Liczba czasteczek Objętość jedneo mola wodoru w warunkach normalnych, czyli przy temperaturze 0 C i ciśnieniu 101325 Pa, wynosi około 22,4 dm 3. Oblicz, ile cząsteczek znajduje się w 1 µm 3 teo azu. Liczba cząsteczek w jednym molu to około 6 10 23. Fizyka relatywistyczna W poniższych problemach należy uwzlędniać efekty relatywistyczne. 34 Zderzenie dwóch jader Dwa jądra atomowe zbliżają się do siebie. Każde ma masę m i porusza się z prędkością v (kierunki prędkości są równolełe). Po zderzeniu obserwujemy dwa jądra o masach M 1 = 3m i M 4 2 = 1 m, które 4 kontynuują ruch pierwotnych jąder (tzn. mają tę samą prędkość i kierunek co pierwotne jądra), oraz układ cząstek powstałych w zderzeniu, X. Obliczyć masę niezmienniczą układu X, M X. Podać również wyrażenie na M X w szczeólnych przypadkach: a) M 1 = M 2 oraz b) M 1 = M 2 = 1m. 2 Uwaa: Zastanowić się, jaki jest kierunek wektora pędu układu X. Pominać efekty zwiazane z budowa jadra. 24

Przed zderzeniem Po zderzeniu m v v m v M 2 M X M 1 v Ze wzlędu na zasadę zachowania pędu pęd układu X jest równoleły do wektora prędkości v jest to problem jednowymiarowy. Jednostki: c = 1. Oznaczenia: γ (1 v 2 ) 1/2. Sposób I bezpośredni : Dodaję enerie i pędy zderzajacych się framentów jader Eneria: E X = γ(m M 1 ) + γ(m M 2 ). Pęd: P X = vγ(m M 1 ) vγ(m M 2 ). Sposób II pośredni : Odejmuję enerie i pędy pozostałych framentów jader od całkowitej enerii i pędu Eneria przed zderzeniem: E przed = e + e, dzie e = γm. Eneria po zderzeniu: E po = E 1 + E 2 + E X, dzie E 1 = γm 1 oraz E 2 = γm 2. Pęd przed zderzeniem: p przed = p 1 + p 2, dzie p 1 = vγm oraz p 2 = vγm. Pęd po zderzeniu: p po = P 1 + P 2 + P X, dzie P 1 = vγm 1 oraz P 2 = vγm 2. Z zasady zachowania enerii, E przed = E po, otrzymuję E X = 2e E 1 E 2 = γ(2m M 1 M 2 ). Z zasady zachowania pędu, p przed = p po, otrzymuję P X = p 1 + p 2 P 1 P 2 = vγ( M 1 + M 2 ). Odpowiedź Masa niezmiennicza układu X wynosi M X = (EX 2 PX) 2 1/2 = γ[(2m M 1 M 2 ) 2 v 2 (M 1 M 2 ) 2 ] 1/2. Jeśli M 1 = 3m i M 4 2 = 1m, to otrzymuję M 4 X = γm[1 v 2 /4] 1/2. a) Dla M 1 = M 2 otrzymuję M X = γ2(m M 1 ). b) Dla M 1 = M 2 = 1m otrzymuję M 2 X = γm. 35 Pomiar dłuości rakiety Dwie rakiety A i B poruszają się w tym samym kierunku z prędkościami v A i v B w układzie związanym z nieruchomą wiazdą. Dłuość rakiety A w jej układzie spoczynkowym wynosi L. Ile wynosi dłuość rakiety A w układzie związanym z rakietą B? Otrzymany wzór sprawdzić w szczeólnych przypadkach: a) v B = 0, b) v B = v A. 25

Konwencja: Wielkość Obiekt w Układ G - nieruchoma wiazda Sposób I. L = x AwA = γ AwG ( x AwG v AwG t AwG ) Chcemy t AwB = 0, więc x AwG = γ BwG x AwB oraz t AwG = γ BwG (v BwG /c 2 ) x AwB. L = x AwA = γ AwG γ BwG (1 v AwG v BwG /c 2 ) x AwB, ale x AwB = L AwB jest szukaną dłuością. Dłuość rakiety A mierzona w układzie rakiety B wynosi (v AwG = v A, v BwG = v B, β X = v X /c): a) Jeśli v B = 0, to L AwB = L 1 βa 2 b) Jeśli v B = v A, to L AwB = L Sposób II. v AwB = (v AwG v BwG )/(1 v AwG v BwG /c 2 ) L AwB = L 1 βa 2 1 βb/(1 2 β A β B ). L AwB = L 1 βawb 2 = L 1 βa 2 1 βb/(1 2 β A β B ) 36 Rakieta i pocisk lub kapsuła Wersja militarna: Samolot leci z prędkością v S. W odlełości L od celu wystrzeliwuje pocisk, któreo prędkość wzlędem samolotu wynosi v P. Jaki interwał czasu należy ustawić na zapalniku czasowym umieszczonym w pocisku, aby eksplozja jeo ładunku nastąpiła w chwili osiąnięcia celu? Wielkości L i v S są mierzone wzlędem nieruchomeo układu związaneo z celem ataku. Otrzymany wzór sprawdzić w szczeólnym przypadku v P = 0. Wersja cywilna: Rakieta leci z prędkością v S. W odlełości L od morskieo brzeu, oddziela się od rakiety kapsuła, której prędkość wzlędem rakiety wynosi v P. Kapsuła porusza się w tym samym kierunku co rakieta. Jaki interwał czasu należy ustawić automatycznemu pilotowi kapsuły, aby procedurę lądowania zainicjował już nad morzem? Wielkości L i v S są mierzone wzlędem nieruchomeo układu związaneo z brzeiem morza. Otrzymany wzór sprawdzić w szczeólnym przypadku v P = 0. Sposób I. Konwencja: Wielkość Obiekt w Układ S - samolot lub rakieta P - pocisk lub kapsuła Z - nieruchomy układ związany z brzeiem morza (np. Ziemia) 26

L = x P wz = γ SwZ ( x P ws + v SwZ t P ws ) Mamy x P wp = 0, więc x P ws = γ P ws v P ws t P wp oraz t P ws = γ P ws t P wp. L = x P wz = γ SwZ γ P ws (v P ws + v SwZ ) t P wp, ale t P wp = jest szukanym interwałem czasu. Automatycznemu pilotowi kapsuły należy ustawić interwał czasu (v SwZ = v S, v P ws = v P, β S = v S /c, β P = v P /c): Jeśli v P = 0, to = t P wp = L 1 βs/v 2 S. Sposób II. v P wz = (v SwZ + v P ws )/(1 + v SwZ v P ws /c 2 ) = t P wp = t P wz 1 β 2 P wz = t P wp = L 1 βs 2 1 β P 2 /(v S + v P ). Czas przelotu pocisku w układzie Z: t P wz = L/v P wz. 1 βp 2 wz = 1 βswz 2 1 βp 2 ws/(1 + β SwZ β P ws ) = t P wp = L 1 βs 2 1 β P 2 /(v S + v P ). 37 Awaria rakiety i wyprawa ratunkowa Z Ziemi wyrusza rakieta lecąca z prędkością c/2. Po 10 dniach rakieta ulea awarii (10 dni w pokładoweo zeara). Załoa wysyła synał świetlny z prośbą o pomoc. Po otrzymaniu wiadomości centrum lotów na Ziemi natychmiast wysyła rakietę ratunkową. Z jaką szybkością v powinna się ona poruszać wzlędem Ziemi, aby uratować załoę pierwszej z rakiet, w której astronauci moą utrzymać się przy życiu przez 30 dni od awarii? Konwencja: Wielkość Obiekt/Wydarzenie w Układ Z - Ziemia R - pierwsza rakieta A - awaria R I - dotarcie informacji C - czekanie na pomoc P - drua rakieta ( Pomoc ) S - spotkanie R i P Dane: v RwZ = c/2; t AwR = 10 dni; t CwR = 30 dni Szukamy v P wz. v P wz = x SwZ t P wz 27

Przejście z układu R do Z: x SwZ = γ RwZ (x SwR + v RwZ t SwR ). Ale x SwR = x RwR = 0, więc: x SwZ = γ RwZ v RwZ t SwR. Wiemy, że t SwR = t AwR + t CwR. Obliczyliśmy więc x SwZ. Obliczmy t P wz, czyli czas lotu P. x AwZ = γ RwZ (x AwR + v RwZ t AwR ) Ale x AwR = x RwR = 0. ak więc x AwZ = γ RwZ v RwZ t AwR. Można już obliczyć czas t IwZ potrzebny na dotarcie wezwania z miejsca A do Z w układzie Z: t IwZ = x AwZ /c. Okres oczekiwania w układzie Z: t CwZ = γ RwZ ( t CwR + v RwZ x CwR /c 2 ). Ale x CwR = x RwR = 0. Ostatecznie: t P wz = t CwZ t IwZ = γ RwZ ( t CwR v RwZ t AwR /c) Podstawiając wartości otrzymujemy odpowiedź: v P wz = x SwZ t P wz = v RwZ(t AwR + t CwR ) t CwR v RwZ t AwR /c 10 + 30 v P wz = c/2 30 10/2 = 4 5 c 28