Elementy Modelu Standardowego

Elementy Modelu Standardowego Funkcja Lagrange a Model Standardowy, który opisuje wszystkie oddziaływania (poza grawitacyjnym) pomiędzy cząstkami elementarnymi, opiera się na kwantowej teorii pola. Podstawowym elementem tej teorii, który w istocie decyduje o dynamice cząstek jest funkcja Lagrange a (lagranżjan). Przypomnienie z mechaniki klasycznej d Równanie ruchu cząstki w mechanice Newtona:F F = m a = m υ dt Jeśli siły są zachowawcze, to można wprowadzić energię potencjalną:f Lagranżjan to funkcja uogólnionych współrzędnych q i ich pochodnych czasowych qɺ, wyrażająca różnicę energii kinetycznej i potencjalnej: (, ɺ ) L q q = T U i i i = U Znając lagranżjan możemy wyprowadzić równania ruchu układu stosując równanie Eulera Lagrange a: d L L = 0 dt qɺ i qi 1 i

U r L x y z x y z 1 1 m U r m x y z U x y z np. dla składowej x mamy: L = m x ɺ = m υx xɺ dυ x d L m = F L L U x = 0 = = Fx dt dt qɺ i qi x x Przykład : ruch jednej cząstki w polu energii potencjalnej ( ) (,,, ɺ, ɺ, ɺ) = υ ( ) = ( ɺ + ɺ + ɺ ) (,, ) Relatywistyczna teoria pola W QFT podstawowymi obiektami są pola, których wzbudzenia interpretujemy jako cząstki. Pola te są ciągłymi funkcjami współrzędnych czasoprzestrzennych x Przez analogię do mechaniki klasycznej wprowadza się gęstość lagranżjanu, której niezależnymi współrzędnymi są pola i ich pochodne: ( φ ) ( ɺ ) L φ ( ) L q, q x, i i i i L = L 3 d x x ( 0 1 = x, x) = ( ct, x, y, z) = =, x c t x = ( x 0, x) = ( ct, x, y, 1 z) = =, x c t

Podanie gęstości lagranżjanu praktycznie określa teorię dla zadanych pól. Wynikają z niego wszystkie reguły rachunkowe, np. reguły obliczania diagramów Feynmana. Podobnie jak w mechanice klasycznej, rachunek minimalnego (stacjonarnego) działania prowadzi do równań typu Eulera Lagrange a: L L = ( φi ) φi 0 równania pola Przykład 1 : swobodna (nie oddziałująca) cząstka skalarna (spin 0) o masie m opisana jest przez pole skalarne φ i gęstość lagranżjanu: 1 1 mc LS = ( φ )( φ ) φ ħ φ φ φ φ φ φ φ φ ( ) 0 0 1 1 3 3 mc φ + φ = 0 ħ 1 φ mc φ + = c t ħ 1 c L mc L = φ, φ ħ 0 L 1 = 1φ = φ,... ( 1φ ) φ mc φ + φ = 0 t ħ φ równanie Kleina Gordona ( φ) 0 = φ = φ 0 3

Przykład : swobodna cząstka Diraca o spinie 1/ Cząstka Diraca (elektron, kwark) opisana jest przez funkcję (pole) o czterech zespolonych składnikach (bispinor): ( x) Lagranżjan dla cząstki swobodnej (brak oddziaływań): ( ħ ) ( ) LD = i c γ mc 1 = 3 3 Wyjaśnienia: γ to cztery macierze x o stałych wyrazach (nie czterowektor!) w reprezentacji Diraca Pauliego: 0 1 0 γ = 0 1 i i 0 σ γ = i σ 0 tu 0 i 1 oznaczają odpowiednio macierz zerową i jednostkową x, a σ i to macierze Pauliego 0 γ 1 0 0 0 0 1 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 1 1 γ 0 0 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 0 1 0 0 0 γ 0 0 0 i 0 0 i 0 = 0 i 0 0 i 0 0 0 Sprzężenie Diraca: γ 0 = ( * * * * 1,, 3, ) 3 γ 0 0 1 0 0 0 0 1 = 1 0 0 0 0 1 0 0

( ħ ) ( ) LD = i c γ mc Jako niezależne pola można wybrać i Stosując równania pola do funkcji dostajemy: L L = ( φi ) φi 0 L = i ( ħc) γ ( mc ) ( ħ ) ( ) i c γ mc = 0 L ( ) = 0 mc iγ = ħ 0 równanie Diraca W zapisie rozwiniętym: 1 mc i + i + i + i = c t x y z ħ 0 1 3 γ γ γ γ Stosując równania pola do dostaniemy sprzężoną postać równania Diraca: mc i γ + = 0 ħ 5

Przykład 3 : swobodna cząstka wektorowa o spinie 1 (np. foton) Jej pole jest opisane przez czterowektor A i lagranżjan: L Proca ν ν mc ν A A Aν ν A A Aν 1 1 = ( )( ) + ħ Wprowadzając oznaczenie możemy napisać zgrabniej: ( ) F A A ν ν ν ν mc ν ν ν 1 1 LProca = F F + A A ħ ν mc ν Wynikają z tego równania pola: F + A = 0 ħ W przypadku pola e-m (fotony, 0) tradycyjnie zapisujemy A 1 A 0 mamy do tego: E = φ c t 0 ν F B = A 0 1 1 LEM = F ν Fν = E B ( ) m = = ( φ, A) Ex E y Ez Ex Bz B y = E y Bz Bx Ez By Bx 0 F ν = 0 równania Maxwella w próżni 6

Symetria cechowania Jedną z głównych idei Modelu Standardowego jest tzw. lokalna symetria cechowania (local gauge invariance). Idea ta pozwala w bardzo elegancki sposób wprowadzić do teorii oddziaływania między cząstkami. Zobaczmy najpierw jak to funkcjonuje w najprostszym przypadku elektrodynamiki. Przypomnijmy lagrażjan Diraca (cząstka swobodna): ( ħ ) ( ) LD = i c γ mc Łatwo zobaczyć, że jest on niezmienniczy względem transformacji: i e θ globalna zmiana fazy Mamy bowiem i e θ, więc w wyrażeniach czynniki fazowe się kasują. Żądamy teraz (postulat teorii) czegoś znacznie mocniejszego aby lagranżjan był niezmienniczy względem transformacji, w której zmiana fazy może być inna w każdym punkcie czasoprzestrzeni! i e θ ( x) lokalna zmiana fazy Niezmienniczość względem tej transformacji jest właśnie lokalną symetrią cechowania 7

Napotykamy jednak na trudność, bo operacja różniczkowania tworzy dodatkową funkcję x, która łamie symetrię. iq x c Najpierw zmieniamy nieco zapis, chcemy aby: e λ ħ = () iqλ( x) ħc iq iqλ( x) ħc = e + λ ( x) e q ładunek cząstki Diraca ħc L γ = L q γ λ ( x) a zatem = i ( ħc) ( mc ) Aby odzyskać niezmienniczość musimy coś dodać: pole wektorowe, które przy transformacji cechowania będzie się tak zmieniać, żeby ten dodatkowy wyraz znikał q Zmianę tę wyrażamy przez podstawienie: D = + i A ħ c q L = i ( ħc) γ D ( mc ) = i ( ħc) γ + i A ( mc ) ħc = i ħc γ mc q γ A ( ) ( ) Wyrażenie to będzie niezmiennicze względem (), jeśli jednocześnie nowe pole zmieni się zgodnie z: ( ) A A = A x a to przecież wygląda jak znana transformacja λ ( ) cechowania pól elektromagnetycznych! 8

To jeszcze nie koniec. Dodaliśmy do teorii nowe pole wektorowe, musimy więc jeszcze dodać wyraz swobodny tego pola. Odpowiedni jest tu lagranżjan Proca, ale musimy położyć w nim m = 0, aby zachować niezmienniczość względem (). To nowe pole A to potencjały elektrodynamiczne reprezentujące foton! Ostatecznie dostajemy pełny lagranżjan elektrodynamiki kwantowej: ( ħ ) ( ) LQED = i c γ mc F F q γ A 1 ν ν QED swobodny elektron swobodny foton oddziaływanie foton - elektron Równania Eulera Lagrange a dla pól A (dwa ostatnie wyrazy) dadzą nam: F ν = j ν gdzie j = q γ jest czterowektorem prądu Sa to równania Maxwella w obecności źródeł! Człon oddziaływania determinuje elementarny diagram Feynmana dla oddziaływania fermion-foton q γ A q γ A 9

Podsumujmy Wyszliśmy od lagranżjanu cząstki swobodnej (elektronu) i zażądaliśmy lokalnej symetrii cechowania, w tym przypadku niezmienniczości względem lokalnej zmiany fazy: iq ( x) c S e λ ħ = unitarna operacja, która tworzy grupę U(1) Wymusiło to dodanie nowego pola pola cechowania A które reprezentuje cząstkę bozon cechowania oddziałujący z elektronem. Cząstka ta (foton) musiała być bezmasowa! Pole cechowania musiało być przy tym niezmiennicze względem transformacji: ( ) A A = A x λ Pole cechowania wprowadziliśmy stosując podstawienie: q D = + i A ħ c a postać transformacji dla pól cechowania wynikała z żądania, aby: D D S = SD W wyniku dostaliśmy pełny opis oddziaływania między elektronami i fotonami! 10

Chromodynamika kwantowa (QCD) Kwark jest opisany równaniem Diraca, ale wiemy, że występuje w trzech kolorach. Dla każdego koloru mamy więc osobne równanie Diraca. Możemy uprościć zapis opisując kwark przez obiekt składający się z trzech bispinorów: r = g = ( r g b ) b L = i ħc γ mc W tej notacji lagranżjan dla swobodnego kwarku: ( ) ( ) Obiekt ten jest niezmienniczy względem globalnej transformacji: = U = U gdzie U jest macierzą unitarną 3 x 3 U U = 1 symetria globalna, grupa U(3) Każdą taką macierz można przedstawić jako: ih U = e, H = H a każdą macierz hermitowską 3 x 3 jako: H = θ 1 + a T gdzie 1 to macierz jednostkowa 3 x 3, a to zestaw ośmiu współczynników, a T to osiem macierzy 3 x 3 tzw. generatorów grupy SU(3) (macierze Gell-Mana) a T = a T = a T + a T + + a T a a 1 1 8 8 11

Przez analogię do QED żądamy teraz, aby lagranżjan dla kwarku był niezmienniczy ze względu na transformację lokalną: q gs U = exp i λ ( x) exp i ( x) c 1 c α T gs stała sprzężenia silnego ħ ħ grupa U(1) to nam da oddziaływanie E-M grupa SU(3) to nam określi oddziaływanie silne g = = α T ħc Aby zapewnić niezmienniczość lagranżjanu musimy wprowadzić 8 nowych S Skupiamy się na transformacji S exp i ( x) pól wektorowych bezmasowych (gluony!) poprzez podstawienie: gs a D = + i Ta G, a = 1,,,8 ħc Wymaganie byd SD daje reguły transformacji dla pól cechowania: G G = G α g f α G k k k j k S ijk i ostatni wyraz pojawia się ponieważ macierze T nie komutują ze sobą, f ijk a współczynniki to tzw. stałe struktury grupy SU(3). Nieabelowa teoria z cechowaniem T, T = i f T i j ijk k 1

mamy więc lagranżjan: ( ħ ) γ D ( ) ( ħ ) γ ( ) ( S γ a ) L = i c mc = i c mc g T G a gdy dodamy jeszcze wyraz dla swobodnych gluonów, otrzymamy kompletny lagranżjan chromodynamiki: ( ħ ) γ ( ) G ν ig ( S γ a ) L = i c mc g T G 1 a ν QCD ale swobodny kwark swobodne gluony oddziaływanie kwark - gluony G = G G g f G G ν ν ν ν i i i S ijk j k gluony oddziałują ze sobą! g S ν w członie G ig ν pojawią się iloczyny trzech i czterech pól G, które prowadzą do diagramów gs g S 13

Oddziaływania słabe Teorie oddziaływań słabych konstruuje się analogicznie do QCD, jest to też nieabelowa teoria z cechowaniem. Obiektem, który podlega transformacji cechowania są dublety: ν e ν u t, χ =,, e d b grupa cechowania: SU() Grupa SU() ma trzy generatory (macierze Pauliego), co oznacza, że występują trzy pola cechowania trzy bozony cechowania (dwa naładowane i jeden neutralny). Pojawia się tu jednak kilka komplikacji. w dubletach występują tylko cząstki lewoskrętne (łamanie parzystości!) oddziaływanie łączy się z elektromagnetycznym w jedną teorię elektrosłabą odpowiednia grupa symetrii cechowania: SU() L U(1), obserwowany foton i bozon Z są kombinacjami liniowymi neutralnego bozonu z grupy SU() i bozonu z grupy U(1). wreszcie najpoważniejsza trudność: wiemy, że bozony przenoszące oddziaływanie słabe nie są bezmasowe! Odkrycie mechanizmu Higgsa rozwiązało ten ostatni problem. 1

Mechanizm Higgsa 1. Oddziałujące pole skalarne Przypomnijmy najprostszy przypadek: rzeczywiste pole skalarne. Lagranżjan dla pola swobodnego (str. ): 1 1 mc LS = ( φ )( φ ) φ ħ Rozważmy teraz następujący lagranżjan: 1 1 1 L = ( φ )( φ ) + φ λ φ człon masowy: pole do kwadratu gdzie tu jest człon masowy? Wyraz z φ odpowiada masie urojonej! Energia potencjalna w tym przypadku: 1 1 U = φ + λ φ ma minimum nie dla φ = 0 lecz dla φ = ±! λ > 0, λ > 0 λ + λ 15

W tym przypadku najniższa energia pola (nazywamy to stanem próżni) odpowiada niezerowej wartości pola! Potencjał jest symetryczny, ale stan próżni łamie tę symetrię zachodzi tu spontaniczne łamanie symetrii. Rachunek perturbacyjny (diagramy Feynmana) odpowiada badaniu małych fluktuacji wokół stanu próżni. Załóżmy, że układ wybrał stan φ = + λ. Zmieniamy oznaczenia tak, by wyrazić lagranżjan przez odchylenia od tego stanu: φ η + λ Lagranżjan wyrażony przez pole η przyjmuje teraz postać (proszę sprawdzić!): 1 1 1 L = ( η )( η ) + η + λ η + λ λ 1 3 1 = ( η)( η ) η λη λ η + λ (wyraz stały nie ma żadnych konsekwencji fizycznych) część kinetyczna człon masowy oddziaływania stała Mamy więc pole skalarne, którego cząstki mają masę: 1 mc = m ħ = ħ c i oddziałują ze sobą: λ λ 16

. Pole skalarne zespolone Znacznie ciekawsza sytuacja występuje wtedy, gdy spontanicznie łamana jest symetria ciągła. Rozważmy pole skalarne, ale zespolone (dwie składowe): * φ φ + iφ φ φ = φ + φ 1 1 i lagrangian o takiej postaci: 1 1 1 L = φ φ + φ φ λ φ φ * * * ( )( ) ( ) ( ) > 0, λ > 0 Widać, że jest on niezmienniczy względem operacji: i φ φ = e θ φ globalna symetria U(1)! Wyrażamy ten lagrangian przez pola składowe: 1 1 1 1 L = + + + + ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) φ1 φ1 φ φ φ1 φ1 λ φ1 φ1 Ponownie widzimy, że stan próżni nie odpowiada zerowym wartościom pól! Punkty o najmniejszej energii potencjalnej tworzą okrąg: φ + φ = λ Układ spontanicznie wybierze jeden z tych punktów jako stan próżni łamiąc symetrię! 1,min,min 17

L Wybieramy jeden z tych punktów (nie tracąc ogólności): φ = λ, φ = 0 1,min,min i badamy odchylenia od tego punktu wprowadzając oznaczenia: η φ λ, ξ φ 1 Lagrangian wyrażony przez pola η, ξ przyjmuje teraz postać: L ( )( ) ( )( ) φ λ 1 1 1 1 = η η + ξ ξ + η + + ξ λ η + + ξ λ λ która po elementarnych przekształceniach (proszę sprawdzić!) prowadzi do: 1 1 3 λ = ( η)( η ) η + ( ξ )( ξ ) λ ( η ηξ ) ( η ξ η ξ ) + + + + + λ φ 1 pole η z masą pole ξ bezmasowe bozon Goldstone a oddziaływania stała λ λ λ λ λ 18

3. Łamanie symetrii w teorii cechowania Jeszcze ciekawsze rzeczy dzieją się, gdy spontaniczne łamanie symetrii zachodzi dla pól z lokalną symetrią cechowania. W poprzednim przykładzie mieliśmy pole skalarne (zespolone) z globalną symetrią U(1). Zażądamy teraz, aby symetria ta była lokalna. Jest to najprostszy model, na którym można prześledzić działanie mechanizmu Higgsa. Mamy więc lagrangian zespolonego pola skalarnego: 1 1 1 = φ φ + φ φ λ φ φ * * * ( )( ) ( ) ( ) φ φ + iφ L 1 chcemy, aby był niezmienniczy względem lokalnej transformacji: ( ) ig x c φ φ e λ ħ = φ lokalna symetria U(1)! Postępujemy tak, jak poprzednio: dodajemy bezmasowe (!) wektorowe pole cechowania z jego odpowiednią transformacją : g D = + i B B B = B λ ( x) ħ c 1 F B B F ν F ν gdzie oraz dodajemy część kinetyczną pola B: ν ( ν ν ) 19

Lagrangian przybiera postać: 1 g * g 1 ν 1 * 1 * L = i B φ i B φ F Fν φ φ λ φ φ + + c c ħ ħ ( ) ( ) Podobnie jak poprzednio, stan próżni, to punkt na okręguφ 1,min + φ,min = λ Wybieramy ponownie: φ 1,min = λ, φ,min = 0 i wprowadzamy η φ λ, ξ φ 1 Rachunek, teraz bardziej żmudny (ale ciągle elementarny), prowadzi do: 1 1 1 1 L = ( η)( η ) η + ( ξ )( ξ ) + + ħcλ ν g F Fν B B pole η z masą pole ξ bez masy g ( ) g 1 g g + B η ξ ξ η + ηb B + ( η + ξ ) B B + B ξ ħc λ ħc ħc ħc λ oddziaływania pól η, ξ i B ( ) λ 3 λ η + ηξ + ( η + ξ + η ξ ) + λ tu jak wcześniej: oddziaływania pól η i ξ i wyraz stały pole cechowania uzyskało masę! Ale to nam się nie podoba! g λ 0

Ostatni krok: wykorzystujemy lokalną symetrię i wybieramy szczególne cechowanie. iθ ( x) φ = e φ = cosθ x + isinθ x φ x + iφ x ( ( ) ( )) 1 ( ) ( ) ( ) ( x) cos ( x) ( x) sin ( x) i ( x) cos ( x) ( x) sin ( x) θ ( x) tanθ ( x) = φ ( x) φ1 ( x) = φ1 θ φ θ + φ θ + φ1 θ jeśli wybierzemy tak, aby to cześć urojona tożsamościowo znika! W ten sposób eliminujemy z lagrangianu pole ξ! Pola B zmienią się odpowiednio, ale postać lagrangianu pozostanie ta sama, jest przecież niezmienniczy!). Jeśli pominiemy nieistotny wyraz stały, to w tym szczególnym cechowaniu dostajemy: 1 1 1 g L = ( η)( η ) η + F Fν + B B ħcλ masywne pole η bozon Higgsa ν masywny bozon cechowania! 1 g 3 ηb B η B B λη η g λ + + λ ħc ħc oddziaływania pól η i B 1

L 1 1 1 = ( )( ) + + ħcλ ν g η η η F Fν B B 1 g 3 ηb B η B B λη η g λ + + + + λ ħc ħc masa pola η ħ mη = c masa pola Β g mb = c λ η η η η η g λ g η λ λ η η η η Na początku mieliśmy zespolone pole skalarne ( składowe) i bezmasowy bozon cechowania ( stany polaryzacyjne) razem + stopnie swobody. Na końcu mamy rzeczywiste pole skalarne (1 składowa) i masowy bozon cechowania (3 stany polaryzacyjne) razem 1+3 stopnie swobody. Bozon cechowania uzyskał 3-ci stopień swobody zjadając bozon Goldstone a (ξ)

3. Higgs w modelu standardowym W naszym przykładzie mechanizm Higgsa nadał masę bozonowi związanemu z symetrią cechowania U(1). W elektrosłabym sektorze Modelu Standardowego, czyli w teorii Weinberga-Salama, mechanizm ten nadaje masy bozonom pochodzącym z grupy cechowania SU() L U(1). W najprostszym, minimalnym modelu, pole Higgsa jest dubletem pól zespolonych, czyli ma składowe. Pojawią się 3 bezmasowe bozony Goldstone a, które zapewnią 3-cią składową (a więc i masę) trzem bozonom cechowania W ± i Z. Pozostanie jeszcze jedna dodatkowa masywna cząstka bozon Higgsa. Odkrycie cząstki Higgsa przez LHC w 01 miało ogromne znaczenie bez niej cała konstrukcja Modelu Standardowego rozpada się w gruzy. Pole Higgsa nie tylko nadaje masę bozonom cechowania, ale także generuje masy fermionów (elektronów i kwarków). Teoria przewiduje, że sprzężenie cząstki Higgsa do fermionu jest proporcjonalne do jego masy ta cecha jest obecnie testowana przez LHC. Masy neutrin tak bardzo odbiegają od mas innych fermionów, że podejrzewa się, że generuje je jakis inny mechanizm. 3