STOPU ODLEWNICZEGO NA BAZIE PEWNEJ METODY KOLLOKACYJNEJ

Krzepnięcie metai i stopów t. VI PL ISSN 0208-9386 ISBN 83-04-01501-3 Ossoineum 1983 Małgorzata Biedrońska, Bohdan Mochnacki, Józef Suchy SYMULACJA KINETYKI KRZEPNIĘCIA STOPU ODLEWNICZEGO NA BAZIE PEWNEJ METODY KOLLOKACYJNEJ 1. Wstęp Prezentowana pubikacja jest fragmentem badań prowadzonych w ramach M R 20, dotyczących symuacji numerycznej procesów przepływu ciepła masy w układzie odew-forma-otoczenie. W szczegóności zostanie przedstawiony agorytm obiczeń procesu krzepnięcia prostych obiektów geometrycznych (np. płyta, waec, kua), zakładając ostrą granicę rozdziału faz. Wprowadzenie do rozważań metody odewów ekwiwaentnych [ 3] pozwaa rozszer zyć zastosowanie modeu na przypadki krzepnięcia w interwae ternperatury. Proponowany sposób obiczeń ma tę istotną zaetę, że pozwaa na proste sprzężenie agorytmu obiczeń pó temperatury i kinetyki krzepnięcia ;: modeami symuującymi przebieg innych istotnych zjawisk zachodzących w układzie (np. segregacji). Jak ogónie wiadomo, warunek brzegowy na gra.: nicy rozdziału jest warunkiem nieiniowym, co powoduje znaczne kompikacje agorytrhu numerycznego, eiminowane najczęściej przez wprowadzenie do obiczeń entapii fizycznej metau [ 9]. Można tu wyróżnić prace Budaka i in. [ 2 J, w których ;; kokową zmianę entapii na froncie krzepnięcia przybiżono funkcją ciągłą, metodę naprzemiennej fazy [ 6], sprowadzającą zagadnienie do pewnej iczby zadań iniowych, czy też opisu matematycznego w postaci jednego równania paraboicznego ze zmiennym kiem [5]. współczynni-

58 Małgorzata Biedrońska, Bohdan Mochnacki, Józef Suchy W odróżnieniu od wymienionych prac przedstawione niżej rozwiązanie bazuje bezpośrednio na czasoprzestrzennych rozkładach temperatur, przy czym zarówno ciepło krzepnięcia, temperatura przemiany fazowej oraz warunki wymiany ciepła na s1yku odewu i formy mogą zmieniać się w czasie. Te cechy prezentowanego modeu mogą istotnie poepszyć dokładność obiczeń kine1yki procesu, w szczegóności zmian chwiowej prędkości przemieszczania się frontu krzepnięcia. Istnieje również możiwość stosunkowo prostego uwzgędnienia zjawiska przechłodzenia stężeniowego (w przypadku połączenia modeu przepływu ciepła z obiczeniami procesu segregacji [ 8] ). Rozwiązania numerycznego tak skonstruowanego modeu matema1ycznego _9-okonano na bazie metody funkcji gię1ych, wykazującej wśród metod kookacyjnych s zczegóną przydatność do tego ceu. Warto zwrócić uwagę na zaproponowane tutaj rozwiązanie, pózwaające przemieszczać front krzepnięcia o interwał siatki geometrycznej, co zapewnia większą dokładność obiczeń również datego, że unika się położenia frontu w pobiżu węzła siatki. Opracowanie uzupeniono wynikami obiczeń krzepnięcia kierunkowego stopu odewniczego na bazie cynku w formie piaskowej. 2. Równanie różniczkowe i warunki jednoznaczności Da prostoty daszych rozważań przyjęto odew o kształcie pły1y nieograniczonej (rys. 1). Nieustaone poe temperatury w obszarze opisuje układ równań różniczkowych 1ypu C (T) o (T) m rm OT(x,t) ch _a_ A ax m at(x, t) ax m=1,...,4, ( 1) gdzie m - wskaźnik iden1yfikujący podobszar układu ( 1-ciecz, 2-strefa przejściowa, 3-ciało stałe, 4-forma), C, p,a- parametry termofizyczne, T,x,t - temperatura, współrzędna, czas. Parametr C (T) naeży interpretować jako zastępczą pojemność ciepną podm obszaru.s?. (t), przy czym da m=2 (strefa przejściowa krzepnącego stopu) [4] m

Symuacja kinetyki krzepnięcia... 59 T słrpfa dwufa~owo Rys. 1. Modeowany układ ( 2) zaś da pozostałych podobszarów C (T) = c (T), gdzie c jest ciepm m m łem właściwym strefy Qm(t), qkr - ciepłem krzepnięcia, a S(T) pewną funkcją znormaizowaną do przedziału [O, 1], opisującą okany udział ciała stałego w otoczeniu punktu P(x) & Q 2 (t). Zadanie typu ciecz-strefa przejściowa-ciało stałe-forma-otoczenie można sprowadzić do probemu z ostrą granicą rozdziału faz, przyjmując tzw. ekwiwaentną temperaturę krzepnięcia A T (3) gdzie T s, T L - temperatura odpowiadająca początkowi i końcowi krzepnięcia stopu. Przyjmując [4], że w strefie przejściowej zastępczą pojemność ciepną C (T) opisuje równanie 2 (4)

60 Małgorzata Biedrońska, Bohdan Mocmacki, Józef Suchy wynikające z przybiżenia funkcji c 2 (T) w przedziae [TS' TL] paraboą stopnia p (rys. 2), przy czym es - ciepło właściwe ciała stałego -r C t _----,L./ c2 / ' / T, T Rys. 2. Zastępcza ciepna strefy dwufazowej pojemność w pobiżu izotermy T S, C - średnie całkowe ciepło właściwe strefy przejściowej, c - spektrane ciepło krzepnięcia, sp c sp = qk r f L1 Tk r ' p - wykładnik paraboi, który da większości stopów odewniczych przyjmuje wartość p ~ 7, temperaturę ekwiwaentną można zapisać w postaci [ 1] " T T + I?.t!_ s p+2 ( 5) Obiczenia wykazują, że wyznaczona z zaeżności ( 5) zastępc za ternpe ratura przemiany fazowej jest biska temperaturze granicznej ciecz-strefa pr zejśc i owa. P r zedstawiona wyżej modyfikacja modeu procesu kr zepnięc ia sprowadza podobszar 2 2 ( t) do izotermy T = T, zaś opis matematyczny p r ocesów ciepnych do układu równań (1), przy czym m=1,3,4 z warunkiem ax + X (6) oraz warunkami X = Q at(x,t) ax cx(t) [T(x,t) - Too], (7) X L 2 d X o ' (8)

Symuacja kinetyki krzepnięcia... 61 gdzie L - grubość płyty, ex (t) - współczynnik wymiany ciepła między odewem a formą, Too - temperatura otoczenia. Oddziaływanie między odewem a formą wyrażono w modeu przez zastępczy współczynnik wymiany ciepła ex. (t), co oczywiście nie ogranicza możiwości stosowania warunków brzegowych innego typu i bardziej dokładnego oszacowania strumienia ciepła płynącego przez wnękę formy. Warunki (6)-(8) uzupełnia warunek początkowy zadania T (x,o) m T (x), mo ( 9) gdzie Tm 0 (x) - temperatura początkowa podobszarów (da T 10 (x) temperatura zaewania). 3. Mode numeryczny 3.1. Generacja czasoprzestrzennej siatki Proponowana metoda jest metodą kookacyjną, wykorzystującą funkcje gięte do aproksymacji chwiowych pó temperatury w ciekłej i zakrzepłej części odewu. Na rozpatrywany obszar Q 2 (t) u Q ( t) nakłada si ę siatkę prze- 1 3 strzenną Q h: o ( 10) o kroku h. W ęz ły tej siatki będą w daszej koejności wykorzystane do konstrukcji spajnów przybiżających okacji). Dobór siatki czasu chwiowe poe temperatury w Q h (punkty ko- o o 1 p p+1 < t < t<... <r<t... <oo, P+ p r - t (11)

62 Małgorzata Biedrońska, Bohdan Mochnacki, Józef Suchy reaizowany jest sukcesywnie da koejnych pęti obiczeń w następujący s posób. Niech Li+ będzie wyrażeniem przybiżającym wartość pochodnej d X da x = ~, zaś anaogiczną aproksymacją da ex przyjmuje więc w tym samym punkcie. Warunek brzegowy Stefana (6) postać p+ Lp+ dx - ' L - A 3 3 ' + P 'qkr d t X = ~ [ T 1 (x,t) = T 3 (x,t) = T (12) Szybkość krzepnięcia ~ d t dx dt X=~ przybiża ioraz różnicowy h.!j.ł ( 13) czyi X = A-3 LP3+1 + o q 's kr h. ( 14) Zgodnie z sugestiami zawartymi w pracy [ 7] postanowiono prowadzić symuację procesu w ten sposób, aby front krzepnięcia (ub izoterma T ) przemieszczał się w każdym kroku czasu między koejnymi węzłami siatki przestrzennej, jak na to wskazuje równani~ (13). Efekt ten można uzyskać stosując procedurę, w której czasu e da koejnego kroku obiczeń p;'zyjrnuje się pewną wartość interwału!j. tp, zakłada się, że w chwii ł+ front krzepnięcia znaazł się w węź. TP+ 1 (x. 1 ) = T, xi+ ' czy +

Symuacja kinetyki krzepnięcia... 63 - obicza się (metodą kookacji, której szczegóły zostaną przedstawia- n e w daszej części pracy ) rozkłady temperatury w podobszarach "1(tp+) :JG i Q3(tp+), - wyznacza si ę na podstawie otrzymanych wyników wartość p+ L3 ' - koryguje się przyjęty wst ępnie krok czasu!1 ł według wzoru ( 15) - powtarza się procedurę aż do uzyskania żądanej dokładności. Pewną modyfikację metody naeży wprowadzić w pierwszej pęti obiczeń, gdzie przejście od brzegu x do węzła x zwią z ane jest z odprowadzeniem do obję tości formy entapii przegrzania stopu i ciepła krzepnię 0 1 cia warstwy x - x, czyi 1 0 (16) co naeży uwzgędnić w równaniu ( 14). 3.2. Metoda kookacji Rozkład temperatury w chwii p+ aproksymuje się dwoma funkcjami giętymi ( s 1 (x) w fazie ciekłej, s 3 (x) w fazie stałej). Węzły siatki Q h numeruje się w następujący sposób 3 3 O = x 0 < x 1 < s = X. (17) Przyjmuje się oznaczenia r=1,3. (18) Z własności funkcji gię1ych wynikają zaeżności r X - X r" r i S (x) = Mi- --- h~ (19)

64 Małgorzata Biedrońska, Bohdan Mochnacki, Józef Suchy ( r 2 ( r 2, X. - x) X- X. ) 5 r(x)=-mr 1 +Mr 1-1- 2 hr 1 2 hr i + hr 6 Mr i- hr +- 3 Mr+ sr - sr i- hr ( 21) oraz S r( x) =M. r - 1 Mr i -1 hr2 i ( 22) 6 Nieznane wartości wyznacza się z układu równań h~ hr r hr s r sr sr r...1..mr Mr + i+ M r i+ + 6 i -1 6 i+ 3 hr hr i+. + \+1 - - 5 i- ( 23) U k ład ~en uzupehtiają równania wynikające z przyjętych warunków brzegowych. P ochodną temperatury po czasie aproksymuje się iorazem różnicowym LIT(x,t) Lit T(x,tp+) - LI T(x,tp) za ś T(x! r P+ ) f k un cją w węzłach siatki ( 17) przyjmuje postać ub s 3 ( x). Wówczas układ równań () 5 Ip+ i i=o,...,, (24) 5 3p+1 i=o,..., k, ( 25)

Sy mua cja kinetyki krzepnięcia... 65 gd zie a = i\. /C p r =, 3 są ws p ółczynnik am i wy r ówny wania temr r r r, peratury w podob s zarach Q, które przyjęt o jako sta ł e. r Zad an e warunki br zegowe ( 6), ( 7), (8) p row adz ą do z a eżno ś ci ( 26) 1\ T ( 27) 1\ T ( 28) as 3 P+ 1 3-71.3 -~-( x) o ax (29) as 1 P+ 1 1 --"--- (x ) ax o ' ( 30 ) przy czym, jak przed s tawiono t o poprzednio, w ar unek ( 26) służy do i teracy jnego poprawiania kroku c zasu fi. Wyk orzys tu jąc w zory (23), ( 24), ( 27) i ( 30 ) otr zymuje si ę uk ład równań, po zwa a j ący wyznaczy ć wa rto ś c i drugiej pochodnej w w ę zła ch siatki fa zy ci ek łej, Je st to układ a na podstawie w zoru ( 24) - poe temperatury w tej fazie. pos taci 1\ sp h1 p T - M p+ o a 1 fi t 1 1 [h. + hi+ (2.. )MP+ + + o fi tp 1-1 a 6 h. 3 h 1 a fił ) ]Mp + ( i +1 1 ) M p+ + a t;ł (- 1- + + h. h 6 h i+ i+ i+ s p - sp i + i 1 hi+ s p - s p i i-1 1 h. i= '... ' - ' ( 31 )

66 Małgor zata Biedroriska, Bohdan M ochnacki, Józef S uchy, h a L tp 1 p s p s p ) M p+ h a H 1 +1-1 -. ( --1-1 -1 + (-+--)M p 6 3 h h h P odobnie rozważa j ąc wzory (23), (25), (28) i (29) dochodzi się M3p+1 do układu równań, z którego obicza się a następnie rozkład terni ' peratury w fazie sta ł ej. ( - ( 32) 3 3 h. +h. 1 + + [ 3 p 1 1. 3p+1 +a Lt ( -;:;-+-~M. + 3 h" h3 i i+1 + h3 3 L>ł 53 53-5 3 a3 ) M3p+ \+1 - ( i + i i-1 3 i+ 3 6 h3 ' hi+1 \+1 i='...,k-1 M3p+1 k 1\ T - a3 53p o L tp Układy równań ( 31), ( 32) są układami trójprzekątniowymi, można je więc rozwiąz ać stosując metodę "progonki", i taką proc edurę wykorzystano w programie obiczeń numerycznych. 4. Przykłady obiczeń Wykor zys tując przedstawiony agorytm, przeprowadzono obiczenia na EMC da danych odpowiadających warunkom krz epnięcia i stygnięcia odewu ze stopu na bazie cynku w formie piaskowej. Pragnąc pr zystosowa ć opracowany mode matematyczny do sprzężenia z opisem innych zjawi sk fizycznych za chodzącyc h podczas krzepni ęcia odewu, wprowadzono do obiczeń zmienną temperaturę przemiany fazowej (na

Symuacja kinetyki krzepnięcia... 67 podstawie dotychczasowych doświadczeń). Parametry termofizyczne przyjqto zgodnie z [ 8 J, wymiar charakterystyczny rozważanego odewu w kształcie płyty nieograniczonej L=10 cm, temperaturę zaewania T =753 K. 10 Obszar pokryto siatką przestrzenną o zmiennym kroku ( zagęszczonym w pobiżu brzegu obszaru), co pozwaa na dokładniejszą ocenę przebiegu bezpośrednio po zaaniu fazy ciekłym metaem. Na rys. 3 przedstawiono krzywe stygnięcia na powierzcłmi odewu w Jego osi. T ( K) o \0 20 Rys. 3. Foe temperatury w odewie w kształcie pły ty ze stopu ZnA krzepnąceg o kierunkowo w masie kwarcowo-iłowej: A, - temperatura w odegłości 4 mm od ścianki odewu; B, 2 - temperatura w o degłości 27 mm od Ścianki odewu; C, 3 - tempera tura w osi odewu ( 50 mm od ścianki) ; 1, 2,3 - wyuiki obic zeń numerycznych; A,B,C- wyniki badańdoświadczanych Literatura [1] M. Biedrońska, B. Mochnacki, }. Suchy: Mode matematyczny krzepnięcia w przedziae temperatur z uwzg ędnieniem ikwacji, Krzepni ę cie Metai i Stopów, zesz. 5, Komisja Odewnictwa PAN O/Katowice, Ossoineum, Wrocław 1982. [ 2 J B. M. Bud ak i inni: Raznostnyj mietod s o sgłażiwanijem koefficjentow dja rieszenija zadacz Stiefana, Żurn. Wyczisit. Mat. i Mat. Fiz., 5 (1965) 828-840. [ 3] W. Longa: Krzepnięcie odewu w formach piaskowych, Śąsk, Katowice 1975.

68 Małgorzata Biedro1iska, Bohdan Mochnacki, józef S uchy [ 4] B. Mochnacki: Mathema tica mode of the heat fow in the interva of s oidification temp eratures of the Fe-C aoy, Krzepnięcie Metai S topów, zesz. 5, Komisja Odewnictwa PAN O/Katowice, Ossoineum, Wrocław 1982. [ 5] B. Mochnacki, K. Mazur: Zastosowanie metody eementu skońc z one g o da obic zeń procesów krzepnięcia, ZN Po. Ś., Energetyka, 67 ( 1978) 51-60. [6] J. Rogers, A. E. Berger: The aternating p hase truncation method for numerica soution of a S tefan probem. Journ. on Num. Ana.,., 4 ( 1979). [ 7] J. Schniewind: Soution of the s oidification probem of a one - dimensiona medium by a new numerica method, J. Iron and S~e Ind.,.J. (1963). [B] J. Suchy: Segregacja pierwiastków stopowych podczas krzepnięcia kie 'runkowego, ZN Po. Ś., Mechanika, 76 (1982). [9] J. Szargut: Metody numeryczne w obiczeniach ciepnych pieców przepływowych, Śąsk, Katowice 1977.