R O Z D Z IA Ł 1. P R Z E S T R Z E N IE I F O R M Y...

Transkrypt

1 SPIS TREŚCI P r z e d m o w a... L ite ratu ra u z u p e łn ia ją c a... R O Z D Z IA Ł. P R Z E S T R Z E N IE I F O R M Y.... A bstrakcyjne przestrzenie lin io w e.... Motywacja i ak sjo m aty k a Powłoki liniowe'. Podprzestrzenie Uwagi o interpretacji geometrycznej W ym iar i baza.... Liniowa zależność Wymiar i baza przestrzeni lin io w ej Współrzędne. Izomorfizm przestrzeni Część wspólna i suma algebraiczna podprzestrzeni Sumy p r o s t e..... C. Przestrzenie ilorazow e... Ć w iczenia P rzestrzeń dualna.... Formy liniowe Przestrzeń dualna i baza dualna Refleksywność Kryterium liniowej niezależności Interpretacja geometryczna rozwiązań układów liniowych jednorodnych Ć w iczenia Form y dwuliniowe i kw adratow e.... Odwzorowania w ielodniow e Formy dwuliniowe' Transformacja macierzy formy dwudniowej Formy symetryczne i antysym etryczne Formy kwadratowe Postać kanoniczna formy kwadratowej... XI XII

2 7. Formy kwadratowe rzeczyw iste Formy i macierze dodatnio określone Postać kanoniczna formy antysymetrycznej Pfaffian R O Z D Z I A Ł 2. O P E R A T O R Y L I N I O W E. Przekształcenia liniowe przestrzeni liniowych.... Język przekształceń liniowych Macierz przekształcenia liniowego Wymiar jądra i obrazu Algebra operatorów liniow ych.... Definicje i przykłady Algebra operatorów Macierze operatora liniowego w różnych bazach Wyznacznik i ślad operatora liniowego Podprzestrzenie niezmiennicze i wektory własne.... R zuty Podprzestrzenie niezmienniczo Wektory własne. Wielomian charakterystyczny Kryterium diagonalizowalności Istnienie podprzestrzeni niezmienniczych Operator sprzężony Operator ilorazowy Postać kanoniczna J o rd a n a.... Twierdzenie Hamiltona-Cayleya Postać kanoniczna Jordana: twierdzenie i wnioski Podprzestrzenie pierwiastkowe Przypadek operatora nilpot.entnego Jednoznaczność Inne podejścia do P K J Inne postaci normalne O Z D Z I A Ł 3. P R Z E S T R Z E N I E L I N I O W E Z I L O C Z Y N E M K A L A R N Y M P rzestrzen ie e u k lid e s o w e Rozważania heurystyczne i definicje Podstawowe pojęcia m etry czn e Ortogonalizacja Izomorfizmy przestrzeni euklidesowych

3 5. B a z y o r to n o r m a ln e i m a c ie r z e o r t o g o n a l n e P r z e str z e n ie s y m p l e k t y c z n e Ć w i c z e n i a P r z e s t r z e n i e u n i t a r n e F o r m y h e r m i t o w s k i e Z w ią zk i m e t r y c z n e O r t o g o n a l n o ś ć M a c ie r z e u n ita r n e P r z e str z e n ie u n o r m o w a n e... 0 Ć w i c z e n i a... ] i g 3. O p e r a t o r y l i n i o w e n a p r z e s t r z e n i a c h z i l o c z y n e m s k a l a r n y m... pjy. Z w ią zk i o p e r a to r ó w lin io w y c h i form ( M in io w y c h... ( p, 2. K la s y o p e r a to r ó w l i n i o w y c h... 2 i 3. P o s ta ć k a n o n ic z n a o p e r a to r ó w h e r m ito w sk ic h... 2r, 4. S p r o w a d z a n ie fo rm y k w a d ra to w ej d o o si g ł ó w n y c h S p r o w a d z a n ie p a ry form k w a d r a to w y c h d o p o s ta c i k a n o n ic z n e j... 2g (i. P o s ta ć k a n o n ic z n a iz o m e tr ii lin io w y ch... 2«) 7. O p e r a to r y n o r m a l n e O p e r a to r y d o d a tn io o k r e ś l o n e... l.td 9. R o z k ła d b ie g u n o w y Ć w i c z e n i a... 3<j 4. K o m p l e k s y f i k a c j a i u r z e c z y w i s t n i e n i e S tr u k tu r a z e s p o l o n a U r z e c z y w istn ie n ie K o m p lek sy fik a cja K o m p le k sy fik a c ja > u r z e c z y w istn ie n ie k o in p F k s y f ik a o ja Ć w i c z e n i a W i e l o m i a n y o r t o g o n a l n e Z a g a d n ie n ie a p r o k s y m a c j i M e to d a n a jm n ie jszy c h k w a d r a t ó w U k ła d y lin io w e i m e to d a n a jm n ie jszy c h k w a d r a t ó w W ie lo m ia n y tr y g o n o m e tr y c z n e U w a g a o o p e r a to r a c h s a m o s p r z ę ż o n y c h W ie lo m ia n y L e g e n d r e a O r to g o n a ln o ść z w a g a m i W ie lo m ia n y C z e b y sz e w a (p ie r w szeg o r o d z a j u ) W ie lo m ia n y H e r m ite a Ć w i c z e n i a R O Z D Z I A Ł 4. P R Z E S T R Z E N I E P U N K T O W E A F I N I C Z N E I E U K L I D E S O W E P r z e s t r z e n i e a f i n i c z n e D e fin ic ja p r z e str z e n i a f in ic z n e j I z o m o r f i z m W s p ó ł r z ę d n e

4 4. P o d p r z e str z e n ie a fin ic z n e W s p ó łr z ę d n e b a r y c e n tr y c z n e F u n k cje a fin ic z n e i u k ła d y ró w n a ń l i n i o w y c h W z a je m n e p o ło ż e n ie p o d p r z e str z e n i a f i n i c z n y c h Ć w i c z e n i a P r z e s t r z e n i e ( a f i n i c z n e ) e u k l i d e s o w e M etry k a e u k li d e s o w a O d le g ło ś ć p u n k tu o d p o d p r z e str z e n i a f i n i c z n e j O d le g ło ś ć d w ó c h p o d p r z e str z e n i a f i n i c z n y c h W y z n a c z n ik G r a m a i o b ję t o ś ć r ó w n o le g lo ś c ia n u Ć w i c z e n i a G r u p y i g e o m e t r i a G r u p a a f in ic z n a Iz o m e tr ie p r z e str z e n i e u k lid e s o w e j G r u p a iz o r n e t r ii G e o m e tr ia lin io w a o d p o w ia d a ją c a d a n ej g r u p i e P r z e k s z ta łc e n ia a fin ic z n e p r z e str z e n i e u k l i d e s o w e j Z b io ry w y p u k ł e Ć w i c z e n i a P r z e s t r z e n i e z m e t r y k ą n i e o k r e ś l o n ą M e tr y k a n ie o k r e ś lo n a Iz o m e tr ie p s e u d o e u k lid e s o w e G r u p a L o r e n t z a W ła ś c iw a g r u p a L o r e n t z a Ć w ic z e n ia R O Z D Z I A Ł 5. K W A D R Y K I F u n k c j e k w a d r a t o w e F u n k cje k w a d ra to w e n a p r z e str z e n i a f in ic z n e j P u n k ty śro d k o w e fu n k cji k w a d ra to w ej S p r o w a d z a n ie fu n k cji k w a d ra to w ej d o p o s ta c i k a n o n ic z n e j F u n k cje k w a d r a to w e n a p r z e str z e n i e u k lid e s o w e j Ć w i c z e n i a K w a d r y k i w p r z e s t r z e n i a f i n i c z n e j i e u k l i d e s o w e j O g ó ln e p o ję c ie k w a d r y k i Ś ro d e k k w a d r y k i P o s ta c ie k a n o n ic z n e k w a d ryk w p r z e str z e n i a f i n i c z n e j U w a g i o g ó ln e o r o d z a ja c h k w a d r y k K w a d ryk i w p r z e str z e n i e u k l i d e s o w e j Ć w i c z e n i a P r z e s t r z e n i e r z u t o w e M o d e le p ła s z c z y z n y rzu to w ej P r z e str z e n ie r z u to w e w y ż sz y c h w y m ia r ó w W s p ó łr z ę d n e j e d n o r o d n e

5 4. M a p y a f i n i c z n e P o ję c ie r z u to w e g o z b io r u a l g e b r a i c z n e g o P e łn a g r u p a r z u t o w a G e o m e tr ia r z u t o w a D w u s t o s u n e k Z a p is d w u sto su n k u w e w sp ó łr z ę d n y c h Ć w i c z e n i a K w a d r y k i w p r z e s t r z e n i r z u t o w e j K la s y f ik a c j a P r z y k ła d y i p r z e d sta w ie n ia a fin ic z n e k w a d ry k r z u t o w y c h P r z e c ię c ie k w a d ry k i rzu to w ej z p r o s t ą O g ó ln e u w a g i o k w a d ry k a ch r z u t o w y c h Ć w i c z e n i a R O Z D Z I A Ł 6. T E N S O R Y W s t ę p n e i n f o r m a c j e o t e n s o r a c h P o ję c ie t e n s o r a I lo c z y n t e n s o r o w y W sp ó łr z ę d n e t e n s o r a T e n so r y w różn y ch u k ła d a c h w s p ó ł r z ę d n y c h Ilo c z y n te n s o r o w y p r z e str z e n i lin io w y c h Ć w i c z e n i a K o n t r a k c j a, s y m e t r y z a c j a i a n t y s y m e t r y z a c j a t e n s o r ó w K o n tra k cja t e n s o r a T en so r str u k tu r a ln y a l g e b r y T e n so r y s y m e t r y c z n e T e n so r y a n t y s y m e t r y c z n e A lg e b r a t e n s o r o w a Ć w ic z e n ia A l g e b r a z e w n ę t r z n a Ilo c z y n z e w n ę t r z n y A lg e b r a z e w n ę tr z n a p r z e str z e n i lin io w e j Z w ią zek z w y z n a c z n i k a m i P o d p r z e str z e n ie lin io w e i /» - w e k t o r y K r y te r ia p r o s to ty /» - w e k t o r ó w Ć w i c z e n i a R O Z D Z I A Ł 7. Z A S T O S O W A N I A N o r m a o p e r a t o r o w a i f u n k c j e o p e r a t o r ó w l i n i o w y c h N o r m a o p e r a to r a lin io w e g o F u n k cje o p e r a to r ó w lin io w y c h ( m a c i e r z y ) F u n k cja w y k ła d n ic z a P o d g r u p y je d n o p a r a m e tr o w e p e łn e j g r u p y l i n io w e j P r o m ie ń sp e k tr a ln y Ć w i c z e n i a

6 2. Liniowe rów nania ró żn iczk o w e Pochodna funkcji w ykładniczej Równania różniczkowe Liniowe równanie różniczkowe zwyczajne stopnia n W ielościany w ypukłe i program ow anie lin io w e Sformułowanie problem u M otyw acja Podstawowe pojęcia geometryczne Ć w iczenia M acierze n ie u je m n e Motywacja ekonomiczna Własności macierzy nieujem nyeh Macierze stochastyczne G eom etria Ł obaczew skiego Przestrzeń Łobaczewskiego Izometrie przestrzeni Łobaczewskiego Metryka Łobaczewskiego Płaszczyzna Łobaczewskiego P roblem y nierozw iązane Problem S trassena Rozkłady ortogonalne Skończone płaszczyzny rzu to w e Bazy przestrzeni liniowych i kwadraty ła c iń sk ie Odpowiedzi i wskazówki do ćwiczeń Uwagi metodyczne Pytania egzaminacyjne Skorowidz