Wzór Żurawskiego. Belka o przekroju kołowym. Składowe naprężenia stycznego można wyrazić następująco (np. [1,2]): T r 2 y ν ) (1) (2)

Podobne dokumenty
Dr inż. Janusz Dębiński

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Mechanika teoretyczna

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16

Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)

α k = σ max /σ nom (1)

Defi f nicja n aprę r żeń

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA

Wytrzymałość materiałów

Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów.

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów studia niestacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy

Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki

Ścinanie i skręcanie. dr hab. inż. Tadeusz Chyży

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH

TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

1 9% dla belek Strata w wyniku poślizgu w zakotwieniu Psl 1 3% Strata od odkształceń sprężystych betonu i stali Pc 3 5% Przyjęto łącznie: %

Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia

Wytrzymałość Materiałów

ĆWICZENIE 1 STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA METALI - UPROSZCZONA. 1. Protokół próby rozciągania Rodzaj badanego materiału. 1.2.

Metoda elementów skończonych

Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor.

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA

Zwój nad przewodzącą płytą

Obliczeniowa nośność przekroju zbudowanego wyłącznie z efektywnych części pasów. Wartość przybliżona = 0,644. Rys. 25. Obwiednia momentów zginających

STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA

Wykład 5. Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju prostokątnym.

Laboratorium wytrzymałości materiałów

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA

Geometria analityczna

Widok ogólny podział na elementy skończone

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym

Zadanie 1 Zadanie 2 tylko Zadanie 3

Wewnętrzny stan bryły

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m

Część DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 1 DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE

Wytrzymałość Materiałów II studia zaoczne inżynierskie I stopnia kierunek studiów Budownictwo, sem. IV materiały pomocnicze do ćwiczeń

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Ć w i c z e n i e K 3

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych. Anna Stankiewicz

Mechanika i Budowa Maszyn. Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności

Nieliniowości fizyczne Część 2 : Nieliniowość sprężysta. Teoria nośności granicznej

Rys. 32. Widok perspektywiczny budynku z pokazaniem rozmieszczenia kratownic

Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN-1995

ĆWICZENIE / Zespół Konstrukcji Drewnianych

Osiadanie kołowego fundamentu zbiornika

Ćwiczenie nr 2. obliczeniowa wytrzymałość betonu na ściskanie = (3.15)

Konstrukcje metalowe Wykład III Geometria przekroju

Parcie na powierzchnie płaską

PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:

Rysunek Łuk trójprzegubowy, kołowy, obciążony ciężarem własnym na prawym odcinku łuku..

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Numeryczne metody analizy konstrukcji

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

3. OBLICZENIA STATYCZNE ELEMENTÓW WIĘŹBY DACHOWEJ

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna)

DWUTEOWA BELKA STALOWA W POŻARZE - ANALIZA PRZESTRZENNA PROGRAMAMI FDS ORAZ ANSYS

PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Laboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów

Mechanika i Budowa Maszyn

Wyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia

Z-LOG-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

KONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE

Zestaw powtórzeniowy nr 16

Wyznaczanie składowej poziomej natężenia pola magnetycznego Ziemi za pomocą busoli stycznych

Projekt belki zespolonej

Stropy TERIVA - Projektowanie i wykonywanie

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2

Modelowanie w MES. Kolejność postępowania w prostej analizie MES w SWS

Definicje i przykłady

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Nasyp przyrost osiadania w czasie (konsolidacja)

Elementy Projektowania Inżynierskiego CALFEM Wybrane funkcje.

Całka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej

Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy

Transkrypt:

Przykłady rozkładu naprężenia stycznego w przekrojach belki zginanej nierównomiernie (materiał uzupełniający do wykładu z wytrzymałości materiałów I, opr. Z. Więckowski, 11.2018) Wzór Żurawskiego τ xy = T y S o z b I z pozwala wyznaczyć uśrednioną względem szerokości przekroju b na poziomie y wartość naprężenia stycznego wywołanego siłą poprzeczną T y. We wzorze tym symbol S o z jest momentem statycznym części pola przekroju belki znajdującej się poniżej poziomu y. Rozkład pionowej składowej naprężenia (τ xy ) wzdłuż szerokości przekroju jest zbliżony do równomiernego tylko w przypadku przekroju belki w kształcie wąskiego prostokąta. W przypadku innych przekrojów jest on istotnie różny od równomiernego i powinien być wyznaczony na gruncie teorii sprężystości (w przypadku sprężystych własności materiału belki). Poniżej przedstawione są rozkłady stanu naprężenia stycznego w kilku przypadkach przekrojów belki. Otrzymano je, rozwiązując opisujące stan naprężenia równanie różniczkowe Poissona, analitycznie lub numerycznie. Belka o przekroju kołowym Składowe naprężenia stycznego można wyrazić następująco (np. [1,2]): τ xy = 3 + 2 ν ( T r 2 y 2 1 2 ν ) 8 (1 + ν) I 3 + 2 ν z2 (1) τ xz = 1 + 2 ν T y z, 4 (1 + ν) I (2) gdzie T = T y oznacza siłę poprzeczną, I moment bezwładności przekroju względem osi centralnej, ν liczbę Poissona, y i z współrzędne, odpowiednio, pionową i poziomą, r promień przekroju poprzecznego belki. Pole naprężenia zilustrowano na rys. 1. Rysunek 1: Pole naprężenia stycznego w przekroju kołowym belki, ν = 0.3 Wyrażenie (1) wskazuje, że pionowa składowa naprężenia nie jest stała ze względu na zmienną z. Na rys. 2 pokazano przebieg wartości tej składowej naprężenia wzdłuż poziomej średnicy przekroju oraz średnią jej wartość (względem szerokości przekroju) obliczoną za pomocą wzoru Żurawskiego.

Rysunek 2: Rozkład naprężenia wzdłuż poziomej średnicy przekroju: rozwiązanie (1) (2) kolor czerwony, wzór Żurawskiego kolor niebieski, ν = 0.3 Różnice pomiędzy obydwoma rozwiązaniami nie są wielkie: ich względne wartości są równe: 7.7 % w przypadku wartości minimalnej oraz 3.8 % w przypadku wartości maksymalnej. Belka o przekroju prostokatnym Pole naprężenia w przypadku przekroju prostokątnego można przedstawić analitycznie w postaci pojedynczego lub podwójnego szeregu Fouriera (np. [1,2]). Równanie Poissona opisujące ten rozkład można rozwiązać również jedną z metod przybliżonych. Poniżej przedstawiono rozwiązanie uzyskane metodą elementów skończonych w przypadku przekroju o stosunku wymiarów boków b/h równego 3/2, który nie może być traktowany jako wąski prostokąt. Oznacza to, że należy się spodziewać rozkładu pionowej składowej naprężenia istotnie odbiegającego od równomiernego. Na rys. 3 i 4 przedstawione są wykresy w postaci izolinii składowych, odpowiedni poziomej i pionowej w górnej połowie przekroju (wykorzystano symetrię rozwiązania). Na rysunkach widoczna jest również siatka elementów trójkątnych wykorzystana w obliczeniach. Na rys. 3 można zauważyć Rysunek 3: Składowa pozioma naprężenia stycznego w przekroju prostokątnym, ν = 0.3 dwa punkty występowania ekstremalnych wartości składowej poziomej naprężenia na górnej krawędzi przekroju. Z rys. 4 wynika, że rozkład składowej pionowej naprężenia wzdłuż osi obojętnej przekroju daleko odbiega od równomiernego (różnica rzędnych przekracza wartość 30 %). Pole naprężenia w postaci wykresu wektora naprężenia stycznego przedstawiono na rys. 5. Również na tym wykresie można zauważyć istotnie odchylony od równomiernego rozkład naprężenia τ xy wzdłuż osi obojętnej przekroju. 2

Rysunek 4: Składowa pionowa naprężenia stycznego w przekroju prostokątnym, ν = 0.3 Rysunek 5: Wykres wektora naprężenia stycznego w przekroju prostokątnym, ν = 0.3 Belka o przekroju dwuteowym Rozważono przekrój dwuteowy o kształcie zilustrowanym na rys. 6. Pole naprężenia stycznego wyznaczono metodą elementów skończonych [3]. Z uwagi na podwójną symetrię przekroju w obliczeniach rozważono tylko jego prawą górną ćwiartkę. Rysunek 6: Przekrój dwuteowy Wykresy poziomej i pionowej składowych stanu naprężenia przedstawione są na rys. 7. Na rysunku pokazana jest również obliczeniowa siatka elementów trójkątnych wykorzystana w analizie. Widoczne jest wyraźne spiętrzenie naprężenia w otoczeniu wklęsłego naroża przekroju. Siatka elementów w otoczeniu tego naroża została zagęszczona w celu uzyskania wyższej dokładności rozwiązania przybliżonego. Wykres wektora pola naprężenia oraz przebieg składowej pionowej wzdłuż 3

trzech przekrojów pionowych sa pokazane na rys. 8. Moz na zauwaz y c, z e warto sci napr ez enia τxy Rysunek 7: Przekrój dwuteowy, wykres lewy: składowa pozioma napr ez enia, wykres prawy: składowa pionowa napr ez enia, ν = 0.3 maja w przybliz eniu rozkład równomierny wzgl edem współrz ednej z oraz warto sci bliskie tym, które otrzymuje si e ze wzoru Zurawskiego tylko w cz es ci s rodnika dostatecznie oddalonej od półki, czyli gdy y [ 1.5, 1.5]. [1] S. Timoszenko, N.J. Goodier, Teoria spr ez ysto sci, Arkady, Warszawa 1962. [2] W. Nowacki, Teoria spr ez ysto sci, PWN, Warszawa 1970. [3] Z. Wi eckowski, I. Wagner, Error estimation for stress-based finite element solution, Proc. CMM2007 Computer Methods in Mechanics, June 19 22, 2007, Łód z Spała, Poland. 4

Rysunek 8: Przekrój dwuteowy, rysunek lewy: pole naprężenia, rysunek prawy: wykresy rozkładu składowej pionowej naprężenia wzdłuż przekrojów pionowych, z = 0 (oś symetrii), z = 0.5 (prawa ściana środnika) oraz z = 1 półka przekroju, ν = 0.3 5