W 6 STRON OD TEORII GRUP DO TEORII KATEGORII

W 6 STRON OD TEORII GRUP DO TEORII KATEGORII RAFAŁ R. SUSZEK Streszczenie. W niniejszym wykładzie dokonujemy abstrakcji, a nastȩpnie istotnego uogólnienia elementarnych własności grup, ich realizacji (działań) i ekwiwariantnych odwzorowań pomiȩdzy ich nośnikami. Proces ten doprowadza nas jedn a z wielu możliwych naturalnych ścieżek logicznych do takich struktur jak kategoria, funktor i transformacja naturalna, stanowi acych szkielet pojȩciowy teorii kategorii. Zaczniemy od przeformułowania opisu pojȩcia grupy. Oto w sposób nieco sztuczny przedstawimy grupȩ G jako zbiór bijekcji singletonu (zbioru jednoelementowego) { } udekorowanych elementami grupy g G. Tak a oczywist a nadmiarowości w zbiorze odwzorowań singletonu w siebie możemy traktować jako sposób na zapisanie informacji o ukrytej wewnȩtrznej strukturze obiektu, której nie określamy w żaden inny (bezpośredni) sposób. W tym obrazku G stanowi (albo indeksuje) kompletny zbiór odwzorowań uzgodnionych z ukryt a struktur a obiektu, tj. strukturȩ tȩ respektuj acych (i w tym sensie zachowuj acych obiekt ), wiȩc dozwolonych z punktu widzenia naszych rozważań. Istnienie operacji binarnej na G możemy zrozumieć jako prawo orzekaj ace, że superpozycja odwzorowań dozwolonych jest także odwzorowaniem dozwolonym, a ł aczność operacji binarnej tłumaczy siȩ na ł aczność tejże dobrze określonej superpozycji. Pośród odwzorowań dozwolonych istnieje jedno odwzorowanie wyróżnione, które odpowiada trywialnej bijekcji obiektu i z tej przyczyny stanowi ace nie zmieniaj ace żadnego innego odwzorowania dozwolonego po przyłożeniu go przed tym odwzorowaniem lub po nim tym odwzorowaniem jest bijekcja indeksowana elementem neutralnym e G. Wreszcie też każdemu odwzorowaniu odpowiada odwzorowanie odwrotne, tj. takie, którego superpozycja z wyjściowym daje poprzednio omówione odwzorowanie trywialne. Jego istnienie zapewnia operacja unarna Inv G G. Z naszej dotychczasowej dyskusji wyłania siȩ już pewna (z konieczności dość banalna w swej zawartości) struktura, dostarczaj aca równoważnego przeformułowania opisu grupy, które poddaje siȩ dalekosiȩżnemu uogólnieniu. Mamy wiȩc do czynienia z dwoma zbiorami: zbiorem obiektów Obj G { } i zbiorem dozwolonych odwzorowań miȩdzy nimi, który bȩdziemy określać mianem zbioru morfizmów Mor G G i przedstawiać jako zbiór strzałek udekorowanych elementami grupy, g Każde z odwzorowań ma swoj a dziedzinȩ, z której wychodzi stowarzyszona z nim strzałka i któr a w dalszej czȩści wywodu bȩdziemy nazywać pocz atkiem morfizmu, s Mor G Obj G g, oraz przeciwdziedzinȩ, do której strzałka siȩga i któr a bȩdziemy nazywać końcem morfizmu, t Mor G Obj G g. Na zbiorze Mor G s t Mor G par strzałek składalnych, tj. takich, u których koniec poprzednika pokrywa siȩ z pocz atkiem nastȩpnika (w naszym przypadku s a to wszystki strzałki), określona jest ł aczna operacja złożenia (superpozycji) Mor G s t Mor G Mor G ( h, g ) h g o oczywistych (u nas wrȩcz trywialnych) własnościach s( h g ) = s( g ), t( h g ) = t( h ). Na zbiorze obiektów określamy odwzorowanie Id Obj G Mor G e, które przypisuje obiektowi morfizm identycznościowy o własnościach s Id = id Obj G = t Id, Wersja z 20 lutego 2015, 22:32 (GMT+1). 1

g Id s( g ) = g = Id t( g ) g. Odwracalność wszystkich morfizmów (strzałek) jest równoznaczna z istnieniem odwzorowania Inv Mor G Mor G g g g 1 o własnościach s Inv = t, t Inv = s, g Inv( g ) = Id t( g ), Inv( g ) g = Id s( g ). Zanim przejdziemy do dyskusji realizacji grupy, zaadaptujemy nowy formalizm do opisu struktury nieco mniej sztywnej niż rozpatrywana dot ad struktura grupy, a mianowicie: monoidu Map(X, X) odwzorowań (ustalonego) zbioru X w siebie. Struktura ta doskonale, a przy tym całkowicie naturalnie ilustruje ideȩ modelowania wewnȩtrznej struktury obiektu (jakim w tym przypadku jest sam zbiór X) w mnogości dozwolonych morfizmów. Mamy tu zatem do czynienia z jednoelementowym zbiorem obiektów Obj Map(X, X) = {X}, zbiorem morfizmów zaś w pełnej analogii do sytuacji wcześniejszej jest zbiór strzałek udekorowanych odwzorowaniami f Map(X, X). Reszta dyskusji przebiega analogicznie jak w przypadku grupy G, z t a wszelako istotn a różnic a, że tym razem opuszczamy wymóg odwracalności morfizmów. Dokonawszy powyższej może nieco dziwacznej na pierwszy rzut oka, ale też jak siȩ okaże nader pożytecznej formalizacji struktury grupy i wyróżnionego monoidu Map(X, X), możemy poddać analogicznemu zabiegowi strukturȩ realizacji R (tj. działania) grupy G na zbiorze X. Realizacja taka jest homomorfizmem monoidu definiowanego przez G (poprzez zapomnienie o odwracalności wszystkich elementów) w monoid 1 Map(X, X). W wypracowanym wcześniej jȩzyku, stwierdzamy wiȩc istnienie odwzorowania o składowych: obiektowej R Obj G Obj Map(X, X) X i morfizmowej (zwyczajowo oznaczanej tym samym symbolem) R Mor G Mor Map(X, X) g R(g) o własnościach (zapisanych w konwencji zgodnej z tym zwyczajem) oraz s Map(X,X) R = R s G, t Map(X,X) R = R t G R( h G g ) = R( h ) Map(X,X) R( g ), R Id G = Id Map(X,X) R. Na najniższym szczeblu hierarchii struktur algebraicznych stowarzyszonych z pojȩciem grupy i jej działania na wybranym zbiorze znajdujemy odwzorowania G-ekwiwariantne splataj ace realizacje R 1 i R 2, które w rozbudowanym tu formalizmie możemy (znów nieco na wyrost) przedstawić jako indeksowane przez zbiór Obj G rodziny morfizmów o składowych (tutaj w liczbie 1) η Obj G Mor Map(X, X) η η R 1 ( ) R 2 ( ), na które został nałożony definiuj acy warunek G-ekwiwariantności g Mor G η t( g ) R 1 ( g ) = R 2 ( g ) η s( g ). Sformułowany przez nas schemat opisu struktur grupy i zbioru z jej działaniem poddaje siȩ nastȩpuj acym istotnym i przez to interesuj acym ogólnieniom: Dopuszczenie dowolnej liczby obiektów we wcześniejszym opisie grupy (co prowadzi do wyodrȩbnienia podzbioru właściwego par morfizmów składalnych w kwadracie kartezjańskim zbioru morfizmów) przy zachowaniu odwracalności wszystkich morfizmów daje grupoid. 1 Obraz G leży w grupie symetrycznej SX, jednak to uściślenie pozbawiłoby nasze rozumowanie nieodzownej ogólności. 2

Rezygnacja z odwracalności morfizmów (czyli cofniȩcie siȩ do poziomu monoidu) prowadzi do ogólnej małej kategorii. Jeśli dodatkowo dopuścić tȩ ewentualność, że obiekty lub morfizmy nie tworz a zbioru, lecz klasȩ właściw a (tj. mnogość nie bȩd ac a zbiorem a określan a przez wspóln a cechȩ elementów, jak np. klasa wszystkich zbiorów określana przez cechȩ bycie zbiorem ), to mamy do czynienia także z dużymi kategoriami, przy czym wyróżniamy takie, u których klasy morfizmów s a zbiorami, nazywaj ac je lokalnie małymi. Odwzorowanie miȩdzy kategoriami spełniaj ace warunki wypisane dla realizacji grupy to funktor kowariantny F C 1 C 2. Jeśli warunki te zast apimy układem s 2 F = F t 1, t 2 F = F s 1, F (χ 2 1 χ 1 ) = F (χ 1 ) 2 F (χ 2 ), F Id 1 = Id 2 F, to otrzymamy definicjȩ funktora kontrawariantnego. Ilekroć składowa morfizmowa funktora jest injekcj a w ograniczeniu do każdej klasy Hom C1 (X, Y ), mówimy o funktorze wiernym, kiedy natomiast jej ograniczenia s a surjekcjami, funktor nazywamy pełnym. Przy spełnieniu obu warunków funktor określamy mianem w pełni wiernego. Szczególnymi i szczególnie ważnymi przykładami funktorów s a funktory Hom C dla ustalonej lokalnie małej kategorii C: kowariantny Hom C (X, ) C Set, określony dla dowolnego X Obj C, o składowej obiektowej i morfizmowej Hom C (X, ) Obj C Obj Set Y Hom C (X, Y ) Hom C (X, ) Mor C Mor Set ( Y oraz kontrawariantny χ Z ) ( Hom C (X, Y ) Hom C (X, Z) ) Hom C (, X) C Set, określony jak wyżej, o składowej obiektowej i morfizmowej Hom C (, X) Obj C Obj Set Y Hom C (Y, X) Hom C (, X) Mor C Mor Set ( Y χ Z ) ( Hom C (Z, X) Hom C (Y, X) ). χ χ (0.1) Wreszcie też rodzinȩ odwzorowań w rodzaju tych przypisanych splataczowi realizacji R 1 i R 2 nazywamy transformacj a naturaln a, a kiedy każdy z morfizmów składowych jest odwracalny, mówimy o izomorfizmie naturalnym (funktorów), b adź równoważności naturalnej. Warunek naturalności dla funktorów kowariantnych jest wiȩc postaci χ HomC1 (X,Y ) η Y 2 F (χ) = G(χ) 2 η X. W przypadku funktorów kontrawariantnych należy dokonać stosownej korekty relacji definicji transformacji naturalnej, kład ac χ HomC1 (X,Y ) η X 2 F (χ) = G(χ) 2 η Y. Elmentarnym, lecz istotnym wynikiem strukturalnym teorii grup, eksponuj acym pierwszorzȩdne znaczenie grup symetrycznych w tej teorii, jest Twierdzenie Cayleya, które orzeka, że każda grupa jest izomorficzna z pewn a podgrup a grupy symetrycznej S X pewnego zbioru X, czyli może być zrealizowana jako podzbiór zbioru bijekcji X w siebie, z ograniczonym doń składaniem odwzorowań w roli operacji binarnej (tj. działania grupowego). Dokonamy teraz transkrypcji klasycznego konstruktywnego dowodu tego twierdzenia w rozwijanym przez nas konsekwentnie formalizmie kategorialnym, co pozwoli wysłowić twierdzenie w sposób poddaj acy siȩ naturalnemu uogólnieniu. Takie uogólnienie bȩdzie nastȩpnie przedmiotem naszych dalszych dociekań. Przypomnijmy: we wspomnianym wyżej dowodzie jako zbiór X wybieramy sam a grupȩ G (innymi słowy, aplikujemy do niej funktor zapominania Grp Set z kategorii grup w kategoriȩ zbiorów), 3

wyróżniaj ac zarazem te spośród jej bijekcji w siebie, które pochodz a od lewego regularnego działania grupy na sobie, czyli rozważamy podzbiór l G X X (g, h) g h, Λ G = { l g g G } S X, jawnie izomorficzny (czyli bȩd acy w bijekcji) ze zbiorem G i zamkniȩty ze wzglȩdu na składanie odwzorowań, Λ G Λ G (l g2, l g1 ) l g2 l g1 l g2 g 1 Λ G, które realizuj a wiernie strukturȩ grupy, przez co należy rozumieć, że odwzorowanie l G S X g l g, indukowane przez l, jest monomorfizmem grup, wiȩc też (G,, Inv, e) (Λ G, Λ 2 G, Inv, l e ) (S X,, ( ) 1, id X ), przy czym wskazany tu obraz odwzorowania l jest podgrup a S X, o której mowa w tezie twierdzenia. Należy przy tym zauważyć, że wykorzystane tutaj działanie lewe regularne G na sobie jest przemienne z prawymi translacjami na G o dowolny element grupy, czyli z działaniem prawym regularnym czyli słuszne jest stwierdzenie (0.2) X G X (h, g) h g, g,h G l g h = h l g, bȩd ace konsekwencj a ł aczności działania grupowego. Warto podkreślić, że powyższa własność odwzorowań h Map(X, X) jest dla nich definiuj aca, tzn. każde odwzorowanie γ Map(X, X) przemienne z działaniem lewym regularnym jest praw a translacj a o pewien element grupy. W rzeczy samej, warunek implikuje równość która prowadzi do identyfikacji (0.3) g G l g γ = γ l g g G g γ(e) = γ(g e) γ(g), γ = γ(e). Okazuje siȩ, że cał a opisan a tu strukturȩ można zwiȩźle wysłowić, jak nastȩpuje: Morfizm l określa kontrawariantne funktorialne zanurzenie (czyli funktor w pełni wierny z) kategorii G, wprowadzonej wcześniej, w kategoriȩ Set G (kowariantnych) funktorów 2 z kategorii G w kategoriȩ Set zbiorów. W szczególności funktorialny obraz kategorii G w Set G, jakim jest pełna podkategoria Λ G, jest kanonicznie izomorficzny z wyjściow a kategori a G. Istotnie, odwzorowanie l stowarzysza z jedynym obiektem kategorii G kowariantny funktor Hom G o składowej obiektowej Hom G (, ) l G Set l Obj G Obj Set X( G) = Hom G (, ) i składowej morfizmowej l Mor G Mor Set g l g = Hom G (, g ), przy czym ostatnie przyporz adkowanie ma sens, gdyż l g Hom Set (l ( ).l ( )) Map(X, X). Funktorialność l sprowadza siȩ do stwierdzonych wcześniej strukturalnych własności odwzorowania l, tj. l (Id G ) = Id Set l ( ) l e = id X, l ( g 2 G g 1 ) = l ( g 2 ) Set l ( g 1 ) l g2 g 1 = l g2 l g1. Wreszcie też l pozwala przyporz adkować dowolnemu morfizmowi g Hom G (, )( Mor G) transformacjȩ naturaln a Hom G ( g, ) Hom G (t( g ), ) Hom G (s( g ), ), 2 Morfizmami w kategorii, której obiektami s a funktory pomiȩdzy dwiema ustalonymi kategoriami, s a transformacje naturalne pomiȩdzy owymi funktorami. 4

czyli indeksowan a przez Obj G = { } rodzinȩ morfizmów o jedynym elemencie Hom G ( o własności g, ) g Hom Set (Hom G (t( g ), ), Hom G (s( g ), )) Map(X, X) Hom G ( g, t( h )) Set Hom G (t( g ), h ) = Hom G (s( g ), h ) Set Hom G ( g, s( h )), zapisanej dla dowolnego h Mor G, a wyrażaj acej stwierdzon a uprzednio własność (0.2). Podkreślmy, że kontrawariantny charakter opisanego tu funktora G Set G niesie informacjȩ o prawym charakterze działania prawego regularnego grupy G na sobie, oto bowiem zapis Hom G ( g 2 G g 1, ) = Hom G ( g 1, ) Set G Hom G ( g 2, ) oznacza w istocie tożsamość g2 g 1 = g1 g2. Na koniec zauważmy, że jest to, zgodnie z wypowiedzian a wcześniej tez a, funktor w pełni wierny, albowiem dla jedynej pary obiektów jego dziedziny, (, ), zadawane przezeń przyporz adkowanie (podkreślenie pierwszego wolnego miejsca oznacza, że to właśnie miejsce przyjmuje argument z dziedziny) Hom G (, ) Hom G (, ) Hom Set G(Hom G (, ), Hom G (, )) jest omówion a wcześniej bijekcj a G Map(X, X) g g, patrz: (0.3). Dokonane tutaj abstrakcyjne przeformułowanie Twierdzenia Cayleya w jȩzyku teorii kategorii stawia nas przed oczywistym pytaniem: Czy twierdzenie to jest przejawem szczególnego statusu G pośród kategorii, czy też raczej jest ono emanacj a ogólniejszego prawa, któremu podlegaj a wszystkie kategorie lokalnie małe? (Wymóg lokalnej małości staje si w konieczności a, kiedy staramy siȩ odwzorować klasy morfizmów pomiȩdzy dowolnymi parami obiektów wyjściowej kategorii bijektywnie w klasy transformacji naturalnych miȩdzy funktorialnymi obrazami tychże obiektów.) Bardzo ogólnej odpowiedzi na tak postawione pytanie dostarcza Twierdzenie 0.1 (Lemat Yonedy). Niechaj C bȩdzie dowoln a kategori a lokalnie mał a, a X dowolnym jej obiektem i niech F C Set bȩdzie dowolnym funktorem kowariantnym 3. Wówczas istnieje kanoniczny izomorfizm (bijekcja) pomiȩdzy zbiorem Nat(Hom C (X, ), F ) transformacji naturalnych miȩdzy funktorami Hom C (X, ) i F a elementami zbioru F (X), Nat(Hom C (X, ), F ) F (X). Dowód. Punktem wyjścia do konstruktywnego dowodu istnienia bijekcji, o której mowa w treści twierdzenia, jest nastȩpuj aca obserwacja: Oto dowolna transformacja naturalna η Nat(Hom C (X, ), F ) jest w pełni określona przez element ξ η X = η X(Id C X) F (X) zbioru bȩd acego funktorialnym obrazem wyróżnionego obiektu X Obj C. W rzeczy samej, warunek (0.1) naturalności η implikuje tożsamość η Y (χ) η Y (χ Id C X) = (η Y Hom C (X, χ))(id C X) = (F (χ) η X )(Id C X) = F (χ)(ξ η X ), słuszn a dla dowolnego morfizmu χ Hom C (X, Y ) o pocz atku w dowolnym obiekcie Y Obj C, a pokazuj ac a dowodnie, że znajomość ξ η X pozwala wyznaczyć wszystkie elementy rodziny {η Y } Y Obj C. Odwzorowanie ξ X Nat(Hom C (X, ), F ) F (X) η ξ η X to właśnie szukana bijekcja. Ażeby siȩ o tym przekonać, wystarczy wskazać odwzorowanie odwrotne. Zdefiniujmy odwzorowanie wzorem η F (X) Nat(Hom C (X, ), F ) ξ η ξ η ξ Y (χ) = F (χ)(ξ). 3 Istnieje także wersja kontrawariantna Lematu Yonedy, któr a Czytelnik bez trudu wymyśli sam. 5

Podana definicja ma sens, gdyż dla dowolnego morfizmu ψ Hom C (Y, Z) zachodzi (η ξ Z Set Hom C (X, ψ))(χ) = η ξ Z (ψ C χ) = F (ψ C χ)(ξ) = (F (ψ) Set F (χ))(ξ) = F (ψ)(f (χ)(ξ)) = (F (ψ) Set η ξ Y )(χ), czyli w istocie η ξ jest transformacj a naturaln a miȩdzy Hom C (X, ) a F. Pokażemy, że η jest poszukiwan a odwrotności a odwzorowania ξx. W tym celu wyznaczamy transformacjȩ naturaln a przyporz adkowan a przez η elementowi ξ η X, uzyskuj ac poż adany wynik η ξη X Y (χ) = F (χ)(ξη X ) = η Y (χ), η ξη X Y = η Y, a nastȩpnie wskazujemy element zbioru F (X) bȩd acy obrazem transformacji naturalnej η ξ odwzorowania ξx, wzglȩdem ξ ηξ X = ηξ X (IdC X) = F (Id C X)(ξ) = Id Set F (X)(ξ) id F (X) (ξ) = ξ, co kończy dowód postulowanej relacji miȩdzy η i ξx, a tym samym także dowód twierdzenia. Bezpośredniego uogólnienia teoriogrupowego Twierdzenia Cayleya dostarcza poniższe elementarne corollarium Lematu Yonedy. Stwierdzenie 0.2 (Zanurzenie Yonedy). W oznaczeniach Twierdzenia 0.1 kontrawariantny funktor Hom C (, ) C Set C jest w pełni wierny, przeto określa zanurzenie kategorii C w kategorii Set C, którego obrazem jest pełna podkategoria tej ostatniej o zbiorze obiektów { Hom C (X, ) X Obj C }, izomorficzna z kategori a C. Dowód. Odnosz ac tezȩ Lematu Yonedy do funktora F = Hom C (Y, ), stwierdzamy istnienie bijekcji Hom C (, ) Hom C (Y, X) Nat(Hom C (X, ), Hom C (Y, )) χ Hom C (χ, ), co oznacza właśnie, że funktor Hom C (, ) jest w pełni wierny. Tym samym kontrawariantny funktor o składowej obiektowej i morfizmowej Hom C (, ) C Set C, Hom C (, ) Obj C Obj Set C X Hom C (X, ) Hom C (χ, ) Hom C (, ) Mor C Mor Set C ( X χ Y ) ( Hom C (Y, ) Hom C (X, ) ) zadaje zanurzenie kategorii C w kategorii funktorów Set C, zwane zanurzeniem Yonedy. Lematu Yonedy i wynikaj acego zeń stwierdzenie o zanurzeniu stanowi a doskonał a ilustracjȩ najgłȩbszej idei, jaka tkwi u podstaw teorii kategorii, sformułowanej nie bez kozery w pierwszej połowie XX w. 4, tj. w czasach fenomenalnej eksplozji myślenia abstrakcyjnego w naukach przyrodnicznych na wszystkich skalach dostȩpnych poznaniu od skali atomowej po skalȩ kosmiczn a. Ich zawartość filozoficzna powinna być bliska sercu i umysłowi każdego fizyka, oto bowiem jedynym dostȩpnym nam sposobem empirycznego poznania elementarnych składników materii s a obserwacje ich oddziaływań z innymi składnikami materii. Najbardziej bodaj zwiȩzłej i obrazowej wulgaryzacji socjologicznej tych twierdzeń dostarcza stare rosyjskie (?) powiedzenie Powiedz mi, kto jest twoim przyjacielem, a powiem ci, kim jesteś. R.R.S.: Katedra Metod Matematycznych Fizyki, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, ul. Pasteura 5, PL-02-093 Warszawa, Poland Adres mejlowy: suszek@fuw.edu.pl 4 Za twórców teorii kategorii uznaje siȩ Samuela Eilenberga i Saundersa MacLane a. Ten pierwszy był jednym z najwybitniejszych przedstawicieli (przedwojennej) warszawskiej szkoły matematycznej, w której wedle przekazu innego wybitnego polskiego matematyka, Stanisława Ulama idee rozwiniȩte przez niego po wojnie we współpracy z MacLane em kiełkowały już w dwudziestoleciu miȩdzywojennym. 6