ZASTOSOWANIE PROGRAOWANIA DYNAICZNEGO DO OPRACOWANIA STRATEGII REDUKCJI EISJI GAZÓW ANDRZEJ KAŁUSZKO Instytut Bada Systemowych Streszczene W pracy opsano zadane efektywnego przydzału ogranczonych rodków fnansowych przeznaczonych na redukcj emsj zaneczyszcze gazowych w ródłach tej emsj. Celem jest mnmalzacja funkcj strat rodowskowych, zwzanych z emsj w okrelonym okrese. Redukcja emsj w ródle jest dokonywana przez wprowadzene do tego ródła jednej z dostpnych technolog redukcj emsj, charakteryzujcych s kosztam nwestycyjnym kosztam operacyjnym (eksploatacyjnym). Do rozwzana zadana zaproponowano metod programowana dynamcznego. Słowa kluczowe: emsja zaneczyszcze, redukcja emsj, programowane dynamczne. Wstp W pracy jest rozwaany problem opracowana strateg redukcj emsj gazów do atmosfery. W pewnym regone jest połoonych N zakładów produkcyjnych ródeł emsj zaneczyszcze gazowych. Kady z zakładów jest scharakteryzowany przez welko produkcj welko emsj zaneczyszcze do atmosfery. Zakładamy, e welko emsj w kadym zakładze jest proporcjonalna do welkoc produkcj. Wprowadzamy nastpujce oznaczena: P welko produkcj -tego zakładu, =,,, N, E welko emsj zaneczyszcze -tego zakładu. Produkcja P emsja E s powzane przez współczynnk A w nastpujcy sposób: E = A * P () Oznacza to, e welko emsj ze ródła ne jest zwzana wyłczne z welkoc produkcj, ale take z jej rodzajem. Emsja kadego zakładu moe zosta zmnejszona przez zastosowane jednej z technolog redukcj emsj. Zakładamy, e do zakładu mona wprowadz tylko jedn technolog w tym samym czase. Wprowadzene technolog do zakładu pocga za sob koszty nwestycyjne koszty operacyjne (eksploatacyjne). Koszty nwestycyjne s ponoszone jednorazowo, koszty operacyjne s ponoszone przez cały czas stosowana technolog. Wprowadzamy nastpujce oznaczena: j f -- jednostkowe (lczone na jednostk produkcj) koszty nwestycyjne, zwzane wprowadzenem technolog j do zakładu koszty jednorazowe, f -- jednostkowe (lczone na jednostk produkcj) koszty operacyjne, zwzane wprowadzenem j technolog j do zakładu koszty ponoszone w jednostce czasu (np. roku).
Andrzej Kałuszko 69 Zastosowane programowana dynamcznego do opracowana strateg redukcj emsj gazów Całkowte koszty nwestycyjne s opsane wzorem: P () f j za całkowte koszty operacyjne (ponoszone w kadej jednostce czasu) wzorem P f j Kada technologa redukcj emsj jest scharakteryzowana przez jej efektywno e j, tj. stope w jakm redukuje emsj. Zakładamy, e efektywno kadej dostpnej technolog jest jednakowa dla kadego zakładu, w którym jest stosowana. ona zatem napsa: j 0 E = E ( e ) () lub j j E = P A e ) (3) ( j gdze E jest welkoc pocztkowej emsj ze ródła (bez redukcj emsj), 0 j E jest welkoc emsj ze ródła po wprowadzenu technolog j redukcj emsj.. Ops zadana Rozwamy teraz nastpujce zadane. W zadanym okrese T, złoonym z pewnej lczby jednakowych przedzałów (np. rocznych) mamy do dyspozycj fundusze przeznaczone na redukcj emsj w rozpatrywanych Nródłach. Fundusze maj t sam warto w kadym przedzale mog by przeznaczone na pokryce kosztów nwestycyjnych operacyjnych wprowadzena technolog redukcj emsj w ródłach. Stosujemy tu nastpujce oznaczena: t =,,, T numer przedzału czasowego, C t fundusze do dyspozycj w przedzale t, przy czym C = C = = C T. Zadane polega na optymalnym rozdysponowanu dostpnych funduszy, tzn. tak przydzał technolog redukcj do ródeł emsj, by sumaryczna emsja z Nródeł w okrese T była mnmalna. Przykładowe molwe rozkłady czasowe kosztów nwestycyjnych operacyjnych technolog redukcj s pokazane na rys. rys.. Rysunek 3 przedstawa podany rozkład w czase kosztów nwestycyjnych operacyjnych dla wszystkch rozpatrywanych ródeł.
70 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa aterały, nr 0, 007 Rysunek. Rozkład czasowy kosztów nwestycyjnych operacyjnych dla przykładowego ródła. Rysunek. Rozkład czasowy kosztów nwestycyjnych operacyjnych dla przykładowego ródła.
Andrzej Kałuszko 7 Zastosowane programowana dynamcznego do opracowana strateg redukcj emsj gazów Rysunek 3. Przykładowy rozkład czasowy kosztów nwestycyjnych operacyjnych dla welu ródeł. W dalszym cgu wprowadzmy dwe zmenne bnarne, zdefnowane nastpujco.. {0, } =, w przypadku, jel w przedzale t jest eksploatowana technologa j w ródle, = 0, w przypadku przecwnym. Zmenne j = musz spełna ogranczene: =, dla =,,, N, t =,,, T (4). y {0, } y =, w przypadku, jel w przedzale t s ponoszone koszty nwestycyjne, zwzane z wprowadzenem technolog j w ródle, y =0, w przypadku przecwnym. Zmenne j = y musz spełna ogranczene: y =, dla =,,, N, t =,,, T (5) Przykładowe rozkłady czasowe wartoc zmennych y s pokazane na rys. 4 5.
7 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa aterały, nr 0, 007 Rysunek 4. Rozkład czasowy zmennej y. Na podstawe defncj zmennych Rysunek 5. Rozkład czasowy zmennej. y spełnone jest ogranczene y, dla =,,, N, j =,,,,, t =,,, T (6) + Oznacza to, e ne jest molwe jednoczesne nwestowane eksploatacja. Koszty nwestycyjne dla ródła w całym okrese T s podane przez wzór: T t= gdze y f P (7)
Andrzej Kałuszko 73 Zastosowane programowana dynamcznego do opracowana strateg redukcj emsj gazów f - cz kosztów nwestycyjnych, zwzanych z wprowadzenem technolog j do ródła, przypadajca na przedzał t. Koszty nwestycyjne, zwzane technolog j w ródle w przedzale t s podane przez wzór: y f P (8) Koszty operacyjne technolog j dla ródła w przedzale t s podane przez wzór: gdze f = f j f P (9) Koszty operacyjne dla wszystkch ródeł w przedzale t podaje wzór: N = f P (0) Koszty nwestycyjne dla wszystkch ródeł w przedzale t podaje wzór: N = y f P () Suma kosztów operacyjnych nwestycyjnych dla wszystkch ródeł w przedzale t mus by ne wksza od ogranczena C t. N = ( f + y f ) P C t =,,..., T () t. ona teraz zapsa omawane zadane jako mnmalzacj nastpujcej funkcj zmennych T t= N = P A ( e ) (3) przy ogranczenach zapsanych powyej. 3. Zastosowane programowana dynamcznego j Opsane powyej zadane, nawet dla prostych przypadków praktycznych, ma bardzo du lczb zmennych bnarnych z tego powodu jego analtyczne rozwzane ne jest molwe. Pozostaj metody przyblone. W dalszym cgu zostane przedstawone zastosowane programowana dynamcznego do rozwzana postawonego zadana. Z punktu wdzena ograncze kosztowych mamy do czynena z jednym rodzajem zasobów perwotnym. Z punktu wdzena wprowadzana technolog mamy do czynena z zasobam
74 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa aterały, nr 0, 007 wtórnym dwóch rodzajów: przeznaczonym na nwestycje przeznaczonym na eksploatacj. Na potrzeby zastosowana programowana dynamcznego dostpne zasoby dyskretyzujemy w tak sposób, jak pokazany na rys. 6. Dyskretyzacja zasobów wzgldem os czasu jest naturalna, ponewa tak s zdefnowane zasoby. Dyskretyzacja zasobów wzgldem os wartoc jest arbtralna dostosowana do molwoc oblczenowych. Rysunek 6. Dyskretyzacja zasobów W dalszym cgu proponujemy cztery molwe schematy rozwzana zadana przy uycu programowana dynamcznego. S one przedstawone ponej. Schemat nr. Zakładamy, e dysponujemy tylko jednym, nowym rodzajem zasobu, utworzonego sztuczne. Jest on zdefnowany w ten sposób, e dotyczy jednakowej wartoc zasobu perwotnego dla całego rozpatrywanego okresu T. Na rys. 7 zaznaczono jednostk nowego zasobu. Rysunek 7. Jednostka zasobu (zacemnone pola) w schemace nr Przy takm zdefnowanu zasobu zadane perwotne jest sprowadzone do jednowymarowego zadana programowana dynamcznego. Zgodne z zasad programowana dynamcznego, w kolej-
Andrzej Kałuszko 75 Zastosowane programowana dynamcznego do opracowana strateg redukcj emsj gazów nych krokach przydzelamy odpowedne welkoc zasobu do kolejnych zmennych (w tym przypadku ródeł emsj). Po przydzelenu zasobu do zmennej wyberamy najkorzystnejszy (maksymalne redukujcy emsj z tego ródła) warant nwestowana, tzn. technolog tym samym moment jej rozpoczca dzałana. Wad tego schematu jest to, e uzyskane rozwzane moe by nskej jakoc z powodu nepełnego wykorzystana zasobów. Tak przykład jest pokazany na rys. 8. Powodem tego jest sztywny przydzał porcj zasobów do kadego ze ródeł osobno. Rysunek 8. Rozkład czasowy kosztów nwestycyjnych eksploatacyjnych dla dwóch przykładowych ródeł schemat nr Schemat nr. Schemat nr jest ulepszon wersj schematu nr, w którym odstpujemy od sztywnego rozdzału zasobów na ródła. Przy przydzale zasobów do kolejnego ródła uwzgldnamy zasoby newykorzystane przez poprzedno rozpatrywane ródła. Powoduje to pełnejsze wykorzystane zasobów tym samym uzyskane lepszego rozwzana. Dla przypadku pokazanego na rys. 8 zmana polega na przydzale dodatkowych zasobów newykorzystanych przez ródło nr do ródła nr. W schemace nr lepsze rozwzane jest uzyskwane kosztem wydłuena czasu oblcze. Przykład lepszego rozwzana n uzyskane w schemace nr jest pokazany na rys. 9.
76 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa aterały, nr 0, 007 Rysunek 9. Rozkład czasowy kosztów nwestycyjnych eksploatacyjnych dla dwóch przykładowych ródeł schemat nr Schemat nr 3 Zakładamy, e dysponujemy tylko jednym rodzajem zasobu, który moe by przeznaczony na koszty nwestycyjne koszty eksploatacyjne w dowolnym przedzale czasowym. Na rys. 0 zaznaczono jednostk tego zasobu. Rysunek 0. Jednostka zasobu (zacemnone pola) w schemace nr 3 Przy takm zdefnowanu zasobu mamy do czynena z jednowymarowym zadanem programowana dynamcznego. Podobne jak w schemace nr, w kolejnych krokach przydzelamy odpo-
Andrzej Kałuszko 77 Zastosowane programowana dynamcznego do opracowana strateg redukcj emsj gazów wedne welkoc zasobu do kolejnych ródeł wyberamy najlepsz technolog dla danego pozomu zasobów. Wad schematu nr 3 jest to, e uzyskane rozwzane moe by nedopuszczalne z powodu przekroczena zuyca zasobów w którym z przedzałów. Przykład takego rozwzana jest pokazany na rys.. Rysunek. Rozkład czasowy kosztów nwestycyjnych eksploatacyjnych dla dwóch przykładowych ródeł schemat nr 3 Słab stron tego schematu jest te dua złoono oblczenowa, ze wzgldu na rozpatrywane duej lczby jednostek zasobu. Schemat nr 4 W tym przypadku zakładamy, e mamy dwa rodzaje zasobów: jeden zdefnowany tak jak w schemace nr 3, drug zwzany z zasobam na eksploatacj. Take załoene powoduje, e rozwzujemy zadane programowana dynamcznego dla dwóch rodzajów zasobów, co znaczne powksza złoto oblczenow schematu w porównanu do schematu nr 3. Pozwala to jednak na unknce takch rozwza, jak pokazane na rys.. Schemat ne gwarantuje uzyskana rozwzana dopuszczalnego. Rozwzane moe by takego typu jak pokazane na rys.. W tym przypadku s spełnone ogranczena na koszty całkowte oraz na koszty eksploatacj w kadym przedzale, ale rozwzane ne jest dopuszczalne.
78 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Sera: Studa aterały, nr 0, 007 Rysunek. Rozkład czasowy kosztów nwestycyjnych eksploatacyjnych dla dwóch przykładowych ródeł schemat nr 4 Numer schematu ródło: badana własne Tabela. Porównane schematów oblczenowych. Czy zawsze wyznacza rozwzane dopuszczalne? Złoono oblczenowa TAK mała TAK redna 3 NIE dua 4 NIE bardzo dua W tabel nr przedstawono porównane opsanych powyej schematów oblczenowych. Dwa perwsze zapewnaj uzyskane rozwzana dopuszczalnego, dwa ostane ne. Na podstawe charakterystyk 4 schematów oblczenowych mona zaproponowa nastpujc procedur oblczenow. Oblczena rozpoczynamy od schematu nr 3. Jeel uzyskane rozwzane jest dopuszczalne, koczymy oblczena. W przypadku przecwnym stosujemy schemat nr 4. W przypadku uzyskana rozwzana dopuszczalnego, koczymy oblczena, podobne jak przy poprzednm schemace. Jeel otrzymane rozwzane ne jest dopuszczalne, traktujemy je jako oszacowane rozwza wylczonych przez schematy nr nr. W dalszym cgu uywamy schematu nr. Jeel otrzymane rozwzane jest zadowalajce, tzn. funkcja celu jest gorsza od oszacowana w stopnu przez nas akceptowanym, koczymy oblczena. W przypadku otrzymana rozwzana odbegajcego od wartoc akceptowanej, posługujemy s schematem nr.
Andrzej Kałuszko 79 Zastosowane programowana dynamcznego do opracowana strateg redukcj emsj gazów Bblografa. Bellman R.E., Dreyfus S E. (96) Appled Dynamc Programmng. Prnceton Unversty Press.. Kałuszko A., P. Holnck (005) nmzng costs of emsson reducton a dynamc programmng approach, w Applcatons of nformatcs n envronment, engneerng and medcne, Instytut Bada Systemowych PAN. 3. Kałuszko A. (006) The optmal strategy of emsson reducton a dynamc formulaton. Albrecht Gnauck: odellerung und Smulaton von Okosystemem, Shaker Verlag, 006. APPLICATION OF THE DYNAIC PROGRAING TO DEVELOPING THE STRATEGY OF GAS EISSIONS ABATEENT. Summary The paper deals wth the problem of the effcent assgnment of lmted fnancal means to the set of gas emssons sources n order to mnmze the functon reflectng envronmental losses n a gven perod. The emsson abatement n a source s done by mplementng one of the emsson reducton technologes. Each technology s characterzed by both the nvestment cost and the operaton cost. The dynamc programmng s proposed as a tool for solvng the problem. Keywords: polluton emsson, emsson abatement, dynamc programmng. Andrzej Kałuszko Instytut Bada Systemowych PAN ul. Newelska 6, 0-447 Warszawa kaluszko@bspan.waw.pl