FORMALIZACJA SUBIEKTYWNEJ NIEPEWNOŚCI

LOGITRANS - VII KONFERENCJA NAUKOWO-TECHNICZNA LOGISTYKA SYSTEMY TRANSPORTOWE BEZPIECZEŃSTWO W TRANSPORCIE Arkadiusz BARCZAK 1 niepewność subiektywna nieprecyzyjne prawdopodobieństwo zbiory losowe dystrybucja moŝliwości prawdopodobieństwo interwałowe FORMALIZACJA SUBIEKTYWNEJ NIEPEWNOŚCI W wielu sytuacjach decyzyjnych dominuje niepewność określana jako niepewność subiektywna uniemoŝliwiająca wykorzystanie metod klasycznej teorii rachunku prawdopodobieństwa. Stąd konieczność zastosowania do wnioskowania metod formalizacji niepewności subiektywnej. W artykule przedstawiono istotę wybranych metod formalizacji niepewności subiektywnej wskazując na moŝliwości ich praktycznego wykorzystania. Zaprezentowano przykład zastosowania metody nieprecyzyjnego prawdopodobieństwa (metoda Dempstera-Shafera) do syntezy wnioskowania na podstawie opinii ekspertów. EPISTEMIC UNCERTAINTY FORMALIZATION In many decision making situations the epistemic uncertainty plays the significant role which excludes the possibility of the usage of the classical probabilistic theorem. This kind of problems necessitate the formal representation of models of the epistemic uncertainty. In this paper several methods used in solving epistemic uncertainty problems are presented. Also the practical example which makes use of the Dempster-Shafer theorem in synthesis inferences of experts opinions is shown. 1. WSTĘP Ryzyko bezpieczeństwo sukces podejmowanie decyzji związane są z niepewnością. W wielu sytuacjach decyzyjnych dominuje niepewność określana jako niepewność subiektywna (na przykład niekompletna wiedza) dlatego wnioskowanie z wykorzystaniem metod klasycznej teorii rachunku prawdopodobieństwa nie jest moŝliwe. Stąd konieczność zastosowania do wnioskowania metod umoŝliwiających formalizację niepewności subiektywnej (epistemic uncertainty). Odpowiednia interpretacja pojęcia niepewność w procesach projektowania i eksploatacji złoŝonych systemów jest szczególnie istotna. Wprowadzono pojęcie niepewności obiektywnej (aleatory uncertainty) związanej z losowym charakterem badanego procesu opisywanej pojęciami z klasycznej teorii prawdopodobieństwa oraz pojęcie niepewności subiektywnej (epistemic uncertainty) związanej z niepewną wiedzą 1 Politechnika Poznańska Instytut Silników Spalinowych i Transportu arkadiusz.barczak@put.poznan.pl

488 Arkadiusz BARCZAK oraz niepełną informacją [1-7]. Schemat klasyfikacji niepewności w odniesieniu do badania złoŝonych systemów przedstawiono na Rys. 1. Rys.1. Schemat klasyfikacji niepewności w odniesieniu do badania złoŝonych systemów Powszechnie stosowana metoda wnioskowania z wykorzystaniem klasycznej teorii prawdopodobieństwa traci swoją skuteczność w przypadkach gdy informacja jest niepełna nieprecyzyjna oraz niepewna a zatem w przypadkach gdy w procesie wnioskowania pojawia się niepewność subiektywna. Uogólnioną teorię wnioskowania przy subiektywnej niepewności przedstawiono w [6]. Teoria ta (coherent lower previsions) stanowiła podstawę dla opracowania analitycznych metod: metoda zbiorów losowych (random sets) [36] metoda prawdopodobieństwa interwałowego (probability intervals) [26] oraz metoda dystrybucji moŝliwości (possibility distributions) [356]. Metody te określane jako metody nieprecyzyjnego prawdopodobieństwa (imprecise probability) umoŝliwiają rozwiązywanie rzeczywistych zagadnień w warunkach niepewności subiektywnej.

FORMALIZACJA SUBIEKTYWNEJ NIEPEWNOŚCI 489 W artykule przedstawiono przykład zastosowania metody nieprecyzyjnego prawdopodobieństwa (metoda Dempstera-Shafera) do syntezy wnioskowania na podstawie opinii ekspertów. 2. METODY NIEPRECYZYJNEGO PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna przestrzeń prawdopodobieństwa opisana jest miarą addytywną. Nieklasyczną (nieprecyzyjną) przestrzeń prawdopodobieństwa charakteryzują miary podaddytywne (subadditivity) oraz nadaddytywne (super-additivity) [6]. Niepewność sformalizowana nieprecyzyjnym prawdopodobieństwem jest reprezentowana rodziną rozkładów prawdopodobieństwa zdefiniowaną na skończonym zbiorze X = {x 1 x 2 x n }. Wprowadzone zostały dolne ograniczenie prawdopodobieństwa ( A) zdefiniowane w postaci: P oraz górne ograniczenie prawdopodobieństwa P ( A) P ( A) P( A) P = inf (1) P ( A) P( A) = sup (2) P gdzie: A X Przy wprowadzonych ograniczeniach rodzina przyjmuje postać: rozkładów prawdopodobieństwa PP { P A X P( A) P( A) P( A) } P P = W ogólnym przypadku. Rozwiązywanie rzeczywistych zagadnień za PP pomocą modelu przyjętego w takiej postaci jest złoŝone. W artykule przedstawiono wybrane praktyczne metody wnioskowania w warunkach niepewności subiektywnej. 2.1 Metoda zbiorów losowych [67] Formalnie zbiór losowy (random sets) jest odwzorowaniem z przestrzeni probabilistycznej do zbioru potęgowego Γ = 2 X. Odwzorowanie to indukuje ograniczenia górne i dolne prawdopodobieństwa na zbiorze X. Dla zbioru ciągłego przestrzeń probabilistyczna jest wyposaŝona w miarę Labesgue'a a odwzorowanie jest odwzorowaniem z punktu na przedział. W przypadku zbioru skończonego ograniczenie dolne i górne prawdopodobieństwa określane są odpowiednio miarą przekonania (belief) oraz miarą moŝliwości (plausibility). (3)

490 Arkadiusz BARCZAK Alternatywną uŝyteczną reprezentacją zbiorów losowych jest znormalizowany rozkład dodatnich mas m na zbiorze potęgowym gdzie: E X ( E) = 1 m (4) m(ø) = 0 (5) gdzie: E A Zbiór E któremu przypisana jest wartość dodatnia masy określany jest jako focal. Funkcje przekonania (belief) oraz moŝliwości (plausibility) są zdefiniowane następująco: Zbiór ( A) m( E) Bel = E E A (6) ( A) Bel( A c ) = m( E) Pl = E E A 1 (7) { P A X Bel( A) P( A) Pl( A) } Bel = (8) jest rodziną rozkładów prawdopodobieństwa zdefiniowaną za pomocą miary przekonania. X ChociaŜ 2 wartości jest niezbędnych do pełnego zdefiniowania uogólnionego zbioru losowego to fakt Ŝe moŝe on być interpretowany jako rozkłady prawdopodobieństwa na podzbiorach X umoŝliwia przeprowadzenie symulacji za pomocą procesu próbkowania (sampling process). 2.2 Metoda dystrybucji moŝliwości [56] Dystrybucja moŝliwości (possibility distribution) π jest odwzorowaniem ze zbioru X do przedziału jednostkowego tak aby π(x) = 1 dla wybranych x X. Z formalnego punktu widzenia dystrybucja moŝliwości odpowiada funkcji przynaleŝności w teorii zbiorów rozmytych. Dla odwzorowania dystrybucji moŝliwości π zdefiniowano miarę zdolności (possibility): ( A) = π ( x) Π sup x A (9) miarę konieczności (necessity): ( A) = Π( A c ) Ν 1 (10) oraz miarę wystarczalności (sufficiency):

FORMALIZACJA SUBIEKTYWNEJ NIEPEWNOŚCI 491 ( A) = π ( x) inf x A (11) Miara zdolności (possibility) określa stopnia moŝliwości wystąpienia zdarzenia czyli jest zgodna z moŝliwym stanem miara konieczności (necessity) określa na ile zdarzenie jest pewne Ŝe wystąpi a miara wystarczalności (sufficiency) określa na ile moŝliwe są wszystkie zestawy zdarzeń zawierające w sobie dane zdarzenie A. Miara zdolności (possibility) moŝe być interpretowana jako górna granica prawdopodobieństwa. Zbiór: { P A X Ν( A) P( A) Π( A) } π = (12) jest rodziną rozkładów prawdopodobieństwa zdefiniowaną za pomocą miary dystrybucji moŝliwości π. Z praktycznego punktu widzenia dystrybucja moŝliwości jest najprostszą reprezentacją nieprecyzyjnego prawdopodobieństwa. 2.3 Metoda prawdopodobieństwa interwałowego [26] Prawdopodobieństwo interwałowe (probability interval) jest zdefiniowane za pomocą ograniczeń dolnego i górnego prawdopodobieństwa dla pojedynczego elementu x i. Wartości ograniczeń traktowane są jako zbiór interwałów L = { l i u i } gdzie i = 1 n definiujących rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa: { P l p( x ) u x X} L = i i i i (13) Dla danych interwałów L ograniczenia górne P ( A) i dolne ( A) są obliczane za pomocą następujących wyraŝeń: ( A) ( l u ) P prawdopodobieństwa P = max x A i 1 i xi A i (14) ( A) ( u l ) P = min x A i 1 i xi A i (15) 3. TEORIA ZBIORÓW LOSOWYCH W SYNTEZIE WNIOSKOWANIA Metoda Dempstera-Shafera [67] opisana jest za pomocą teorii zbiorów losowych. Przestrzeń w teorii Dempstera-Shafera definiowana jest jako trójka uporządkowana: < Ω F m > (16) gdzie: Ω przestrzeń zdarzeń elementarnych F podzbiór zbioru potęgowego 2 Ω m funkcja alokacji masy zdefiniowana w postaci m: 2 Ω [01]

492 Arkadiusz BARCZAK Funkcję przekonania (belief) zdefiniowano jako: ( U ) = m( V ) Bel (17) V U gdzie: U V F a funkcję moŝliwości (plausibility) jako: ( U ) = m( V ) Pl (18) V U Metoda Dempstera-Shafera umoŝliwia wyznaczanie syntetycznych ocen w postaci łącznych rozkładów masy na podstawie ocen jednostkowych transformowanych według zaleŝności: I II m ( U ) I m 1 V V = U = 1 2 1 K ( ) II V m ( V ) 2 dla U (19) ( ) = 0 m I II (20) I gdzie: ( ) II K = m V m ( V ) V1 V2 = 1 2 Zastosowanie metody Dempstera-Shafera w syntezie wnioskowania przedstawiono na przykładzie ocen trzech niezaleŝnych zdarzeń (W O oraz Z) z których kaŝdy reprezentowany jest przez czteroelementowy zbiór stanów (a i b i c i oraz d i gdzie i = W O Z). Oceny przeprowadzone zostały przez trzech niezaleŝnych ekspertów (I II oraz III). Zbiór zdarzeń elementarnych dla zdarzenia W ma postać Ω W = {a W b W c W d W } gdzie: a W bardzo mało prawdopodobne b W mało prawdopodobne c W dość prawdopodobne d W bardzo prawdopodobne. Zbiór zdarzeń elementarnych dla zdarzenia O ma postać Ω O = {a O b O c O d O } gdzie: a O dość prawdopodobne b O mało prawdopodobne c O bardzo mało prawdopodobne d O nieprawdopodobne. Zbiór zdarzeń elementarnych dla zdarzenia Z ma postać Ω Z = {a Z b Z c Z d Z } gdzie: a Z słabo odczuwalne b Z odczuwalne c Z silnie odczuwalne d Z krytyczne.

FORMALIZACJA SUBIEKTYWNEJ NIEPEWNOŚCI 493 Eksperci oceniający zdarzenia przyjęli funkcje alokacji dla zdarzenia W: { aw } 02 { aw bw } 01 { bw } 04 I { } { a b = } 05 m W W II { b } 04 W m = W III { b c d } 02 aw bw cw 03 W m = W W W { b c } 05 W W W { c } 04 W dw dla pozostałych 0 dla zdarzenia O: { ao} 01 { bo co do} 02 { bo co} 03 I { a b } 02 m = O O II { b d } 04 O m = O O III { c } 03 { b c } 07 O m = O O O { c d } 04 O O O { c } O do 04 dla pozostałych 0 a dla zdarzenia Z: { az } 02 { az cz dz } 02 { az cz } 07 I { a b c } 03 m = Z Z Z II { b c } 04 Z m = Z Z III { a d } 02 { b c d } 05 Z m = Z Z Z Z Z { b d } 04 Z Z Z { b } 01 Z dla pozostałych 0. Wyznaczone wartości funkcji przekonania (belief) i moŝliwości (plausibility) dla zdarzenia W przedstawiono w Tab. 1 dla zdarzenia O w Tab. 2 oraz dla zdarzenia Z w Tab. 3. Tab. 1. Wartości funkcji przekonania (belief) i moŝliwości (plausibility) dla zdarzenia W I II III Bel Pl Bel Pl Bel Pl Ø 00 00 00 00 00 00 {a W } 02 10 00 01 00 00 {b W } 00 08 04 10 04 06 {c W } 00 03 00 05 00 06 {d W } 00 00 00 00 00 06 {a W b W } 07 10 05 05 04 04 {a W c W } 02 05 00 00 00 00 {a W d W } 02 02 00 00 00 00 {b W c W } 00 03 09 09 04 06 {b W d W } 00 00 04 04 04 06 {c W d W } 00 00 00 00 04 06

494 Arkadiusz BARCZAK Tab. 2. Wartości funkcji przekonania (belief) i moŝliwości (plausibility) dla zdarzenia O I II III Bel Pl Bel Pl Bel Pl Ø 00 00 00 00 00 00 {a O } 01 03 00 00 00 00 {b O } 00 09 00 06 00 03 {c O } 00 07 00 06 03 10 {d O } 00 00 00 10 00 04 {a O b O } 03 03 00 00 00 00 {a O c O } 01 01 00 00 03 03 {a O d O } 01 01 00 00 00 00 {b O c O } 07 07 00 02 06 06 {b O d O } 00 00 04 06 00 00 {c O d O } 00 00 04 06 07 07 Tab. 3. Wartości funkcji przekonania (belief) i moŝliwości (plausibility) dla zdarzenia Z I II III Bel Pl Bel Pl Bel Pl Ø 00 00 00 00 00 00 {a Z } 02 05 00 02 00 09 {b Z } 00 08 00 08 01 01 {c Z } 00 08 00 06 00 07 {d Z } 00 05 00 06 00 02 {a Z b Z } 02 05 00 00 01 01 {a Z c Z } 02 05 00 02 07 07 {a Z d Z } 02 02 00 02 02 02 {b Z c Z } 00 08 04 04 01 01 {b Z d Z } 00 05 04 04 01 01 {c Z d Z } 00 05 00 02 00 00 Łączne rozkłady masy wyznaczone zgodnie z regułą Dempstera (67) dla zdarzenia W zebrano w Tab.4 dla zdarzenia O zebrano w Tab.5 oraz dla zdarzenia Z zebrano w Tab.6.

FORMALIZACJA SUBIEKTYWNEJ NIEPEWNOŚCI 495 Ø Tab. 4. Wartości łącznych rozkładów masy dla zdarzenia W (puste pola wartość 000) I oraz II I oraz III II oraz III I II oraz III {a W } 002 {b W } 069 070 062 083 {c W } 020 025 011 {d W } {a W b W } 010 {a W c W } 018 {a W d W } {b W c W } 010 012 005 {b W d W } {c W d W } Ø {a O } Tab. 5. Wartości łącznych rozkładów masy dla zdarzenia O (puste pola wartość 000) I oraz II I oraz III II oraz III I II oraz III {b O } 049 008 014 022 {c O } 034 064 034 07 {d O } 018 {a O b O } {a O c O } {a O d O } {b O c O } 017 028 007 008 {b O d O } {c O d O } 027 Dla zdarzenia W najbardziej wiarygodnym stanem jest stan {b W } dla zdarzenia O stan {c O } a dla zdarzenia Z stan {c Z }.

496 Arkadiusz BARCZAK Ø Tab. 6. Wartości łącznych rozkładów masy dla zdarzenia Z (puste pola wartość 000) I oraz II I oraz III II oraz III I II oraz III {a Z } 005 024 009 {b Z } 014 008 013 013 {c Z } 036 045 058 {d Z } 010 013 012 {a Z b Z } {a Z c Z } 007 020 023 008 {a Z d Z } 006 {b Z c Z } 038 {b Z d Z } 024 {c Z d Z } 012 3. WNIOSKI W artykule przedstawiono jądro metod formalizacji niepewności subiektywnej wskazując na moŝliwości ich zastosowania. Praktyczne wykorzystanie metody Dempstera- Shafera w syntezie wnioskowania na podstawie pojedynczych opinii świadczy o celowości prowadzenia dalszych badań w zakresie wdroŝenia metod nieprecyzyjnego prawdopodobieństwa (imprecise probability) do praktyki projektowania do oceny niezawodności oraz w procesie podejmowania decyzji odnośnie bezpieczeństwa i oceny ryzyka. 4. BIBLIOGRAFIA [1] Barczak A.: Szacowanie ryzyka przy niepewnej i niepełnej informacji z wykorzystaniem teorii funkcji przekonania XIV Szkoła Analizy Modalnej Kraków 2009. [2] De Campos L. M.: Probability intervals: a tool for uncertain reasoning International Journal of Uncertainty Vol. 2 No. 2 1994. [3] Destercke S. Dubois D. Chojnacki E.: Unifying practical uncertainty representations: I. Generalized p-boxes International Journal of Approximate Reasoning Vol. 49 2008. [4] Ferson S. Joslyn C. A. Helton J. C. Oberkampf W. L. Sentz K.: Summary from epistemic uncertainty workshop: consensus amid diversity Reliability Engineering and System Safety Vol. 85 2004. [5] Klir G. J.: On the variety of imprecise probabilities Kybernetes Vol. 30 No. 9/10 2001. [6] Walley P.: Measures of uncertainty in expert systems Artificial Intelligence Vol. 83 1996. [7] Wierzchoń S. T.: Metody reprezentacji i przetwarzania informacji niepewnej w ramach teorii Dempstera-Shafera Instytut Podstaw Informatyki PAN Warszawa 1996.