Bryła sztywna - powtórka 1. Uczniowie zawiesili ciężarek na sznurku nawiniętym na wahadle Oberbecka (fotografia). Sznurek nawinięty był na części wahadła o średnicy 15 mm. Ciężarek po upuszczeniu przebył drogę 0,5 m w czasie 2,5 s. a) Wykaż, że wahadło Oberbecka obracało się z przyspieszeniem kątowym e» 21,3. b) Oblicz końcową prędkość kątową wahadła. 2. Słońce według bardzo prostego modelu składa się z jądra, w którym zachodzą reakcje syntezy termojądrowej, oraz z otoczki. romień jądra stanowi około 1 / 4 promienia Słońca. W trakcie dalszej ewolucji materia z otoczki będzie stopniowo oddalać się od jądra, a z jądra powstanie biały karzeł, czyli resztki stygnącej materii o rozmiarach porównywalnych z rozmiarami Ziemi. Obecnie rozmiary Słońca są ponad 100 razy większe od rozmiarów Ziemi. Okres obrotu Słońca wokół swojej osi wynosi około 25 dni. Dla uproszczenia rozważań przyjmijmy, że obecnie cała objętość Słońca ma taki sam okres obrotu. a) Zapisz, jaki będzie okres obrotu białego karła w porównaniu z okresem obrotu Słońca. Odpowiedź uzasadnij. b) Zapisz nazwę prawa, na podstawie którego można to wyjaśnić. 3. o poziomej powierzchni toczy się kula o promieniu 2 cm i masie 140 g. Wartość prędkości liniowej tej kuli wynosi 4. Moment bezwładności kuli jest równy. Oblicz energię kinetyczną tej kuli. 1
4. ołożenie środka masy dla układu dwóch ciał o kształcie kuli można wyznaczyć z równania ś, gdzie x 1 jest współrzędną położenia pierwszej kuli, x 2 współrzędną położenia drugiej kuli, a x ś współrzędną położenia środka masy (rysunek). Oblicz, w jakiej odległości od środka Słońca znajduje się środek masy układu Słońca i Ziemi. Masa Słońca jest równa 2 10 30 kg, masa Ziemi 6 10 24 kg, a odległość między środkiem Słońca i środkiem Ziemi wynosi 150 10 6 km. 5. Na walcu o promieniu 20 cm nawinięta jest lina, na końcu której zawieszony jest ciężar 1000 N. Walec ten połączony jest z drugim walcem o promieniu 0,5 m. Do bocznej powierzchni większego walca jest dociskany klocek hamulcowy. Współczynnik tarcia między walcem i klockiem jest równy 0,5. Oblicz minimalną wartość siły dociskającej klocek do walca, przy której walce byłyby nieruchome. 6. rzez krążek w kształcie walca o masie M i promieniu R przerzucona jest nić, na końcach której zawieszono dwa ciężarki o masach m 1 i m 2 (m 1 < m 2 ), które puszczono swobodnie. Oceń prawdziwość każdego zdania. Zaznacz, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub, jeśli jest A. Wartości sił naciągu nici po obu stronach krążka w czasie ruchu ciężarków będą malały. B. Jeśli zamienimy krążek na krążek o tej samej masie, ale większym promieniu, nie spowoduje to zmiany przyspieszenia liniowego ciężarków. C. W czasie ruchu energia potencjalna całego układu się nie zmienia. 2
7. Moment bezwładności kuli względem osi przechodzącej przez jej środek jest równy, gdzie m jest masą kuli, a r jej promieniem. Wyprowadź równanie opisujące zależność momentu bezwładności kuli od jej gęstości i promienia. 8. Metalowa jednorodna belka o masie 20 kg i długości 2 m zamocowana jest obrotowo jednym końcem do ściany. Do drugiego końca przyczepiona jest lina utrzymująca belkę w poziomie. Oblicz wartość momentu siły, z jakim lina działa na belkę. 9. Bęben pralki automatycznej rozpędza się jednostajnie od 0 do 800 ó liczbę obrotów, jakie wykonuje w tym czasie. w czasie 3 s. Oblicz 10. Na końcach rurki umieszczono dwie kulki o masie 20 g każda. Odległości kulek od środka rurki wynoszą 12 cm. Zakładamy, że masę rurki można pominąć. Układ został wprawiony w ruch obrotowy z prędkością kątową 5. Opisana sytuacja została przedstawiona na schematycznym rysunku. Oblicz moment pędu wirującego układu kulek. 11. Wewnątrz samochodu zabawki znajduje się koło zamachowe stanowiące jego napęd. Koło ma masę 50 g i promień 1,5 cm. Tuż przed puszczeniem zabawki jej koło zamachowe zostało rozpędzone do częstotliwości 10 Hz. Samochodzik przejechał po dywanie odległość 3 m. Zakładamy, że sprawność przekazywania napędu wynosiła 80%. Moment bezwładności walca wynosi. Oblicz wartość siły przeciwdziałającej ruchowi samochodu. Zakładamy, że wartość tej siły była stała. 3
12. Na fotografii przedstawiony jest układ składający się z dwóch widelców, sztywnej gąbki i patyczka. Układ ten wisi w stanie równowagi, podparty na krawędzi szklanki. Zaznacz poprawne dokończenie zdania. Środek masy układu położony jest A. z lewej strony punktu podparcia. B. z prawej strony punktu podparcia. C. nad punktem podparcia. D. pod punktem podparcia. 13. Jednorodna listwa drewniana o masie 0,3 kg i długości 1,2 m jest zamocowana obrotowo w 1 / 3 swojej długości. Oblicz masę ciężarka, jaki należy zawiesić na krótszym końcu listwy, aby listwa pozostawała w poziomie. 14. Dekarz położył na powierzchni dachu pokrytej gładką papą odcinek metalowej okrągłej rynny o masie 0,25 kg i średnicy 12 cm. owierzchnia dachu jest nachylona do poziomu pod kątem 10. Oblicz przyspieszenie liniowe, z jakim rynna zaczęła toczyć się po powierzchni dachu. rzyjmij, że rynna się nie ślizga. Moment jej bezwładności jest równy. sin10» 0,17 cos10» 0,98 tg10» 0,18 4
15. Dwie jednakowe kulki z plasteliny uformowano w dwa różne kształty, których przekroje i osie obrotu przedstawione są na rysunkach 1. i 2. Oceń prawdziwość każdego zdania. Zaznacz, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub, jeśli jest A. Bryła plasteliny o kształcie przedstawionym na rysunku 1. ma mniejszy moment bezwładności od bryły w kształcie kuli. B. Masa każdej z brył jest taka sama. C. Bryła plasteliny o kształcie przedstawionym na rysunku 1. ma większy moment bezwładności od bryły przedstawionej na rysunku 2. 16. Na układ trzech połączonych ze sobą krążków o różnych średnicach 5 cm, 10 cm i 15 cm nawinięto trzy nici, tak jak na rysunku. Na każdej zawieszono ciężarek o masie 50 g. Oblicz wartość momentu siły działającego na układ krążków. 17. Karolina siedziała na krześle obrotowym i trzymała w rękach koło rowerowe. Gdy koło było nieruchome, mogła bez większego wysiłku przekręcać je z ustawienia pionowego do poziomego i odwrotnie. Gdy w pozycji pionowej, przedstawionej na rysunku, koło zostało rozpędzone do pewnej prędkości kątowej, przekręcenie go do pozycji poziomej wymagało użycia znacznej siły. a) Zapisz, jakiego rodzaju wielkością fizyczną (skalarną czy wektorową) jest moment pędu. b) Wyjaśnij, jaki będzie stan ruchu Karoliny razem z siedziskiem krzesła po zmianie płaszczyzny wirowania koła rowerowego. 5
18. Zaproponuj doświadczalną metodę wyznaczenia położenia środka masy kawałka płaskiej tektury o kształcie przedstawionym na rysunku. Tektura ma dwa otwory. Masz do dyspozycji sznurek z zamocowanym na jednym końcu ciężarkiem, a na drugim gwoździem, statyw z uchwytem, pisak i linijkę. 19. Metalowa jednorodna belka o masie 20 kg i długości 2 m zamocowana jest obrotowo jednym końcem do ściany. Do drugiego końca przyczepiona jest lina utrzymująca belkę w poziomie. Lina jest skierowana pod kątem 30 do poziomu. Oblicz wartość siły naciągu liny. 20. Cienki jednorodny pręt jest utrzymywany w pozycji pionowej. Dolny koniec pręta opiera się o podłogę, do której jest przybita listewka zapobiegająca przesuwaniu się pręta. o puszczeniu pręta zaczyna się on przewracać (bez odrywania się od podłoża). Wyprowadź równanie opisujące zależność wartości przyspieszenia liniowego, z jakim porusza się górny koniec pręta, od kąta odchylenia pręta od pionu. ręt ma długość l, masę m, a moment jego bezwładności względem osi prostopadłej do niego i przechodzącej przez jego koniec jest równy. 21. Oceń prawdziwość każdego zdania. Zaznacz, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub, jeśli jest A. Moment bezwładności bryły zależy jedynie od jej masy i kształtu. B. Momenty bezwładności brył o takiej samej masie zawsze są sobie równe. C. Moment bezwładności bryły zależy jedynie od jej kształtu, a nie zależy od jej masy. 22. Na końcu poziomej jednorodnej trampoliny, o długości 2 m i masie 40 kg, stoi nieruchomo przed skokiem do wody zawodnik o masie 70 kg. Oblicz wartość momentu siły działającego na deskę trampoliny. 6
23. ołożenie środka masy dla układu dwóch ciał o kształcie kuli można wyznaczyć z równania ś, gdzie x 1 jest współrzędną położenia pierwszej kuli, x 2 współrzędną położenia drugiej kuli, a x ś współrzędną położenia środka masy (rysunek). Bryła sztywna składa się z walca o masie 6m i promieniu R oraz pręta o masie m i długości 4R (podobnie bywa zbudowane wahadło w zegarach wahadłowych). ręt jest przymocowany centralnie do bocznej powierzchni walca. ręt i walec są jednorodne. Oblicz, w jakiej odległości od lewego końca pręta znajduje się środek masy tego układu. 24. Ustawiona pionowo drewniana jednorodna listwa o masie 0,1 kg i długości 1 m została wytrącona z położenia równowagi i przewróciła się na podłogę. Oceń prawdziwość każdego zdania. Zaznacz, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub, jeśli jest A. W czasie ruchu moment siły działający na listwę ma stałą wartość. B. Gdy listwa podczas przewracania się jest odchylona od pierwotnego kierunku o kąt 45, moment siły działający na nią ma wartość około 0,35 Nm. C. odczas przewracania się listwa uzyskuje energię kinetyczną ruchu postępowego. 25. Marek położył sztywną linijkę prostopadle do krawędzi ławki, tak że w 1 / 4 linijka wystawała poza krawędź ławki. Oblicz minimalną siłę, z jaką Marek powinien naciskać palcem wystający koniec linijki, aby jej część leżąca na ławce oderwała się od powierzchni. Linijka ma długość 30 cm i masę 0,1 kg. 7
26. Walki robotów sumo odbywały się na ringu w postaci wirującego dysku o średnicy 2 m i masie 8 kg. Rozmiary robota były małe w stosunku do rozmiarów ringu. Masa robota wynosiła 0,5 kg. Ring początkowo wirował z prędkością kątową 10 Zakładamy, że ring wiruje bez tarcia., a robot znajdował się na jego środku. Oblicz prędkość kątową ringu po przejściu robota na jego krawędź. Moment bezwładności walca wynosi. 27. Z równi pochyłej stacza się bez poślizgu walec o promieniu 8 cm i masie 2 kg. Moment bezwładności walca wynosi. o stoczeniu z równi środek masy walca znalazł się 1,4 m niżej niż w chwili początkowej. Oblicz wartość prędkości liniowej walca po stoczeniu się z równi. Zakładamy, że podczas toczenia się walca jest zachowana jego energia mechaniczna. 28. Aby obniżyć koszty wznoszenia szybowców w powietrze, zamiast holowania za samolotem stosuje się wyciągarki szybowcowe. W najprostszym przypadku składają się one z silnika spalinowego napędzającego bęben, na który nawija się lina ciągnąca szybowiec. Wygląd jednej z takich wyciągarek przedstawia fotografia. W czasie holowania szybowca lina o długości do 2,5 km i grubości około 6 mm nawija się kolejnymi warstwami, zwój przy zwoju. rędkość około 60, umożliwiającą wzniesienie się, szybowiec osiąga w czasie 3 sekund, a odczepienie liny od niego następuje na wysokości nawet 400 m. Oceń prawdziwość każdego zdania. Zaznacz, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub, jeśli jest A. Jeśli po upływie 3 s bęben wyciągarki nawija linę ze stałą prędkością obrotową, prędkość liniowa liny nie ulega zmianie. B. Od chwili startu do chwili, gdy szybowiec osiągnie prędkość 60, moment siły, z jakim lina działa na bęben, jest mniejszy od momentu siły, z jakim silnik napędza bęben. 8
29. Moment bezwładności kuli względem osi przechodzącej przez jej środek jest równy. Oblicz, ile razy moment bezwładności kuli o masie 2m jest większy od momentu bezwładności kuli o masie m, jeśli obie kule są wykonane z tej samej substancji. 30. Uczniowie wyznaczali moment bezwładności wahadła Oberbecka. W tym celu na walec o promieniu 1,5 cm, stanowiący część wahadła, nawinęli nić. Do końca tej nici przymocowali ciężarek o masie 100 g. o puszczeniu ciężarek opadał. Wartość prędkości opadającego ciężarka uczniowie wyznaczali z wykorzystaniem czujnika ruchu połączonego z komputerem. o dokonaniu pomiarów okazało się, że wartość prędkości ciężarka po przebyciu drogi o długości 2 m wynosiła 2. Oblicz moment bezwładności zbudowanego przez uczniów wahadła Oberbecka. 9