Rozdziaª 9: Wycena opcji MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 1 / 23
Denicja opcji. Opcja nansowa:. Warunkowy kontrakt terminowy na sprzeda» lub kupno instrumentu bazowego, który jest zawarty mi dzy wystawc i nabywc opcji. Posiadacz opcji ma prawo (nie obowi zek) nabycia instrumentu bazowego po okre±lonej cenie w okre±lonym. terminie. Aby opisa opcj nale»y okre±li : instrument bazowy (waluty, akcje, indeksy gieªdowe) rodzaj opcji (opcja kupna, opcja sprzeda»y) typ opcji (opcja europejska, opcja ameryka«ska) cen wykonania (strike price) moment wyga±ni cia opcji (expiration date) MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 2 / 23
Opcje na WIG20 Oznaczenia opcji na WIG20 notowanych na GPW: OW20ABCCC gdzie kolejne fragmenty nazwy oznaczaj : O: dany instrument jest opcj ; W20: instrumentem bazowym jest indeks WIG20; A: miesi c terminu wykonania oraz rodzaj opcji. Litery C, F, I oraz L oznaczaj opcje kupna o terminach wyga±ni cia w trzeci pi tek marca, czerwca, wrze±nia i grudnia, za± litery O, R, U i X opisuj odpowiednie opcje sprzeda»y; B: ostatnia cyfra roku terminu wykonania opcji; CCC: cena wykonania opcji (podzielona przez 10). MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 3 / 23
Terminologia O opcji kupna o cenie wykonania K i bie» cej cenie instrumentu bazowego P mówimy,»e: jest w cenie (in-the-money) je»eli P > K ; jest po cenie (at-the-money) je»eli P = K ; nie jest w cenie (out-of-the-money), je»eli P < K. Dla opcji sprzeda»y, nazewnictwo jest odwrotne. MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 4 / 23
Proces stochastyczny w czasie ci gªym. Proces stochastyczny {Y t } w czasie ci gªym. Ci g zmiennych losowych Y t, gdzie indeks czasu t nale»y do zbioru liczb rzeczywistych. o warto±ciach nieujemnych. MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 5 / 23
Proces Wienera Proces {w t } jest procesem Wienera (ruchy Browna) je»eli: 1. przyrost w t w s jest niezale»ny od w u dla dowolnych u s t 2. s t w t w s N(0, t s); 3. trajektorie procesu {w t } s ci gªe w czasie. Rozkªad procesu Wienera oraz jego przyrostów dw t = w t+dt w t : w t N(w 0, t) dw t N(0, dt) MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 6 / 23
Uogólniony proces Wienera Dla zmiennych z dryfem i wariancj proporcjonaln do upªywu czasu stosowany jest uogólniony proces Wienera {x t } postaci: dx t = µdt + σdw t, gdzie µ okre±la dryf, za± σ odchylenie standardowe procesu x t. Rozkªad uogólnionego procesu Wienera oraz jego przyrostów: x t N(x 0 + µt, σ 2 t) dx t N(µdt, σ 2 dt) MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 7 / 23
Proces Ito Je»eli dryf oraz zmienno± procesu s zmienne w czasie to mówimy o procesie Ito, którego przyrosty s dane przez: dx t = µ(x t, t)dt + σ(x t, t)dw t Warto± Procesu Ito jako: t t x t = x 0 + µ(x s, s)ds + σ(x s, s)dw s 0 0 MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 8 / 23
Geometryczny proces Wienera Przykªadem procesu Ito jest geometryczny proces Wienera dla którego: µ(x t, t) = µx t σ(x t, t) = σx t Dynamika geometrycznego procesu Wienera: dx t = µx t dt + σx t dw t. MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 9 / 23
Lemat Ito Niech x t b dzie procesem Ito postaci: dx t = µ(x t, t)dt + σ(x t, t)dw t, za± y t procesem stochastycznym: y t = f (x t, t), gdzie f jest ró»niczkowaln funkcj wzgl dem x t oraz t. Dynamika y t jest dana przez: [ f (x t, t) dy t = + f (x t, t) µ(x t, t) + 1 t x t 2 gdzie w t jest procesem Wienera. 2 f (x t, t) x 2 t ] σ 2 (x t, t) dt + f (x t, t) σ(x t, t)dw t, x t MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 10 / 23
Lemat Ito - przykªad Jak przykªad zastosowania lematu Ito rozwa»my przypadek, gdy x t geometrycznym procesem Wienera oraz y t = f (x t, t) = ln x t, tj: jest µ(x t, t) = µx t, σ(x t, t) = σx t, f (x t, t) = 0, t f (x t, t) x t = 1 x t, 2 f (x t, t) = 1. x 2 t 2x 2 t Podstawiaj c do wzoru: [ f (x t, t) dy t = Uzyskujemy: t + f (x t, t) x t µ(x t, t) + 1 2 dy t = 2 f (x t, t) x 2 t ) (µ σ2 dt + σdw t. 2 ] σ 2 (x t, t) dt + f (x t, t) σ(x t, t)dw t, x t y t jest uogólnionym procesem Wienera o drye µ σ 2 /2 oraz wariancji σ 2 MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 11 / 23
Formuªa Blacka-Scholesa - zaªo»enia cena instrumentu bazowego P t jest geometrycznym procesem Wienera nie wyst puj koszty transakcji oraz nie ma podatków rynek jest doskonale pªynny, za± wszystkie instrumenty s doskonale podzielne wszyscy uczestnicy rynku mog po»ycza i inwestowa ±rodki wedªug tej samej procentowej r MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 12 / 23
Formuªa Blacka-Scholesa - wyprowadzenie Cena opcji: Y t = Y (P t, t) Stwórzmy portfel skªadaj cy si z krótkiej pozycji na jedn opcj oraz Y t P t sztuk instrumentu bazowego o warto±ci: Poniewa» (zgodnie z Lematem Ito): dp t = µp t dt + σp t dw t [ Yt dy t = t V t = Y t + Y t P t P t dv t = dy t + Y t + Y t P t µp t + 1 2 dynamika portfela jest deterministyczna: [ Yt dv t = + 1 t 2 P t dp t 2 Y t P 2 σ 2 P 2 t t MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 13 / 23 ] 2 Y t P 2 σ 2 P 2 t t dt + Y t P t σp t dw t. ] dt.
Formuªa Blacka-Scholesa - wyprowadzenie Poniewa» stopa zwrotu z portfela V t jest deterministyczna to zgodnie z warunkiem arbitra»u powinna ona by równa stopie wolnej od ryzyka r, czyli: dv t = rv t dt. Poª czenie zale»no±ci prowadzi do uzyskania równania ró»niczkowego Blacka-Scholesa: Y t t + rp t Y t P t + 1 2 2 Y t P 2 t σ 2 P 2 t = ry t. Formuªa BS dla opcji europejskiej stanowi rozwi zanie powy»szego równania ró»niczkowego przy warunku,»e w momencie wyga±ni cia T, warto± opcji wynosi: { max(y T K, 0) dla opcji kupna Y T = max(k Y T, 0) dla opcji sprzeda»y, MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 14 / 23
Formuªa Blacka-Scholesa Wzór na cen opcji: { P t Φ(d 1 ) e r(t t) KΦ(d 2 ) Y t = P t Φ( d 1 ) + e r(t t) KΦ( d 2 ) dla opcji kupna dla opcji sprzeda»y, gdzie Φ jest dystrybuant rozkªadu normalnego, za± warto±ci d 1 oraz d 2 wynosz : d 1 = ln(p t/k) + (r + σ 2 /2)(T t) σ T t d 2 = ln(p t/k) + (r σ 2 /2)(T t) σ. T t MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 15 / 23
Formuªa Blacka-Scholesa - przykªad > P <- 100; sig <- 0.25; r <- 0.10; K <- 100; tau <- 0.5 > OptP <- function(type,p,k,r,sig,tau){ d1 <- (log(p/k) + (r+sig^2/2)*tau)/(sig*sqrt(tau)) d2 <- (log(p/k) + (r-sig^2/2)*tau)/(sig*sqrt(tau)) if(type == "call"){ return(p*pnorm(d1) - K*exp(-r*tau)*pnorm(d2))} if(type == "put") {return(k*exp(-r*tau)*pnorm(-d2) - P*pnorm(-d1))} } > OptP("call",P,K,r,sig,tau) > OptP("put",P,K,r,sig,tau) Wartosc opcji kupna: 9.58 Wartosc opcji sprzedazy: 4.71 MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 16 / 23
Greckie wska¹niki w wycenie opcji Cena opcji a cena instrumentu bazowego Cena opcji a stopa procentowa Cena opcji 0 10 20 30 40 50 opcja kupna opcja sprzedazy Cena opcji 0 5 10 15 20 opcja kupna opcja sprzedazy 60 80 100 120 140 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Cena instrumentu bazowego stopa procentowa Cena opcji a zmiennosc Cena opcji a termin do wygasniecia Cena opcji 0 5 10 20 30 opcja kupna opcja sprzedazy Cena opcji 2 4 6 8 10 14 opcja kupna opcja sprzedazy 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 zmiennosc termin do wygasniecia MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 17 / 23
Greckie wska¹niki w wycenie opcji Cena instrumentu bazowego (delta), = Y t P t : call = Φ(d1) oraz put = Φ(d1) 1 Zauwa»my,»e call (0, 1), put ( 1, 0) oraz call put = 1 Druga pochodna (gamma), Γ = Y t = 2 Y t P 2 : t ϕ(d1) Γ call = Γ put = P tσ T t gdzie ϕ(x) = Φ (x) jest funkcj g sto±ci rozkªadu normalnego. Zmienno± (vega), ν = Y t σ : Stopa wolna od ryzyka (rho),ρ = Y t r : ν = P tϕ(d1) T t ρ call = (T t)ke r(t t) Φ(d2) oraz ρ put = (T t)ke r(t t) Φ( d2) Moment obserwacji (theta) - θ = Y t t : θ call = P tϕ(d1)σ 2 T t rke r(t t) Φ(d2) oraz θ put = P tϕ(d1)σ 2 T t + rke r(t t) Φ( d2) MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 18 / 23
Greckie wska¹niki w wycenie opcji > library(rquantlib) > EuropeanOption("call", P, K, 0, r, tau, sig) > EuropeanOption("put", P, K, 0, r, tau, sig) Wspolczynniki greckie dla opcji kupna value delta gamma vega theta rho 9.5822 0.6448 0.0211 26.3311-12.0722 27.4472 Wspolczynniki greckie dla opcji sprzedazy value delta gamma vega theta rho 4.7052-0.3552 0.0211 26.3311-2.5599-20.1142 MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 19 / 23
Przykªad - wycena opcji na WIG20 Przykªad dotyczy wyceny opcji na podstawie danych do 30 kwietnia 2010 r. na WIG20 o terminie wyga±ni cia 18 czerwca 2010 r.. Porownanie teoretycznych i rzeczywistych cen opcji Opcje kupna Opcje sprzedazy K model dane K model dane OW20F0230 2300 287.5 266.00 OW20R0180 1800 0.113 0.75 OW20F0240 2400 213.4 176.45 OW20R0190 1900 0.519 1.20 OW20F0250 2500 151.6 100.00 OW20R0200 2000 1.872 3.00 OW20F0260 2600 102.9 53.05 OW20R0210 2100 5.500 5.58 OW20F0270 2700 66.7 23.50 OW20R0220 2200 13.581 12.88 OW20F0280 2800 41.4 11.16 OW20R0230 2300 28.937 23.66 OW20F0290 2900 24.5 3.84 OW20R0240 2400 54.423 45.85 OW20F0300 3000 13.9 1.76 OW20R0250 2500 92.165 79.50 OW20R0260 2600 142.990 129.00 OW20R0270 2700 206.311 200.55 MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 20 / 23
Przykªad - wycena opcji na WIG20 Opcja kupna Opcja sprzedazy 0 100 200 300 400 500 600 model dane 0 50 100 150 200 250 model dane 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 1800 2000 2200 2400 2600 cena wykonania cena wykonania MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 21 / 23
Zmienno± implikowana Spo±ród parametrów wyst puj cych w formule Blacka-Scholesa w momencie t znane s warto±ci ceny instrumentu bazowego P t, ceny wykonania opcji K, stopy wolnej od ryzyka r oraz terminu wyga±ni cia T t. Warto± dla parametru opisuj cego zmienno±ci instrumentu bazowego σ nie jest znana Cena opcji jest funkcj prognozy zmienno±ci: Y = Y (σ P, K, r, τ) Odwracaj c zale»no± obliczymy warto± zmienno±ci implikowanej (implied volatility): σ = Y 1 (Y P, K, r, τ) MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 22 / 23
Zmienno± implikowana - przykªad opcja kupna opcja sprzedazy 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 cena wykonania 1800 2000 2200 2400 2600 cena wykonania MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 23 / 23