Prawdopodobieństwo ucieczki w modelu q-votera na jednowymiarowym pierścieniu

Uniwersytet Wrocławski Wydział Fizyki i Astronomii Prawdopodobieństwo ucieczki w modelu q-votera na jednowymiarowym pierścieniu Autor: Maciej Tabiszewski Praca magisterska wykonana pod kierunkiem prof. UWr. dr hab. Katarzyny Sznajd-Weron Wrocław, maj 2012

Streszczenie W tej pracy badam nieliniowy model q-votera na jednowymiarowej sieci. Wyprowadzam analityczną postać prawdopodobieństwa ucieczki i pokazuję, że doskonale zgadza się ona z wynikami symulacji Monte Carlo. Pokazuję również, że pierwsze kroki symulacji mają największe znaczenie, jednak nie determinują końcowego wyniku symulacji. 1

Exit probability in the q-voter model on a one-dimensional ring Abstract In this work I investigate the nonlinear q-voter model on a one-dimensional lattice. I derive analytical formula for the exit probability and show that it agrees perfectly with Monte Carlo simulations. I also show that the first steps of simulation are actually the most important, but do not determine the final result. 2

Spis treści 1. Wstęp i struktura pracy 4 2. Liniowy model votera 6 2.1. Definicja modelu votera................................ 6 2.2. Model votera w jednym wymiarze........................... 7 2.3. Model votera na grafie zupełnym........................... 10 3. Model Sznajdów 11 3.1. Model Sznajdów z zasięgiem oddziaływania..................... 12 4. Model q-votera 14 4.1. Model q-votera w jednym wymiarze dla ɛ = 0.................... 16 4.2. Zależność prawdopodobieństwa ucieczki w modelu q-votera od zasięgu oddziaływania 19 5. Wyniki symulacji Monte Carlo 20 5.1. Symulacje metodą Monte Carlo............................ 20 5.2. Symulacja prawdopodobieństwa ucieczki w modelu q-votera............ 21 5.3. Znaczenie wyboru pierwszej plakietki w modelu q-votera.............. 22 6. Podsumowanie 26 Literatura 28 3

1. Wstęp i struktura pracy Metody fizyki komputerowej stosowane są obecnie w wielu interdyscyplinarnych badaniach z zakresu fizyki, socjologii, ekonomii, biologii, jak również geologii [1]. Początkowo komputery były wykorzystywane przez fizyków głównie do rozwiązywania klasycznych problemów, nie rozwiązywalnych analitycznie, jednak zdefiniowanych poprzez odpowiedni zestaw równań różniczkowych. Pozwalało to na zastosowanie metod numerycznych dających przybliżone rozwiązania. Fizyka komputerowa służyła właśnie do zapewnienia takich szybkich metod numerycznych [2]. Jednakże niektóre zagadnienia nie dają się opisać za pomocą układu równań różniczkowych. Przykładem mogą być problemy związane z dynamiką opinii. Dysponując bazą cech każdego z osobników możemy symulować cały proces ich ewolucji zgodnie z zaprogramowanymi zasadami oddziaływań, regulującymi wpływ tych osobników na siebie, uwzględniając przy tym znaczenie bodźców zewnętrznych. Zapisanie tych wszystkich warunków za pomocą równań byłoby bardzo trudne lub wręcz niemożliwe. Potrzebny był więc inny sposób radzenia sobie w takich lub podobnych przypadkach. Z potrzeby tej zrodziła się metoda Monte Carlo. Bazuje ona na podejściu stosowanym w ramach fizyki statystycznej, czyli uśrednianiu po zespołach statystycznych. Poza rozwiązywaniem numerycznym równań jest to inna gałąź fizyki komputerowej, której osiągnięcia wykorzystuje się już od ponad pół wieku [3]. O sukcesie metody Monte Carlo decyduje przede wszystkim jej uniwersalność, która została szeroko wykorzystywana na przykład w trakcie badań nad zjawiskami krytycznymi. Bardzo ważnym czynnikiem przy przeprowadzaniu symulacji metodą Monte Carlo jest losowość, uzyskiwana dzięki generatorom liczb pseudolosowych. Jakość otrzymanych wyników zależy od jakości użytych liczb losowych. W szczególnych przypadkach użycie dwóch różnych generatorów, mimo identycznych parametrów symulacji, może doprowadzić do dwóch różnych wyników [4]. Oczywiście oznacza to, że przynajmniej jeden z generatorów generuje liczby pseudolosowe, które nie są dobrym ciągiem losowym. Dysponując odpowiednim generatorem można przystąpić do symulacji ewolucji badanego układu. Jest ona wykonywana wiele razy, dla różnych, losowo wybranych, mikroskopowych warunków początkowych. Otrzymana próba wyników jest uśredniana. Dzięki temu można uzyskać wiele wartości zmiennych makroskopowych opisujących dany układ, jak na przykład: średnia magnetyzacja, średnia całkowita energia, średnia wielkość maksymalnego klastra. Jedną z takich wartość jest prawdopodobieństwo ucieczki, którego pełną definicję podaję w rozdziale 2.1. W niniejszej pracy przedstawiam różne aspekty odpowiedzi na jedno pytanie: co sprawia, że układ opisany modelem q-votera, z biegiem ewolucji osiąga taki, a nie inny stan? W przypadkach jakie rozważam, będzie to postać jednoznaczna, układ po pewnym czasie osiągnie stan uporządkowany ferromagnetycznie. Takie uporządkowanie układu można zinterpretować z punktu widzenia nauk społecznych jako konsensus, zgodę, jedność opinii. Natomiast początkowy nieporządek, w języku nauk społecznych, będzie oznaczał fragmentację opinii lub brak zgody. Rozsądnie jest założyć, że bez oddziaływań dominuje różnorodność. Doskonałym uzasadnieniem takiego założenia są z kolei układy fizyczne. Cząstki posiadające moment magnetyczny, w nieobecności pola 4

i przy braku oddziaływań, tworzą układ nieuporządkowany. Dzieje się tak na przykład w wysokich temperaturach, kiedy to oddziaływania międzycząsteczkowe nie są tak istotne jak fluktuacje termiczne. Gdy dominują jednak oddziaływania międzycząsteczkowe, powodują one zwiększenie jednorodności układu, która może być częściowa lub całkowita, w zależności od skali czasowej lub przestrzennej. Celem pracy jest również wskazanie, który etap ewolucji ma największy wpływ na końcowy stan układu. Praca składa się z sześciu rozdziałów, pierwszym z nich jest niniejszy wstęp. W następnych trzech rozdziałach opisuję kolejno: model votera, model Sznajdów oraz tytułowy model q-votera. Przedstawiam założenia, algorytmy symulacji oraz wyprowadzone analitycznie formuły na prawdopodobieństwo ucieczki. W rozdziale piątym umieściłem uzyskane za pomocą metody Monte Carlo wyniki symulacji modelu q-votera oraz płynące z nich wnioski. Rozdział ostatni zawiera podsumowanie pracy. Uzyskane wyniki stały się podstawą do napisania wraz z Katarzyną Sznajd-Weron i Piotrem Przybyłą pracy pod tytułem Exit probability in a one-dimensional nonlinear q-voter model opublikowanej we wrześniu 2011 roku w czasopiśmie Physical Review E [5]. 5

2. Liniowy model votera Model votera (ang. voter model), inaczej model wyborcy, został pierwotnie wprowadzony jako model opisujący rywalizację między gatunkami [6]. Dopiero później został nazwany modelem votera [7] i to ta nazwa upowszechniła się. Celem odróżniania oryginalnego modelu od późniejszych modyfikacji, do nazwy często dodawany jest człon liniowy. Jest to jeden z wielu modeli typu isingowskiego opisującym dynamikę opinii. Najczęstszą interpretacją modelu jest, jak wskazuje nazwa, kształtowanie się przedwyborczych opinii. Zasady rządzące modelem są bardzo proste. Każdemu osobnikowi w każdej chwili przypisany jest jeden z dwóch stanów np. +1, 1 mogą one oznaczać podzielanie, lub nie, danego poglądu. W każdym kroku czasowym losowo wyłoniony osobnik wybiera, również losowo, jednego ze swoich sąsiadów i przejmuje jego opinię. Zmiana opinii odbywa się jedynie w relacjach najbliższego sąsiedztwa, stąd inną interpretacją modelu może być konflikt militarny. W takim przypadku opinie będą reprezentowały dwie wrogie nacje, a przejmowanie opinii inwazję na terytorium przeciwnika [8]. Taka interpretacja jest zbieżna z początkowym uzasadnieniem modelu jako międzygatunkowej rywalizacji. Cechy modelu votera, takie jak prostota oraz mnogość interpretacji, spowodowały, że stał się on bazą dla wielu innych modeli znajdujących zastosowanie w różnych dziedzinach od socjologii po ekologię [9]. Jedną z modyfikacji pierwotnych zasad jest wprowadzenie większej liczby dostępnych stanów dla osobników. Mogą to być trzy stany opisujące np. przekonania lewicowe, centrowe i prawicowe [10] lub zmienna Pottsa [11], która może przyjmować dowolnie wiele wartości. 2.1. Definicja modelu votera Model votera w wersji podstawowej zdefiniowany jest na zbiorze obiektów, tak zwanych spinów, mogących być tylko w jednym z dwóch stanów. Połączone są one relacjami sąsiedztwa. Układ może mieć różne topologie (np. sieci regularnej lub złożonej), z których najprostszymi są sieć jednowymiarowa i graf zupełny. Na grafie zupełnym sąsiadami każdego węzła są wszystkie pozostałe węzły układu. Wprowadźmy następujące oznaczenia: s = ±1 możliwe wartości spinu (opinii), x miejsce na sieci, s(x) wartość spinu w miejscu x. Algorytm symulacji modelu votera sprowadza się do następujących po sobie cyklicznie kroków: (i) W chwili t wybierz losowo spin s(x). (ii) Wybierz losowo jego sąsiada s(k), gdzie k należy do sąsiedztwa x. (iii) Przypisz wybranemu sąsiadowi opinię wylosowanego uprzednio spinu: s(k) = s(x). (iv) Uaktualnij czas zgodnie ze wzorem t t + 1/N, gdzie N oznacza liczbę spinów. 6

Symulacja przebiega do chwili, gdy układ znajdzie się w stanie absorpcyjnym, czyli w takim, z którego nie może się wydostać. Oznaczmy prawdopodobieństwo przejścia układu w elementarnym kroku symulacji ze stanu i do stanu j jako p ij. Stan i jest stanem absorpcyjnym wtedy i tylko wtedy gdy p ii = 1 oraz p ij = 0 dla i j. Stanem absorpcyjnym dla modelu votera jest stan, w którym wszystkie spiny układu mają tą samą wartość. Układ o skończonym rozmiarze, po skończonym czasie zawsze znajdzie się w stanie absorpcyjnym. Jest to dużą zaletą modelu, gdyż znacząco ułatwia interpretację wyników nie mamy wątpliwości, która opinia zwyciężyła, znamy również dokładny czas jaki był potrzebny na przejście układu do końcowego stanu absorpcyjnego. Z drugiej strony, całe społeczeństwo nigdy nie będzie podzielać jednej opinii na dany temat. Podobnie w rywalizacji między gatunkami, rzadko zdarza się, by jeden z nich całkowicie wyparł drugi; jest to więc znaczne uproszczenie. Jednym z ważnych parametrów charakteryzujących modele ze stanami absorpcyjnymi jest prawdopodobieństwo ucieczki (ang. exit probability). To prawdopodobieństwo tego, że układ startując ze stanu o ustalonych własnościach makroskopowych, takich jak na przykład gęstość spinów +1, zakończy swoją ewolucję w określonym stanie absorpcyjnym, między innymi o wszystkich spinach zwróconych w górę. Posłużmy się przykładem dyfundującej cząsteczki [12]. Dla takiej cząsteczki startującej w punkcie r należącym do obszaru B, stanami absorpcyjnymi mogą być punkty na brzegu tego obszaru B. Prawdopodobieństwo ucieczki będzie więc prawdopodobieństwem tego, że cząsteczka finalnie osiągnie dany punkt z brzegu obszaru B. Możemy też podzielić brzeg δb na dwa rozłączne podzbiory δb i δb +, gdzie δb + δb + = δb. Narzuca się pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo E + (r) że cząstka opuści obszar B poprzez δb + nie dotykając wcześniej δb. W skończonym jednowymiarowym przedziale [0, N], δb będzie reprezentować punkt x = 0, a δb + punkt x = N. Wtedy pytanie będzie brzmiało, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowy spacer rozpoczynający się w dowolnym punkcie z zadanego przedziału skończy się w punkcie x = N bez przechodzenia przez punkt x = 0. Analogicznie jest w modelach spinowych, gdzie układ ewoluuje z zadaną dynamiką do czasu aż nie znajdzie się w jednym ze swoich stanów absorpcyjnych. Mogą to być: dwa stany ferromagnetyka jak w modelu votera, trzy stany jak w modelu USDF, który opisany jest w rozdziale 3. poświęconym modelowi Sznajdów. Istnieją również modele z większą liczba stanów absorpcyjnych, jednak nie stanowią one przedmiotu badań w niniejszej pracy. 2.2. Model votera w jednym wymiarze W tej pracy skoncentrujemy się na modelach jednowymiarowych. Podstawą rozważań jest łańcuch spinów, w którym każdy spin ma dwóch sąsiadów. W celu ułatwienia analizy modelu najczęściej pracuje się na pierścieniu spinów, czyli łańcuchu z periodycznym warunkiem brzegowym. Ewolucja i stany stacjonarne modelu votera w jednym wymiarze są takie same jak jednowymiarowego modelu Glaubera w temperaturze zera stopni [12], jednak dynamika jest zdefiniowana w inny sposób. W klasycznej dynamice Glaubera, w każdym kroku czasowym, wybierany losowo jest 7

spin w położeniu x i wyliczane jest dla niego lokalne pole tworzone przez sąsiadów. Następnie, dla temperatury równej zeru: wartość spinu s(x) jest ustawiana na +1, jeżeli lokalne pole jest dodatnie (oba sąsiednie spiny mają wartość +1) lub na 1 jeżeli jest ono ujemne. Jeżeli pole jest równe zeru, to znaczy gdy jeden ze spinów ma wartość +1, a drugi 1, to obracamy spin z prawdopodobieństwem 0.5. Pomimo tego, że w dynamice Glaubera wybieramy jeden spin i bierzemy pod uwagę jego obu sąsiadów, podczas gdy w dynamice votera tylko jednego, zachowanie się wielkości opisujących układ w obu modelach jest takie samo [12]. W celu wyprowadzenia formuły opisującej prawdopodobieństwo ucieczki w modelu votera wprowadźmy następujące oznaczenia: ρ i prawdopodobieństwo tego, że dany spin jest skierowany w górę w chwili i-tej, ρ 0 ρ, E(ρ) prawdopodobieństwo ucieczki, N liczba spinów w układzie, N + i, N i liczba spinów układu o wartości odpowiednio +1 i 1 w chwili i-tej. Naturalnie N + i + N i = N. P ± prawdopodobieństwo tego, ze liczba osobników wzrośnie o jeden, tzn. P + jest prawdopodobieństwem tego, że N + i+1 = N + i że N i+1 = N i + 1. + 1 i analogicznie P to prawdopodobieństwo tego, Zakładamy, że warunki początkowe są jednorodne, tj. takie, w których lokalna gęstość spinów +1 jest wszędzie równa średniej gęstości ρ 0. Wybierając 3-spinowy podukład i środkowy w nim spin jako mający wpływ na jednego ze swoich sąsiadów, możemy zbudować następującą tabelę: s(x 1) s(x) s(x + 1) P + -1 1-1 1.0 1 1-1 0.5-1 1 1 0.5 1 1 1 0.0 Tabela 1: Prawdopodobieństwo zwiększenia liczby osobników z opinią +1 w zależności od sąsiedztwa wylosowanego spinu s(x) = 1. Indeks x wskazuje położenie na łańcuchu, dla układu L-elementowego x = 1... L. Z tabeli 1. wynika, że prawdopodobieństwo P + w pierwszym kroku czasowym ma postać: P + = ρ 0 (1 ρ 0 ) 2 + 2ρ 2 0(1 ρ 0 )0.5. (1) Prawdopodobieństwo tego, że spin ma wartość 1 wynosi 1 ρ 0. Stąd otrzymujemy równanie na P : P = (1 ρ 0 )ρ 2 0 + 2(1 ρ 0 ) 2 ρ 0 0.5. (2) Wobec tego: P = P +. (3) 8

Ponieważ N + i + N i = N, więc P jest tożsame z prawdopodobieństwem tego, że liczba spinów +1 zmniejszy się. Zatem: N 1 + = N 0 + + P + P. (4) Dzieląc równanie przez długość łańcucha L, otrzymujemy: ρ 1 = ρ 0 + 1 L P + 1 L P, (5) stąd ρ 1 ρ 0 = 1 L (P + P ) = 0. (6) Analogicznie można obliczyć P + i P dla dowolnej chwili i, otrzymując ρ i+1 = ρ i, wobec czego ρ = ρ 0 = ρ. (7) Oznacza to, że prawdopodobieństwo zakończenia ewolucji układu w stanie absorpcyjnym ze wszystkimi spinami skierowanymi w górę, jest równe prawdopodobieństwu wylosowania spinu skierowanego w górę w chwili początkowej: E(ρ) = ρ. (8) Wykres powyższego równania przedstawiono na rysunku 1. 1 0.8 E(ρ) 0.6 0.4 0.2 model Votera 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ρ Rysunek 1: Prawdopodobieństwo ucieczki w zależności od początkowej koncentracji spinów dla jednowymiarowego modelu votera. 9

2.3. Model votera na grafie zupełnym Omawiany w tym podrozdziale graf zupełny jest przypadkiem grafu losowego, w którym prawdopodobieństwo połączenia węzłów p = 1. Wszystkie węzły są połączone ze wszystkimi pozostałymi i pełna informacja o stanie układu zadana jest przez jedną zmienną magnetyzację m = s(x). Każdy węzeł ma taką samą liczbę sąsiadów, można więc stosować zarówno dynamikę opartą na wyborze węzła (ang. node-update), jak i opartą na wyborze połączenia (ang. link-update) [13, 14]. W pierwszym z wymienionych wariantów wybieramy losowo węzeł, a następnie również losowo jednego z jego sąsiadów, który przejmuje opinię pierwszego węzła. Można też wybrać połączenie między dwoma węzłami, a następnie wybrać losowo ten węzeł, który będzie wpływał na drugi. Dla sieci niejednorodnej, a więc takiej, w której (w przeciwieństwie do grafu zupełnego) różne węzły mogą mieć różną liczbę sąsiadów, znika dowolność w wyborze dynamiki. Aby nie zmieniły się własności modelu votera, takie jak na przykład zachowanie magnetyzacji, należałoby wybrać dynamikę wyboru połączenia. Na grafie zupełnym, a także na sieci regularnej, model votera jest zbieżny z zaproponowanym przez studenta trzeciego roku René Ochrombel a, modelem tak zwanym Uproszczonym modelem Sznajdów Ochrombel a (ang. Ochrombel simplification of the Sznajd model) [15, 16]. Oryginalny model Sznajdów opisany jest w następnym rozdziale, który zawiera również genezę modelu i model Sznajdów z zasięgiem oddziaływania, kluczowy przy wyprowadzaniu formuły na prawdopodobieństwo ucieczki. 10

3. Model Sznajdów Model Sznajdów charakteryzuje dynamika wypływu (ang. outflow), w której informacja nie jest przekazywana z sąsiedztwa do osobnika, lecz od plakietki osobników do jej sąsiedztwa. Podobnie dzieje się w modelu votera, natomiast w przypadku modelu Isinga, to sąsiedztwo wpływa na osobnika. Modele votera i Sznajdów różni liczba spinów o takiej samej wartości, jaka potrzebna jest do wywołania zmiany w układzie. Na sieci jednowymiarowej, w modelu Sznajdów, na sąsiadów wpływają dwa spiny, natomiast w modelu votera tylko jeden. Model Ochrombel a, wprowadzony jako uproszczenie modelu Sznajdów, nie różni się, więc od modelu votera. Oryginalnie dynamika modelu Sznajdów na łańcuchu spinów została zdefiniowana następująco [17]: (i) W chwili t wybieramy losowo parę sąsiadujących ze sobą spinów w położeniach x, x + 1 (ii) Jeżeli mają one ten sam zwrot, to para przekazuje swoją opinię sąsiadom: s(x) = s(x + 1) : s(x 1) s(x), s(x + 2) s(x). (9) (iii) W przypadku braku konsensusu sąsiedzi wylosowanej plakietki przyjmują opinię przeciwną do swoich najbliższych sąsiadów z plakietki: s(x) s(x + 1) : s(x 1) s(x + 1), s(x + 2) s(x). (10) Układ w wyniku zastosowania powyższych reguł może znaleźć się w jednym z trzech stanów: a) wszystkie spiny o wartości +1 (ferromagnetyk), b) wszystkie spiny o wartości 1 (ferromagnetyk), c) połowa spinów o wartości +1 i druga połowa o wartości 1, w ten sposób, że każdy spin w układzie ma wartość różną od wartości jego najbliższych sąsiadów (antyferromagnetyk). Zasady te miały być odzwierciedleniem znanego powiedzenia: zgoda buduje, niezgoda rujnuje (ang. United we Stand, Divided we Fall), stąd wprowadzona początkowo przez autorów nazwa modelu USDF. W pracy [18] zostało pokazane, że w jednym wymiarze kierunek przepływu informacji jest nieistotny i że model z tak wprowadzoną dynamiką jest tożsamy z liniowym modelem votera. Jedyną różnicą jest to, że w modelu votera na spin wpływa jego najbliższy sąsiad, natomiast w modelu USDF jego następny najbliższy sąsiad. Fakt, że w modelu USDF para spinów jest uaktualniana w tym samym czasie, podczas gdy w modelu votera jest to tylko jeden spin, wpływa jedynie na średni czas relaksacji, tj. średni czas pomiędzy zmianami wartości spinu jest on dwa razy dłuższy w modelu votera. Regułę (10) uznano za nierealistyczną i szybko zmodyfikowano ją tworząc inne warianty modelu. W najpopularniejszym z nich zrezygnowano z reguły (10), wtedy zmiana w układzie zachodzi 11

jedynie wtedy, gdy para wybranych spinów ma tą samą opinię zgodnie z regułą (9). Przy braku reguły (10) układ może zakończyć ewolucję tylko w stanie o wszystkich spinach posiadających taką samą wartość. Taki właśnie wariant modelu USDF będziemy nazywać modelem Sznajdów. 3.1. Model Sznajdów z zasięgiem oddziaływania Uogólnieniem modelu Sznajdów (ang. Sznajd Model) SM jest model Sznajdów z zasięgiem oddziaływania (ang. Sznajd Model of Range) SM(R). Od klasycznego modelu różni się on dynamiką uaktualniania układu. Mianowicie, gdy wybrana losowo plakietka zawiera spiny o tym samym zwrocie, przekazuje ona swoją opinię R spinom po swojej lewej stronie i R spinom po swojej prawej stronie. W związku z tym w jednym kroku symulacji może zostać zmienionych 2R spinów. Naturalnie, model SM(1) jest tożsamy z oryginalnym modelem Sznajdów. W pracy [19] pokazano, że prawdopodobieństwo ucieczki E(ρ) nie zależy od parametru R. Wobec (L 2) tego jeżeli wybierzemy R, gdzie L jest rozmiarem układu, to układ po pierwszym 2 wyborze uporządkowanej plakietki przejdzie do stanu absorpcyjnego tj. wszystkie spiny przyjmą kierunek spinów wybranej plakietki. Wybrana plakietka może być: jednorodna dwa spiny skierowane w górę z prawdopodobieństwem ρ 2 jednorodna dwa spiny skierowane w dół z prawdopodobieństwem (1 ρ) 2 mieszana z prawdopodobieństwem 1 ρ 2 (1 ρ) 2 1 0.8 E(ρ) 0.6 0.4 0.2 model Sznajdów 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ρ Rysunek 2: Prawdopodobieństwo ucieczki w zależności od początkowej koncentracji spinów dla jednowymiarowego modelu Sznajdów. 12

Prawdopodobieństwo ucieczki jest więc równe prawdopodobieństwu, tego że plakietka skierowana w górę zostanie wybrana przed plakietką skierowaną w dół: E(ρ) = ρ 2 n=0 [1 ρ 2 (1 ρ) 2 ] n = ρ 2 [2ρ 2ρ 2 ] n. (11) Ponieważ ρ 0, 1, więc 2ρ 2ρ 2 < 1, stąd nieskończony szereg geometryczny jest zbieżny: n=0 E(ρ) = ρ 2 1 1 2ρ 2ρ 2. (12) Ostatecznie prawdopodobieństwo ucieczki w jednowymiarowym modelu Sznajdów możemy zapisać w postaci: E(ρ) = ρ 2 ρ 2 + (1 ρ) 2. (13) Wykres przedstawiono na rysunku 2. Ten sam wynik uzyskano wcześniej korzystając z pewnej wersji przybliżenia średniego pola w pracy [20]. W kolejnym rozdziale omawiam model q-votera, który jest naturalnym rozszerzeniem zarówno modelu Sznajdów, jak i liniowego modelu votera. 13

4. Model q-votera Model q-votera jest uogólnieniem wprowadzonego wcześniej liniowego modelu votera. W modelu tym, q sąsiadów danego wyborcy wpływa na jego opinię [21]. Konkretny sąsiad może być wybrany więcej niż raz, upraszcza to analizę modelu, przyspiesza symulacje komputerowe i umożliwia wybór dowolnej wartości q na sieciach regularnych. Jeśli wszyscy sąsiedzi są zgodni (posiadają tę samą opinię) to wyborca przejmuje ją. W przeciwnym wypadku, gdy nie ma konsensusu pomiędzy sąsiadami, wyborca dalej może zmienić swoją opinię na przeciwną z prawdopodobieństwem ɛ. Model q-votera, tak jak model votera, operuje na zbiorze spinów z relacjami sąsiedztwa. Algorytm symulacji modelu q-votera jest bardzo podobny do algorytmu modelu votera i wygląda następująco: (i) W chwili t wybierz losowo spin. (ii) Wybierz losowo jego q sąsiadów. Konkretny sąsiad może być wybrany wiele razy. (iii) Jeśli wszystkich q sąsiadów ma ten sam zwrot spinu, wybrany spin przybiera tą wartość. (iv) Jeżeli sąsiedzi nie są w konsensusie, to wybrany spin może zmienić zwrot z prawdopodobieństwem ɛ. (v) Uaktualnij czas zgodnie ze wzorem t t + 1/N, gdzie N oznacza liczbę spinów. Należy zauważyć, że pomimo wprowadzenia możliwości niezależnej zmiany wartości spinu sterowanej parametrem ɛ, układ nadal, tak jak w liniowym modelu votera, nie może wyjść ze stanu, w którym wszystkie spiny mają ten sam zwrot jest to stan absorpcyjny modelu. Różnica w stosunku do liniowego modelu votera przejawia się w prawdopodobieństwie zmiany przez wyborcę opinii. Zmiana wartości spinu może być zapisana jako funkcja ułamka niezgadzających się z nim sąsiadów u oraz liczby sąsiadów branych pod uwagę q: f(u, q) = u q + ɛ[1 u q (1 u) q ]. (14) Pierwszy człon równania odpowiada wybraniu q sąsiadów o opinii przeciwnej do opinii rozważanego wyborcy. Drugi człon odpowiada sytuacji, w której nie będzie konsensusu tj. nie wszyscy sąsiedzi będą mieli opinię przeciwną (u q ) i nie wszyscy taką samą ((1 u) q ); wyborca może wtedy zmienić samoistnie swoją opinię na przeciwną z prawdopodobieństwem ɛ. Dla q = 1 otrzymujemy, niezależnie od wartości ɛ, liniowy model votera: f(u, 1) = u 1 + ɛ[1 u 1 (1 u) 1 ] = u. (15) Nieliniowe prawdopodobieństwo zmiany wartości spinu pojawia się dla q 1. Prawdopodobieństwo zmiany wartości spinu f jest zależne od liczby sąsiadów spinu, a więc od liczby całkowitej. Z matematycznego punktu widzenia, nic jednak nie stoi na przeszkodzie 14

aby parametr q był dodatnią liczbą rzeczywistą. Model q-votera ma więc również sens dla niecałkowitych wartości parametru q. Własności modelu q-votera na grafie zupełnym uzyskano w pracy [21]. Uzyskane w niej wyniki potwierdzają fakt, że model q-votera jest uogólnieniem liniowego modelu votera i modelu Sznajdów: (i) Dla q = 1 model sprowadza się do standardowego modelu votera z prawdopodobieństwem ucieczki równym ρ i średnim czasem dochodzenia do stanu absorpcyjnego (konsensusu), rosnącym liniowo dla ρ > 0.5 wraz ze wzrostem liniowej wielkości układu. (ii) Dla q = 2 model sprowadza się do liniowego modelu votera jeśli ɛ = 0.5. Dla ɛ = 0 model dwu-votera jest wariantem modelu Sznajdów którego zasady można sformułować następująco: wybieramy parę sąsiadujących ze sobą spinów i jeżeli są one w tym samym stanie, to ustawiamy jednego z sąsiadów tej pary zgodnie z jej zwrotem; jeżeli nie, to nie dokonujemy żadnych zmian w układzie. Warto zwrócić uwagę na zależność kształtu krzywej prawdopodobieństwa ucieczki od rozmiaru układu (Rys. 3). Wraz ze wzrostem układu, krzywa ta coraz bardziej przypomina krzywą schodkową. Rysunek 3: Prawdopodobieństwo ucieczki E(x) jako funkcja początkowej koncentracji spinów (oznaczonej tutaj jako x) i różnych wielkości układów N, dla grafu zupełnego z q = 4 i ɛ = 3 / 7. Im większy rozmiar układu, tym krzywa w punkcie x = 1 / 2 jest bardziej stroma. Linie reprezentują wyniki analityczne, a zaznaczone punkty wyniki bezpośrednich symulacji. Wykres zaczerpnięto z pracy [21]. 15

4.1. Model q-votera w jednym wymiarze dla ɛ = 0 W jednowymiarowym modelu q-votera rozpatrujemy L spinów rozłożonych na pierścieniu. W każdym elementarnym kroku czasowym wybieramy losowo plakietkę sąsiadujących ze sobą q spinów. Jeżeli mają one ten sam stan (wszystkie są skierowane w górę lub w dół), to wpływają one na sąsiadujące z plakietką spiny. Jeżeli plakietka nie jest w stanie konsensusu, to nic w układzie się nie zmienia. W zależności od wpływu plakietki na sąsiednie spiny, wyróżniamy dwa warianty modelu. W przypadku, gdy wszystkie q spinów w plakietce ma ten sam zwrot, możemy zmieniać spiny po: (i) Jednej stronie zmieniamy losowo wybrany spin sąsiadujący z początkowo wybraną plakietką. (ii) Obu stronach zmieniamy spiny sąsiadujące po obu stronach wybranej plakietki. Dla przypadku reguły jednej strony oraz q = 1, otrzymujemy liniowy model votera, a dla q = 2 i reguły obu stron model Sznajdów. Tak zdefiniowany model q-votera ma ciekawe własności na jednowymiarowym pierścieniu. Jeżeli w układzie nie ma plakietki sąsiadujących spinów w tym samym kierunku o długości co najmniej q, to układ jest zablokowany i nie może dalej ewoluować. Prawdopodobieństwo takiego układu rośnie oczywiście wraz ze wzrostem długości plakietki q. Zwróćmy uwagę na to, że taki układ możemy otrzymać losując stan początkowy, nie jest on możliwy do osiągnięcia w toku ewolucji układu. Wynika to z faktu, że po każdym kroku symulacji układ pozostaje bez zmian lub domena spinów, z której wylosowaliśmy plakietkę, powiększa się. Nigdy nie zdarzy się, że w wyniku symulacji otrzymamy układ ze wszystkimi domenami mniejszymi niż rozmiar wybieranej plakietki q. Wobec tego układy które nie mogą ewoluować stanowią osobną klasę, której nie będziemy uwzględniać w dalszych rozważaniach. Oczywiście dla q = 1 układ zawsze będzie mógł ewoluować, natomiast dla q = 2 pojawia się już stan zablokowany antyferromagnetyk ze spinami o przeciwnych zwrotach ułożonymi na przemian. Sytuacje tą przedstawiono na rysunku 4. Jeżeli układ może ewoluować, tj. znajduje się w nim plakietka jednakowych spinów o długości q to układ zawsze dojdzie do stanu absorpcyjnego ferromagnetyka: wszystkie spiny w układzie będą miały taką samą wartość. Rysunek 4: Sześcio-elementowy pierścień spinów w stanie antyferromagnetyka. Wartości spinów +1, 1 zostały zobrazowane przez strzałki skierowane w górę i w dół. W modelu q-votera dla q 2 układ ten nie może ewoluować, gdyż nie można wybrać plakietki q spinów mających tę samą wartość, co jest warunkiem zmiany sąsiadujących z nią spinów. 16

Znając powyższe własności możemy wyprowadzić formułę prawdopodobieństwa ucieczki w przypadku średniopolowym. Wprowadźmy następujące oznaczenia: N q + (t) średnia liczba plakietek o q spinach +1 Nq (t) średnia liczba plakietek o q spinach 1 ρ(t) koncentracja spinów +1 w chwili czasu t L liczba wszystkich spinów (rozmiar układu) Średnia liczba plakietek o długości q złożonych z wszystkich spinów +1 wynosi: N + q (t) = ρ q (t)l, (16) a dla plakietek złożonych ze spinów 1: N q (t) = [1 ρ(t)] q L. (17) Wprowadźmy wielkość m q (t), zdefiniowaną następująco: m q (t) = N + q (t) N q (t) N + q (t) + N q (t) = ρ(t)q L [1 ρ(t)] q L ρ(t) q L + [1 ρ(t)] q L Dla q = 1 otrzymujemy średnią magnetyzację postaci: = 2ρ(t)q ρ(t) q [1 ρ(t)] q ρ(t) q + [1 ρ(t)] q ρ(t) q = 2 ρ(t) q 1. (18) + [1 ρ(t)] q m 1 (t) = N + 1 (t) N 1 (t) N + 1 (t) + N 1 (t) Ponieważ ρ( ) = E(ρ), możemy ogólnie zapisać: = N + 1 (t) N 1 (t) L = 2ρ(t) 1. (19) m q ( ) = E(ρ) [1 E(ρ)] = 2E(ρ) 1. (20) Dla liniowego modelu votera, zgodnie z równaniem (7): E(ρ) = ρ. (21) 17

Stąd otrzymujemy, że uogólniona magnetyzacja w liniowym modelu votera jest stała w czasie: m 1 ( ) = m 1 (0) = 2ρ 1. (22) Jeżeli przyjmiemy założenie, że dla każdego q uogólniona magnetyzacja m q jest stała w czasie: m q ( ) = m q (0), (23) to korzystając z (20) i (18), dostajemy wyrażenie: ρ q 2E(ρ) 1 = 2 ρ q 1, (24) + (1 ρ) q a z niego postać prawdopodobieństwa ucieczki dla dowolnego q E(ρ) = ρ q ρ q + (1 ρ) q. (25) Dla q = 1 otrzymujemy taką samą postać prawdopodobieństwa ucieczki jak w liniowym modelu votera (8), natomiast dla q = 2, taką jak dla modelu Sznajdów (13). Krzywą prawdopodobieństwa ucieczki dla kilku wartości q przedstawiono na rysunku 5. Wynik otrzymany analitycznie zgadza się z wynikami symulacji Monte Carlo przedstawionymi na rysunku 6. Opis metody Monte Carlo, jak i uzyskane za jej pomocą wyniki, zostaną zaprezentowane w następnym rozdziale. 1 0.8 E(ρ) 0.6 0.4 model Votera, q = 1 0.2 model Sznajdów, q = 2 q = 3 q = 5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ρ Rysunek 5: Prawdopodobieństwo ucieczki w zależności od początkowej koncentracji spinów ρ dla jednowymiarowego modelu q-votera. 18

4.2. Zależność prawdopodobieństwa ucieczki w modelu q-votera od zasięgu oddziaływania Podobnie jak w modelu Sznajdów, tak i w modelu q-votera możemy wprowadzić zasięg oddziaływania R. Do tej pory rozważaliśmy sytuacje gdzie R = 1, zmienialiśmy spiny w bezpośrednim sąsiedztwie plakietki q spinów. Teraz nie muszą być to pojedyncze spiny, mogą być to również całe plakietki o długości R większej niż jeden. Okazuje się, że podobnie jak w modelu Sznajdów, długość zmienianej plakietki nie ma wpływu na prawdopodobieństwo ucieczki [5]. Wielkość układu także nie zmienia prawdopodobieństwa ucieczki. Wyniki symulacji Monte Carlo, przedstawione na rysunku 7, zostały omówione w kolejnym rozdziale. Korzystając z faktu, iż zasięg oddziaływania nie zmienia prawdopodobieństwa ucieczki, możemy wyprowadzić formułę prawdopodobieństwa ucieczki tak jak to zrobiliśmy dla modelu Sznajdów w rozdziale 3.1. Dla R (L q)/2 (w przypadku reguły obu stron ) lub R L q (dla jednej strony ) układ jest jednorodny po pierwszym wybraniu plakietki q takich samych spinów. Wybierając taki zasięg oddziaływania, otrzymujemy, że prawdopodobieństwo ucieczki jest równe prawdopodobieństwu wyboru plakietki q spinów +1: E(ρ) = ρ q ρ q + (1 ρ) q. (26) Jest to wyprowadzenie alternatywne, opierające się na uzyskanej w wyniku symulacji, nieistotności zasięgu oddziaływania. Poprzednie wyprowadzenie bazowało natomiast na założeniu o niezmienności wyrażenia m q w czasie (23). Oba wyprowadzenia nie opierają się jedynie na zasadach pierwszych, są w pewnym sensie przybliżone. Jednakże wyniki pokrywają się i dodatkowo zostały potwierdzone przez symulacje Monte Carlo, można więc powiedzieć, że znaleziono niezmiennik modelu uogólnioną magnetyzację m q. W następnym rozdziale opisuję metodę Monte Carlo i przedstawiam wyniki symulacji przeprowadzonych tą metodą. Okaże się, że wyprowadzona przy opisanych powyżej założeniach, formuła na prawdopodobieństwo ucieczki, doskonale zgadza się z danymi otrzymanymi za pomocą symulacji skończonych układów. 19

5. Wyniki symulacji Monte Carlo 5.1. Symulacje metodą Monte Carlo Metodę Monte Carlo zawdzięczamy Stanisławowi Ulamowi, który w trakcie rekonwalescencji po chorobie w 1946 roku, zadał sobie pytanie o szansę na pomyślne ułożenie 52 kartowego pasjansa Canfielda [22]. Rachunki kombinatoryczne okazały się zbyt skomplikowane i Ulam zaczął myśleć o bardziej praktycznej metodzie, która dała by odpowiedź na nurtujące go pytanie. Rozwiązaniem okazało się ułożenie dużej liczby pasjansów, na przykład stu, i policzenie ile z nich zakończyło się sukcesem. Działo się to na początku ery coraz szybszych komputerów i Ulam natychmiast pomyślał o wykorzystaniu tej metody w problemach rozpraszania neutronów i innych zagadnieniach fizyki matematycznej, którymi zajmował się wtedy w Los Alamos. Sama nazwa metody Monte Carlo pochodzi od sławnego kasyna, a zaproponował ją Nicolas Metropolis cytując wujka Ulama, który pożyczając pieniądze od znajomych zwykł mawiać, że musi właśnie jechać do Monte Carlo [23]. Formalną definicją metody Monte Carlo, może być ta zaproponowana przez Dietera Heermanna [4]: Metoda Monte Carlo, polega na przedstawieniu rozwiązania postawionego problemu w postaci parametru pewnej hipotetycznej populacji i używaniu losowej sekwencji liczb do tworzenia próbki tej populacji, na podstawie której można dokonać statystycznego oszacowania wartości badanego parametru. Podana powyżej definicja wskazuje na fakt, iż metoda Monte Carlo może być zastosowana w szerokiej gamie problemów, najczęściej nie rozwiązywalnych analitycznie. Jako przykład może posłużyć zagadnienie perkolacji, w którym siatka posiada zapełnione pola z koncentracją p. Interesującymi właściwościami takich układów jest np. średnia wielkość klastra w układzie (zapełnionych pól połączonych relacją najbliższego sąsiedztwa) w zależności od koncentracji p. Innym zagadnieniem jest tak zwany próg perkolacji, a więc wartości parametru p dla którego w układzie tworzy się klaster łączący dwa przeciwne brzegi układu. Właściwości takich obiektów są kluczowe w zagadnieniach fizycznych takich jak na przykład przewodnictwo elektryczne mieszanin lub przepływ cieczy przez ośrodki porowate. Jako kolejny przykład wykorzystania metody Monte Carlo można wskazać dyfuzyjny wzrost klastrów (ang. diffusion limited aggregation DLA), gdzie cząstki poruszają się losowo w przestrzeni, aż do momentu napotkania zalążka do którego przyklejają się i powiększają go. Fraktalne właściwości takich obiektów są źródłem dużego zainteresowania, a ponieważ nie istnieje żadna uznana teoria analityczna, symulacje komputerowe są podstawą badań DLA. Fenomen DLA został po raz pierwszy odkryty właśnie za pomocą symulacji Monte Carlo [24]. Metoda Monte Carlo jest także podstawą symulacji i badania właściwości modeli na układach spinowych, w tym tych opisanych w niniejszej pracy. 20

5.2. Symulacja prawdopodobieństwa ucieczki w modelu q-votera W celu sprawdzenia hipotezy o postaci prawdopodobieństwa ucieczki, danej wzorem (25), dla modelu q-votera na jednowymiarowym pierścieniu przeprowadzono szereg symulacji metodą Monte Carlo. Jako stan początkowy ustalono pierścień spinów o długości L, w którym koncentracja spinów +1 wynosiła ρ 0 ρ. Następnie uaktualniano układ zgodnie z algorytmem modelu q-votera, opisanym w rozdziale 4, do chwili osiągnięcia przez niego stanu absorpcyjnego. Notowano stan układu, a więc wartość jaką przyjęły wszystkie spiny układu. Procedurę powtarzano dla konkretnej wartości ρ N razy. Wskutek tego można było przybliżyć prawdopodobieństwo ucieczki E(ρ) przez stosunek liczby symulacji zakończonych stanem +1 do liczby wszystkich symulacji. Wyniki symulacji Monte Carlo dla różnych wartości parametru q oraz porównanie z formułą analityczną (25) przedstawiono na rysunku 6. Jak widać zgodność wyniku analitycznego z symulacjami można uznać za bardzo dobrą pomimo, że rozmiar sieci L nie jest zbyt duży. 1 0.8 0.6 E(ρ) 0.4 0.2 q=2 q=3 q=4 q=5 q=10 ρ q / [ρ q +(1 ρ) q ] 0 0 0.2 0.4 ρ 0.6 0.8 1 Rysunek 6: Prawdopodobieństwo ucieczki dla modelu q-votera na jednowymiarowym pierścieniu o długości L = 100. Uśrednienia dokonano na próbie N = 10 4 symulacji. Widać całkowitą zgodność symulacji Monte Carlo z zaproponowanym wynikiem analitycznym (25). Wykres pochodzi z pracy [5]. Na rysunku 7 przedstawiono zależność prawdopodobieństwa ucieczki od rozmiaru układu i zasięgu oddziaływania. Wyniki symulacji potwierdziły brak wpływu zasięgu oddziaływania na prawdopodobieństwo ucieczki. Co więcej, wpływu nie ma także rozmiar układu. Analogiczny rezultat otrzymano dla modelu Sznajdów [20], który jest szczególnym przypadkiem modelu q-votera. Należy podkreślić, że wyniki te uzyskano dla jednowymiarowego modelu q-votera, na grafie zupełnym widoczna jest już silna zależność od rozmiaru układu (Rys. 3). 21

1 0.8 0.6 E(ρ) 0.4 L=100, R=1 L=100, R=5 0.2 L=500, R=1 L=500, R=5 L=1000, R=1 L=1000, R=5 0 0 0.2 0.4 ρ 0.6 0.8 1 Rysunek 7: Prawdopodobieństwo ucieczki dla nieliniowego modelu (q = 2)-votera na jednowymiarowym pierścieniu o długości L. Prawdopodobieństwo ucieczki nie zmienia się ze zmianą wielkości układu L, ani z zasięgiem oddziaływań R. Analogiczne rezultaty otrzymujemy dla dowolnej wartości q. Uśrednienia dokonano na próbie N = 10 4 symulacji. Wykres pochodzi z pracy [5]. 5.3. Znaczenie wyboru pierwszej plakietki w modelu q-votera W rozdziale 4.2 przedstawiono następujące rozumowanie: jeżeli długość R zmienianej plakietki w modelu q-votera nie ma znaczenia, to można ją wybrać tak, aby zmienić za jednym razem cały układ. Jest to ideowo zbieżne z tym co zaprezentowali w swojej pracy Galam i Martins [25]. Zaproponowali oni prostą kwazi-deterministyczną procedurę, która sprowadza układ do absorpcyjnego stanu ferromagnetyka z takim samym prawdopodobieństwem jak w modelu Sznajdów. W ich podejściu wybieramy trójkę spinów. Procedurę jej wyboru można opisać następująco: (i) Wybierz losowo spin s(x). (ii) Dobierz losowo dwójkę jego sąsiadów po stronie lewej: s(x 2), s(x 1), lub po stronie prawej: s(x + 1), s(x + 2). Jeżeli wybrane w drugim kroku spiny mają taką samą wartość, to początkowo wybrany spin przyjmuje wartość z nią zgodną. W przeciwnym wypadku nic się nie dzieje kontynuujemy symulację wracając do kroku pierwszego. Prawdopodobieństwo, że wybrany spin przyjmie wartość +1, jest równe prawdopodobieństwu, tego że będzie miał on parę spinów o wartościach +1 po swojej lewej lub prawej stronie. Co do wartości jest ono równe 1 2 ρ2 0 + 1 2 ρ2 0 = ρ 2 0. (27) 22

Analogicznie, prawdopodobieństwo, że spin przyjmie wartość 1 jest równe: (1 ρ 0 ) 2. (28) Z uwagi na to, że pominięto sytuację, w której mamy parę mieszaną, s(x 2) = s(x 1) lub s(x + 1) = s(x + 2), prawdopodobieństwa te nie sumują się do jedynki. Należy je więc przeskalować przez ich sumę. Otrzymujemy wtedy, że prawdopodobieństwo przyjęcia wartości +1 przez jeden ze spinów układu, wynosi: ρ 1 = ρ 2 0 ρ 2 0 + (1 ρ 0) 2. (29) Taki sam rezultat dostajemy przy wyborze kolejnej trójki spinów. Zaproponowana procedura, realizująca powyższy algorytm, mogłaby wyglądać następująco: (i) Wybierz losowo parę sąsiadujących spinów o takiej samej wartości (ii) Przypisz wartość wybranej pary spinowi po jej lewej lub prawej stronie. (iii) Wybierz kolejną trójkę, która zawiera dokładnie dwa spiny z poprzednio wybranej trójki. (iv) Powtarzaj powyższy krok tak długo, aż układ nie będzie zawierał wszystkich spinów o takiej samej wartości. Stosując tę procedurę otrzymujemy E(ρ) = ρ 1 = ρ 2 0 ρ 2 0 + (1 ρ 0) 2, (30) co zgadza się zarówno z wynikiem otrzymanym dzięki zasięgowi oddziaływania (13), jak i przy założeniu o niezmienności magnetyzacji w czasie (25). Jedynym losowym krokiem w procedurze, jaką zaproponowali Galam i Martins, jest wybór pierwszej pary spinów dalsza ewolucja jest w pełni deterministyczna. Aby zobaczyć jaki rzeczywiście jest wpływ wyboru pierwszej plakietki na końcowy stan układu wykonano dwa typy symulacji. W pierwszym kroku wybierano losowo plakietkę q spinów o wartości +1 lub 1 i pozwalano ewoluować układowi w standardowy sposób. Oznaczmy prawdopodobieństwo ucieczki w pierwszym przypadku przez E + (ρ), a w drugim przez E (ρ). Jeżeli wybór pierwszej plakietki nie wpływa na prawdopodobieństwo ucieczki powinniśmy uzyskać E + (ρ) = E (ρ). Na rysunku 8 zaznaczono różnicę E + (ρ) E (ρ) dla kilku wartości q. Jak widać różnica ta rośnie wraz z q co jest całkiem zrozumiałe. Dla dużych wartości q trudno jest znaleźć jednorodną plakietkę, w szczególności gdy ρ 0.5 (w układzie przeważają wtedy małe plakietki). Prawdopodobieństwo znalezienia plakietki złożonej z q spinów o wartości +1 jest równe ρ q, podczas gdy prawdopodobieństwo znalezienia plakietki o q spinach 1 jest równe 23

0.5 0.4 q=2 q=3 q=4 q=5 [E + (ρ) E (ρ)] 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ρ Rysunek 8: Różnica pomiędzy dwoma prawdopodobieństwami ucieczki E + (ρ) i E (ρ) dla rozmiaru sieci L = 100 i zasięgu oddziaływania R = 1. W przypadku E + (ρ) w pierwszym kroku symulacji wybierano plakietkę q spinów o wartości +1, a w przypadku E (ρ) q spinów o wartości 1. Widać dobrze jak wybór pierwszej plakietki wpływa na prawdopodobieństwo ucieczki. Uśrednienia dokonano na próbie N = 10 6 symulacji. Wykres pochodzi z pracy [5]. 0.5 0.4 0.3 t=10 4 t=0.5 t=1 t=5 t=10 t=80 ρ(t) 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ρ(0) Rysunek 9: Frakcja spinów +1 po czasie t mierzonym w krokach Monte Carlo. Wykres pochodzi z pracy [5]. 24

(1 ρ) q. Tłumaczy to kształt krzywych pokazanych na rysunku 8. Jednakże, dla q = 2 (modelu Sznajdów) waga wyboru pierwszej plakietki nie jest zbyt wysoka, więc kwazi-deterministyczna procedura zaproponowana przez Galama i Martinsa [25] nie może być wytłumaczeniem analitycznej formuły na E(ρ). Wyniki odnośnie znaczenia zasięgu oddziaływania R należy traktować raczej statystycznie. Fakt, że R nie wpływa na prawdopodobieństwo ucieczki nie znaczy, że jest całkiem nieistotny. W przeciwnym razie pierwszy wybór determinowałby stan końcowy układu, co oczywiście nie jest prawdą (Rys. 8, 9). Mimo, że wybór pierwszej plakietki nie determinuje rezultatu symulacji, to pierwsze kroki symulacji są najistotniejsze. Zobrazowano to na wykresie przedstawiającym prawdopodobieństwo ρ(t) wyboru spinu o wartości +1 jako funkcji początkowego prawdopodobieństwa ρ dla kilku czasów symulacji t (Rys. 9). Jak widać, po kilku krokach Monte Carlo, ρ(t) zbiega się z E(ρ). Nasuwa się zatem pytanie, dlaczego dalsze kroki symulacji nie zmieniają postaci E(ρ). Aby to zrozumieć, należy zaznaczyć, że wzór (25) jest poprawny jedynie dla losowych warunków początkowych, to znaczy kiedy spiny +1 i 1 są rozłożone jednorodnie. Rozważmy jednak sytuację krańcowo inną układ złożony z dwóch klastrów. Pierwszy z nich, ze spinami +1, miałby długość ρl, a drugi ze spinami 1 długość (1 ρ)l. W takim przypadku otrzymamy końcowy stan o wszystkich spinach +1 z prawdopodobieństwem ρ. Dzieje się tak dlatego, że w takim przypadku prawdopodobieństwo wybrania plakietki q spinów +1 jest równe ρ (dla nieskończonej wielkości układu L). Taki sam rezultat został otrzymany dla modelu Sznajdów w pracy [20]. W związku z tym, zaraz po tym jak układ przyjmie formę kilku domen, ρ(t) nie będzie się dalej zmieniało. 25

6. Podsumowanie Głównym celem pracy było zbadanie właściwości prawdopodobieństwa ucieczki w modelu q-votera na jednowymiarowym pierścieniu. W tym kierunku wykonano szereg symulacji Monte Carlo, pozwalających na sprawdzenie przewidywań teoretycznych oraz poznanie przebiegu ewolucji układu. Pokazano, że zaproponowana postać formuły na prawdopodobieństwo ucieczki zgadza się z wynikami przeprowadzonych symulacji (Rys. 6). Na podstawie symulacji stwierdzono również, że prawdopodobieństwo ucieczki nie zmienia się zarówno ze zmianą wielkości układu L, ani z zasięgiem oddziaływań R (Rys. 7). Sprawdzono wpływ początkowej ewolucji układu na jego końcową postać. Zbadanie zależności pomiędzy zwrotem pierwszej wybranej pary, a prawdopodobieństwem ucieczki pozwoliło stwierdzić, że znaczenie tego wyboru rośnie wraz ze wzrostem rozmiaru plakietki q oraz, że osiąga maksimum dla początkowej koncentracji spinów +1 równej 0.5 (Rys. 8). Z kolei wykres frakcji spinów +1 w czasie (Rys. 9) pozwolił zauważyć, że zaraz po tym jak układ przyjmie formę kilku domen, dalsza ewolucja ρ(t) zatrzymuje się. Z powyższych wyników wypływa wniosek, że pierwszy krok symulacji nie determinuje w pełni jej wyniku, a jedynie ma na niego duży wpływ. Przeprowadzone badania pozwalają lepiej zrozumieć, dlaczego wyniki symulacji tak doskonale zgadzają się z formułą analityczną. Należy podkreślić, że po raz pierwszy rozważano model q-votera w jednym wymiarze. Uzyskano dla niego analitycznie formułę opisującą prawdopodobieństwo ucieczki, a jej postać przybliżyły przeprowadzone symulacje. Pozwoliły one również na weryfikację wcześniejszych hipotez związanych z modelem Sznajdów w tym dotyczących zasięgu oddziaływania oraz wyboru pierwszej plakietki. Wyniki przedstawione na rysunkach 8 i 9, otrzymane przeze mnie samodzielnie, stanowią mój wkład w pracę [5]. Powstały one w celu zbadania znaczenia wyboru pierwszej plakietki oraz wczesnych kroków ewolucji układu. Wyniki dotyczące prawdopodobieństwa ucieczki, przedstawione na rysunkach 6 i 7, zostały uzyskane niezależnie przeze mnie i Piotra Przybyłę współautora pracy [5], która zawiera również inne wyniki przedstawione w tej pracy magisterskiej. 26

Literatura [1] Bikas K. Chakrabarti, Anirban Chakraborti, Arnab Chatterjee. Econophysics and Sociophysics: Trends and Perspectives. WILEY-VCH Verlag GmbH and Co. KGaA, 2006. [2] Dietrich Stauffer, Suzana Moss de Oliveira, Paulo de Oliveira, Jorge de Sá Martins. Biology, Sociology, Geology by Computational Physicists. Elsevier, 2006. [3] Nicholas Metropolis, Arianna W. Rosenbluth, Marshall N. Rosenbluth, Augusta H. Teller, Edward Teller. Equation of state calculations by very fast computing machines. The Journal of chemical physics, 21(6):1087 1092, 1953. [4] Dieter W. Heermann. Computer simulation methods in theoretical physics. Springer-Verlag, 1990. [5] Piotr Przybyla, Katarzyna Sznajd Weron, Maciej Tabiszewski. Exit probability in a onedimensional nonlinear q-voter model. Physical Review E, 84(3):031117, 2011. [6] Peter Clifford, Aidan Sudbury. A model for spatial conflict. Biometrika, 60(3):581 588, 1973. [7] Richard A. Holley, Thomas M. Liggett. Ergodic theorems for weakly interacting infinite systems and the voter model. The Annals of Probability, 3(4):643 663, 1975. [8] Thomas M. Ligget. Interacting particle systems. Springer, 1985. [9] Claudio Castellano, Santo Fortunato, Vittorio Loreto. Statistical physics of social dynamics. Revievs of modern physics, 81(2):591 646, 2009. [10] Federico Vazquez, Paul L. Krapivsky, Sidney Redner. Constrained opinion dynamics: freezing and slow evolution. Journal of Physics A, 36(3):L61, 2003. [11] Renfrey Potts. Some generalized order-disorder transformations. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 48(01):106 109, 1952. [12] Pavel L. Krapivsky, Sidney Redner, Eli Ben-Naim. A Kinetic View of Statistical Physics. Cambridge University Press, 2010. [13] Krzysztof Suchecki, Victor M. Eguıluz, Maxi San Miguel. Conservation laws for the voter model in complex networks. Europhysics letters, 69(2):228 234, 2005. [14] Vishal Sood, Tibor Antal, Sidney Redner. Voter models on heterogeneous networks. Physical Review E, 77(4):041121, 2008. [15] René Ochrombel. Simulation of Sznajd sociophysics model with convincing single opinions. International Journal of Modern Physics C, 12(7):1091, 2001. 27

[16] Dietrich Stauffer. Sociophysics simulations II: opinion dynamics. AIP Conference Proceedings, strony 56 68, 2005. [17] Katarzyna Sznajd-Weron, Józef Sznajd. Opinion evolution in closed community. International Journal of Modern Physics, 11:1157, 2000. [18] Laxmidhar Behera, Frank Schweitzer. On spatial consensus formation: Is the Sznajd model different from a Voter model? International Journal of Modern Physics C, 14:22, 2003. [19] Claudio Castellano, Romualdo Pastor-Satorras. Irrelevance of information outflow in opinion dynamics models. Physical Review E, 83(1):016113, 2011. [20] František Slanina, Katarzyna Sznajd-Weron, Piotr Przybyła. Some new results on onedimensional outflow dynamics. Europhysics Letters, 82(1):18006, 2008. [21] Claudio Castellano, Miguel A. Muñoz, Romualdo Pastor-Satorras. The non-linear q-voter model. Physical Review E, 80(4):041129, 2009. [22] Roger Eckhardt. Stan Ulam, John von Neumann, and the Monte Carlo method. Los Alamos Science Special Issue, strony 131 143, 1987. [23] Nicolas Metropolis. The beginning of the Monte Carlo method. Los Alamos Science Special Issue, strony 125 130, 1987. [24] David P. Landau, Kurt Binder. A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. Cambridge University Press, 2005. [25] Serge Galam, A. C. R. Martins. Pitfalls driven by the sole use of local updates in dynamical systems. Europhysics Letters, 95(4):48005, 2011. 28

PHYSICAL REVIEW E 84, 031117 (2011) Exit probability in a one-dimensional nonlinear q-voter model Piotr Przybyła, Katarzyna Sznajd-Weron, and Maciej Tabiszewski Institute of Theoretical Physics, University of Wrocław, pl. Maxa Borna 9, 50-204 Wrocław, Poland (Received 4 July 2011; published 13 September 2011) We formulate and investigate the nonlinear q-voter model (which as a special case includes the linear voter and the Sznajd model) on a one-dimensional lattice. We derive an analytical formula for the exit probability and show that it agrees perfectly with Monte Carlo simulations. The puzzle that we deal with here may be summarized by a simple question: Why does the mean-field approach give the exact formula for the exit probability in the one-dimensional nonlinear q-voter model? To answer this question, we test several hypotheses proposed recently for the Sznajd model, including the finite size effects, the influence of the range of interactions, and the importance of the initial step of the evolution. On the one hand, our work is part of a trend of the current debate on the form of the exit probability in the one-dimensional Sznajd model, but on the other hand, it concerns the much broader problem of the nonlinear q-voter model. DOI: 10.1103/PhysRevE.84.031117 PACS number(s): 64.60.Ht, 05.70.Ln I. INTRODUCTION The linear voter model [1], one of the most recognized in a field of nonequilibrium phase transitions, is not only a toy model of an Ising spin system but also a caricature of opinion dynamics. One of the main reasons for its importance is the fact that the linear voter model (VM) is solvable in an arbitrary spatial dimension. However, from a social point of view it is definitely too simplified and therefore several other models of opinion dynamics, based on Ising spins, have been introduced (for an excellent recent review, see [2]), e.g., the Sznajd model [3] or the majority model [4,5]. Of course, it happens that seemingly different models give the same results or even can be formulated in such a way that they appear to be identical. For example, it has been shown that the original one-dimensional Sznajd model [3] can be rewritten as a classical voter model [6]. However, the most commonly used version, in which only the unanimous pair changes the state of the system, differs significantly from the VM. Nevertheless, it has been suggested that this case could be described by a broader class of nonlinear voter models [7,8]. Recently, a particularly interesting nonlinear variant of the voter model, the q-voter model, has been introduced [8].Inthe proposed model q randomly picked (with possible repetitions) neighbors influence a voter to change its opinion. If all q neighbors agree, the voter takes their opinion; if they do not have a unanimous opinion, a voter can still flip with probability ɛ. Forq = 2 and ɛ = 0 the model is almost identical to the Sznajd model on a complete graph [9]. The only difference is that in the q-voter model, repetition in choosing neighbors is possible. However, for q = 2 and reasonably large lattice size, this difference is negligible. In this paper we formulate and investigate the q-voter model on a one-dimensional lattice for ɛ = 0. We show that an analytical formula for the exit probability can be derived and that several approaches (among them the simple mean-field approach) appear to lead to the same result. Moreover, the received analytical formula agrees perfectly with Monte Carlo simulations. On the one hand, our work is part of a trend of the current debate on the form of the exit probability in the one-dimensional Sznajd model [10 13]. On the other hand, it concerns the much broader problem of the nonlinear q-voter model. The puzzle that we deal with here may be summarized by a simple question: Why does the mean-field approach give the exact formula for the exit probability in the one-dimensional nonlinear q-voter model? We have to admit here that our question has been strongly inspired by the initial twofold question of Galam and Martins: Why does the mean-field approach give the exact formula for the exit probability in the one-dimensional modified Sznajd model, or why do the Monte Carlo simulations incorrectly give a mean-field result? Their recent paper [13] concludes with, Therefore the question is open for future work to settle: either there is an explanation of why the system studied here exhibits mean-field behavior or why different simulations of the same system for different sizes all produced, incorrectly, a similar mean-field result. We extend their question to the generalized q-voter model, and show by computer simulation which explanation of the puzzle given in [13] is more probable. II. NONLINEAR Q-VOTER MODEL IN ONE DIMENSION We consider a system of L spins S i =±1 located on a one-dimensional ring. At each elementary time step t a panel of q neighboring spins S i,s i+1,...,s i+q 1 is picked at random. If all q neighbors are in the same state, they influence surrounding spins; if all spins in the q-panel are not equal then nothing changes. Two versions of the model are considered: (1) Both sides. The q panel influences R neighbors on the left side and the right side of the panel simultaneously all spins S i R (t + t),s i R+1 (t + t),...s i 1 (t + t) and S i+q+1 (t + t),s i+q+2 (t + t),...s i+q+r 1 (t + t) take the state of the panel, i.e., S i (t). It is easy to notice that for R = 1 and q = 2 we deal with the original Sznajd model. (2) Random. The q panel influences R neighbors only on the one randomly chosen side (left or right) with probability 1/2 spins S i R (t + t),s i R+1 (t + t),...s i 1 (t + t) S i (t) or, with the same probability, S i+q+1 (t + t),s i+q+2 (t + t),...s i+q+r 1 (t + t) S i (t). In this case for R = 1 and q = 2 we deal with the modified version of the Sznajd model, introduced by Slanina [11]. For R = 1 and q = 1 we obtain the original linear voter model [14]. After one elementary step time increases by t = 1/L. Therefore the time unit corresponds to one Monte Carlo step (MCS). 1539-3755/2011/84(3)/031117(5) 031117-1 2011 American Physical Society