St. Pod. dla Nauczycieli Metodyka nauczania algebry 2 7.05.2006 1. Procenty 1. Daną liczbę zmniejszono o 22%, potem wynik zwiększono o 25% i w rezultacie otrzymano liczbę o 55 mniejszą od danej. Ile wynosi dana liczba? (2200) 2. Cena jabłek jest o 30% wyższa od ceny ziemniaków i jest o 35% niższa od ceny pomarańczy. O ile procent cena pomarańczy jest wyższa od ceny ziemniaków? (100%) 3. W szkole nr2 jest o 10% więcej chłopców i o 20% więcej dziewczynek niż w szkole nr1. O ile procent więcej jest młodzieży w szkole nr2 niż w szkole nr1, jeśli w szkole nr1 jest o 30% więcej chłopców niż dziewczynek? (o 14, 4%) 4. Bilet na pokazy kosztował 15 zł. Po obniżce cen liczba widzów wzrosła o 50% a kwota uzyskana ze sprzedaży biletów wzrosła o 25%. O ile złotych obniżono cenę biletu? (o 2,50 zł) 5. W początku roku dziewczęta stanowiły 3 całej klasy. Gdy przybyły 4 nowe uczennice, to dziewczęta stanowiły już 50% całej klasy. Ile dzieci było w tej klasie w początku roku? 7 (28) 6. W kopalniach A i B planowano wydobyć 20000 ton węgla a wydobyto o 133 tony więcej, przy czym kopalnia A przekroczyła swój plan o 2% a kopalnia B wydobyła o 1% mniej węgla, niż planowano. Ile węgla planowano wydobyć w każdej kopalni? (11100 t, 8900 t) 7. Zakład wyprodukował w I kwartale 200 ton wyrobów, w tym 80% wyrobów I gatunku. W II kwartale zakład wyprodukował 300 ton wyrobów, w tym 90% I gatunku. Ile procent wyrobów I gatunku zakład wyprodukował w I półroczu? (86%) 8. Oprocentowanie lokat terminowych w banku wynosi w stosunku rocznym dla lokat 3-miesięcznych 4,10% a dla lokat 6-miesięcznych 4,55%. Oblicz, jaki zysk przyniesie każda z lokat po sześciu miesiącach, jeśli po upływie trzech miesięcy pierwszą lokatę ponowimy wraz z odsetkami. (2,061%, 2,275%) 9. Przedstaw liczbę 51 w postaci sumy czterech składników tak, aby stosunek pierwszego do drugiego był równy 2 : 3, stosunek drugiego do trzeciego był równy 5 : 6, a trzeciego do czwartego 3 : 7. (6+9+10,8+25,2) 10. Zimą 9% rdzennej ludności miasta pracuje w przemyśle. Latem 36% rdzennej ludności miasta wyjeżdża na wakacje, ale procentowy udział ludności zatrudnionej w przemyśle wśród pozostałej w mieście rdzennej ludności pozostaje niezmieniony. Dzięki turystom liczba mieszkańców latem stanowi 80% liczby mieszkańców zimą. Ile procent wszystkich mieszkańców latem pracuje w przemyśle? (7,2%) 11. Z cysterny do basenu przelano najpierw 50% zawartej w niej wody, następnie jeszcze 100 litrów, wreszcie jeszcze 5% reszty. W wyniku tego ilość wody w basenie wzrosła o 31%. Ile wody było początkowo w cysternie, jeśli w basenie początkowo było 2000 litrów wody? (1000 l) 12. Ruda zawiera 40% domieszek, a wytapiany z niej metal 4% domieszek. Ile metalu uzyska się z 24 ton rudy? (15 t) 13. W pierwszym zastrzyku pacjent otrzymał 6 ml leku, a w każdym następnym jeszcze po 4 ml. W ciągu czasu pomiędzy dwoma kolejnymi zastrzykami ilość leku w organizmie pacjenta maleje pięciokrotnie. Ile leku jest w organizmie pacjenta bezpośrednio po trzydziestym zastrzyku? (5 + (0, 2) 29 )
Roztwory i stopy 14. Ile gramów wody należy dodać do 50 gramów 35%-owego roztworu kwasu solnego, żeby otrzymać kwas 10%-owy? (125 g) 15. Woda morska zawiera 4% soli. Ile kg wody morskiej należy wziąć, żeby po odparowaniu otrzymać z niej 10kg soli? (250 kg) 16. Do jakiej wagi należy odparować 800g 10%-owego roztworu soli leczniczej, żeby uzyskać roztwór 16%-owy? (500 g) 17. Mamy 1500 g roztworu soli kuchennej o stężeniu 7,2%. Przez gotowanie odparowano 300 g wody. Ile gramów soli należy dodać, aby stężenie wyniosło 25%? (256 g) 18. Ile kg kwasu siarkowego o stężeniu 40% trzeba zmieszać z 10kg wody, żeby powstał kwas o stężeniu 15%? (6 kg) 19. Mamy dwa naczynia z kwasem solnym o dwóch stężeniach. Po zmieszaniu 6 kg pierwszego kwasu i 4 kg drugiego kwasu otrzymano kwas o stężeniu 52%, a po zmieszaniu 4 kg pierwszego kwasu i 5 kg drugiego kwasu otrzymano kwas o stężeniu 45%. Znajdź stężenie każdego z dwóch kwasów, które mamy. (70%, 25%) 20. Badania wykazały, że nektar kwiatowy zawiera ok. 70% wody, a otrzymany z niego miód ok. 16% wody. Ile kg nektaru muszą przerobić pszczoły, żeby uzyskać 1kg miodu? (ok. 2,8 kg) 21. Świeże grzyby zawierają 90% wody a suszone 12% wody. a) Ile kg suszonych grzybów otrzymamy z 22 kg świeżych grzybów? (2,5 kg) b) Ile ważyły świeże grzyby, z których otrzymano 3 kg grzybów suszonych? (26,4 kg) NaCl KCl I 14,1% 2,5% 22. Są trzy roztwory wodne chlorków sodu i potasu o składzie: II 8,7% 8,2% III 1,5% 5,7%. W jakim stosunku należy je zmieszać, żeby otrzymać roztwór, w którym stężenie każdego z chlorków wyniesie 6%? (1:2:3) 23. Naczynie jest napełnione 80% owym roztworem soli. Ile procent roztworu należy odlać z naczynia, żeby po uzupełnieniu wodą otrzymać roztwór 50% owy? (37,5%) 24. Naczynie jest napełnione wodą. Ile procent wody należy odlać z naczynia, żeby po uzupełnieniu 80% owym roztworem soli otrzymać roztwór o stężeniu 50%? (62,5%) 25. Dzwony odlewa się ze stopu, który zawiera 78% miedzi oraz cynę. Jest 440 kg cyny. Ile kg miedzi należy stopić z tą cyną, żeby otrzymać stop na dzwony? (1560 kg) 26. W pracowni są cztery roztwory soli o różnych stężeniach. Jeśli zmieszać pierwszy, drugi i trzeci w stosunku wagowym 3:2:1, to otrzymamy roztwór o stężęniu 15%. Drugi, trzeci i czwarty roztwór wzięte w jednakowych ilościach dadzą roztwór o stężeniu 24%. Roztwór uzyskany z dwóch jednakowych ilości pierwszego i trzeciego roztworu ma stężenie 10%. Jakie będzie stężenie roztworu otrzymanego przy zmieszaniu drugiego i czwartego roztworu w proporcji 2:1? (29%) 27. Stop srebra i cyny o masie właściwej 9 kg/dm 3 ma masę 10 kg. Ile kg srebra i ile kg cyny zawiera ten stop, jeśli masa właściwa srebra wynosi 10,2 kg/dm 3, a masa właściwa cyny wynosi 7,3 kg/dm 3? (ok 6,64 kg, 3,36 kg)
Praca 28. Brygadzista wydobywa w ciągu jednej zmiany o 10,5 tony więcej węgla niż młody górnik. W ciągu pewnego czasu górnik wydobył 66 ton, a brygadzista 108 ton węgla. Jak długo musiałby pracować górnik, aby wydobyć 1485 ton węgla? (90 dni) 29. Dwaj instalatorzy mieli wykonać razem pewną pracę w ciągu 30 dni. Po sześciodniowej wspólnej pracy jeden z nich zachorował, a drugi pracę dokończył sam w ciągu dalszych 40 dni. W jakim czasie wykonałby cała pracę każdy z instalatorów pracując sam? (75 dni, 50 dni) 30. Dwóch robotników pracując razem wykonało całą pracę w ciągu 5 dni. Gdyby pierwszy pracował 2 razy szybciej, a drugi 2 razy wolniej, to praca ta zajęła by im 4 dni. W ciągu ilu dni może wykonać całą pracę sam pierwszy robotnik? (10 dni) 31. Wanna napełnia się wodą w ciągu 15 minut, a opróżnia się w ciągu 20 minut. W czasie kąpieli gospodarza zepsuł się kran i nie można go było zakręcić. Ile czasu ma gospodarz na sprowadzenie hydraulika (zanim się woda przeleje) jeśli wanna jest napełniona wodą w 40 procentach? Zakładamy oczywiście, że gospodarz od razu wyjął korek spustowy. (36 minut) 32. Wanna napełnia się wodą w ciągu 20 minut a opróżnia się w ciągu 15 minut. Na święta kupiono żywe karpie i wpuszczono do wanny napełnionej wodą w 60 procentach. Psotne dzieci wyciągnęły i schowały korek spustowy. Gospodyni od razu odkręciła kran. Ile czasu ma gospodyni na znalezienie korka (do czasu, aż cała woda wycieknie z wanny)? (36 minut) 33. Zbiornik napełnia się wodą przy użyciu kilku kranów. Na początku zbiornik napełniały 3 krany o jednakowej mocy. Po 2,5 godzinach odkręcono jeszcze 2 krany. Po 1 godzinie od tego momentu brakowało do pełna jeszcze 15 litrów, a zbiornik napełnił się dopiero godzinę później. Każdy z dwóch kranów odkręconych później może napełnić zbiornik sam w ciągu 40 godzin. Oblicz pojemność zbiornika. (60 l) 34. Cztery jednakowe dźwigi zaczęły rozładowywać statek. Po dwóch godzinach włączono jeszcze dwa jednakowe dźwigi, ale o mniejszej mocy. Po 3 godzinach od tego momentu rozładunek zakończono. Gdyby wszystkie dźwigi zaczęły pracę razem, to rozładunek zakończył by się po 4,5 godzinach. Ile godzin trwałby rozładunek statku przy pomocy jednego mniejszego dźwigu? (36 godz) 35. Dwóch robotników wykonało pewną pracę w ciągu 10 dni, przy czym pierwszy z nich przez ostatnie dwa dni nie pracował. Ile czasu potrzebowałby sam pierwszy robotnik na wykonanie całej pracy, jeśli wiadomo, że w ciągu pierwszych 7 dni obaj razem wykonali 80% całej pracy? (14 dni) Prędkość, droga i czas 36. O 9.00 złodziej ukradł samochód i odjechał nim z prędkością 90 km/godz. O 9.30 stwierdzono kradzież i rozpoczęto pościg z prędkością 120 km/godz. O której godzinie złapano złodzieja? (o 11.00) 37. Z miasta A do miasta B wyjechała koparka z prędkością 10 km/godz. 50 minut póżniej w ślad za nią wyjechał rowerzysta z prędkością 12 km/godz. Do miasta B rowerzysta przyjechał 5 minut później niż koparka. Oblicz odległość między miastami A i B. (45 km) 38. Rowerzysta wyjechał z A do B o 6.05, a wrócił o 11.26 (tego samego przedpołudnia). Wiedząc, że z A do B jechał z prędkością 18 km/godz, z powrotem z prędkością 16 km/godz i że w B zatrzymał się na kwadrans, oblicz odległość z A do B. (43,2 km)
39. Z dwóch punktów odległych o 22,4 km jednocześnie wyjeżdżają dwaj rowerzyści. Jeśli pojadą naprzeciwko siebie, to się spotkają po pół godzinie. Jeśli pojadą w jednym kierunku, to drugi dogoni pierwszego po 3,5 godzinach jazdy. Znajdź prędkości obu rowerzystów. (19,2 km/godz, 25,6 km/godz) 40. O godzinie 6 rano z A do B wyszedł piechur. O godzinie 10 tego dnia z B do A wyjechał rowerzysta i spotkał piechura o godzinie 1 po południu. Odległość AB wynosi 62 km. Znajdź prędkości piechura i rowerzysty, jeśli ich stosunek wynosi 0,28. (ok 3,5 km/godz, ok 12,5 km/godz) 41. Jeśli turysta będzie szedł do stacji kolejowej z prędkością 3,5 km/godz, to się spóźni na pociąg 1 2 godziny. Jeśli pójdzie z prędkością 4,2 km/godz, to przyjdzie na stację 20 minut przed odjazdem pociągu. Jaka jest odległość od stacji? (17,5 km) 42. Samochód przejechał drogę z Warszawy do Kraśnika w ciągu 3 godzin. Jeżeli chcielibyśmy czas jazdy skrócić o 40 minut, to prędkość jazdy trzeba by zwiększyć o 20 km/godz. Jak daleko jest z Warszawy do Kraśnika? (210 km) 43. Rowerzysta jadący z prędkością 15 km/godz i automobilista jadący 80 km/godz wyruszyli jednocześnie z Łomży i jadą w stronę Warszawy. W pewnym momencie automobilista zawrócił i pojechał z powrotem. Rowerzystę spotkał w miejscu oddalonym od Łomży o 24 km. W jakiej odległości od Łomży automobilista zawrócił? (76 km) 44. Droga z A do B wiedzie najpierw 3 km w górę, potem 6 km z góry, wreszcie 12 km po płaskim. Całą drogę motocyklista przebył w ciągu 1 godziny 7 minut. Droga powrotna zajęla mu 1 godzinę 16 minut. Oblicz prędkość motocyklisty w czasie jazdy w górę i prędkość w czasie jazdy z góry, wiedząc, że po płaskim jechał 18 km/godz. (12 km/godz, 30 km/godz) 45. Przyjaciel podwiózł mnie do sąsiedniego miasta samochodem. Jechaliśmy z prędkością 60 km/godz. W mieście zabawiłem na zakupach 30 minut, po czym wyruszyłem z powrotem pieszo, idąc ze średnią prędkością 4 km/godz. Do domu wróciłem dokładnie po 4 godzinach od chwili wyjazdu. Jaka jest odległość do tego miasta? (13,125 km) 46. W ciągu ilu godzin przejedzie kolarz drogę między dwoma miastami, jadąc z prędkością 25 km/godz, jeżeli wiadomo, że gdyby jechał z prędkością 30 km/godz, to przebyłby tę drogę w czasie o 1 godzinę krótszym? (6 godz) 47. Statek płynąc pod prąd przebył drogę AB w czasie 4 1 2 godzin. Ile czasu płynie woda na tym odcinku rzeki? godziny, a płynąc z prądem w czasie 3 (18 godz) 48. Z M do N wyjechał autobus z prędkością 40 km/godz. Po kwadransie spotkał samochód dostawczy jadący z prędkością 50 km/godz. Samochód dostawczy dojechawszy do M po 15 minutach wyruszył w stronę N. 20 km przed N samochód dostawczy dogonił autobus. Znajdź odległość MN. (160 km) 49. Z jednego brzegu jeziora na drugi wyruszyła łódka z prędkością 12 km/godz, a pół godziny później w ślad za nią statek z prędkością 20 km/godz. Jaka jest szerokość jeziora w tym miejscu, jeśli statek przybył na drugą stronę o 1 godz 30 minut wcześniej, niż łódka? (60 km) 50. Po okręgu poruszają się dwa ciała w tym samym kierunku. Pierwsze okrąża tor w ciągu 20 sekund, drugie w ciągu 30 sekund. Co ile sekund pierwsze ciało wyprzedza drugie? (60 s) 51. Jadąc samochodem o godz 8.30 wyprzedziłem grupę młodzieży idącą (w tę samą stronę co ja) z prędkością 6 km/godz, a po dwóch minutach grupę starszych kobiet idących (też w tę samą stronę) z prędkością 2 km/godz. O której godzinie pierwsza grupa dogoni drugą? Jechałem z prędkością 60 km/godz. (o 8.59)
52. Z punktu A na rzece wyrusza tratwa. Jednocześnie naprzeciw niej z punktu B rusza motorówka. Spotkawszy tratwę motorówka zawraca i płynie do B. Jaką część drogi z A do B przebędzie tratwa do momentu powrotu motorówki do B, jeśli prędkość własna motorówki jest cztery razy większa od prędkości prądu w rzece? (2/5) 53. Z A do B wyjechał samochód i jednocześnie z B do A wyjechał kolarz. Po spotkaniu dalej jechali w swoją stronę. Samochód zawrócił w B i dogonił kolarza po 2 godzinach od chwili pierwszego spotkania kolarza. Ile godzin po pierwszym spotkaniu jechał kolarz do A, jeśli do chwili drugiego spotkania przebył 2 całej drogi z B do A? (8 godz. 45min.) 5 54. Miasta A i B leżą na brzegu rzeki, przy czym B leży niżej. O godzinie 9 rano z A do B wyrusza tratwa. Jednocześnie z B do A wyrusza łódka, która spotyka tratwę po 5 godzinach, płynie dalej i dopłynąwszy do A zawraca i przybywa do B razem z tratwą. Czy łódka i tratwa zdążyły przypłynąć do B przed godziną 9 wieczór tego samego dnia? (nie) 55. Z A do B wyjeżdża rowerzysta, a 3 godziny później z B wyjeżdża mu naprzeciw motocyklista i jedzie z prędkością 3 razy większą, niż rowerzysta. Spotykają się w połowie drogi między A i B. Gdyby motocyklista wyjechał nie 3, a 2 godziny po rowerzyście, to spotkanie nastąpiłoby o 15 km bliżej A. Oblicz odległość AB. (180 km) 56. Zbiornik napełnia się wodą przy użyciu kilku kranów. Na początku zbiornik napełniały 3 krany o jednakowej mocy. Po 2,5 godzinach odkręcono jeszcze 2 krany. Po 1 godzinie od tego momentu brakowało do pełna jeszcze 15 litrów, a zbiornik napełnił się dopiero godzinę później. Każdy z dwóch kranów odkręconych później może napełnić zbiornik sam w ciągu 40 godzin. Oblicz pojemność zbiornika. (60 l) 57. Cztery jednakowe dźwigi zaczęły rozładowywać statek. Po dwóch godzinach włączono jeszcze dwa jednakowe dźwigi, ale o mniejszej mocy. Po 3 godzinach od tego momentu rozładunek zakończono. Gdyby wszystkie dźwigi zaczęły pracę razem, to rozładunek zakończył by się po 4,5 godzinach. Ile godzin trwałby rozładunek statku przy pomocy jednego mniejszego dźwigu? (36 godz) 58. Dwóch robotników wykonało pewną pracę w ciągu 10 dni, przy czym pierwszy z nich przez ostatnie dwa dni nie pracował. Ile czasu potrzebowałby sam pierwszy robotnik na wykonanie całej pracy, jeśli wiadomo, że w ciągu pierwszych 7 dni obaj razem wykonali 80% całej pracy? (14 dni) 59. W pracowni są cztery roztwory soli o różnych stężeniach. Jeśli zmieszać pierwszy, drugi i trzeci w stosunku wagowym 3:2:1, to otrzymamy roztwór o stężęniu 15%. Drugi, trzeci i czwarty roztwór wzięte w jednakowych ilościach dadzą roztwór o stężeniu 24%. Roztwór uzyskany z dwóch jednakowych ilości pierwszego i trzeciego roztworu ma stężenie 10%. Jakie będzie stężenie roztworu otrzymanego przy zmieszaniu drugiego i czwartego roztworu w proporcji 2:1? (29%) 60. Rzeka ma dwie odnogi jednakowej długości, ale z różnymi prędkościami prądu. Dwa kajaki mające w wodzie stojącej jednakową prędkość, płyną z prądem pierwszy lewą odnogą, drugi prawą. Pierwszy przebył swoją odnogę o 5 minut szybciej, niż drugi. Następnie oba kajaki wróciły z powrotem, każdy swoją odnogą i wtedy drugi kajak przebył swoją drogę o 30 minut szybciej, niż pierwszy. Gdyby prędkość kajaków w wodzie stojącej była dwa razy większa, to drogę powrotną drugi kajak przebyłby o 4 minuty szybciej, niż pierwszy. Ile czasu płynął pierwszy kajak przez swoją odnogę z prądem? (40 min)