Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 3. Rozwłóknienia i korozwłóknienia

Topologia lgebraiczna - Pomocnik studenta. 3. Rozwłóknienia i korozwłóknienia gnieszka Bojanowska Stean Jackowski 13 grudnia 2010 1 Walce i ko-walce Deinicja 1.1. Niech będzie przestrzenią topologiczną. Walcem (lub cylindrem) o podstawie nazywamy włożenie i 0 I. Kowalcem (lub kocylindrem) nad nazywamy projekcję P () p 0 gdzie P () := I = Map (I, ) oraz p 0 (ω) := ω(0). Konstrukcje walca i kowalca są do siebie dualne, co znajduje wyraz w bijekcji (a nawet homeomorizmie) Map ( I, Y ) Map (, P (Y )). Deinicja 1.2. Walcem (lub cylindrem) przekształcenia : Y nazywa się przestrzeń Z() z włożeniem i 0 : Y Z() zdeiniowanym jako push-out diagramu: Y i 0 I i 0 Z() Deinicja 1.3. Kowalcem (lub kocylindrem) przekształcenia, nazywa się przestrzeń P () wraz z projekcją p 0 : P () zdeiniowane jako pull-back diagramu : P () P (Y ) p 0 Y p 0 Zad. 1. Wypisać explicite deinicje walca i kowalca przekształcenia. 1

Konstrukcje walca i kowalca przekształcenia są unktorialne ze względu na morizmy przekształceń. Dowolny diagram Y Y indukuje odwzorowania Z() Z( ) oraz P () P ( ) dla których odpowiednie diagramy są przemienne. 2 Retrakcje Pojęcie retrakcji można zdeiniować w dowolnej kategorii C. Retrakcją morizmu nazwiemy morizm r taki, że złożenie r jest identycznością. Zad. 2. Jeśli morizm w kategorii przestrzeni topologicznych : posiada retrakcję, to jest zanurzeniem homeomroicznym w. Jeśli jest przestrzenią Hausdora, to podzbiór () jest domknięty. W dalszym ciągu ograniczamy się więc do włożeń podzbiorów. Deinicja 2.1. Niech bedzie podprzestrzenia przestrzeni a i : oznacza włożenie. 1. Przekształcenie r : nazywa się retrakcją na, jeżeli r i = id. Podzbiór nazywa się retraktem 2. Retrakcja r : nazywa się retrakcją deormacyjną, jeżeli złożenie i r jest homotopijne z id ; podzbiór nazywa się wtedy retraktem deormacyjnym. 3. Retrakcja r : nazywa się silną retrakcją deormacyjną, jeżeli złożenie i r jest homotopijne z id względem ; podzbiór nazywa się wtedy silnym retraktem deormacyjnym. 3 Korozwłóknienia i rozwłóknienia W kategorii T wyróżniamy dwie ważne klasy przekształceń: rozwłóknienia i korozwłóknienia. Opisane wyżej konstrukcje walca i kowalca przekształcenia pozwalają rozłożyć dowolne przekształcenie na superpozycję korozwłóknienia i homotopijnej równoważności oraz homotopijnej równoważności i rozwłóknienia. Rozwłóknienia i korozwłóknienia odgrywają ogromna rolę w badaniu homotopijnych własności przestrzeni topologicznych. Twierdzenie 3.1. Dla przekształcenia j : nastepujące warunki są równoważne. 2

1. Dla dowolnego przemiennego kwadratowego diagramu odwzorowań ciągłych istnieje przekątna: j F F P (Y ) Y p 0 2. Odwzorowanie j : Z(j) Z(id) = I indukowane przez morizm: j j id id posiada lewą odwrotność r : I Z(j), czyli Z(j) jest retraktem walca I - r nazywa się unkcją retrahującą korozwłoknienia j; 3. j : ma własność rozszerzania homotopii (HEP 1 ) tzn. dla dowolnego warunku początkowego 0 : Y i homotopii F : I Y do F : I Y, spełniającej warunek 0 (i(a)) = F (a, 0) dla a istnieje rozszerzenie F : I Y. I F {0} Y I F j 0 0 Deinicja 3.2. Przekształcenie j : spełniające jeden z warunków poprzedniego stwierdzenia nazywa się korozwłóknieniem. Korozwłóknienia takie, że j() jest podzbiorem domkniętym nazywamy domkniętymi korozwłóknieniami lub parami Borsuka 2. Zad. 3. Jeśli j : jest korozwłóknieniem, to j : j() jest homeomorizmem na obraz (a więc j jest różnowartościowe). Jeśli jest przestrzenią Hausdora to j() jest domknięty. Zad. 4. Włożenie podzbioru domkniętego jest korozwłoknieniem wtedy i tylko wtedy gdy {0} I jest retraktem I. Zad. 5. Włożenie S n 1 D n jest korozwłóknieniem. 1 Homotopy Extension Property 2 Karol Borsuk (Warszawa 1905 1982 Warszawa) 3

Twierdzenie 3.3. Dla przekształcenia p : E B nastepujące warunki są równoważne. 1. p ma własność podnoszenia homotopii (HLP 3 ) tzn.dla dowolnego przemiennego diagramu ciągłych strzałek: i 0 I F 0 F E B p istnieje strzałka przerywana (podniesienie) F. 2. Odwzorowania p: P (E) P (p) indukowane przez diagram: id E E id p E B p ma prawą odwrotność tzn. s: P (p) P (E) takie, że p s = id P (p) - odwzorowanie s nazywa się unkcja podnoszącą drogi rozwłóknienia p; 3. Dla diagramu P (E) p 0 E p P (B) p 0 B p w którym p(ω) = p ω i przekształceń F : P (B) oraz : E czyniących odpowiednie diagramy przemiennymi, istnieje odwzorowanie F : P (E) dla którego odpowiednie diagramy są przemienne. Deinicja 3.4. Przekształcenie p : E B spełniające jeden z warunków poprzedniego stwierdzenia nazywa się rozwłóknieniem Hurewicza, 4 lub krótko rozwłóknieniem. Zauważmy, że warunki nr 2 w deinicjach korozwłoknienia i rozwłóknienia są wewnętrzne tzn nie odwołują się do innych przestrzeni i odwzorowań. Zad. 6. Jeśli p: E B jest rozwłóknieniem, to p(e) jest sumą pewnych składowych łukowej spójności B. Zad. 7. Dla dowolnych przestrzeni projekcja B F Y jest korozwłóknieniem. B jest rozwłóknieniem a włożenie 3 Homotopy Liting Property 4 Witold Hurewicz (Łódź 1904 1956 Uxmal, Mexico) 4

Następne twierdzenie powiada, że każde przekształcenie można z homotopijnego punktu widzenia zamienić zarówno na rozwłóknienie jak i korozwłóknienie. Twierdzenie 3.5. Dla dowolnego przekształcenia : Y istnieje przemienny diagram, unktorialnie zależący od przekształcenia (tzn. morizm przekształceń indukuje morizm diagramów): s 0 P () i Z() r 0 Y p w którym: i (x) := [x, 1], r 0 [x, t] := (x), r 0 (y) := y, s 0 (x) := ω (x), p (x, ω) := ω(1). Odwzorowania s 0 i r 0 są homotopijnymi równoważnosciami; i jest korozwłóknieniem, a p jest rozwłóknieniem. Dowód. Wykażemy, że przekształcenie i jest korozwłóknieniem. Ponieważ I I jest korozwłóknieniem, więc I I jest korozwłóknieniem. Mamy push-out diagram, w którym utożsamiamy I = I id Y i I ī Z() Przekształcenie i jest złożeniem Y Z(). Dualnie, dowiedziemy że p jest rozwłóknieniem: Ponieważ I I jest korozwłóknieniem, więc na mocy twierdzenia Borsuka odwzorowanie P (Y ) = Map (I, Y ) Map ( I, Y ) = Y Y jest rozwłóknieniem. Rozpatrzmy pull-back diagram: W id P (Y ) p 0,1 Y id p 0,1 Y Y i zauważmy, że W = {(x, y, ω) ω(0) = (x), ω(1) = y} = {(x, ω) ω(0) = (x)} = P () Złożenie P () Y Y jest więc rozwłóknieniem. Zad. 8. Sprawdzić, że i 0 oraz r są homotopijnymi równoważnościami. Deinicja 3.6. Niech : Y będzie dowolnym odwzorowaniem. Homotopijnym włóknem nad y 0 Y nazywamy przeciwobraz F (, y 0 ) := p 1 (y 0), Homotopijnym kowłóknem lub stożkiem nazywamy przestrzeń ilorazową C() := Z()/. 5

Włókno i kowłókno homotopijne wpisują się w diagram: F (, y 0 ) := p 1 (y 0) s 0 P () p i Z() r 0 Y C() := Z()/ q Dualność między korozwłóknieniami i rozwłóknieniami, którą można zauważyć już w poprzednich zadaniach, opisuje nastepujące twierdzenie: Twierdzenie 3.7 (K.Borsuk). Jeśli j : jest korozwłóknieniem i jest lokalnie zwarta, to j : Map (, Y ) Map (, Y ) jest rozwłóknieniem. Jeśli j jest homotopijną równoważnością, to j też jest homotopijną równoważnością. Dowód. Niech Z(j) j r I Z(j) będzie retrakcja walca nad na walec. Zastosujmy do tych przestrzeni unktor Map (, Y ) i stosując tw.... otrzymujemy przemienny diagram w którym pionowe strzałki są homeomorizmami: Map (Z(j), Y ) Map ( I, Y ) Map (Z(j), Y ) j j P ( j ) P (Map (, Y )) P ( j ) Homeomorizm Map (Z(j), Y ) P ( j ) wynika stąd, że unktor Map (, Y ) przeprowadza diagram push-out deiniujący walec w diagram pull-back deiniujący ko-walec: Map (, Y ) Map (, Y ) j r r i 0 i 0 Map ( I, Y ) j Map (Z(j), Y ) Pamiętajmy, że P (Map (, Y )) Map ( I, Y ). Przykład 1. Odwzorowania obcięcia Map (D n, Y ) Map (S n 1, Y ) są rozwłóknieniami. Jeśli włożenie {x 0 } jest korozwłóknieniem, to ewaluacja ev : Map (, Y ) Y, ev() := (x 0 ) jest rozwłóknieniem. 6

4 Lokalny opis korozwłóknień i rozwłóknień Poniższe twierdzenie opisuje w terminach wewnętrznych i lokalnych kiedy podprzestrzeń jest korozwłóknieniem. Twierdzenie 4.1. Dla domkniętego podzbioru następujące warunki są równoważne: 1. jest korozwłóknieniem; 2. {0} I I jest silnym retraktem deormacyjnym; 3. Istnieje deormacja rel, D : I (tzn. homotopia taka, że D(x, 0) = x, D(a, t) = a), unkcja ϕ : I taka, że = ϕ 1 (1) oraz D(ϕ 1 ((0, 1]) {1}) ; 4. Istnieje otoczenie U deormowalne rel () w do (tzn. istnieje homotopia H : U I taka, że H(x, 0) = x, H(a, t) = a, H(x, 1) ) oraz unkcja ϕ : I taka, że = ϕ 1 (1) i ϕ(x) = 0 dla x \ U. Jeśli korozwłoknienie jest acykliczne (tzn. jest homotopijna równoważnością), to istnieje deormacja rel, D : I taka, że D( {1}). Dowód. [1. 3.] Ponieważ jest korozwłóknieniem, istnieje retrakcja r : I {0} I, która posłuży nam do konstrukcji D i ϕ. Niech π 1 : I oraz π 2 : I I będą projekcjami i zdeiniujmy ϕ : I wzorem ϕ(x) := sup{ t π 2 r(x, t) t I} [sprawdzić ciągłość] oraz D : I wzorem D(x, t) = π 1 r(x, t). Mamy ϕ 1 (0) = bowiem ϕ(x) = 0 oznacza, że r(x, t) I dla t > 0 a stąd także r(x, 0) I gdyż I I jest podzbiorem domkniętym. [3. 1.] Przy pomocy D i ϕ deiniujemy retrakcję r : I {0} I: r(x, t) = (D(x, t), 0) dla t ϕ(x) oraz r(x, t) = (D(x, t), t ϕ(x)) dla t ϕ(x). [1. 2.] Niech r : I {0} I, r(x, t) = (r 1 (x, t), r 2 (x, t)) będzie retrakcją. Zdeiniujmy G : I I I wzorem: G((x, t), s) = (r 1 (x, (1 s)t), (1 s)r 2 (x, t) + ts). Łatwo widać, że G jest homotopią pomiędzy id a retrakcją r i ponadto dla x i dowolnego s I, G((x, t), s) = (x, (1 s)t + ts) = (x, t). Uwaga 1. Zauważmy, że jesli jest przestrzenią metryzowalną, to mając deormację D unkcje ϕ mozna zawsze skonstruuować. Daje to bardzo intuicyjny warunek na to, by włożenie było korozwłoknieniem: wystarczy, żeby istniało otoczenie U deormujące się w do. Można stąd łatwo wydedukować, że włożenia podrozmaitości domkniętej w rozmiatość gładką lub podwielościanu w wielościan są korozwłóknieniami. Wniosek 1. Dowolne acykliczne korozwłóknienie j : jest retraktem walca i 0 : I. Dowolne acykliczne rozwłóknienie p : E B jest retraktem kowalca p 0 : P (E) E. Dowód. Skonstruujemy diagram: j r j i 1 j j I H 7

w którym złożenia górnych i dolnych strzałek są identycznościami. Niech D : I będzie deormacją rel () a ϕ : I unkcją taką, że ϕ 1 (0) =. Deiniujemy ī(x) := (x, ϕ(x)) oraz homotopię: H(x, t) := D(x, 1 min (t/ϕ(x), 1)). Homotopia H jest ciągła (sprawdzić!) oraz H j(x) = D(x, 1 min (ϕ(x)/ϕ(x), 1)) = D(x, 0) = x. Łatwo sprawdzić, że powyższy diagram jest przemienny, stąd j : jest retrakcją walca i 0 : I. Zad. 9. Jeżeli i B Y są parami Borsuka, to włożenia B B Y oraz B Y Y są parami Borsuka. Zad. 10. Jeśli p: E B jest przekształceniem takim, że dla pewnego numerowalnego pokrycia otwartego {U i } i I obcięcia p: p 1 (U i ) U i są rozwłóknieniami, to p jest rozwłóknieniem. W szczególności jeśli p: E B jest przekształceniem lokalnie trywialnym, a B jest parazwarta (np. metryzowalna), to p jest rozwłóknieniem. 5 5 Korozwłóknienia, rozwłóknienia i homotopijne równoważności Trzy klasy przekształceń: rozwłóknienia, korozwłóknienia i homotopijne równoważności w pewnym sensie generują wszystkie przekształcenia i są między sobą powiązane. Wprowadźmy nastepujące oznaczenia klas morizmów w T : 1. Co korozwłóknienia; 2. F ib rozwłóknienia; 3. Eq homotopijne równoważności. (Ko-)rozwłoknienia, które są jednocześnie homotopijnymi równoważnościami nazywamy acyklicznymi i stosujemy oznaczenia: C := Co Eq oraz F b := F ib Eq. Następne twierdzenie opisuje jak klasa Eq i każda z dwóch klas F ib i Co wyznacza trzecią. Twierdzenie 5.1. Zachodzą następujące równości klas przekształceń: 1. F ib = Co 2. F ib = Co 3. Co = F ib 4. Co = F ib gdzie ( ) (odp. ( )) oznacza klasę odwzorowań prostopadłych z prawej (odp. z lewej) strony do klasy ( ). [p. Rozdział 1.5] 5 p. lbrecht Dold Partitions o Unity in the Theory o Fibrations nnals o Mathematics, Vol. 78, No. 2 (1963), pp. 223-255 lub Neil Strickland Local ibrations, [Spanier] Tw. 2.7.12., [May] rozdz.7.4 8

Dowód. [1.] Co = F ib Ponieważ walec i 0 : I należy do C, więc C F ib. Ponieważ dowolne rozwłóknienie jest prawo ortogonalne do walca, a dowolne acykliczne korozwłoknienie jest retraktem walca, więc ponieważ klasa C jest zamknięta na retrakty mamy także C F ib. [2.]Co = F ib Ponieważ walec i 0 : I należy do Co, więc Co F ib. Trzeba sprawdzić, że dowolne odwzorowanie p : E B Co jest homotopijną równoważnością. Ponieważ dowolne acykliczne rozwłóknienie jest retraktem kowalca p 0 : P (Y ) Y, więc mamy też inkluzję Co F b. [3.] Co = F b Ponieważ każde korozwłóknienie jest lewo ortogonalne do kowalca, jest też lewo ortogonalne do dowolnego acyklicznego rozwłóknienia. Mamy więc Co F b Odwrotna inkluzja wynika z deinicji korozwłoknienia. [4.]Co = F ib Walec należy do F ib i do C, a ponieważ dowolne acykliczne korozwłóknienie jest jego retraktem, więc C F ib. Odwrotnie, niech j F ib. Wtedy j jest korozwłóknieniem. Trzeba pokazać, że jest homotopijną równoważnością... 6 Relatywne homotopijne równoważności Dla dowodu następnego bardzo ważnego twierdzenia wygodnie jest wprowadzić dalszą terminologię kategoryjną. Dla ustalonej przestrzeni rozważmy kategorię T co bedącą podkategorią w T składającą się z korozwłoknień. W kategorii T mamy relację homotopii przekształceń rel i odpowiednie kategorie homotopii oznaczamy (T co ) h (T ) h. Funktor zapominania T T indukuje unktor zapominania na odpowiednich kategoriach homotopii. Twierdzenie 6.1. Jeśli unktor zapominania przeprowadza pewien morizm w kategorii (T co ) h na izomorizm w T h, to jest on izomorizmem w (T co ) h. Oznacza to,że jeśli w diagramie przemiennym przestrzeni topologicznych i j Y odwzorowania i, j są korozwłóknieniami a homotopijną równoważnością to jest homotopijną równoważnością rel (). Dowód twierdzenia poprzedzimy kilkoma lematami o charakterze kategoryjnym. Lemat 1. Jeśli klasa morizmów M w kategorii C jest zamknięta ze względu na złożenia i każdy morizm w M ma w M lewostronną (odp. prawostronną) odwrotność, to każdy morizm w M jest izomorizmem. Dowód. Dla każdego morizmu M istnieje g M taki, że g = id. Z założenia istnieje M taki, że g = id. Ponieważ lewo- i prawostronna odwrotność muszą byc równe, mamy = a stąd g jest obustronną odwrotnością. 9

Lemat 2. Niech F : C D będzie unktorem. Załóżmy, że dla każdego endmorizmu e C takiego, że F (e) = id istnieje lewa (odp. prawa) odwrotność w C. Wtedy dla dowolnego morizmu C takiego, że istnieje g C takie, że F (g) = id w D istnieje lewa (odp. prawa) odwrotność w C. Dowód. Rozważmy endomorizm g C. Na mocy założenia istnieje e C taki, że e (g) = id. Stąd e g jest lewą odwrotnością morizmu C. Lemat 3. Jeśli i oraz j Y są korozwłóknieniami a w diagramie i j Y przekształcenie jest zwykłą homotopijną równoważnością, to istnieje przekształcenie takie, że g id Y i g j Dowód. Niech Y g będzie lewą odwrotnością. Wtedy jg i i oznaczmy H : I homotopią między nimi. Ta homotopia, wraz z przekształceniem g : Y - dzięki temu, że j jest korozwłóknieniem - rozszerza się do homotopii H : Y I, takiej, że H(y, 0) = g (y) oraz H(j(a), 1) = i(a), a więc g 1 := H(, 1) jest szukanym przekształceniem. Dowód. (Twierdzenia). Dzięki poprzednim lematom wystarczy skonstruować lewą odwrotność rel () dla dowolnego endomorizmu rel () homotopijnego (zwykle) z identycznością. Niech H : id będzie homotopią między i identycznością. Ponieważ i jest korozwłóknieniem, jej obcięcie k := H (i id) : I z warunkiem początkowym id: {0} rozszerza się do K : I takiej, że K(x, 0) = x oraz K(i(a), 1) = a, czyli przekształcenie e(x) := K(x, 1) jest przekształceniem rel () homotopijnym z id. Udowodnimy, że jest szukaną lewą odwrotnością, konstruując homotopię e id rel (). Rozważmy kompozycję dwóch homotopii: G 0 := H 1 K ( id) : I. Z deinicji homotopii H, K wynika, że dla każdego a droga G 0 (j(a), ) = H 1 (j(a), ) H(j(a), ) jest kanonicznie homotopijna ze stała. Deiniujemy więc (podwójną) homotopię G : I I taką, że G(a, t, 0) = G 0 (a, t) oraz G(a, 0, t) = G(a, 1, t) = G(a, t, 1) = i(a). Homotopię tę rozszerzamy do Ḡ : I I z warunkiem początkowym danym G 0. Szukana homotopia e id rel () dana jest jako kompozycja obcięć homotopii Ḡ do trzech boków kwadratu: (Ḡ 0 I) (Ḡ I 1) (Ḡ 1 I) 1. Wniosek 2. Jeśli jest acyklicznym korozwłóknieniem, to jest silnym retraktem deormacyjnym. 10

Dowód. Stosujemy poprzednie twierdzenie do diagramu: id i i Twierdzenie 6.2. Niech i będzie korozwłóknieniem. Każdej homotopii F : I Y odpowiada homotopijna równoważność h : Y 0 Y 1 rel (Y ), przy czym homotopii trywialnej odpowiada id a kompozycji homotopii odpowiada (z dokładnością do homotopii) złożenie homotopijnych równoważności. Dowód. Niech F : I Y będzie homotopią między 0 i 1. Wykażemy, że oba włożenia k Y ( I) F Y dla k = 0, 1 są retraktami deormacyjnymi. Ze względu na symetrię wystarczy ograniczyć się do k = 0. Zauważmy oczywisty homeomorizm, wynikający z deinicji doklejania: 0 Y = ( {0} I) F Y ( I) F Y. Niech r : I {0} I będzie silną retrakcją deormacyjną zaś G homotopią deiniującą silną deormację. Kładąc identyczność na przestrzeni Y retrakcję r rozszerzamy do retrakcji r 0 : ( I) F Y 0 Y. Ponieważ homotopia G jest stała na {0} I, to rozszerza się w oczywisty sposób do homotopii Ḡ kładąc identyczność na przestrzeni Y. Wniosek 3. Jeśli j : jest parą Borsuka oraz jest zbiorem ściągalnym, to projekcja / jest homotopijną równoważnością. Dla dowolnej pary Borsuka j : projekcją C() := Z()/ {1} / jest homotopijną równoważnością, czyli homotopijne kowłókno korozwłoknienia jest homotopijnie równoważne z przestrzenią ilorazową. Zad. 11. Udowodnić ostatni wniosek bezpośrednio z deinicji korozwłóknienia. Zad. 12. Jeśli j : jest parą Borsuka i jest ściągalna, to przestrzeń / jest homotopijnie równoważna z zawieszeniem Σ(). Ostatni wniosek jest potężnym narzędziem dowodzenia nieoczywistych homotopijnych równoważności.[p.zadania różne.] Zachodzi także następująca wersja Tw.6.1 dotycząca morizmów między dwoma korozwłóknieniami zdeiniowanymi na różnych przestrzeniach. Twierdzenie 6.3. Jeśli w diagramie g B i. j Y i, j są korozwłóknieniami, a oraz d są homotopijnymi równoważnościami, to (, d) jest homotopijną równoważnością par. 11

7 Włókniste homotopijne równoważności Udowodnimy własności rozwłóknień, dualne do własności rozwłóknień opianych w poprzednim rozdziale. Twierdzenie 7.1. Jeśli w diagramie przemiennym przestrzeni topologicznych E E p p B odwozrowania p, p są rozwłóknieniami a odwzorowanie jest (zwykłą) homotopijną równoważnością, to jest włóknistą homotopijną równoważnością. Zad. 13. Sormułować Twierdzenie 7.1 w terminach kategoryjnych, analogicznie do Twierdzenia 6.1 Dowód. Dowody odpowiedników lematów 1-3 poprzedzających dowód Tw. 6.1 pozostawiamy jako ćwiczenie. Wykażemy, że jeśli id E jest włóknistym endomorimem rozwłóknienia E p B, to jest posiada prawą włóknistą homotopijną odwrotność. Niech H : E I E homotopią między a id. Żeby skonstruować włoknistą prawą homotopijną odwrotność rozpatrzmy pdniesienie G : E I E homotopii G := p H : E I B z warunkiem początkowym E 0 id E. Zdeiniujmy g(e) := G(e, 1); wykażemy, że id B g. Zdeiniujmy homotopię K 0 := H 1 ( G) : id g i rozważmy p K = H 1 G. Ta homotopia rozszerza się na kwadrat do homotopii K : E I I B takiej, że K(e, t, 0) = K 0 (e, t) oraz K(e, 0, t) = K(e, 1, t) = K(e, t, 1) = p(e). Podnieśmy ją do K : E I I E z warunkiem poczatkowym K 0 : E 0 E. Kompozycja homotopii otrzymanych przez obcięcie K do trzech wolnych boków kwadratu deiniuje homotopię id B g (p.dowód tw. 0.1). Twierdzenie 7.2. Jeśli E p B jest rozwłóknieniem oraz B dowolnym przekształceniem, to pull-back E p jest rozwłóknieniem. Twierdzenie 7.3. Niech E p B będzie rozwłóknieniem. Każda homotopia I F B wyznacza klasę homotopijnych równoważności rozwłoknień indukowamych 0 E 1 E, przy czym homotopii trywialnej odpowiada identyczność, a kompozycji homotopii odpowiada złożenie równoważnosci. Dwa przekształcenia F 0, F 1 : I B homotopijne rel ( {0, 1}) wyznaczają tę sama klasę włóknistych równoważności Dowód. Przy pomocy homotopii F mozna przeciągnąć rozwłóknienie p nad walec I; wystarczy więc pokazać jak rozwłóknienie E p I wyznacza włóknistą homotopijną równoważność obcięć do dolnej i górnej podstawy. Oznaczmy dla k = 0, 1 przez E k := p 1 (E {k}) = i ke. Utożsamienie E 0 z E 1 polega na przeniesieniu włókien E 0 wzdłuż tworzących walca do E 1. Zdeiniujmy homotopię E 0 I p 0 id I i jej podniesienie P : E 0 0 E z warunkiem początkowym E 0 0 E. Oczywiście, dla każdego t I mamy P (, t) : E 0 1 E t. Kompozycji homotopii można przyporządkować złożenie tych przekształceń. Trzeba sprawdzić, że klasa włoknistej homotopii nie zależy od wyboru podniesienia P. Wykażemy od razu więcej - że dwa przekształcenia F 0, F 1 : I B homotopijne rel ( {0, 1}) wyznaczają tę sama klasę włóknistych równoważności. Niech g 0 : E 0 I F0 E oraz g 1 : E 0 I F1 E będą homotopiami 12

skontruowanymi według powyższego przepisu. Rozważmy homotopię F : F 0 F 1 rel ( {0, 1}) i rozwłóknienie przeciągniete F E I I oraz homotopię p 0 id id : E 0 I I I I. Podnosząc H := p 0 id id z warunkiem początkowym określonym na korytku : H I 0 : E 0 I 0 E, HI 0 (e, t, 0) = e E 0 F E H 0 I : E 0 0 I E, H 1 I : E 0 1 I E, H0 I (e, 0, t) = g 0 (e, t) F 0 E F E H1 I (e, 1, t) = g 1 (e, t) F 1 E F E otrzymujemy homotopię H : E 0 I I E, której obcięcie H E 0 1 I zadaje szukaną włóknista homotopię. Wniosek 1. Niech p : E B bedzie rozwłóknieniem. Istnieje unktor z grupoidu podstawowego G(B) przestrzeni B do kategorii homotopii przestrzeni topologicznych przypisujący każdemu punktowi b B włokno nad nim p 1 (b) a klasie homotopii drogi ω : I B klasę homotopii h [ω] : p 1 (ω(0)) p 1 (ω(1)) Dowód. Traktujemy drogę ω : I B jako homotopię między wlożeniami punktów końcowych i stosujemy twierdzenie 3.3 Wniosek 2. Jeśli p : E B jest rozwłóknieniem, to istnieje włóknista homotopijna równoważność E B P p, gdzie P p B jest kocylindrem odwzorowania p. W szczegolności dla każdego puntu b B włókno p 1 (b) i homotopijne włokno F ib (, b) są homotopijnie równoważne. Dowód. Z konstrukcji kocylindra wiemy, że istnieje przekształcenie włókniste s : E P p, które jest zwykłą homotopijną równoważnością. Skoro p jest rozwłóknieniem, z twierdzenia 7.1 wynika, że s jest włóknistą homotopijną równoważnością. Zad. 14. Jesli p : E B jest rozwłóknieniem nad przestrzenią łukowo spójną, a przestrzeń E jest ściągalna to istnieje homotopijna równoważność: p 1 (b 0 ) Ω(B, b 0 ). (Jest to dualna własność do Przykładu 12.) 8 Zadania różne 8.1 Retrakty Zad. 15. Podać przykład włożenia, które jest homotopijną równoważnością i takiego, że nie jest retraktem deormacyjnym. Zad. 16. Podać przykład retraktu, który nie jest retraktem deormacyjnym. Podać przykład retraktu deormacyjnego, który nie jest silnym retraktem deormacyjnym. Zad. 17. Pokazać, że przekształcenie : Y jest homotopijną równoważnością wtedy i tylko wtedy, gdy = {1} Z() jest retraktem deormacyjnym. Zad. 18. Jeśli jest silnym retraktem deormacyjnym, to dla dowolnego przekształcenia : Y włożenie Y Y też jest silnym retraktem deormacyjnym. 13

8.2 Walce i kowalce Zad. 19. Opisać walec i kowalec identyczności id : przekształcenia stałego pt oraz włożenia punktu pt. Zad. 20. Walec o podstawie jest korozwłóknieniem. Kowalec nad jest rozwłóknieniem. 8.3 Homotopijne równoważności Zad. 21. Istnieją następujące homotopijnie równoważności: 1. S n /S k S n S k+1 2. (S n S m )/(S n {s 0 }) S n+m S m 3. Σ(S n S m ) S n+1 S m+1 S n+m+1 4. ΣP g, gdzie P g jest preclem genusu g, jest homotopijnie równoważne z bukietem 2g oraz egezemplarzy ser S 2 i sery S 3. Wskazówka: Dla dowolnej punktowanej przestrzeni (, x 0 ) i przestrzeni Y istnieje homeomorizm Y/{x 0 } Y Y + gdzie Y + := Y {+}. W szczególności dla dwóch niepunktowanych przestrzeni, Y mamy + Y + ( Y ) +. Zad. 22. Jeśli jest przestrzenią ściągalną to stożek przekształcenia : Y jest homotopijnie równoważny z zawieszeniem ΣY. 8.4 Rozwłóknienia i korozwłóknienia Zad. 23. Niech V, W będą rzeczywistymi skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi (z naturalną topologią w której działania są ciągłe). 1. Dowolny monomorizm j : V W jest korozwłóknieniem; 2. dowolny epimorizm p : W V jest rozwłóknieniem; 3. Jeśli V W jest podprzestrzenią liniową a U W podzbiorem otwartym, to włożenie V U U jest korozwłóknieniem. Zad. 24. Jeśli = B gdzie, B są podzbiorami domkniętymi oraz B jest parą Borsuka, to włożenie jest parą Borsuka. Zad. 25. Jeżeli jest parą Borsuka, to {0} I {1} I jest także parą Borsuka. Zad. 26. Para Borsuka i : jest homotopijną równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy jest silnym retraktem deormacyjnym. Zad. 27. Jeśli p: E B jest rozwłoknieniem z włóknem F, to dla dowolnej przestrzeni loklalnie zwartej odwzorowanie indukowane p : Map (, E) Map (, B) jest rozwłóknieniem. Zbadać jego włókno. Zad. 28. Podać przykład dwóch przekształceń włóknistych, które są homotopijne, ale nie są włókniście homotopijne. 14

Zad. 29. Czy homotopijne przekształcenia muszą mieć homotopijnie równoważne homotopijne włókna i homotopijne kowłókna? Zad. 30. Niech p : E B będzie rozwłóknieniem nad łukowo spójną przestrzenią. 1. Jeżeli istnieje b B takie, że p 1 (b) jest łukowo spójne, to E jest także łukowo spójna; 2. Jeżeli E jest łukowo spójna zaś B jednospójna, to włókna p są łukowo spójne. Zad. 31. Skonstruować rozwłóknienie E B takie, że B CP, E S 2, zaś włókno jest homotopijnie równoważne z S 3. 15