WIELOMIANY Poziom podstawowy Zadanie (5 pkt) Liczba 7 jest miejscem zerowym W(x) Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P ( x) = x + 54, jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian ( x ) otrzymujemy resztę 8 Zadanie (4 pkt) Miejsce zerowe funkcji f ( x) = x x+ możemy obliczyć następująco: x x+ = x x+ = ( xx ) ( ) = x x+ = xx+ = ( )( ) ( ) ( )[ ( ) ] ( )( x + ) = x = lub x= lub x= Miejscami zerowymi funkcji są liczby oraz Postępując podobnie, oblicz miejsca zerowe funkcji g ( x) = x 7x+ Zadanie (8 pkt) Wiedząc, że wielomian = x + ( a+ ) x + ( 8a ) 5 jest podzielny przez dwumian ( x ) wyznacz: a) wartość parametru a, b) rozkład wielomianu na czynniki liniowe, c) zbiór rozwiązań nierówności < Zadanie 4 (4 pkt) Rozwiąż nierówność x + x 4x + 8, a następnie wskaż najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność (o ile taka istnieje) Zadanie 5 ( pkt) Rozwiąż równanie x 4 x x+ = Zadanie ( pkt) Wyznacz współczynniki a i b tak, aby wielomian podzielny przez x 4 = x x + ax + bx+ a był Zadanie 7 ( pkt) Rozwiąż równanie x x + =, rozkładając jego lewą stronę na czynniki metodą grupowania wyrazów i wyłączania wspólnego czynnika przed nawias
Zadanie 8 ( pkt) Sprawdź, czy x = jest pierwiastkiem wielomianu = x 4x + x+ wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu jeśli tak, to Zadanie 9 (5 pkt ) Aby rozłożyć wielomian = x + x + x+, na czynniki możemy postąpić w następujący sposób: Zauważmy, że = 7+ 9= + Zapisujemy wielomian W(x) w postaci = x + + x + x+ Ponieważ x + = ( x+ )( x x+ 9) oraz x + x+ 9= ( x+ ), więc = ( x+ )( x x+ 9) + ( x+ ) = ( x+ )( x x+ 9+ x+ ) = ( x+ )( x x+ ) 4 Wyróżnik trójmianu x x+ to = ( ) 4 = 4 48, < x x+ nie rozkłada się na czynniki 5 ( x + )( x x+ ) stanowi ostateczny rozkład wielomianu W(x) na czynniki Stosując analogiczne przekształcenia, rozłóż na czynniki wielomian = x + x + x+ 5 Zadanie (4 pkt) Ustal, czy między zbiorami A i B zachodzi zależność { x R : x = }, B= { x R : x 4x + 4= } A = x A B, B A czy A= B, jeśli: Zadanie ( pkt) Dany jest wielomian W(x) Wyznacz zbiory: A= x R : =, B= x R :, C = x R :, jeśli { } { } { } 4 = x + 7x Stąd Zadanie (5 pkt) Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x) = x + x x+ Zadanie ( pkt) Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji x x x+ f ( x) = x 7x+
Poziom rozszerzony Zadanie ( pkt) Wyznacz wartości a, b, c, tak aby wielomiany = a( )( x+ ) + b( )( x+ ) + c( )( x+ ) i P ( x) = x + 7 były równe Zadanie (7 pkt) Wielomian W(x) jest stopnia trzeciego Wiadomo, że W =, W = 5, W =, W = Wyznacz wielomian W(x) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadanie (8 pkt) 4 Liczba jest dwukrotnym pierwiastkiem = x + ax + bx + 4 Wyznacz a i b Dla wyznaczonych a i b rozłóż ten wielomian na czynniki Zadanie 4 (8 pkt) Wielomian W(x) przy dzieleniu przez x,, daje odpowiednio reszty,, x Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez iloczyn ( )( )( ) Zadanie 5 ( pkt) 4 Dany jest wielomian = x ( k )( k+ ) x + ( k+ ) x ( k ) 5 Dla jakich k reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian x wynosi? Zadanie ( pkt) Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian Q określony wzorem 4 Q ( x) = x + x wynosi x + x + x+ Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez x
SCHEMAT PUNKTOWANIA WIELOMIANY Poziom podstawowy Numer zadania 4 5 7 8 Zapisanie warunków zadania: W ( 7) = W () = 8 Określenie jakiej postaci jest reszta: Etapy rozwiązania zadania Ułożenie układu równań i jego rozwiązanie: a =, b= 4 Liczba punktów R ( x) = ax+ b 7a+ b=, a+ b= 8 Doprowadzenie do postaci: x x+ = Sprowadzenie równania do postaci iloczynowej: ( x )( x + ) = Wyznaczenie miejsc zerowych: -,, Obliczenie W ( ) = 9a 8 Wyznaczenie a: W ( ) = a= Zapisanie wielomianu = x + x + 5 Wykonanie dzielenia + x + 5 :( x ) x, x + x+ 5 Znalezienie pierwiastków trójmianu kwadratowego: -, 5 Rozłożenie W(x) na czynniki: = ( 5)( )( x+ ) x, 5, + Podanie zbioru rozwiązań nierówności: ( ) ( ) Przekształcenie nierówności do postaci ( x + ) ( ) Odczytanie miejsc zerowych: -, Podanie zbioru rozwiązań nierówności: x, + { } Doprowadzenie równania do postaci iloczynowej: ( x )( x ) = Podanie rozwiązań równania:, Zapisanie warunków: W ( ) = W ( ) = a+ b = Zapisanie układu równań: a b+ 4= Rozwiązanie układu równań: a =, 5, b= Doprowadzenie równania do postaci iloczynowej: ( x )( x + ) = Podanie rozwiązań równania: Sprawdzenie, czy liczba jest pierwiastkiem wielomianu; tak Wykonanie dzielenia ( x 4x + x+ ) :( x+ ) Odp: x 5x+ Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego, które są pozostałymi pierwiastkami W(x):,
Numer zadania 9 Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Zauważenie, że 5 = 5 + 5 Zapisanie W(x) w postaci = x + 5 + x+ 5 Doprowadzenie równania do postaci: ( + 5)( x 4x+ ) x Obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego, < Stwierdzenie, że rozkład W(x) na czynniki to = ( x+ 5)( x 4x+ ) Wyznaczenie zbioru A: -, Wyznaczenie zbioru B: -,, 4 Podanie odpowiedzi: A B Zapisanie warunku x = t, t Zapisanie i rozwiązanie równania t + 7t = ; Odp:, 4 A Narysowanie wykresu wielomianu Wyznaczenie zbioru = {,,, } Wyznaczenie zbioru B: (, ) (,) x Wyznaczenie zbioru C: (,,, + ) x Zapisanie warunku: x + x x+ Znalezienie jednego z pierwiastków całkowitych:,, Wykonanie dzielenia wielomianu przez ( x ) lub ( x ) lub ( x ) Znalezienie pierwiastków:,, Sporządzenie wykresu wielomianu i podanie odpowiedzi D f : x,, ( ) ( ) Zapisanie warunku : x 7x+ Zapisanie dziedziny funkcji: D f : x R {,} Zapisanie równania x x x+ = Rozłożenie wielomianu na czynniki ( x )( x+ )( ) = Wyznaczenie pierwiastków wielomianu: -,, Określenie miejsc zerowych funkcji: { -, }
Poziom rozszerzony Numer zadania 4 5 Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Opuszczenie nawiasów wielomianu W(x) Redukcja wyrazów podobnych W(x) = (a +b + c)x + cx a 4b c a+ b+ Porównanie stopni i ułożenie układu równań: a 4b 7 Rozwiązanie układu równań: a =, b =, c = Zapisanie W(x) = ax + bx + cx+ d d = a+ b c+ d = Ułożenie układu równań: a+ b+ 8a+ 4b+ c+ d = Rozwiązanie układu: a =, b = -, c =, d = - Wyznaczenie wielomianu: W(x) = x x + x Zauważenie, że ( ) Wykonanie dzielenia Zapisanie reszty R(x) = ( a + 4b + 5)x a 4b 5 a+ 4b+ 5= Ułożenie układu równań: a 4b 5= Rozwiązanie układu równań: a =, b = - Rozłożenie W(x) na czynniki: ( x ) ( x+ 5)( x+ + 5) Zapisanie jakiej postaci jest reszta: R ( x) = ax + bx+ c a+ b+ Ułożenie układu równań: 4a+ b+ 9a+ b+ Rozwiązanie układu równań: a =, b = -7, c = Zapisanie reszty R ( x) = x 7x+ Obliczenie W() = -k Ułożenie równania W() = Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: k = - Zauważenie, że reszta z dzielenia W przez x jest równa reszcie z dzielenia x + x + x+ przez x Wykonanie dzielenia Podanie reszty R ( x) = x+