Technika regulacji automatycznej Wykład 3 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 32
Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego rzędu Pasmo przenoszenia Stabilność w dziedzinie częstotliwości Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym 2 z 32
Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego rzędu Pasmo przenoszenia Stabilność w dziedzinie częstotliwości Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym 2 z 32
Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego rzędu Pasmo przenoszenia Stabilność w dziedzinie częstotliwości Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym 2 z 32
Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego rzędu Pasmo przenoszenia Stabilność w dziedzinie częstotliwości Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym 2 z 32
Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego rzędu Pasmo przenoszenia Stabilność w dziedzinie częstotliwości Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym 2 z 32
Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego rzędu Pasmo przenoszenia Stabilność w dziedzinie częstotliwości Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym 2 z 32
Projektowanie regulatorów w dziedzinie częstotliwości Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: Stabilność i wymagania jakościowe są prezentowane na tym samym wykresie. Możemy używać rzeczywistych pomiarów (FRF) zamiast modelu w formie transmitancji. Projektowanie jest niezależne od rzędu układu. Regulatory dla układów z opóżnieniami też możemy projektować bez większych trudności. Metody graficzne (analiza i synteza z użyciem odpowiednich diagramów) jest relatywnie łatwa. 3 z 32
Układ pierwszego rzędu Własności: Jeden biegun w ( a) G(s) = Pasmo przenoszenia ω BW = a Odpowiedź skokowa Y (s) = 1 s a s + a a s + a = 1 s 1 s + a y(t) = (1 e at )u(t) 4 z 32
Układ pierwszego rzędu Odpowiedź częstotliwościowa i skokowa Przykładowa transmitancja G(s) = 2 s + 2 Bode Diagram Step Response 2.9 Magnitude (db) 4 6 8 1 ω BW =2[rad/sec] Amplitude.8.7.6.5.4 T R =.5 sec Phase (deg) 45.3.2.1 9 1 1 1 Frequency (rad/sec).2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Time (sec) 5 z 32
Układ drugiego rzędu ω 2 n G(s) = s 2 + 2ζ ω n s + ωn 2 gdzie ζ - współ. tłumienia względnego ω n - pulsacja drgań własnych (nietłumionych) lokalizacja biegunów s 1,2 = ζ ω n ± jω n 1 ζ 2 dla ζ > 1 oba bieguny są rzeczywiste dla ζ = 1 oba bieguny są identyczne i rzeczywiste dla < ζ < 1 bieguny są zespolone i sprzężone. 6 z 32
Układ drugiego rzędu Odpowiedź częstotliwościowa Przykładowa transmitancja G(s) = 1 s 2 +.6s + 1 Bode Diagram 1 Magnitude (db) 1 2 ω BW M R 3 45 Phase (deg) 9 135 7 z 32 18 1 1 1 Frequency (rad/sec)
Układ drugiego rzędu Własności układu pulsacja rezonansowa (dla ζ 1 2 ) Moduł rezonansowy (dla ζ 1 2 ) pasmo przenoszenia ω R = ω n 1 2ζ 2 1 M R = 2ζ 1 ζ 2 ω BW = ω n (1 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4ζ 2 + 2 Dla < ζ < 1 to.64ω n < ω BW < 1.55ω n. Dla ζ = 1 2 to ω BW = ω n. 8 z 32
Układ drugiego rzędu Odpowiedź skokowa Przykładowa transmitancja G(s) = 1 s 2 +.6s + 1 1.2 1 Mp +/- 5% M P - wartość (moduł) przeregulowania.8.6 POS = 1[(M P y( ))/y( )].4.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 Tr Tp Ts 9 z 32 T P - czas max. przeregulowania T S - czas regulacji T R - czas narastania
Układ drugiego rzędu Odpowiedź skokowa (dziedzina częstotliwości) Y (s) = 1 s G(s) = 1 s Odpowiedź skokowa (dziedzina czasu) y(t) = 1 s + 2ζ ω n (s + ζ ω n ) 2 + ω 2 n(1 ζ 2 ) e t/τ 1 ζ 2 cos(ω dt ϕ d ), t > gdzie σ = ζ ω n - tłumienie względne τ = 1/ sigma - stała czasowa ω d = ω n 1 ζ 2 - pulsacja tłumiona ϕ = sin 1 ζ 1 z 32
Pasmo przenoszenia Pasmem przenoszenia (ang. bandwidth) - częstotliwość (ω BW ) przy której wzmocnienie układu zamkniętego = 3dB. Jednak korzystając z metod odpowiedzi częstotliwościowej oczekujemy określenia odpowiedzi układu zamkniętego na podstawie odpowiedzi układu otwartego. Na podstawie odpowiedzi układu 2-ego rzędu, możemy przyjąć, iż pasmo przenoszenia odpowiada częstotliwości dla której wzmocnienie układu otwartego jest pomiędzy 6 i 7.5dB (przyjmując, że przesuniecie fazowe dla tego wzmocnienia jest pomiędzy 135 o i 225 o ). 11 z 32
Pasmo przenoszenia Przykład Transmitancja układu zamkniętego G cl = 1 s 2 +.5s + 1 2 Bode Diagram Magnitude (db) 2 4 6 8 Phase (deg) 45 9 135 ω BW =1.4[rad/sec] 12 z 32 18 1 2 1 1 1 1 1 1 2 Frequency (rad/sec)
Pasmo przenoszenia Przykład dla ω < ω BW dla ω > ω BW 1.5 Wyjscie 1.5 Wyjscie Wymuszenie Wymuszenie 1 1.5.5.5.5 1 1 1.5 1.5 5 6 7 8 9 1 9 92 94 96 98 1 13 z 32
Pasmo przenoszenia Relacje ze współczynikiem tłumienia (ζ ) i czasem ustalania(t S ) ω BW = ω n (1 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4 ζ 2 + 2 ω n = 4 T s ζ 14 12 1 ω BW *T S 8 6 4 2 14 z 32.2.4.6.8 1 ζ
Pasmo przenoszenia Relacje ze współczynikiem tłumienia (ζ ) i czasem max. przeregulowania (T P ) ω BW = ω n (1 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4 ζ 2 + 2 π ω n = T p 1 ζ 2 7 6.5 6 ω BW *T P 5.5 5 4.5 15 z 32 4.2.4.6.8 1 ζ
Układ drugiego rzędu Wpływ zmian położenia biegunów Dla danej transmitancji ω 2 n G(s) = s 2 + 2ζ ω n s + ωn 2 = ω 2 d + σ 2 s 2 + 2σs + ω 2 d + σ 2 X +j d s 1,2 = ζ ω n ± jω n 1 ζ 2 X n -j d θ = cos 1 ζ ζ = cosθ 16 z 32
Układ drugiego rzędu Wpływ zmian σ ω d = 1, σ = {.5,1,1.5} Step Response Singular Values 1.4 σ=.5 2 1.2 σ=1. σ=1.5 1.5 σ=.5 σ=1. 1 σ=1.5 Amplitude 1.8.6 Singular Values (db).5.5 1.4 1.5 2.2 2.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Time (sec) 1 1 1 Frequency (rad/sec) 17 z 32
Układ drugiego rzędu Wpływ zmian ω d σ = 1, ω d = {.5,2.5,4.5} Step Response Singular Values 1.5 ω d =.5 ω d =2.5 ω d =.5 ω d =2.5 ω d =4.5 5 ω d =4.5 Amplitude 1 Singular Values (db) 5.5 1 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Time (sec) 1 1 1 1 1 Frequency (rad/sec) 18 z 32
Układ drugiego rzędu Wpływ zmian ζ ω n = 2, θ = {3,45,6} Step Response 1 Singular Values θ=3 Amplitude.8.6.4 θ=3 θ=45 θ=6 Singular Values (db) 2 2 4 6 θ=45 θ=6 8.2 1 12 1 2 3 4 5 6 7 8 Time (sec) 14 Frequency (rad/sec) 1 19 z 32
Układ drugiego rzędu Wpływ zmian ω n ζ = 1 2, ω n = { 2 2, 2,5 2} Step Response Singular Values 1.4 1.2 1 5 1 ω n =.77 ω n =1.41 ω n =7 Amplitude.8.6 ω n =.77 ω n =1.41 ω n =7 Singular Values (db) 15 2 25.4 3.2 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Time (sec) 4 1 1 1 1 1 Frequency (rad/sec) 2 z 32
Stabilność w dziedzinie częstotliwości Problem Czy badając transmitancję w otwartej pętli L(s) = K(s)G(s) możemy ustalić stabilność układu zamkniętego? G cl = K(s)G(s) 1 + K(s)G(s) Uwagi: Łatwo rozwiązać powyższy problem korzystając z linii pierwiastkowych Jak znaleźć warunek w dziedzinie częstotliwości odpowiadający ulokowaniu wszystkich biegunów w lewej półpłaszczyźnie zespolonej? 21 z 32
Zapas wzmocnienia i fazy Zapas wzmocnienia Zmiana wzmocnienia w układzie otwartym (K(s)G(s)) potrzebna aby układ zamknięty był niestabilny. Układy z większym zapasem wzmocnienia są bardziej odporne (ang. robust) na zmiany parametrów układu zanim układ zamknięty będzie niestabilny. 22 z 32
Zapas wzmocnienia i fazy Zapas fazy Zmiana fazy w układzie otwartym (K(s)G(s)) potrzebna aby układ zamknięty był niestabilny. Zapas fazy określa tolerancję układu na opóźnienia. Opóźnienia większe niż 18/ω pc (ω pc - częstotliwość przy którym przesunięcie fazowe = 18 o ) w pętli powodują niestabilność układu zamkniętego. 23 z 32
Zapas wzmocnienia i fazy Przykład K(s) = 5,G(s) = 1 s 3 + 9s 2 + 3s + 4 2 Bode Diagram Gm = 13.3 db (at 5.48 rad/sec), Pm = 11 deg (at 1.85 rad/sec) Magnitude (db) 2 4 6 8 1 Phase (deg) 9 18 24 z 32 27 1 1 1 1 1 1 2 Frequency (rad/sec)
Zapas wzmocnienia i fazy Zmieniając wzmocnienie układu (K(s) = 5(1 )) nie musimy kreślić nowego wykresu Bode go aby odczytać zapas fazy. Wystarczy na utworzonym już wykresie sprawdzić zapas fazy dla 4dB (4dB odpowiada wzmocnieniu 1 razy). 5 Bode Diagram Gm = 26.7 db (at 5.48 rad/sec), Pm = 59.6 deg (at 16.9 rad/sec) Magnitude (db) 5 Phase (deg) 9 18 27 1 1 1 1 1 1 2 Frequency (rad/sec) 25 z 32
Wskaźniki jakościowe Określanie wskaźników jakościowych układu zamkniętego: musimy zapewnić stabilność układu otwartego jeśli będziemy używać diagramów Bode go. sprawdzamy czy ω gc < ω pc ) aby stwierdzić czy układ zamknięty będzie stabilny. dla układu 2-ego rzędu, współczynnik tłumienia (układu zamkniętego) jest w przybliżeniu równa PM/1 (jeśli PM= 6 o. dla układu 2-ego rzędu, istnieją zależności pomiędzy współczynikiem tłumienia, pasmem przenoszenia i czasem ustalania. w przybliżeniu możemy przyjąć że pasmo przenoszenia będzie równe częstotliwości drgań własnych. 26 z 32
Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym d r - K u G z y n Definicje sygnałów r - sygnał referencyjny d - zakłócenia n - szum czujników z - regulowane wyjście y - mierzone wyjście Problem: Uzyskanie najmniejszego błędu regulacji (r z) 27 z 32
Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym Wyjście układu Z(s) = K(s)G(s) 1+K(s)G(s) R(s)+ 1 1+K(s)G(s) D(s) K(s)G(s) 1+K(s)G(s) N(s) Definiując bład regulacji e = r z otrzymujemy oraz E(s) = 1 1+K(s)G(s) R(s) 1 1+K(s)G(s) D(s) + K(s)G(s) 1+K(s)G(s) N(s) U(s) = K(s) (R(s) D(s) N(s)) 1+K(s)G(s) 28 z 32
Ograniczenia sterowania Można pokazać, że gdzie e = r z = S(r d) + Tn S(s) = (1+G(s)K(s)) 1 ; T (s) = 1 S(s) = (1+G(s)K(s)) 1 G(s)K(s) Głowne cele sterowania Dobre śledzenie sygnału referencyjnego (dla niskich częstotliwości < ω BW ) G(jω)K(jω) 1 S(jω) 1 or T (jw) 1 Dobre tłumienie zakłóceń (dla wysokich częstotliwości) 29 z 32 G(jω)K(jω) 1 T (jω) 1
Cele i ograniczenia regulacji (sterowania) Cel regulacji Zaprojektować regulator K tak aby błąd regulacji pozostawał mały. Oznacza to, że będziemy dążyć aby S i T były małe w tych zakresach częstotliwości gdzie spektrum sygnałów r i n są małe. Ograniczenia S +T = 1 (błąd e nie może być mały dla wszystkich czestotliwości) log S(jω) dω = - jakość sterowania (ang. performance) vs. odporność (ang. robustness) 3 z 32
Cele regulacji I Sygnał z musi śledzić r (ang. tracking). II Odporność na zmiany parametrów układu. III Tłumić wpływ zakłóceń (oraz niemodelowanej dynamiki) IV Tłumić wpływ szumu pomiarowego n 6 4 2 open loop (L) I II III,IV Magnitude (db) c omplementary sensitivity (T) -2-4 s ensitivity (S) 31 z 32-6 1-2 1-1 1 1 1 1 2 Frequency (rad/sec)
Cele regulacji Imag M s = S(jω) d 1/GM d =1 1 M s PM ζ =2sin 1 ( 1 M s ) -1 1/M s s cg Real Czyli M s GM 1 d = M s 1 PM cp L(j ) M s < 2 GM > 2 i PM > 3 o 32 z 32