Fizyka statystyczna i termodynamika Wykład 1: Wstęp Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej
http://www.if.pwr.wroc.pl/~katarzynaweron/
Mój plan zajęć
Strona kursu
Kim jestem? Prof. dr hab. Katarzyna Weron (Sznajd-Weron) Fizyk teoretyk, układy złożone (bio, socjo, ekono) Moje ulubione narzędzia: fizyka statystyczna teoria przejść fazowych symulacje Monte Carlo Fizyka to sposób patrzenia na świat
Co to jest fizyka statystyczna? Termodynamika poziom makroskopowy Fizyka statystyczna poziom mikroskopowy Marcin Weron Grób Boltzmanna na cmentarzu centralnym w Wiedniu
Sylwester w górach i jajka 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Pełny diagram fazowy dla wody 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Nieciągłe przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Równowaga i stany metastabilne
Potencjały na diagramie fazowym 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Stan metastabilny: przechłodzona woda
Histereza
Nieciągłe przejście fazowe: punkt potrójny
Linie spinodali obszary metastabilności 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Ciągłe (krytyczne) przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron
Ciągłe przejście fazowe: punkt krytyczny
Przykład ciągłej przemiany fazowej
Przemiana fazowa para-ferromagnetyk magnes ferromagnetyk Katarzyna Sznajd-Weron Ferromagnetyk T T c Paramagnetyk T > T c Jak to zrozumieć?
Model Isinga (Lenza-Isinga?) 1925 rozprawa doktorska Ernsta Isinga Brak przejścia fazowego w 1D Jedyna praca Isinga Przejście fazowe w 2D (lata czterdzieste) Skala mikro tłumaczy zachowania makro L H = J L S i S j 1D H = J i=1 S i S i+1 <i,j>
Skąd taki Hamiltonian? L H = J S i S i+1 i=1 L H = J S i S i+1 = J 3 1 + 4 ( 1) i=1 Każdy układ dąży do minimalizacji energii L H = J i=1 L S i S i+1 = J i=1 1 = JL
Oddziaływania pomiędzy cząstkami T < T c T > T c Oddziaływanie między cząstkami porządkuje Temperatura rozburza ( nerwowo ) Jak to policzyć? Algorytm Metropolisa
Czego się spodziewacie? Czego się spodziewacie? Zajrzyjcie na https://ccl.northwestern.edu/netlogo/ Models Library NetLogo (środowisko do ABM) Prof. Uri Wilensky Northwestern's Center for Connected Learning and Computer-Based Modeling (CCL)
Dalsze losy modelu Isinga Przejście fazowe w 2D bez pola Onsager, lata czterdzieste Symulacje Komputerowe model Isinga w 3D i 2D z polem Wykorzystanie poza fizyką Układy społeczne Rynki finansowe Układy biologiczne
Przejście fazowe w modelu Isinga
energia materia Układy otwarte, zamknięte i izolowane (termodynamiczne) Co tu jest stałe? Co może się zmienić? energia Układ otwarty Układ zamknięty Układ izolowany
Układy i jego otoczenie układ otwarty + otoczenie = układ izolowany układ Tylko dla takich istnieje ogólna teoria! otoczenie
Skala mikro i macro N A = 6.02214 10 23 liczba atomów, cząsteczek lub cząstek w jednym molu Jeden mol powietrza dla p = 1Atm i T = 0 O C zajmuje V = 22.2l Układ makroskopowy w fizyce (10 23 ) Opis w skali makro - termodynamika Dlaczego? Spojrzenie na układ w skali mikro
Przykład: gaz doskonały (pv = Nk B T) Rozrzedzony gaz złożony z N identycznych cząsteczek w pudle Średnie odległości między cząsteczkami duże Oddziaływania zaniedbywalne tylko zderzenia Zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste Pudło przedzielone na pół: n P (t) + n L (t) = N n L 0 = N n P 0 = 0 Co się stanie?
Przykład: gaz doskonały (pv = Nk B T) Pudło przedzielone na pół: n P (t) + n L (t) = N n L 0 = N n P 0 = 0 n L = n P = N 2? Ile jest konfiguracji takich, że n L = N? Wszystkich konfiguracji jest 2 N. Dlaczego? Wszystkie z lewej strony: P n L = N = 1 2 N Jaka konfiguracja najbardziej prawdopodobna?
Przykład: 4 cząstki w pudle
Mikrostan i makrostan Mikrostan - szczegółowe informacje na temat każdej z cząstek - np. wszystkie położenia i pędy Ile zmiennych dla układu 3D gazu złożonego z N cząstek? Stan mikroskopowy zmienia się przez cały czas Makrostan - np. liczba cząstek w lewej połowie naczynia
Elementarne pojęcia z rachunku prawdopodobieństwa (mało formalnie) Zdarzenie elementarne pojedynczy wynik eksperymentu losowego Np. wypadła reszka na monecie, wypadła reszka na monecie 1 oraz orzeł na monecie 2, itd. Przestrzeń zdarzeń elementarnych Np. Ω = 1,2,3,4,5,6, Ω = { 1,1, 1,0, 0,1, (0,0)} Zdarzenie losowe jest to mierzalny podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych Np. wypadła parzysta liczba oczek
Elementarne pojęcia z rachunku prawdopodobieństwa (mało formalnie) Zmienna losowa funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby suma liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach liczba cząsteczek po lewej stronie pudła Rachunek prawdop Fizyka statystyczna EX (Ising) Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω Moc zbioru Ω oznaczamy Ω Przestrzeń stanów (fazowa) Objętość przestrzeni fazowej Ω (inne oznaczenia Γ, W) Zdarzenie elementarne Mikrostan Ciąg N-element Zmienna losowa Zmienna makroskopowa Magnetyzacja M Energia E Zdarzenie Makrostan Stan o zadanej M 2 N
Przykład: rzut dwiema kościami do gry Zmienna losowa ( makrostan ) suma oczek na dwóch kościach Jakie zdarzenia elementarne (mikrostany)? Ile wszystkich? Moc zbioru Ω Ω = 6 6 = 36 P 7 = 6 36 = 1 6
Pojedyncza cząstka: odwracalność w czasie Pomyśl o jednej cząstce Ruch cząstki opisany równaniem Newtona d Ԧp ԦF = dt Gdzie jest początek a gdzie koniec?
Procesy nieodwracalne strzałka czasu Umieśćmy wszystkie cząstki w lewej połowie pudła? Jak wyglądałby wykres n L (t)? Posprzątam na swoim biurku i co dalej? Czy może samoistnie powstać budowla z kamieni? Układ izolowany w stanie uporządkowanym! nieuporządkowany Czas relaksacji - czas potrzebny na dojście do równowagi "Miara nieporządku" - entropia Wzrost entropii - strzałka czasu
Procesy nieodwracalne strzałka czasu Umieśćmy wszystkie cząstki w lewej połowie pudła? Jak wyglądałby wykres n L (t)? Posprzątam na swoim biurku i co dalej? Czy może samoistnie powstać budowla z kamieni? Wzrost entropii - strzałka czasu?
Demon Maxwella entropia może maleć? "... cząsteczki w naczyniu pełnym powietrza w stałej temperaturze poruszają się z najróżniejszymi prędkościami, jednakże średnia prędkość dowolnej dużej, losowo wybranej ich liczby jest zawsze niemal jednakowa. Wyobraźmy sobie, że naczynie to jest podzielone na dwie części A i B przegrodą, w której znajduje się mały otwór i nasza istota zdolna widzieć pojedyncze cząsteczki, która otwiera i zamyka ten otwór, tak aby przepuszczać tylko szybsze cząsteczki z A do B i tylko wolniejsze z B do A. [Theory of Heat, 1872] https://www.scienceabc.com/nature/universe/what-is-maxwells-demon.html
Równowaga mikroskopowo i makroskopowo: model Ehrenfesta
Twierdzenie H-Boltzmanna P r (t) - prawdopodobieństwo znalezienia układu w mikrostanie r (jednym z dozwolonych stanów układu) w chwili t Układ na pewno znajduje się w jednym ze stanów, tzn. r P r (t) = 1 W rs - prawdopodobieństwo przejścia w jednostce czasu ze stanu r do s Równanie ewolucji (bilansu) w układzie izolowanym: dp r dt = P s W sr P r W rs s s
W sr Twierdzenie H-Boltzmanna W rs dp r dt = P s W sr P r W rs s s Warunek mikroodwracalności: W sr = W rs dp r dt = (P s P r ) W sr s Stan (mikrostan) s 1 3 W sr Stan (mikrostan) r 1 3 2 4 5 W rs 2 5 4
Twierdzenie H-Boltzmanna dh Entropia: dt = 1 2 r H = lnp r dh dt 0, = P r lnp r r W rs (P r P s )(lnp r lnp s ) s dh dt = 0 dla P r = P s S = k B lnp r S = k B H ds dt 0, ds dt = 0 dla P r = P s
Podsumowania twierdzenia H-Boltzmanna Układ izolowany: dp r dt = s P s W sr s P r W rs + 0 Mikroodwracalność: W sr = W rs Wówczas entropia zdefiniowana jako S = k B lnp r = k B P r lnp r r Rośnie i osiąga wartość maksymalną w stanie równowagi: ds dt 0, ds dt = 0 dla P r = P s stan równowagi
Entropia - ogólniej Mieliśmy już entropię Boltzmanna: S = k B lnp r = k B P r lnp r r W teorii informacji mamy entropię Shannona H(X) = lnp(x i ) = i p x i log q p(x i ) Jeśli wszystkie stany równoprawdopodobne P r = 1 Ω to Ω 1 S = k B r=1 Ω lnω = k BlnΩ
Entropia - intuicja Przykłady: S = k B lnp r = k B P r lnp r r 1) P = 0.2,0.2,0.2,0.2,0.2 S = 1.61k B 2) P = 0.1,0.2,0.4,0.2,0.1 S = 1.47k B
Równowaga mikroskopowo i makroskopowo Postulat równych prawdopodobieństw a'priori Jeżeli układ izolowany znajduje się w stanie równowagi, to każdy z jego stanów dozwolonych jest jednakowo prawdopodobny P r = P s Stan równowagi makroskopowy max Ω, max S Stan (mikrostan) s 1 3 W sr Stan (mikrostan) r 1 3 2 4 5 W rs 2 5 4
Entropia w układzie izolowanym Strzałka czasu Miara nieporządku Miara niepewności S = k B lnω Fundamentalne równanie łączące skalę mikro i makro (termodynamika) Stała Boltzmanna: k B 1,38 10 23 J K
Entropia - przykład N korali: N 1 korali czerwonych + N 2 korali szarych Chcesz zrobić naszyjnik i bierzesz losowo korale Jaka entropia naszyjnika? Dla jakiego N 1, N 2 entropia największa? Ω = N! N 1! N 2! S = k B lnω = k B (lnn! lnn 1! lnn 2!) Przybliżenie Stirlinga: ln N! NlnN N S = NlnN N 1 lnn 1 N 2 lnn 2
Entropia - przykład S = NlnN N 1 lnn 1 N 2 lnn 2 Kiedy entropia maksymalna? S(N 1 ) = NlnN N 1 lnn 1 (N N 1 )ln(n N 1 ) S N 1 =? Maksymalna entropia powinna być dla N 1 = N 2 = 1/2