Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa i kwadratowa, przekształcanie wykresów 10 6 Przekształcanie wykresów, funkcja kwadratowa 12 7 Wielomiany, funkcje wymierne 14 8 Funkcja wykładnicza zmiennej rzeczywistej. 16 9 Funkcja logarytmiczna zmiennej rzeczywistej. 17 10 Funkcje trygonometryczne 19 Gabriela Adamczyk, Anna Loranty, Aleksandra Karasińska, Renata Wiertelak
Zestaw 1. Liczby rzeczywiste Oznaczenia: R - zbiór liczb rzeczywistych; N - zbiór liczb naturalnych; Q - zbiór liczb wymiernych; Z - zbiór liczb całkowitych; C - zbiór liczb zespolonych. Zadanie 1.1. Oblicz 1. 9 19 3 37 2. 3 9 27 3 8 3 11 3. 11 2 +22 2 +33 2 7 4. 5 3 5 7 5 6 6. ( 4 5 4+ 5 ) 1 2 7. 6 12 (6 5 ) 3 252 0 6 3 8. 49 12 7 2 (7 4 ) 7 5. ( 3) 0 ( 2 3 ) 3 2 5 +( 2) 2 9. 2+ 2 2 2 + 1 2 3 Zadanie 1.2. Wykaż, że liczba ( 4 2 3 + 4 + 2 3) 2 jest całkowita. Zadanie 1.3. Zapisz w prostszej postaci a 1. 2 c 2 16b 2. 2 8ab+a 2 a 3. 2 4ab+4b 2 c a (4b a)(2b+a) a 2 4b 2 Zadanie 1.4. Oblicz wartość wyrażenia dla podanych wartości zmiennych: 1. a 2 3a+c a c dla a = 2, c = 3 2. (x y)(x+y)(x+z)(x z) x 2 y 2 dla x = 5, y = 1, z = 4. Zadanie 1.5. Wyznacz każdą ze zmiennych z równości kx 5 = 5(x m) + n. Podaj warunki, przy których jest to możliwe. Zadanie 1.6. Zapisz podane wyrażenie w takiej postaci, aby symbol pierwiastka nie występował w mianowniku. 1. 7 3 21 4. a b a+ b 2. 2 3 3+1 5. a b a b 3. 5 3 5+ 3 6. ab a b+b a Zadanie 1.7. Sprawdź, czy wyrażenia są równe: 1. abx 3 abx (x 1)(x+1) i abx 2. a 2 x 2 a 2 y 2 x 2 +y 2 i a 2 3. 2 x 1 + 1 i x+1 x 1 Zadanie 1.8. Znajdź zbiory A B, A B, A \ B, B \ A, R \ A. Zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej. 1. A = [ 3, 5], B = [ 1, 7] 2. A = (1, 6), B = (, 4) 3. A = [5, + ), B = (0, 7) 4. A = (, 4], B = [3, + ) 5. A = [ 7, 4], B = (0, 3) 6. A = (, 5), B = (, 2) 1
7. A = ( 2, 5), B = {5} 8. A = [1, 7], B = {1} 9. A = (0, 3], B = {0, 3} 10. A = {x R : x + 2 < 3}, B = {x R : (2x 1) 3 8x 3 13x 2 + 6x + 3} Zadanie 1.9. Zapisz w postaci przedziału lub sumy przedziałów rozłącznych. 1. 2 < x < 7 2. 3 x 3, 5 3. 12, 5 < x 13 2 3 4. x > 3, 4 5. 5 x 6. (2, 5) \ {3} 7. R \ {3} 8. ( 1, 4) \ [0, 2] 9. ( 3, 2] \ N 10. zbiór liczb rzeczywistych mniejszych od 5 11. zbiór liczb rzeczywistych nie mniejszych niż 35 12. zbiór liczb rzeczywistych większych od -7 i nie większych od 4. Zadanie 1.10. Znajdź zbiory A (B \ C), (A \ B) C, gdzie 1. A = ( 3, 1), B = [0, 5], C = (4, 7) 2. A = (7, + ), B = (, 7), C = [ 1, 4] 3. A = (, 4], B = ( 6, 11), C = {2, 4, 8} 4. A = (2, ), B = (4, 7), C = (3, 9) 5. A = ( 7, 4), B = {0, 2}, C = [ 1, 3] Zadanie 1.11. Wyznacz zbiór X \ A 1. A = (3, 6), X = R + 2. A = (1, 3) {5}, X = [0, 7) 3. A = {x Q : 0 < x 1}, X = {x Q : 0 < x 3} 4. A = (2, ), B = (4, 7), C = (3, 9) 5. A = ( 7, 4), B = {0, 2}, C = [ 1, 3] Zadanie 1.12. Dane są zbiory A - zbiór liczb parzystych mniejszych niż 10, B - zbiór liczb pierwszych większych od 5, C - zbiór liczb wymiernych mniejszych niż 8, D - zbiór liczb niewymiernych dodatnich. Wskaż wśród zbiorów A B, A C, B D, C \ D, A \ C, B \ D zbiory puste. Zadanie 1.13. Zapisz zadanie nie używając symbolu wartości bezwzględnej: 1. a 2 2 ab +b 2, gdzie a, b < 0 3. 2x 1, gdzie x < 0, 1 2. x+y x y, gdzie y > x 4. x + y, gdzie x > 2, y < 1 Zadanie 1.14. Zapisz przedział, który jest zbiorem elementów x spełniająch warunek: 2
1. x < 3 x 0 2. x < 2 x 3 3. x 1 x < 4 4. x < 2 x 1 Zadanie 1.15. Rozwiąż równanie: 1. 2 3x 2 3 3x 2 +5 = 0 2. 4x 2 +3 1 2x = 4 3. x 3 = 2x 4. x 2 + x + 1 = 3 5. x 5 = 2x 1 6. x 3 = 2 7. x 2 3 = 1 Zadanie 1.16. Rozwiąż nierówność: 1. 2x 2 < 3 2. 6 + 3x > 4 3. 2x 3 2 4. 8 + 4x 0 5. 2x + 3 x 6. 2 5x 3 2x 0, 8 7. x 2 + 2 x < 1 + 3x 6 2 2 2 Zadanie 1.17. Oblicz 1. 5 2 n+2 n=1 3. 7 (2i 1) i=3 2. 4 i=1 1 i(i+1) 4. 6 2 3 n 2 n=2 Zadanie 1.18. Rozwiąż równanie 1. x 2 3x + 1 = x 2 + x 2. x 2 2x = 6x 12 3. x(2x + 3) 6x 9 = 0 4. 3x 2 x 6x + 2 = 0 5. x 2 6x = 9 6. (x + 1) 2 = x 2 7. (9x 2 6x + 1)(x 2 25) = 0 8. (2 3x) 2 (4x 2 1) = 0 9. 2x 2 x 1 = 0 Zadanie 1.19. Rozwiąż równanie 1. 2x 4 x 3 + 6x 2 3x = 0 2. 3x 3 + 2x 2 6x 4 = 0 3. x 3 3x 2 = 0 4. (3x 2 2x) 2 = x 2 5. 2x 3 5x 2 32x + 80 = 0 Zadanie 1.20. Rozwiąż nierówność 1. x(x 3)(x + 2) > 0 2. x 2 (x 1) < 0 3. (2 x)(x 2 1)(x 2 + 4) < 0 4. x(x + 1) 2 (x 2) 3 0 5. x 3 + 2x 2 3x > 0 6. x 3 + 3x 2 + 3x + 9 0 7. x x 2 5 x 5 x 1 1 3
Zestaw 2. Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 1) Sprawdź, czy punkty A(1, 2), B( 3, 10), C( 8, 25) są współliniowe a) korzystając z równania prostej, b) korzystając z własności odległości na płaszczyźnie. 2) Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej l : y = 2x + 1 przechodzącej przez punkt A(0, 3). 3) Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej k : y = 4x 1 przechodzącej przez punkt B(1, 2). 4) Dane są proste l : 4x y + 1 = 0 k : (a + 1)x + 2y 5 = 0 m : b 2 x + y = 0. Wyznacz wartości a oraz b wiedząc, że proste l i k są równoległe, zaś proste l i m są prostopadłe. 5) Wyznacz równanie prostej k przechodzącej przez punkt A(0, 0) i równoległej do prostej l, gdy a) l : y = 2x 1, b) l : y = x + 2, c) l : y = x, d) l : y = x. 6) Wyznacz równanie prostej k przechodzącej przez punkt A(0, 0) i prostopadłej do prostej l, gdy a) l : y = 2x 1, b) l : y = x + 2, c) l : y = x, d) l : y = x. 4
7) Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów określonych nierównościami: a) y > 0, b) x 0, c) x + 1 > 0, d) 2x 4 0, e) x > 1 8) Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów określonych nierównościami: a) x 1 oraz y 2 b) 2 x 0, c) x + 1 < 2, d) 2x 4 0 oraz 2y + 2 0 e) x + 1 < 2 oraz y 1 < 2 9) Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów określonych nierównościami: a) x 1 lub y 2, b) x < 2 lub y < 2. 10) Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów określonych nierównościami: a) y x + 11, b) x 2 y x + 2, c) x < 1 i y x + 11, d) x y 0. 11) Zaznacz na płaszczyźnie zbiory punktów: a) {(x, y) R 2 : y x 1 0}, b) {(x, y) R 2 : y 3}. 5
Zestaw 3. Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej Zadanie 3.1. Podaj współrzędne punktów przecięcia paraboli z osiami układów współrzędnych oraz współrzędne wierzchołka paraboli o danym równaniu. Narysuj podane parabole na płaszcyźnie Oxy. a) y = 3x 2 + 3x 6, b) y = 3x 2 + 3x + 6, c) 3x 2 9x + y 6 = 0, d) y = 2x x 2. Zadanie 3.2. Zapisz równanie paraboli o wierzchołku w poczatku ukladu współrzędnych, której osią symetrii jest oś Oy i do której należy punkt o współrzędnych (2, 3). Zadanie 3.3. Zapisz równanie paraboli, której osią symetrii jest prosta x = 1 i do której należy punkt o współrzędnych (2, 0). Zadanie 3.4. Dla jakich wartości parametry a prosta o równaniu y = a nie ma punktów wspólnych z parabolą o równaniu: a) y = 3x 2 + 3x 6, b) y = 3x 2 3x + 5, c) 2x 2 + 2x + y 6 = 0, d) y = 1 + 2x x 2. Zadanie 3.5. Sprawdź, które z punktów: A = (2, 6), B = (3, 0), C = ( 3, 2), D = (3, 3), E = ( 3, 2), należą do okręgu o środku w punkcie O = ( 2, 3) i promieniu r = 5. Zadanie 3.6. Podaj, o ile istnieją, współrzędne punktów w których okrąg o danym równaniu przecina osie układu współrzędnych. a) x 2 + y 2 = 9, b) (x 1) 2 + (y + 4) 2 = 25, c) (x 2) 2 + (y 3) 2 = 6, d) x 2 + y 2 18 = 0. Zadanie 3.7. Ile punktów wspólnych ma prosta x + y = 0 z okręgiem o równaniu x 2 + y 2 = 4? Wyznacz współrzedne tych punktów (o ile to możliwe). Zadanie 3.8. Wyznacz środek i promień okręgu o równaniu: a) (x + 3) 2 + (y 7) 2 18 = 0, b) x 2 + y 2 6x + 8y 11 = 0, c) x 2 2x + y 2 + 8y + 17 = 49, d) x 2 4x + y 2 6y + 7 = 0. Zadanie 3.9. Jak położone są względem siebie okręgi? a) (x 3) 2 +(y 3) 2 = 4 i (x 4) 2 +(y 3) 2 = 1, b) (x 3) 2 +(y 3) 2 = 4 i (x 7) 2 +(y 3) 2 = 4, c) (x 3) 2 +(y 3) 2 = 4 i (x 6) 2 +(y 2) 2 = 4, d) (x+2) 2 +(y 3) 2 = 4 i (x 2) 2 +(y 2) 2 = 1. Zadanie 3.10. Wyznacz odległość środka okręgu o równaniu (x + 3) 2 + (y 7) 2 18 = 0 od prostej o równaniu: a) y = 2x + 3, b) x + y 1 = 0, c) 3x + 2 = 7y. 6
Zadanie 3.11. Przedstaw graficznie zbiór rozwiązań nierówności: a) y x 2 + 4 < 0, b) 2y + x 2 + 4 < 0, c) 2y + x 2 2 0. Zadanie 3.12. Przedstaw graficznie zbiór rozwiązań nierówności: a) (x 3) 2 + (y 3) 2 4, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 1 0, c) x 2 2x + y 2 + 2y 7 < 0. Zadanie 3.13. Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów opisane nierównościami: a) (x 3) 2 + (y 3) 2 > 4 i y > x, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 < 16 i y < 0, c) x 2 2x + y 2 + 2y 7 > 0 i y > 0 i x < 0, d) x 2 2x + y 2 + 2y 7 > 0 i xy > 0. Zadanie 3.14. Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów: a) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 9 y > x 2 + 1}, b) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 16 x 2 + y 2 > 9}, c) {(x, y) R 2 : x 2 +y 2 1 (x 1) 2 +y 2 1}, d) {(x, y) R 2 : x 2 +y 2 1 (x 1) 2 +y 2 1}, e) {(x, y) R 2 : y 2x 2 + 4x 1 y < x + 6}, f) {(x, y) R 2 : y 2x 2 + 4x 1 y < x + 6}. Zadanie 3.15. Sprawdź, które z punktów: A = (2, 6), B = (3, 0), C = ( 3, 2) należą do elipsy o równaniu x2 + y2 = 1. 9 3 Zadanie 3.16. Napisz równanie elipsy o ogniskach F 1 i F 2 oraz wielkiej osi równej a jeśli: a) F 1 = ( 2, 0), F 2 = (2, 0) i a = 6, c) F 1 = (1, 0), F 2 = (3, 0) i a = 4. b) F 1 = (0, 2), F 2 = (0, 2) i a = 6, Zadanie 3.17. Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów opisane równaniem: a) x2 4 + y2 9 = 1 b) (x 3)2 9 + y2 4 = 1 c) (x + 1) 2 + (y 1)2 4 = 1, d) 9(x 3) 2 + 4y 2 36 = 0. Zadanie 3.18. Sprawdź, które z punktów: A = (2, 6), B = (3, 0), C = ( 3, 2) należą do hiperboli o równaniu x2 y2 = 1. 3 9 Zadanie 3.19. Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów opisane równaniem: a) x2 4 y2 9 = 1 b) x2 9 y2 4 = 1 c) y2 4 x2 4 = 1, d) 9x 2 + 4y 2 36 = 0. Zadanie 3.20. Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów: a) {(x, y) R 2 : y 2 = 4x}, b) {(x, y) R 2 : x2 4 + y2 9 < 1}, c) {(x, y) R 2 : x2 9 + y2 4 1}, d) {(x, y) R 2 : y 2 < 4x}. 7
Zestaw 4. Dziedzina i wartości funkcji Zadanie 4.1. Sprawdź która z podanych liczb należy do zbioru wartości funkcji f. a) f(x) = 6 x, x [0, 5], liczby 3, 0, 3, 6; b) f(x) = 3x + 2, x [ 2, 3], liczby 2, 0, 3, 6; c) f(x) = 2x 7, x [ 3, 5], liczby 10, 0, 2, 6; d) f(x) = 2 3x, x [ 3, 4], liczby 10, 0, 2, 6; Zadanie 4.2. Z wypełnionego basenu o pojemności 4000 m 3 spuszczono wodę. Prędkość odpływu wynosiła 20 m 3 na minutę. Zapisz wzór funkcji liniowej przedstawiający ilość wody w basenie wraz z upływem czasu. Określ dziedzinę tej funkcji i narysuj jej wykres. Oblicz ile wody będzie po 160 minutach. Zadanie 4.3. Długość torów kolejowych między miastem A i B wynosi 600 km. Pociąg towarowy wyrusza ze stacji A z prędkością 60 km/h. Zapisz wzór funkcji liniowej przedstawiający odległość pociągu od miasta B w zależności od czasu. Określ dziedzinę tej funkcji i narysuj jej wykres. Oblicz w jakiej odległości od miasta B będzie pociąg po 6 godzinach. Zadanie 4.4. Odległość między miastem A i B wynosi 400 km. Samochód wyrusza z miasta A z prędkością 80 km/h. Zapisz wzór funkcji liniowej przedstawiający odległość samochodu od miasta A w zależności od czasu. Określ dziedzinę tej funkcji i narysuj jej wykres. Oblicz w jakiej odległości od miasta A będzie samochód po 3 godzinach. Zadanie 4.5. Wyznacz dziedzinę podanej funkcji: a) f(x) = (x 5)(3 x); b) f(x) = x 3 3x + 7; c) f(x) = 3 + x 2; d) f(x) = x 5 x; e) f(x) = 3x + 1 2x + 5 ; f) f(x) = x + 2 x 1 + 1 x ; g) f(x) = 3x 2 3 2x ; h) f(x) = 4 x2 1 + x + x + 3 2 x 1 ; 3x 2 i) f(x) = x 2 9 ; j) f(x) = x 2 4 + x + 3 ; x 1 k) f(x) = 4x 2 9 x 2 ; l) f(x) = 4x 2 1 + x + 3 x 1 ; 8
Zadanie 4.6. Naszkicuj wykres podanej funkcji i znajdź jej najmniejszą i największą wartość. a) f(x) = 2x + 3, x [ 3, 2]; b) f(x) = x 2 4, x [ 2, 4]; c) f(x) = x + 3, x [ 5, 2]; d) f(x) = x 1, x [1, 9]; e) f(x) = (x 1) 3, x [ 1, 3]; f) f(x) = x 3 1, x [ 1, 3]; Zadanie 4.7. Naszkicuj wykres podanej funkcji i odczytaj z niego jej najmniejszą i największą wartość. { x + 4 dla x > 0 a) f(x) =, x [ 3, 2]; 2x 3 dla x 0 { 2x 4 dla b) f(x) = 3 x dla x 1 x < 1 { 1 x dla c) f(x) = x 1 dla x < 1 x 1 { 2x + 3 dla d) f(x) = 3 2x dla x > 0 x 0, x [ 2, 4];, x [ 5, 2];, x [ 3, 4]; Zadanie 4.8. Dla funkcji f(x) = x 2 1 znajdź: f(2), f(a), f(a + 1), f(a 1), f(2a), 2f(a). 9
Zestaw 5. Funkcja liniowa i kwadratowa, przekształcanie wykresów Zadanie 5.1. Napisz wzór funkcji liniowej przechodzącej przez podane punkty oraz wyznacz jej punkty przecięcia z osiami ukadu współrzędnych. a) A = (0, 0), B = (1, 4), b) A = ( 1, 3), B = (1, 3), c) A = (1, 2, B = ( 1, 4), d) A = (2, 7), B = (7, 10), Zadanie 5.2. Jaką liczbą powinno być m aby podana funkcja była rosnąca, malejąca, stała. a) f(x) = (m 2)x 3, b) f(x) = (m + 1)x + 1, c) f(x) = (2m 1)x + 5, d) f(x) = (3 2m)x 5, e) f(x) = (m 2 + 1)x + 9, f) f(x) = (m 2 1)x + 4, Zadanie 5.3. Rozwiąż równania i nierówności: a) x + 4 x + 5 = x + 3 x 2 5 3 2, b) 9x 0, 7 4 5x 1, 5 7 = 7x 1, 1 3 5(0, 4 2x), 6 c) 2 3 y 5 6 (12y 18) + 1 12 (4y 8) = 1 (3 9y) 2, 9 d) 2 3 y 4 5 (y 2) + 1 12 (y 8) 1 (y 9), 9 e) x 2 3x 2 + 1 4 + 2 + x+2 4 3 < 1, f) x 1 3x 2 4 2 x 4 3 > 2, Zadanie 5.4. Znajdź wszystkie liczby spełniające nierówności i należące do podanego zbioru: a) 3x + 2 7 > 1 x, C ; b) 2x 3 + x < 1, N; 4 2 c) 3 2x 3 + x 1, R + ; d) 8x + 3 1 2 x, C ; 10
Zadanie 5.5. Naszkicuj wykres podanej funkcji. a) f(x) = x 3, b) f(x) = x + 2, c) f(x) = 2x 3, d) f(x) = 2 x 3, e) f(x) = 3 2 x, f) f(x) = 3 2 x, Zadanie 5.6. Przesuwając wykres funkcji g(x) = x 2 narysuj wykres funkcji: a) f(x) = x 2 3, b) f(x) = (x 3) 2, c) f(x) = (x + 2) 2 4, d) f(x) = (x 3) 2 + 5, e) f(x) = (x + 2) 2 + 3, f) f(x) = (x 2) 2 3, Zadanie 5.7. Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Następnie ją narysuj. a) f(x) = 2x 2 + 3x + 1, b) f(x) = 3x 2 + 4x + 2, c) f(x) = 5x 2 8x, d) f(x) = 16x 2 24x + 9, e) f(x) = 2x 2 + 1, f) f(x) = x 2 + x 1, Zadanie 5.8. Znajdź funkcję kwadratową, której pierwiastkami są liczby: a) 1 i 2, b)3 i -2, c) 2 i -3, d) -3 i -4. Zadanie 5.9. Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej. a) f(x) = x 2 + x 30, b) f(x) = x 2 x 20, c) f(x) = 2x 2 + 3x 1, d) f(x) = 2x 2 3x 20, e) f(x) = 9x 2 6x + 1, f) f(x) = 2x 2 8x 8, Zadanie 5.10. Napisz wzór funkcji, która powstała przez przesunięcie wykresu funkcji f(x) = 3x 2 o wektor u. Następnie narysuj jej wykres. a) u = [ 3, 2], b) u = [2, 3], c) u = [0, 3], d) u = [ 5, 0], e) u = [ 1, 3], f) u = [2, 4], 11
Zestaw 6. Przekształcanie wykresów, funkcja kwadratowa Zadanie 6.1. Przekształcając wykres funkcji f(x) narysuj wykresy funkcji: f( x), f(x), f(x), f( x ). a) f(x) = x 2 4, b) f(x) = (x 4) 2, c) f(x) = 2x 2 + 1, d) f(x) = 2(x + 1) 2, e) f(x) = (x + 1) 2 3, f) f(x) = (x 2) 2 + 4, g) f(x) = (x + 3) 2 + 2, h) f(x) = (x 1) 2 4, Zadanie 6.2. Wyznacz funkcje h(x) = f(g(x)) oraz i(x) = g(f(x)), określ ich dziedziny i naszkicuj ich wykresy. a) f(x) = x + 3, g(x) = 1 2x; b) f(x) = x + 4, g(x) = x 2 ; c) f(x) = x 2 + 1, g(x) = x 2; d) f(x) = 2x + 3, g(x) = x 2 1; e) f(x) = x, g(x) = x + 2; f) f(x) = x 1, g(x) = 2 x; g) f(x) = 2x, g(x) = x + 3; h) f(x) = x 1, g(x) = 3 2x; i) f(x) = x, g(x) = x 1; j) f(x) = x, g(x) = x + 2; Zadanie 6.3. Nie rozwiązując równań określ znaki pierwiatków: a) x 2 6x + 5 = 0, b) x 2 + 20x + 19 = 0, c) x 2 20x 300 = 0, d) 2x 2 + 5x = 2, e) 3x 2 + 8x = 4, f) 8x 2 1 = 2x, g) 4x 2 + 5 = 10x, h) 4x 2 + 9x + 2 = 0, 12
Zadanie 6.4. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale. a) f(x) = 2x 2 x + 1, x [0, 2]; d) f(x) = x 2 + x 6, x [ 3, 3]; b) f(x) = x 2 9, x [0, 4]; e) f(x) = x 2 6x + 8, x [ 1, 2]; c) f(x) = x x 2, x [0, 1]; f) f(x) = x 2 x 12, x [ 2, 2]; Zadanie 6.5. Rozwiąż równanie dwukwadratowe. a) x 4 10x 2 + 9 = 0, b) x 4 29x 2 + 100 = 0, c) x 4 5x 2 + 4 = 0, d) x 4 17x 2 + 16 = 0, e) 4x 4 5x 2 + 1 = 0, f) 3x 4 28x 2 + 9 = 0, g) 4x 4 4x 2 + 1 = 0, h) 3x 4 + 18x 2 + 27 = 0, i) 4x 4 3x 2 + 1 = 0, j) x 4 + 5x 2 + 7 = 0, Zadanie 6.6. Rozłóż na czynniki wyrażenia: a) x 4 13x 2 + 36, b) x 4 125x 2 + 484, c) x 4 x 2 2, d) x 4 + 3x 2 4, e) 4x 4 + 3x 2 1, f) 3x 4 2x 2 1, Zadanie 6.7. Znajdź wszystkie liczby spełniające nierówności i należące do podanego zbioru: a) x 2 + 3x 12 < 0, C; b) 3x 2 + x 4 > 0, C; c) 4x 2 3x 7 < 0, N; d) x 2 6x + 5 0, N; e) x 2 7x + 12 0, N; f) x 2 8x + 16 0, C ; g) 3x 2 + 4x 4 0, C + ; h) x 2 18x + 81 0, N; i) 5x 2 13x + 6 0, C ; j) 6x 2 + 2x 3 0, C ; 13
Zestaw 7. Wielomiany, funkcje wymierne Zadanie 7.1. Dla wielomianu W (x) = x 3 2x 2 + 3x 3 oblicz: W (0), W (1), W ( 1), W (a + 1), W (2a). Zadanie 7.2. Rozwiąż równanie W (x + 1) = W (x 1), jeżeli: a) W (x) = x 2 + 2x 3, b) W (x) = 2x 2 + 3x + 1, c) W (x) = x 2 2x 3, d) W (x) = 2x 2 + 5x + 2, Zadanie 7.3. Sprawdź czy liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W. a) W (x) = x 3 3x 2 + 3x 2, p = 2; b) W (x) = 2x 4 + 3x 3 9x 2 + x + 3, p = 3; c) W (x) = x 5 + x 3 6x, p = 2; d) W (x) = 3x 3 5x 2 + 8x + 2, p = 0; e) W (x) = 2x 3 9x 2 + 14x 13, p = 3; Zadanie 7.4. Dla wielomianów f(x) = x 2 + x i g(x) = x 2 x oblicz: f(g(x)), g(f(x)), f(f(x)), g(g(x)). Zadanie 7.5. Napisz po 2 różne wieomiany czwartego stopnia, których pierwiastkami są tylko liczby: a) 1 i 2, b) -2 i 5, c) -1, 0 i 1, d) -3, 1 i 2. Zadanie 7.6. Rozwiąż równania: a) x 4 5x 3 + 6x 2 = 0, b) x 5 3x 4 + 6x 3 18x 2 + 9x 27 = 0, c) x 4 x 3 3x + 3 = 0, d) 2x 5 x 4 + 10x 3 5x 2 + 12x 6 = 0, e) x 6 + 4x 4 x 2 + 4 = 0, f) x 5 2x 4 3x 3 + 8x 2 16x 24 = 0, Zadanie 7.7. Rozwiąż nierówności: a) 3x(x 1) 3 (x + 2) 4 < 0, b) (x 1)(x 2 + 1)(x + 3) > 0, c) 4x 3 + 4x 2 + x 1 0, d) x 5 + 3x 4 + 2x 3 + 6x 2 3x 9 0, e) x 10 x 8 8x 7 + 8x 5 > 0, f) x 5 x 4 6x 3 x 2 + x 6 0, 14
Zadanie 7.8. Wyznacz zbiór tych liczb całkowitych, które spełniają nierówność: a) 3x 2 (x 2 9) > 0, b) (x 1)(x 2 + 1)(x + 3) < 0, c) x 4 15x 2 + 16 0, d) 4x 3 + 4x 2 + x 1 0, Zadanie 7.9. Rozwiąż równania: a) 2x = 1 2x 3, b) 2x x 1 + 1 = 6x x2 6, x 1 c) x 1 x + 2 x + 1 = 0, d) 2x + 1 x + 4x 2x + 1 = 5, e) x + 1 x 1 = x2 + 1 x 2 + 2, f) 2 x 2 + x 1 x 2 = 1 6x 2, Zadanie 7.10. Rozwiąż nierówności: a) 6x 5 4x + 1 < 0, b) x2 4 x 2 5x 0, c) x2 + 5x + 6 x 2 + 2x + 1 0, d) x2 2x x 2 + 1 > 0, e) x2 + x + 2 x 2 x 2 0, f) x2 7x + 12 2x 2 + 4x + 5 0, Zadanie 7.11. Rozwiąż nierówności: a) 3 x 2 d) 5x 1 x 2 + 3 < 1, b) 4x + 3 2x 5 6, c) x2 5x + 12 x 2 4x + 5 3, > 1, e) x 2 x 2 + 1 1 2, f) x2 3x + 24 x 2 3x + 3 4, Zadanie 7.12. Rozwiąż nierówności: a) 2x 2 + 1 x > 0, b) 1 x 2 1 x 2 x + 2, c) e) 2(x 3) x(x 6) 1 x 1, d) 1 x 2 + 1 x 1 > 1 x, 2x x 2 9 1 x + 2, f) 1 + x 1 + 2x 1 2x x + 1 < 1, 15
Zestaw 8. Funkcja wykładnicza zmiennej rzeczywistej. 1) Uprość wyrażenia a) 3 2x 1 3 2, x 2 x+1 16 b) (, 8) 6x c) 9 x 1 ( 3) 4x+2. 2) Naszkicuj wykres funkcji i podaj jej własności (dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, miejsca zerowe,...) a) f(x) = 2 x, b) f(x) = 3 x, c) f(x) = 3 x+2 + 3 d) f(x) = 2 x 1 + 1 e) f(x) = 2 x + 4, 3) Podaj miejsca zerowe funkcji a) f(x) = 3 x 1 3, b) f(x) = 2 1 x 1, c) f(x) = ( 1 2 )x 1 3, d) f(x) = 4 2x+1 + 1. 4) Rozwiąż równania wykładnicze a) 6 36 x 2 = 1, b) 9 2x+1 = 27, c) 4 x+1 = 32, d) 4 x 1 = 2 19, e) ( 1 2 )2x+1 = 8, f) 3 x 2 = 3 2 x, g) 2 x+3 = 1 2, h) 3 3 x 4 = 5. 5) Rozwiąż nierówności wykładnicze a) 6 x 2 1, b) 9 x+1 3, c) 4 x 5 < 2, d) 2 x 1 2 1 x. 16
Zestaw 9. Funkcja logarytmiczna zmiennej rzeczywistej. 1) Obliczyć a) log 2 4 8 b) log 5 625, c) log 3 81, d) 1 log 3 9, e) log 1000, log 0.01. 2) Sprawdź, że a) liczba log 24 jest równa log 6 + 2 log 2, b) liczba log 5 5 log 5 125 jest równa 2, c) liczba log 4 8 + log 4 2 jest równa 2, d) różnica log 3 9 log 3 1 jest równa 2, e) liczba log 3 27 log 2 8 jest równa 0. 3) Oblicz a) log 6 3 + log 6 12, b) log 2 96 log 2 3, c) log 5 log 20 + log 2 4 2, d) 2 log 5 + log 4. 4) Oblicz a) log 125, wiedząc, że log 2 0.301 b) log 2 0.4, wiedząc, że log 2 5 2.32 c) log 5 log 20 + log 2 4 2, d) 2 log 5 + log 4. 5) Sprawdź dla jakich x R podane wyrażenie ma sens matematyczny a) log (x 1), b) log 2 (2 4x), c) log 5 (2 x 4), d) 2 log (5 x) + log (x + 4). 17
6) Naszkicuj wykres funkcji i podaj jej własności (dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, miejsca zerowe,...) a) f(x) = log 2 x, b) f(x) = log 1 3 c) f(x) = log 2 x + 4 d) log (x 1) e) log 2 ( x), 7) Podaj miejsca zerowe funkcji a) f(x) = log 2 (x 1) 2, b) f(x) = log 3 (1 x) 1, c) f(x) = log( 1 2 )(x 1) 3, d) f(x) = log (x + 100). 8) Rozwiąż równanie a) log 2 (x 2) = 1, b) log 9 (1 x) = 0, c) log (x + 2) log (x 4) = 0, d) log (x 1) + log (x + 1) = log 1, e) log 2 (x 2 x) = 1, f) 2 log(x + 1) = log (2x). 9) Rozwiąż nierówności a) log 2 (2x 1) 1, b) log 4 (1 x) 0, c) log (x + 2) log (x 2) > 0, d) log (1 x) + log (1 + x) < 0, e) log 2 (x 2 x) 1, f) 2 log(x + 1) log (2x). 18
Zestaw 10. Funkcje trygonometryczne Zadanie 10.1. W trójkącie ABC dane są: AC = 4, BC = 2 5, ACB = 90. Oblicz a) ctg ABC, b) sin CAB, c) cos CAB. Zadanie 10.2. Oblicz cos CAB i tg CAB, znając współrzędne punktów: A(1, 3), B(5, 1), C(5, 3). Zadanie 10.3. Przedstaw podaną miarę kąta skierowanego w postaci α + k 360, gdzie α jest miarą główną i k Z: a) 130, b) 900, c) 1970. Zadanie 10.4. Podaną miarę stopniową zamień na miarę łukową: a) 60, b) 270, c) 240. Zadanie 10.5. Podaną miarę łukową zamień na miarę stopniową: a) 5 3 π, b) 2 1 4 π, c) 5 7 9 π, d) 3 2 π. Zadanie 10.6. Zaznacz w układzie współrzędnych kąt o podanej mierze: a) 225, b) 300, e) 1 6 π, g) 5 1 4 π. Zadanie 10.7. Punkt P leży na końcowym ramieniu kąta skierowanego o mierze α w układzie współrzędnych. Oblicz sin α, cos α, tg α, ctg α: a) P ( 3, 4); b) P (1, 3); c) P ( 2, 4); d) P (5, 11). Zadanie 10.8. Kątem której ćwiartki układu współrzędnych jest kąt skierowany α, jeśli: a) sin α > 0 i cos α > 0; b) tg α < 0 i sin α > 0; c) ctg α > 0 i cos α < 0? Zadanie 10.9. Wiedząc, że α oznacza miarę główną pewnego kąta skierowanego, oblicz: a) sin(α + 2π), jeśli sin α = 0, 9; b) cos(α + 4π), jeśli cos α = 0, 3; c) tg(α 5π), jeśli tg α = 0, 7; d) ctg(α + 2π), jeśli sin α = 0, 9. Zadanie 10.10. Oblicz: a) tg α, jeśli cos α = 0, 6 i α ( 3 2 π, 2π); b) ctg α, jeśli sin α = 7 4 i α ( π 2, π). Zadanie 10.11. Oblicz: a) sin ( π 2 + α), jeśli cos α = 0, 35; b) cos ( 3 2 π α), jeśli sin ( α) = 0, 2; c) tg ( π 2 + α), jeśli ctg (α) = 3; d) ctg (π + α), jeśli ctg (α) = 2, 5; e) tg ( 2 1 2 π α), jeśli ctg ( α) = 0, 8; f) sin ( 3 2 π + α), jeśli cos (α) = 0, 75. 19
Zadanie 10.12. Wyznacz dziedzinę funkcji f określonej wzorem: a) f(x) = tg ( x π 3 ) ; b) f(x) = tg x + ctg x; b) f(x) = sin ( x + π 7 ). Zadanie 10.13. Rozwiąż równanie. a) sin x = 3 2, c) tg x = 3 3, e) sin 2x = 1 2, g) tg ( x + π 4 ) = 3, b) cos x = 2 2, d) ctg x = 1, f) cos 3x = 3 2, h) ctg ( π 3 x) = 1. Zadanie 10.14. Rozwiąż równanie. a) 2 sin x cos x = cos x, b) tg x cos x sin 2x = 0. Zadanie 10.15. Naszkicuj wykres funkcji sinus w przedziale [ π, π]. a) Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji sinus należące do przedziału [ π, π]. b) Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji sinus zawarte w przedziale [ π, π]. c) Uzupełnij tabelę, jeśli x [ π, π]. d) Odczytaj z wykresu, dla jakich x [ π.π] zachodzą poszczególne nierówności: sin x > 2 2, sin x 1 2, 1 2 sin x 3 2. Zadanie 10.16. Naszkicuj wykres funkcji tangens w przedziale [ 0, π 2 ) ( π 2, π]. a) Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji tangens należące do przedziału [0, π]. b) Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji tangens zawarte w przedziale [0, π]. c) Uzupełnij tabelę, jeśli x [0, π]. d) Odczytaj z wykresu, dla jakich x [0, π] zachodzą poszczególne nierówności: tg x 1, tg x 3 3, 1 tg x 3. Zadanie 10.17. Rozwiąż nierówność: a) sin x > 3 2 ; b) cos x < 1 2 ; c) tg x < 3 3 ; d) ctg x > 1. Zadanie 10.18. Rozwiąż nierówności z zadania 10.17 w przedziale ( π, 2π). 20