Uniwersytet Miko aja Kopernika Wydzia Matematyki i Informatyki. Joanna Ku aga

Uniwersytet Miko aja Kopernika Wydzia Matematyki i Informatyki Joanna Ku aga W asnoúci ergodyczne i spektralne potoków specjalnych nad obrotami i przek adaniami odcinków Promotor: prof. dr hab. Mariusz LemaÒczyk Katedra Teorii Ergodycznej i Uk adów Dynamicznych TORU 2011

Spis treúci WstÍp vii 1 Definicje i elementarne wiadomoúci 1 1.1 Reprezentacje lokalnie zwartych grup abelowych w grupie automorfizmów............................ 2 1.2 ErgodycznoúÊ, mieszanie, sztywnoúê............... 3 1.3 Automorfizm indukowany.................... 4 1.4 Potoki specjalne.......................... 5 1.5 Przek adania odcinków...................... 5 1.5.1 Przek adania r ˇ 2 odcinków.............. 6 1.5.2 Indukcja Rauzy ego.................... 7 1.5.3 Operacje na wieøach................... 7 1.5.4 Kocykl wysokoúci Rauzy ego............... 8 1.5.5 Przek adania odcinków typu okresowego........ 9 1.5.6 Przek adania odcinków na okrígu............ 9 1.5.7 Obrót niewymierny.................... 10 1.6 Teoria spektralna reprezentacji unitarnych........... 11 1.7 Faktory i rozszerzenia....................... 15 1.8 Teoria po πczeò.......................... 16 1.9 Relatywna teoria ergodyczna................... 17 2 Problem samopodobieòstw 19 2.1 WstÍp............................... 20 2.1.1 Pewna klasa potoków specjalnych............ 20 2.1.2 G adkie potoki na powierzchniach............ 21 iii

iv W asnoúci ergodyczne i spektralne potoków specjalnych 2.1.3 SamopodobieÒstwa.................... 23 2.2 Struktura dowodu g ównego rezultatu.............. 24 2.2.1 Organizacja dalszej czíúci rozdzia u........... 26 2.3 Definicje.............................. 26 2.3.1 SamopodobieÒstwa.................... 26 2.3.2 Zbalansowane d ugoúci podzia ów............ 27 2.4 Reprezentacja specjalna - szczegó y............... 28 2.5 Brak czíúciowej sztywnoúci.................... 29 2.5.1 CzÍúciowa sztywnoúê a po πczenia............ 29 2.5.2 G ówny rezultat i struktura dowodu........... 30 2.5.3 Szczegó y techniczne................... 32 2.6 Przek adania odcinków ze zbalansowanymi d ugoúciami podzia ów.............................. 59 2.7 Od braku czíúciowej sztywnoúci do braku samopodobieòstw.. 64 2.7.1 S aba zbieønoúê i brak rozciπgania dla sum BirkhoÄa 64 2.7.2 Brak samopodobieòstw.................. 66 2.7.3 Brak spektralnych samopodobieòstw.......... 67 3 Silna singularnoúê spektralna 73 3.1 WstÍp............................... 74 3.1.1 Uk ady pochodzenia probabilistycznego......... 74 3.1.2 Silna singularnoúê spektralna.............. 76 3.2 Definicje.............................. 79 3.3 Rezultaty ogólne i nowe dowody znanych twierdzeò...... 80 3.3.1 W asnoúê CS(n) a krotnoúê produktów tensorowych na podprzestrzeniach permutacyjnych........... 80 3.3.2 Prostota widma operatora ü nˇ1 U n... 90 3.3.3 Twierdzenie Girsanova.................. 93 3.4 Metoda wykazywania silnej singularnoúci spektralnej..... 94 3.4.1 Sploty i pochodne..................... 98 3.4.2 RozwiniÍcia w szereg i przeskalowane gístoúci..... 106 3.4.3 Odczytywanie wspó czynników szeregu......... 110 3.4.4 Szybka zbieønoúê do zera wszystkich pochodnych... 119 3.4.5 Wielomiany symetryczne................. 133 3.5 Zastosowanie metody z paragrafu 3.4.............. 136 3.5.1 Rozk ady graniczne.................... 136 3.5.2 GÍstoúci rozk adów granicznych............. 144 3.5.3 Kod üród owy w Maple 9.5 do obliczeò w dowodzie lematu 3.5.9........................ 149

Spis treúci v 4 W asnoúê po πczeniowej pierwszoúci 153 4.1 WstÍp............................... 153 4.2 Definicje.............................. 158 4.3 Wyniki............................... 159 4.3.1 S abe mieszanie oraz w asnoúê CS(n) implikujπ w asnoúê JP(n 1)...................... 159 4.3.2 JP(n 1) ( JP(n) dla n ˇ 2............... 162 4.3.3 Roz πcznoúê uk adów z w asnoúciπ JP(n) z uk adami nieskoòczenie podzielnymi................ 163 5 StabilnoúÊ izomorfizmu produktów kartezjaòskich potoków 169 5.1 WstÍp............................... 169 5.1.1 StabilnoúÊ izomorfizmu produktów kartezjaòskich... 169 5.2 Definicje i narzídzia....................... 172 5.2.1 W asnoúê JP....................... 172 5.2.2 CzÍúciowe mieszanie, czíúciowa sztywnoúê i -s abe mieszanie......................... 174 5.3 Wyniki............................... 175 5.3.1 Problem izomorfizmu a w asnoúê JP........... 175 5.3.2 W asnoúê JP jako s absza wersja pojícia roz πcznoúci. 178 5.3.3 Problem izomorfizmu a -s abe mieszanie........ 180 Bibliografia 189 Skorowidz 199

WstÍp Potoki specjalne stanowiπ obiekt zainteresowania matematyków zajmujπcych sií teoriπ ergodycznπ od poczπtków jej istnienia. Pierwsze przyk ady potoków specjalnych nad obrotem niewymiernym (oraz ich analiza spektralna) zosta y podane przez J. von Neumanna [79] w 1932 roku. Formalna, ogólna definicja potoków specjalnych zosta a wprowadzona dziewiíê lat póüniej przez W. Ambrose a [11], który udowodni, øe kaødy potok ergodyczny jest izomorficzny z pewnym potokiem specjalnym. Przypomnijmy, øe potok specjalny okreúlony jest przez podanie tzw. automorfizmu bazowego T :(X, B,µ) æ (X, B,µ)oraztzw.funkcji dachowej f : X æ R, którajest funkcjπ ca kowalnπ, dodatniπ, odseparowanπ od zera. Pod dzia aniem potoku specjalnego punkty pod wykresem funkcji f poruszajπ sií z jednostajnπ prídkoúciπ do góry oraz identyfikuje sií punkty (x, f(x)) i (Tx,0). Jednπ z motywacji badania potoków specjalnych, dla których automorfizm bazowy jest obrotem niewymiernym na okrígu T ƒ R/Z ƒ [0, 1) lub przek adaniem odcinków pod funkcjπ dachowπ z osobliwoúciami typu logarytmicznego, jest fakt, iø stanowiπ one reprezentacjí g adkich potoków na powierzchniach, majπcych skoòczenie wiele punktów krytycznych bídπcych niezdegenerowanymi siod ami, a wiíc, w szczególnoúci, potoków zadanych lokalnie przez uk ad równaò hamiltonowskich (V. I. Arnold [13], A. V. Kochergin [57]). Przek adania odcinków sπ naturalnym uogólnieniem obrotów na okrígu T ƒ R/Z ƒ [0, 1), bídπcych przek adaniami dwóch odcinków. Przek adanie odcinków to odwracalne przekszta cenie odcinka, które jest kawa kami translacjπ. Typowe przek adanie odcinków jest monoergodyczne, tzn. istnieje dok adnie jedna miara niezmiennicza dla tego przekszta cenia (H. Masur [77], W. A. Veech [113]). Ponadto, przek adania odcinków nigdy nie sπ mieszajπce (A. B. Katok [45]). Równieø potoki specjalne nad przek adaniami vii

viii W asnoúci ergodyczne i spektralne potoków specjalnych odcinków pod funkcjπ dachowπ, która ma wahanie ograniczone, nie sπ mieszajπce (A. B. Katok [45]). 1 Z drugiej strony, A. Avila i G. Forni [14] pokazali, øe typowe przek adanie odcinków, które nie jest obrotem niewymiernym, jest s abo mieszajπce oraz, øe typowe potoki specjalne nad przek adaniami odcinków pod funkcjπ dachowπ, która jest kawa kami sta a, pochodzπce od potoków translacyjnych, równieø sπ s abo mieszajπce. 2 W kontekúcie potoków specjalnych nad przek adaniami odcinków pod funkcjπ dachowπ z osobliwoúciami typu logarytmicznego zajmují sií w rozprawie zagadnieniami zwiπzanymi z problemem samopodobieòstw (rozdzia 2) oraz silnej singularnoúci spektralnej (rozdzia 3). Problem samopodobieòstw jest zwiπzany z nastípujπcym pojíciem: dla mierzalnego, ergodycznego potoku T =(T t ) tœr na standardowej przestrzeni probabilistycznej (X, B,µ) oraz liczby s œ R\{0} rozpatrujemy potok T s := (T st ) tœr, tzn. potok otrzymany z wyjúciowego poprzez prostπ algebraicznπ zamianí czasu. Wiadomo, øe zamiany czasu danego potoku opisane sπ przez wszystkie potoki specjalne nad jednym ustalonym ciíciem transwersalnym danego potoku (I. P. Cornfeld, S. V. Fomin, Y. G. Sinaj [18]). Interesuje nas tu pytanie, kiedy rozpatrywana algebraiczna zamiana czasu prowadzi do otrzymania potoku izomorficznego z wyjúciowym. Wydaje sií, øe powinno to byê zjawisko rzadkie. W skrajnym przypadku nie ma takich liczb s = 1, dla których potok wyjúciowy i potok z czasem przeskalowanym s razy sπ izomorficzne. Jeúli zachodzi warunek I(T ) := {s œ R: T ƒ T s} µ { 1, 1}, to mówimy, øe potok T nie ma samopodobieòstw, natomiast I(T ) nazywamy zbiorem skal samopodobieòstwa potoku T. Znane sπ zarówno przyk ady potoków bez samopodobieòstw (V. V. Ryzhikov [96], K. Frπczek i M. LemaÒczyk [28]), jak i takich potoków, które samopodobieòstw majπ duøo (B. Marcus [74]). Warto teø wspomnieê, øe zagadnienia dotyczπce samopodobieòstw wiπøπ sií z jednym z najbardziej znanych, do dziú otwartych pytaò teorii ergodycznej, mianowicie czy mieszanie implikuje mieszanie dowolnego rzídu. V. V. Ryzhikov [93] pokaza, øe jeúli dowolna liczba dodatnia jest skalπ samopodobieòstwa, to taka implikacja zachodzi. G ównym rezultatem rozdzia u 2 jest skonstruowanie klasy potoków specjalnych nad przek adaniami odcinków lub obrotami niewymiernymi, które 1 Dla potoków specjalnych nad obrotem niewymiernym analogiczny wynik otrzyma wczeúniej A. V. Kochergin [55]. 2 By to d ugo otwarty problem postawiony przez W. A. Veecha [114], który wskaza nieskoòczenie wiele permutacji, dla których prawie wszystkie przek adania odcinków sπ s abo mieszajπce.

WstÍp ix pochodzπ od g adkich potoków na rozmaitoúciach o genusie równym co najmniej 2 i nie majπ samopodobieòstw. 3 Tym samym, udzielam pozytywnej odpowiedzi na pytanie postawione przez autorów pracy [28]. Drugim zagadnieniem, którym zajmují sií w rozprawie, jest pojície silnej singularnoúci spektralnej. Jest ono zwiπzane z teoriπ spektralnπ ciπg ych reprezentacji unitarnych lokalnie zwartej grupy abelowej G na oúrodkowej przestrzeni Hilberta. Reprezentacje takie sπ wyznaczone z dok adnoúciπ do izomorfizmu przez nastípujπce dwa niezmienniki: maksymalny typ spektralny, tzn. skoòczonπ miarí borelowskπ na grupie dualnej Ĝ (w przypadku dzia- ania Z - na okrígu jednostkowym T, w przypadku dzia ania R - na prostej R) oraz funkcjí borelowskπ M : Ĝ æ{1, 2,...,Œ} okreúlonπ -prawie wszídzie (tzn. funkcjí krotnoúci spektralnej ). W zwiπzku z tym, naturalnym jest pytanie, co moøna powiedzieê o maksymalnym typie spektralnym w przypadku, gdy rozpatrywana reprezentacja pochodzi od ustalonego mierzalnego, zachowujπcego miarí dzia ania (T g ) gœg grupy G na standardowej, borelowskiej przestrzeni probabilistycznej (X, B,µ) i jest zadana w nastípujπcy sposób: U Tg : L 2 0(X, B,µ) æ L 2 0(X, B,µ), U Tg (f) =f T g, gdzie L 2 0(X, B,µ) oznacza podprzestrzeò funkcji o ca ce zero przestrzeni L 2 (X, B,µ), tzn. 1 2 U Tg jest tzw. reprezentacjπ B. O. Koopmana [61].4 gœg Bardziej precyzyjnie, moøna np. pytaê o to, czy maksymalny typ spektralny jest miarπ absolutnie ciπg π czy teø singularnπ wzglídem miary Lebesgue a. W przypadku miary singularnej moøna chcieê wiedzieê wiícej, mianowicie, jak bardzo jest ona singularna. PojÍcie silnej singularnoúci spektralnej uk adu dynamicznego moøna krótko opisaê jako prostotí widma uk adu gaussowskiego stowarzyszonego z jego maksymalnym typem spektralnym na przestrzeni L 2 0(X, B,µ). W asnoúê ta zachodzi dok adnie wtedy, gdy dla dowolnego n ˇ 1 w dezintegracji n = d ún ( ) (0.0.1) Ĝ (danej przez odwzorowanie ( 1,..., n ) æ 1... n ) ún -prawie wszystkie miary warunkowe sπ czysto atomowe i majπ dok adnie n! atomów. W pierwszej czíúci rozdzia u 3 uogólniam nieopublikowany wynik F. Parreau i E. Roy z [84] i pokazují w ten sposób zwiπzek prostoty widma operatorów V k z singularnoúciπ splotu odpowiedniej liczby kopii maksymalnego typu spektralnego ze splotem pewnej liczby dowolnych miar ciπg ych. Jako 3 Dla genusu równego 1 problem pozostaje otwarty. 4 Do dziú otwartym pozostaje pytanie, które (z dok adnoúciπ do izomorfizmu) reprezentacje unitarne moøna otrzymaê jako reprezentacje Koopmana dla dzia aò ergodycznych.

x W asnoúci ergodyczne i spektralne potoków specjalnych wniosek, wykazují, øe dla udowodnienia prostoty widma uk adu gaussowskiego generowanego przez miarí (tj. ü Œ n=1v n ), 5 wystarcza, by widmo operatorów V n by o proste. 6 Dodatkowo, fakt ten pozwala na napisanie stosunkowo prostego, nowego dowodu klasycznego twierdzenia I. V. Girsanowa [31], mówiπcego, øe funkcja krotnoúci spektralnej uk adu gaussowskiego jest albo sta a, równa jeden, albo jest nieograniczona. W dalszej czíúci rozdzia u 3, podobnie, jak wczeúniej w przypadku samopodobieòstw, zajmují sií problemem silnej singularnoúci spektralnej w kontekúcie potoków specjalnych nad obrotami niewymiernymi, które pochodzπ od g adkich potoków na rozmaitoúciach. WskazujÍ nowπ metodí wykazywania silnej singularnoúci spektralnej dla potoków specjalnych. Opiera sií ona czíúciowo na wynikach M. LemaÒczyka i F. Parreau [68], ponadto wykorzystují w niej aparat rzeczywistych funkcji analitycznych. Jako zastosowanie wypracowanej metody, wykazují, øe maksymalny typ spektralny potoków na powierzchniach, których automorfizm bazowy w reprezentacji specjalnej jest obrotem niewymiernym o kπt spe niajπcy pewien warunek diofantyczny 7, a funkcja dachowa ma symetrycznπ osobliwoúê typu logarytmicznego, przejawia pewne cechy silnej singularnoúci spektralnej: dla n =2, 3 miary warunkowe wystípujπce w rozk adzie n = s Ĝ d ún ( ) sπ czysto atomowe i majπ n! atomów. Z w asnoúciπ silnej singularnoúci spektralnej zwiπzane jest pojície po πczeniowej pierwszoúci (JP) rozpatrywane w rozdziale 4. 8 Zosta o ono wprowadzone niedawno przez M. LemaÒczyka, F. Parreau i E. Roy [70] jako uogólnienie znanych w teorii ergodycznej (a dok adniej, w teorii po πczeò uk adów dynamicznych 9 ) pojíê takich, jak minimalne samopo πczenia, prostota, czy teø distalna prostota. Mówiπc nieco nieformalnie, potok T ma w asnoúê JP, jeúli kaøde jego po πczenie ergodyczne z produktem kartezjaòskim uk adów s abo mieszajπcych jest w istocie po πczeniem z jednym z tych uk adów, a pozosta e sπ do πczone w sposób niezaleøny. Zasadnicze cechy tej w asnoúci to jej typowoúê, kryteria spektralne wystarczajπce dla jej weryfikacji oraz (co by o g ównym celem wprowadzenia tej w asnoúci) jej roz πcznoúê w sensie Furstenberga z tzw. uk adami dynamicznymi pochodzenia probabilistycznego, co w konsekwencji moøe wykluczyê g adkie modele uk adów pochodzenia probabilistycznego na pewnych klasach rozmaitoúci. 5 Reprezentacja V na przestrzeni L 2 (Ĝ, ) dana jest wzorem (V ) g f( ) = (g)f( ). 6 Fakt ten moøna udowodniê równieø bezpoúrednio (O. N. Ageev [5]). 7 Wymagamy, by kπt obrotu dla automorfizmu bazowego by liczbπ niewymiernπ, którπ moøna odpowiednio szybko aproksymowaê liczbami wymiernymi. 8 Angielski akronim pochodzi od nazwy joining primeness. 9 Teoria po πczeò uk adów dynamicznych zosta a zapoczπtkowana przez H. Furstenberga [29].

WstÍp xi W rozprawie badam naturalne uogólnienie w asnoúci JP, dla n ˇ 1 jest to pojície po πczeniowej pierwszoúci rzídu n (JP(n), [70]). Potok ma tí w asnoúê, jeúli kaøde jego po πczenie ergodyczne z produktem kartezjaòskim uk adów s abo mieszajπcych jest w istocie po πczeniem z produktem kartezjaòskim co najwyøej n spoúród tych uk adów, a pozosta e sπ do πczone w sposób niezaleøny (dla n = 1 otrzymujemy wiíc w asnoúê JP). W rozdziale 4 pokazují, øe uk ady z w asnoúciπ JP(n) sπ roz πczne z uk adami pochodzenia probabilistycznego. Ponadto, klasy uk adów z w asnoúciπ JP(n) tworzπ ciπg wstípujπcy: JP(n 1) ( JP(n). WskazujÍ równieø zwiπzek pomiídzy w asnoúciami JP(n), a pojíciem silnej singularnoúci spektralnej. G ównπ motywacjí dla rozdzia u 5 stanowi pytanie postawione przez J.- P. Thouvenota, czy izomorfizm kwadratów kartezjaòskich automorfizmów T i S implikuje izomorfizm automorfizmów T i S. Odpowiedü na to pytanie w klasie wszystkich automorfizmów nie jest znana. G ównπ trudnoúê zwiπzanπ z próbami odpowiedzi na to pytanie stanowi bogata, na ogó, struktura faktorów dla produktów kartezjaòskich. Niedawno, V. V. Ryzhikov [94] oraz V. V. Ryzhikov i A. E. Troitskaya [99] pokazali, øe odpowiedü jest pozytywna w klasach automorfizmów majπcych operatory Markowa postaci aî+ q iœz a i T i w s abym domkniíciu potíg automorfizmu T (rozpatrywanego jako operator Markowa odpowiedniej przestrzeni L 2 ). Poniewaø metoda wypracowana w [99] dzia a tylko dla automorfizmów, V. V. Ryzhikov zapyta, czy moøliwe jest rozszerzenie otrzymanych wyników na potoki majπce tzw. ca kowe automorfizmy Markowa w s abym domkniíciu zbioru {T t : t œ R}. W rozdziale 5 rozprawy podají czíúciowπ odpowiedü na to pytanie. Jest ona wnioskiem z rozwaøaò dotyczπcych zagadnienia znacznie ogólniejszego, tzn. zjawiska stabilnoúci izomorfizmu produktów kartezjaòskich, które wiπøe sií z odpowiedziπ na pytanie, kiedy izomorfizm produktów kartezjaòskich potoków T 1 T d oraz S 1 S d pociπga za sobπ naturalny izomorfizm T i ƒs fi(i) dla 1 i d oraz pewnej permutacji fi œ S(d) (izomorfizm ten jest dany przez obciície wyjúciowego izomorfizmu do odpowiednich -algebr). W rozprawie pokazují, øe zjawisko to zachodzi dla uk adów z w asnoúciπ JP rozpatrywanπ szerzej wczeúniej, w rozdziale 4. Dla potoków -s abo mieszajπcych (A. Katok, [47], A. M. Stepin, [104]) pokazují, øe jest spe niona pewna wersja w asnoúci JP i odpowiedü w tym przypadku równieø okazuje sií pozytywna. W rozprawie przyjí am nastípujπcπ konwencjí odnoúnie definicji. PojÍcia, które sπ wspólne dla kilku rozdzia ów wprowadzam w rozdziale 1. W poszczególnych rozdzia ach natomiast podají pojícia, które sπ potrzebne tylko w danym rozdziale. Od tej regu y zrobi am dwa wyjπtki. Pierwszym z nich sπ definicje zwiπzane z przek adaniami odcinków - czíúê z definicji podanych we wstípnym rozdziale 1 jest wykorzystywana jedynie w rozdziale 2, doty-

xii W asnoúci ergodyczne i spektralne potoków specjalnych czπcym braku samopodobieòstw, jednak uzna am, øe lepiej bídzie zamieúciê wszystkie definicje dotyczπce tego tematu w jednym miejscu. Drugim wyjπtkiem jest w asnoúê singularnoúci miary wzglídem splotu miar ciπg ych, potrzebna w rozdziale 3 i rozdziale 4, którπ podají na poczπtku rozdzia u 3, aby od razu by dobrze widoczny ca y kontekst. Wyniki przedstawione w poszczególnych rozdzia ach rozprawy pochodzπ z [62], [63], [64] oraz [65], dok adniej: w rozdziale 2 wykorzystují [63], w rozdziale 3 - [62] oraz [65], w rozdziale 4 - [65], w rozdziale 5 - [64].

ROZDZIA 1 Definicje i elementarne wiadomoúci Spis treúci 1.1 Reprezentacje lokalnie zwartych grup abelowych w grupie automorfizmów..................... 2 1.2 ErgodycznoúÊ, mieszanie, sztywnoúê........... 3 1.3 Automorfizm indukowany................. 4 1.4 Potoki specjalne...................... 5 1.5 Przek adania odcinków.................. 5 1.5.1 Przek adania r ˇ 2 odcinków........... 6 1.5.2 Indukcja Rauzy ego................. 7 1.5.3 Operacje na wieøach................ 7 1.5.4 Kocykl wysokoúci Rauzy ego............ 8 1.5.5 Przek adania odcinków typu okresowego..... 9 1.5.6 Przek adania odcinków na okrígu......... 9 1.5.7 Obrót niewymierny................. 10 1.6 Teoria spektralna reprezentacji unitarnych....... 11 1.7 Faktory i rozszerzenia................... 15 1.8 Teoria po πczeò...................... 16 1.9 Relatywna teoria ergodyczna............... 17 1

2 1. Definicje i elementarne wiadomoúci 1.1 Reprezentacje lokalnie zwartych grup abelowych w grupie automorfizmów Niech (X, B,µ) bídzie standardowπ, borelowskπ przestrzeniπ probabilistycznπ. Przez Aut(X, B,µ) oznaczamy grupí automorfizmów przestrzeni (X, B,µ) zachowujπcych miarí 10, tzn. T œ Aut(X, B,µ), o ile T : X æ X jest odwracalne µ-p.w., tzn. istnieje zbiór X Õ œbtaki, øe µ(x Õ )=1orazT X Õ : X Õ æ X Õ jest odwracalne, T B = T 1 B = B, dla dowolnego A œbzachodzi µ(a) =µ(ta)=µ(t 1 A). Od tej pory G zawsze bídzie oznaczaê grupí lokalnie zwartπ, abelowπ, spe niajπca drugi aksjomat przeliczalnoúci (w rozprawie niemal wy πcznie G = Z lub G = R). Dzia aniami grupy G na przestrzeni (X, B,µ) nazywamy reprezentacje grupy G w grupie Aut(X, B,µ), tzn. takie odwzorowania T : G X æ X, dla których (przy oznaczeniu T g ( ) =T (g, )) T g œ Aut(X, B,µ) dla dowolnego g œ G, dla dowolnych g 1,g 2 œ G zachodzi T g1 g 2 = T g1 T g2, T e = Id X, odwzorowanie G X (g, x) æ T g x œ X jest mierzalne. 11 Dzia anie grupy Z jest wyznaczone przez pojedynczy automorfizm T œ Aut(X, B,µ). Dzia anie grupy R nazywamy potokiem. Potoki czísto oznaczaê bídziemy przez T =(T t ) tœr. Zazwyczaj bídziemy utoøsamiaê zbiory, które róøniπ sií o zbiór miary zero. Podobna zasada bídzie obowiπzywaê np. przy równoúciach funkcji, czy -algebr, przy izomorfizmach oraz faktorach (patrz paragraf 1.7). Ponadto, o ile nie zaznaczono, øe jest inaczej, przestrzeò na której dzia a automorfizm T (potok T ) bídziemy oznaczaê przez (X, B,µ), natomiast przestrzeò, na której dzia a automorfizm S (potok S) - poprzez (Y,C, ), w razie potrzeby dodajπc odpowiednie indeksy dolne, aby oznaczyê wiíkszπ liczbí automorfizmów. 10 Poniewaø w rozprawie zajmujemy sií wy πcznie przekszta ceniami zachowujπcymi miarí, w dalszej czíúci pod pojíciem automorfizm rozumieê bídí automorfizm zachowujπcy miarí. 11 To za oøenie mierzalnoúci jest równowaøne ciπg oúci stowarzyszonej reprezentacji Koopmana, której definicjí podamy w rozdziale 1.6.

1.2. ErgodycznoúÊ, mieszanie, sztywnoúê 3 1.2 ErgodycznoúÊ, mieszanie, sztywnoúê Definicje podane w tym paragrafie moøna znaleüê w wielu ksiπøkach i pracach dotyczπcych teorii ergodycznej, m.in. w [18]. Definicja 1.2.1. Mówimy, øe T œ Aut(X, B,µ)jest ergodyczny, o ile dla dowolnego A œbzachodzi warunek lub równowaønie µ(a TA)=0 (µ(a) = 0 lub µ(a) =1) lim NæŒ dla dowolnych A, B œb, N 1 1 ÿ N n=0 µ(t n A fl B) =µ(a)µ(b) s abo mieszajπcy, o ile dla dowolnych A, B œbzachodzi warunek lim NæŒ N 1 1 ÿ N n=0 µ(t n A fl B) µ(a)µ(b) =0, mieszajπcy, o ile dla dowolnych A, B œbzachodzi warunek lim µ(t n A fl B) =µ(a)µ(b). næœ Powyøsze pojícia w podobny sposób definiuje sií dla potoków. Definicja 1.2.2. Mówimy, øe potok T =(T t ) tœr jest ergodyczny, o ile dla dowolnego A œbzachodzi warunek (( t œ R) µ(a T t A)=0) (µ(a) = 0 lub µ(a) =1) lub równowaønie lim T æœ 1 T dla dowolnych A, B œb, T 0 µ(t t A fl B) dt = µ(a)µ(b) s abo mieszajπcy, o ile dla dowolnych A, B œbzachodzi warunek lim T æœ 1 T T 0 µ(t t A fl B) µ(a)µ(b) dt =0,

4 1. Definicje i elementarne wiadomoúci mieszajπcy, o ile dla dowolnych A, B œbzachodzi warunek lim µ(t ta fl B) =µ(a)µ(b). tæœ Definicja 1.2.3. Mówimy, øe automorfizm T œ Aut(X, B,µ) jest sztywny wzd uø ciπgu czasów q n æœ, o ile dla dowolnego A œbzachodzi warunek lim µ(t qn A fl A) =µ(a). næœ Mówimy, øe potok T =(T t ) tœr jest sztywny wzd uø ciπgu czasów t n æœ,o ile dla dowolnego A œbzachodzi warunek lim µ(t t næœ n A fl A) =µ(a). Definicja 1.2.4. Mówimy, øe automorfizm T œ Aut(X, B,µ) jest czíúciowo sztywny wzd uø ciπgu czasów q n æœ, o ile istnieje sta a u œ (0, 1] taka, øe dla dowolnego A œbzachodzi warunek lim inf næœ µ(t qn A fl A) ˇ uµ(a). Mówimy, øe potok T =(T t ) tœr jest czíúciowo sztywny wzd uø ciπgu czasów t n æœ, o ile istnieje sta a u œ (0, 1] taka, øe dla dowolnego A œbzachodzi warunek lim inf µ(t t næœ n A fl A) ˇ uµ(a). 1.3 Automorfizm indukowany Niech T bídzie automorfizmem standardowej, borelowskiej przestrzeni probabilistycznej (X, B,µ). Niech A œbbídzie taki, øe µ(a) > 0. Wówczas czas pierwszego powrotu do zbioru A n A (x) := inf{n ˇ 1: T n x œ A} jest skoòczony dla µ-prawie wszystkich x œ A (H. Poincaré). Definicja 1.3.1. (S. Kakutani, [44]) Przekszta cenie T A : A æ A (okreúlone prawie wszídzie) nazywamy przekszta ceniem pierwszego powrotu do zbioru A (lub przekszta ceniem indukowanym na A). Przekszta cenie indukowane T A jest automorfizmem przestrzeni (A, B A,µ A ), gdzie B A = {B œ B: B µ A}, natomiast µ A (B) = µ(b) µ(a) dla dowolnego B œb A.

1.4. Potoki specjalne 5 1.4 Potoki specjalne Niech T bídzie automorfizmem ergodycznym standardowej, borelowskiej przestrzeni probabilistycznej (X, B,µ) i niech f œ L 1 (X, B,µ) bídzie funkcjπ dodatniπ, odseparowanπ od zera. Niech X f = {(x, t) œ X R: 0 t<f(x)}. Pod dzia aniem potoku specjalnego T f kaødy punkt z X f porusza sií pionowo do góry z prídkoúciπ jednostkowπ i identyfikujemy punkty (x, f(x)) oraz (Tx,0). K adziemy Y _] f(x)+f(tx)+...+ f(t m 1 x) dla m>0 f (m) (x) = 0 dla m =0 _[ (f(t m x)+...+ f(t 1 x)) dla m<0. Formalnie, aby zdefiniowaê potok specjalny, rozpatruje sií produkt skoúny S f :(X R,µ R ) æ (X R,µ R ) dany wzorem S f (x, r) =(Tx,r f(x)), gdzie R oznacza miarí Lebesgue a na R. 12 Niech f oznacza przestrzeò ilorazowπ X R/, gdzie relacja identyfikuje punkty w kaødej orbicie dzia ania S f na X R. Niech =( t ) tœr oznacza potok na (X R,µ ) zadany przez t (x, r) =(x, r + t). Poniewaø t S f = S f t, wiíc moøemy rozpatrywaê dzia anie ilorazowe: dzielimy przez relacjí. To dzia anie jest w naturalny sposób utoøsamiane z dzia aniem potoku specjalnego T f nad automorfizmem T pod funkcjπ f, opisanym powyøej. Przez f 0 oznaczamy funkcjí danπ wzorem f 0 (x) =f(x) s X f(x) dµ(x). Informacje na temat potoków specjalnych moøna znaleüê np. w [18]. 1.5 Przek adania odcinków Podstawowe informacje na temat przek adaò odcinków moøna znaleüê w [18], natomiast wiadomoúci równieø bardziej szczegó owe zosta y zebrane przez M. VianÍ w [116]. 12 Ogólnie przez G bídziemy oznaczaê miarí Haara na lokalnie zwartej grupie abelowej G (w przypadku grup zwartych G bídzie oznaczaê miarí probabilistycznπ; jedynπ grupπ, jakπ bídziemy rozpatrywaê, która nie jest zwarta, bídzie R). Czasami bídziemy pisaê krótko. Tπ samπ literπ oznaczaê bídziemy w rozprawie jeszcze dwa obiekty: d ugoúê wektora dla przek adania odcinków (patrz paragraf 1.5) oraz miary bídπce po πczeniami (patrz paragraf 1.8). Z dwóch ostatnich pojíê nie bídziemy korzystaê jednoczeúnie, wiíc przyjície takiej konwencji nie powinno prowadziê do nieporozumieò.

6 1. Definicje i elementarne wiadomoúci 1.5.1 Przek adania r ˇ 2 odcinków Przek adanie odcinków (IET) 13 jest odwracalnym przekszta ceniem skoòczonego odcinka, które jest kawa kami izometriπ zachowujπcπ porzπdek. Aby opisaê przek adanie r ˇ 1 odcinków na [0, ) potrzebne sπ nastípujπce dane 14 : para permutacji r symboli (fi 0,fi 1 )(sπtotzw.dane kombinatoryczne), wektor =( 1, 2,..., r ) d ugoúci ( i > 0 dla 1 i r, q r i=1 i = >0). Dla j = 1,...,r przekszta cenie T dane jest wzorem S Tx = x ÿ ÿ i + i,xœu ÿ fi 0 (i)<j fi 1 (i)<fi 1 (fi 1 0 (j)) fi 0 (i)<j i, ÿ fi 0 (i) j R i b. Para (fi 0,fi 1 ) wyznacza kolejnoúci podprzedzia ów przed i po zadzia aniu przekszta ceniem, natomiast jest wektorem d ugoúci przek adanych odcinków. BÍdziemy rozpatrywaê tylko pary nieredukowalne (fi 0,fi 1 ), tzn. takie pary, øe dla 1 k<r fi 1 0 ({1,...,k}) = fi 1 1 ({1,...,k}) (w przeciwnym wypadku przestrzeò by aby sumπ dwóch roz πcznych przedzia ów niezmienniczych dla przekszta cenia i moglibyúmy analizowaê powsta e w ten sposób dwa prostsze uk ady dynamiczne). PrzestrzeÒ [0, ) wyposaøamy w miarí Lebesgue a. Niech T bídzie przek adaniem odcinków wyznaczonym przez parí permutacji (fi 0,fi 1 ) i przez wektor d ugoúci. Po óømy j = ÿ dla 0 j r. Punkty j nieciπg oúci dla T. 15 fi 0 (i) j i dla 0 j r bídziemy nazywaê punktami Definicja 1.5.1. Mówimy, øe przek adanie odcinków T spe nia warunek warunek nieskoòczonych, roz πcznych orbit (IDOC) 16, o ile dla 1 j r 1 orbity O( j )={T n j,nœ N} 13 Angielski akronim IET pochodzi od nazwy interval exchange transformation. 14 Korzystamy z notacji wprowadzonej w [76] (S. Marmi, P. Moussa, J.-C. Yoccoz). 15 Punkty te nazywamy punktami nieciπg oúci, mimo øe przek adanie odcinków T zawsze jest ciπg e w punkcie 0 =0, punkt r = 1 nie naleøy do dziedziny oraz moøe sií zdarzyê tak, øe istnieje 0 <j<rtakie, øe T jest ciπg e w punkcie j. 16 Angielski akronim pochodzi od nazwy infinite distinct orbit condition.

1.5. Przek adania odcinków 7 sπ nieskoòczone i roz πczne. atwo sprawdzamy, øe ta definicja jest uogólnieniem obrotu niewymiernego na okrígu. Jak udowodni M. Keane [51], jeúli T spe nia warunek IDOC, to wszystkie orbity automorfizmu T sπ gíste. Ponadto, wiadomo [51], øe jeúli wspó rzídne wektora sπ wymiernie niezaleøne oraz para permutacji (fi 0,fi 1 ) jest nieredukowalna, to T spe nia warunek IDOC. 1.5.2 Indukcja Rauzy ego Przypomnijmy definicjí indukcji Rauzy ego R na przestrzeni przek adaò odcinków, które spe niajπ warunek IDOC 17. Oznaczmy przestrzeò przek adaò odcinków przez Â. Dla ustalonego przek adania odcinków T przek adajπcego r odcinków, reprezentowanego przez trójkí (,fi 0,fi 1 ), po óømy j 0 = fi0 1 (r), j 1 = fi1 1 (r), I (1) = [0, 1 min( j0, j1 )). Niech R(T ) bídzie przekszta ceniem indukowanym na przedziale I (1). DziÍki warunkowi IDOC, j0 = j1. Ponadto, otrzymujemy ponownie przek adanie r odcinków. Niech Y ] I + E j0,j A(T )= 1 dla j0 < j1, [ I + E j1,j 0 dla j1 < j0, gdzie I jest macierzπ identycznoúciowπ, a E i,j oznacza macierz, której wszystkie elementy sπ równe zero 0, oprócz elementu stojπcego na miejscu (i, j), który jest równy 1. Zdefiniowaliúmy w ten sposób kocykl Rauzy ego A: Â æ SL(r, Z) (patrz A. Zorich [121]). Proces indukowania na podprzedzia ach wybranych w sposób opisany powyøej, moøna powtórzyê nieskoòczenie wiele razy. Zatem zdefiniowaliúmy w ten sposób 1 (n),fi (n) 2 = R n (,fi 0,fi 1 ) oraz I (n) = Ë 0, 1 min 1 (n 1) j 0 22 dla n ˇ 1. Warunek IDOC zapewnia, øe za kaødym razem (n 1) j 0, (n 1) j 1 0,fi (n) 1 = (n 1) j 1. Moøliwe dane kombinatoryczne, które moøna otrzymaê z danych wyjúciowych za pomocπ indukcji Rauzy ego nazywamy klasπ Rauzy ego. 1.5.3 Operacje na wieøach Oznaczmy przez I (n) j, j =1,...,r, odcinki przek adane przez R n T. Wyznaczajπ one rozbicie danego odcinka I na wieøe H (n) j (j =1,...,r), gdzie H (n) j = h (n) j 1 k=0 T k I (n) j, (1.5.1) 17 Algorytm ten zosta wprowadzony przez G. Rauzy ego [87] i W. A. Veecha [113].

8 1. Definicje i elementarne wiadomoúci a h (n) j jest wspólnym czasem pierwszego powrotu do przedzia u I (n) dla punk-. Zbiory H (n) j nazywamy wieøami dla R n T, zbiory T k I (n) j piítrami, a zbiory I (n) j podstawami wieø. Zauwaømy, øe przy ustalonym n, tów z I (n) j wieøy H (n) j wszystkie piítra wszystkich wieø dla R n T sπ roz πczne: T k 1 I (n) j 1 fl T k 2 I (n) j 2 dla 1 j i r, 0 k i h (n) j i 1(i =1, 2) takich, øe (j 1,k 1 ) = (j 2,k 2 ). Przez rozciície wieøy H (n) j w punkcie x œ I (n) bídziemy rozumieê rozdrobnienie rozbicia na piítra wieøy zadane w nastípujπcy sposób: jeúli x œ I (n) j, to do punktów podzia u wyznaczajπcych rozbicie dodajemy zbiór ; < x, T x,..., T h(n) j 1 x (patrz rys. 1.1). = ÿ Rysunek 1.1: Wieøa rozciíta w punkcie x. 1.5.4 Kocykl wysokoúci Rauzy ego Niech h (0) bídzie wektorem kolumnowym (1,...,1) œ Z r,ah (n) wektorem kolumnowym, którego wspó rzídne sπ wysokoúciami wieø w n-tym kroku indukcji Rauzy ego. Wówczas mamy h (n) = A(R (n 1) (T ))h (n 1) i, oznaczajπc przez A (n) iloczyn macierzy wzd uø orbity T poprzez R otrzymujemy A (n) = A(R n 1 (T )) A(R n 2 (T )) A(R(T )) A(T ), h (n) = A (n) (1,...,1). (1.5.2) Jest to kocykl bídπcy transpozycjπ kocyklu, który pojawia sií u W. A. Veecha [113] oraz A. Zoricha [120]. Moøemy wiíc w terminach kocyklu Rauzy ego wyraziê równieø wektory d ugoúci przek adanych odcinków: (n) = 3 1A (n) (T ) 2 t 4 1 (0).

1.5. Przek adania odcinków 9 Ponadto, dla n œ N niech oraz h (n) min = min 1 j r h(n) j h (n) max = max 1 j r h(n) j. 1.5.5 Przek adania odcinków typu okresowego Definicja 1.5.2. Mówimy, øe przek adanie odcinków T jest typu okresowego, jeúli zachodzπ nastípujπce warunki: a) ciπg A(T ), A(RT ),...,A(R n T )jestokresowyzpewnymokresemp> 0, tzn. A(R n+p T )=A(R n T ) dla dowolnego n œ N; b) wszystkie elementy macierzy A (p) (T ) sπ úciúle dodatnie. Przyk ady przek adaò odcinków typu okresowego moøna skonstruowaê wybierajπc zamkniítπ úcieøkí na klasie Rauzy ego (patrz Y. G. Sinai, C. Ulcigrai [103]). Moøna pokazaê, øe kaøde przek adanie odcinków typu okresowego da sií otrzymaê w ten sposób. Jeúli wszystkie elementy macierzy B œ SL(r, Z) sπ úciúle dodatnie, moøemy wprowadziê nastípujπcπ wielkoúê: 18 Wówczas jeúli h (m+n) = B h (n),to (B) =max i,j,l B ij B lj. 1 (B) h(n+m) i h (n+m) j (B). (1.5.3) BÍdziemy korzystaê z tego faktu dla macierzy B = A (p) (T ) dla przek adaò odcinków typu okresowego o okresie p. 1.5.6 Przek adania odcinków na okrígu DefinicjÍ przek adania odcinków moøna atwo przenieúê na przypadek przek adaò odcinków na okrígu (IETC) 19. PojÍcie to nie jest szeroko opisane w literaturze, na ogó korzysta sií po prostu ze zwyk ych przek adaò odcinków. 18 W [111] W. A. Veech wprowadzi podobnπ wielkoúê, gdzie zamiast ilorazów elementów w kolumnach maksymalizowane by y ilorazy elementów w wierszach macierzy. 19 Angielski akronim IETC pochodzi od nazwy interval exchange on the circle.

10 1. Definicje i elementarne wiadomoúci Przez T bídziemy oznaczaê okrπg addytywny R/Z. W róønych kontekstach bídziemy go identyfikowaê z odcinkiem [0, 1) wyposaøonym w miarí Lebesgue a lub z okrígiem multiplikatywnym S 1 = {z œ C: z =1}. Definicja 1.5.3. Przek adaniem odcinków na okrígu (IETC) nazywamy odwracalne przekszta cenie T : T æ T, które kawa kami jest izometriπ zachowujπcπ orientacjí (tutaj T identyfikujemy z S 1 ). Uwaga 1.5.1. Kaøde przek adanie odcinków wyznacza przek adanie odcinków na okrígu poprzez identyfikacjí punktów kraòcowych odcinka. Liczba przek adanych odcinków ( uków w przypadku przek adania odcinków na okrígu) pozostaje taka sama. Z drugiej strony, kaøde przek adanie odcinków na okrígu wyznacza zwyk e przek adanie odcinków. Istotnie, rozpatrzmy przek adanie T r 1 odcinków ( uków) na okrígu. Oznaczmy przez 0 jeden z punktów nieciπg oúci automorfizmu T i potraktujmy okrπg jako odcinek [0, 1). W typowym przypadku otrzymamy przek adanie r odcinków. Punkt, który jest przekszta cany na 0 poprzez przek adanie odcinków (w przyk adzie na rysunku 1.2 oznaczony przez 3 ), staje sií dodatkowym punktem nieciπg oúci dla otrzymanego przek adania odcinków. 1.5.7 Obrót niewymierny Dla œ R \ Q przez T oznaczamy obrót niewymierny T x = x + na (T, B(T), T ). Przy identyfikacji okrígu T z odcinkiem [0, 1), miara T odpowiada mierze Lebesgue a na [0, 1). Obrót na okrígu jest przek adaniem dwóch odcinków. Dla liczby niewymiernej œ T niech (q n ) nœn bídzie ciπgiem mianowników w rozwiniíciu liczby w u amek aòcuchowy, tzn. Ponadto, niech q 0 =1,q 1 = a 1,q n+1 = a n+1 q n + q n 1. p 0 =0,p 1 =1,p n+1 = a n+1 p n + p n 1 oraz niech [0; a 1,a 2,...] oznacza rozwiniície w u amek aòcuchowy. Liczby wymierne pn q n sπ coraz lepszymi przybliøeniami liczby, mianowicie 1 < 2q n q n+1 - p n q n - < 1 q n q n+1 (patrz np. A. Y. Khinchin [52]).

1.6. Teoria spektralna reprezentacji unitarnych 11 punkty nieciągłości dla IETC dodatkowy punkt nieciągłości dla IET Rysunek 1.2: Przek adanie odcinków otrzymane z przek adania odcinków na okrígu. Definicja 1.5.4. Niech œ T bídzie liczbπ niewymiernπ. Mówimy, øe ma ograniczone czíúciowe ilorazy, o ile istnieje M > 0 takie, øe a n <Mdla dowolnego n œ N. 1.6 Teoria spektralna reprezentacji unitarnych Niech H bídzie oúrodkowπ przestrzeniπ Hilberta. Oznaczmy przez U(H) grupí operatorów unitarnych przestrzeni H. Przy badaniu w asnoúci dzia ania T =(T g ) gœg grupy G, czísto rozpatruje sií stowarzyszonπ z nim reprezentacjí unitarnπ, tzw. reprezentacjí Koopmana [61]: U =(U T g ) gœg : G æu(l 2 (X, B,µ)) danπ wzorem U T g (f) =f T g dla f œ L 2 (X, B,µ). 20 20 Przestrzenie postaci L 2 (X, B,µ) bídziemy teø czasem oznaczaê krótko L 2 (B) lub L 2 (X).

12 1. Definicje i elementarne wiadomoúci Niektóre w asnoúci dynamiczne dzia aò grup majπ swoje odzwierciedlenie we w asnoúciach stowarzyszonej reprezentacji Koopmana. Np. ergodycznoúê oznacza, øe jedyne funkcje niezmiennicze dla reprezentacji Koopmana to funkcje sta e, a s abe mieszanie, øe funkcje sta e sπ jedynymi funkcjami w asnymi. Teoria spektralna reprezentacji unitarnych okazuje sií byê uøytecznym narzídziem równieø przy badaniu bardziej subtelnych w asnoúci dzia aò grup na przestrzeniach probabilistycznych. Niech G bídzie grupπ abelowπ, lokalnie zwartπ, spe niajπcπ drugi aksjomat przeliczalnoúci i niech U =(U g ) gœg : G æu(h) bídzie reprezentacjπ grupy G w przestrzeni H. 21 Definicja 1.6.1. Dla elementu x œ H przestrzeniπ cyklicznπ generowanπ przez ten element nazywamy G(x) =span{u g x: g œ G}. Jest to najmniejsza domkniíta podprzestrzeò niezmiennicza zawierajπca element x. W analizie spektralnej kluczowe jest twierdzenie Bochnera-Herglotza (patrz np. [36], A. Hewitt, K. A. Ross), które wskazuje wzajemnie jednoznacznπ odpowiednioúê pomiídzy miarami nieujemnymi na grupie dualnej, a funkcjami ciπg ymi, dodatnio okreúlonymi na G i przyjmujπcych wartoúci zespolone. Definicja 1.6.2. FunkcjÍ r : G æ C nazywamy dodatnio okreúlonπ, gdy Nÿ n,m=0 r(a n a m )c n c m ˇ 0 dla dowolnego N ˇ 0, (a n ) nœn µ G oraz (c n ) nœn µ C. + Przez M (Ĝ) oznaczaê bídziemy przestrzeò skoòczonych, nieujemnych, borelowskich miar na grupie Ĝ. Twierdzenie 1.6.1 (Bochner-Herglotz). Niech r : G æ C bídzie funkcjπ ciπg π. Wówczas funkcja r jest dodatnio okreúlona wtedy i tylko wtedy, gdy + istnieje miara œ M (Ĝ) taka, øe r(a) = Ĝ (a) d ( ). 21 Wszystkie reprezentacje unitarne rozpatrywane w rozprawie sπ ciπg e, tzn. dla dowolnego x œ H funkcja G g æ U g x œ H jest ciπg a.

1.6. Teoria spektralna reprezentacji unitarnych 13 DziÍki powyøszemu twierdzeniu moøemy zdefiniowaê miarí spektralnπ dla x œ H. Definicja 1.6.3. Miarπ spektralnπ elementu x œ H nazywamy jedynπ miarí + x œ M (Ĝ), dla której ÈU g x, xí = (a) d x ( ) dla dowolnego g œ G. Ĝ Centralnym twierdzeniem w teorii spektralnej reprezentacji unitarnych lokalnie zwartych grup abelowych, spe niajπcych drugi aksjomat przeliczalnoúci jest nastípujπce twierdzenie o rozk adzie oúrodkowej przestrzeni Hilberta na sumí prostπ podprzestrzeni cyklicznych. Twierdzenie 1.6.2 (Twierdzenie o rozk adzie spektralnym). Dla dowolnej reprezentacji unitarnej U =(U g ) gœg grupy G na oúrodkowej przestrzeni Hilberta H istnieje rozk ad spektralny, tzn. rozk ad postaci H = ü Œ n=1g(x n ) taki, øe x1 x2... Ponadto, jeúli H = ü Œ n=1g(y n ) jest innym rozk adem spektralnym, to xn yn dla dowolnego n œ N. Definicja 1.6.4. Typ miary 22 x1 w rozk adzie spektralnym H = ü Œ n=1g(x n ) nazywamy maksymalnym typem spektralnym reprezentacji U i oznaczamy przez U. CzÍsto maksymalny typ spektralny bídziemy traktowaê jako miarí, wybierajπc konkretnego reprezentanta klasy abstrakcji. Uwaga 1.6.1. Zauwaømy, øe maksymalny typ spektralny dowolnego operatora Koopmana ma zawsze atom w jedynce, dlatego przez maksymalny typ spektralny automorfizmu bídziemy na ogó rozumieê tzw. zredukowany maksymalny typ spektralny stowarzyszonego z nim operatora Koopmana, bídπcy miarπ róøniπcπ sií od zdefiniowanego powyøej maksymalnego typu spektralnego, brakiem atomu w jedynce. Niech A n = supp d xn d x1. 23 Zbiory A n sπ zdefiniowane prawie wszídzie wzglídem miary x1. Ponadto wiíc d xn+1 d x1 = d x n+1 d xn d x n d x1, A 1 A 2 A 3... 22 Typem miary nazywamy klasí abstrakcji miar równowaønych danej mierze. 23 Symbol dµ d oznacza pochodnπ Radona-Nikodyma miary µ wzglídem miary, gdzie µ π.

14 1. Definicje i elementarne wiadomoúci Definicja 1.6.5. Przy powyøszych oznaczeniach, funkcjí M U : Ĝ æ Nfi{Œ} danπ wzorem Œÿ M U ( ) = A n ( ) n=1 nazywamy funkcjπ krotnoúci spektralnej. Definicja 1.6.6. Powiemy, øe reprezentacje unitarne U i =(U i g) gœg : H i æ H i,i=1, 2 sπ spektralnie izomorficzne, jeúli istnieje izometria na W : H 1 æ H 2 taka, øe W U 1 = U 2 W, tzn. dla dowolnego g œ G zachodzi równoúê W U 1 g = U 2 g W. Piszemy wtedy U 1 ƒu 2. Twierdzenie 1.6.3. Reprezentacje U 1, U 2 oúrodkowych przestrzeni Hilberta odpowiednio H 1, H 2 sπ spektralnie izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy ich maksymalne typy spektralne i funkcje krotnoúci spektralnej sπ takie same. Definicja 1.6.7. W zaleønoúci od tego, jaki jest maksymalny typ spektralny oraz funkcja krotnoúci spektralnej rozpatrywanej reprezentacji U, mówimy, øe: U ma proste widmo, jeúli M U 1, U ma widmo jednorodne krotnoúci N, jeúli M U N, U ma widmo singularne, jeúli U G, U ma widmo absolutnie ciπg e, jeúli U π G, U ma widmo ciπg e, jeúli U jest typem miary ciπg ej, U ma widmo dyskretne, jeúli U jest typem miary dyskretnej. Ponadto, bídziemy wykorzystywaê nastípujπcy fakt. 2 Lemat 1.6.4. Reprezentacja V =(V g ) gœg : G æu(l (Ĝ, )) dana wzorem V g f( ) = (g)f( ) ma proste widmo z maksymalnym typem spektralnym V =. Definicja 1.6.8. ReprezentacjÍ zdefiniowanπ w powyøszym lemacie nazywamy reprezentacjπ mnoøenia przez zmiennπ niezaleønπ. ReprezentacjÍ tí oznaczamy przez V, gdzie œ M + (Ĝ).

1.7. Faktory i rozszerzenia 15 Uwaga 1.6.2. Dowolna reprezentacja U grupy G, rozpatrywana jako U : G æu(g(x)) jest spektralnie izomorficzna z reprezentacjπ V x.wszczególnoúci, dla G = Z powyøszy izomorfizm oznacza, øe operator U : Z(x) æ Z(x) jest spektralnie izomorficzny z operatorem V x : L 2 (S 1, x ) æ L 2 (S 1, x ) danym przez V x (f)(z) =zf(z), który jest przyk adem operatora mnoøenia przez zmiennπ niezaleønπ. Informacje dotyczπce teorii reprezentacji unitarnych w przypadku grupy Z moøna znaleüê w ksiπøce W. Parry ego [85], natomiast w przypadku ogólnym w ksiπøce A. Katoka i J.-P. Thouvenota [50], czy teø w pracy przeglπdowej M. LemaÒczyka [67]. 1.7 Faktory i rozszerzenia Niech T :(X, B,µ) æ (X, B,µ)orazS :(Y,C, ) æ (Y,C, ) bídπ automorfizmami standardowych, borelowskich przestrzeni probabilistycznych. Definicja 1.7.1. Mówimy, øe S jest faktorem automorfizmu T, jeúli istnieje R: X æ Y takie, øe R T = S R oraz = S ú (µ), tzn. dla dowolnego A œc mamy µ(s 1 (A)) = (A). Automorfizm T nazywamy wówczas rozszerzeniem automorfizmu S i piszemy T æ S. Zauwaømy, øe jeúli S jest faktorem automorfizmu T,toR 1 (C) jest pod- -algebrπ -algebry B, która jest niezmiennicza ze wzglídu na dzia anie T. Odwrotnie, z kaødπ pod- -algebrπ niezmienniczπ A -algebry B moøemy stowarzyszyê faktor automorfizmu T. 24 Dlatego bídziemy teø czasem pisaê BæA. Abramov i Rochlin [2] pokazali, øe dowolne rozszerzenie ergodyczne  T automorfizmu T moøe byê przedstawione jako pewien produkt skoúny nad T,to znaczy dla  T æ T, automorfizm  T :( Ê X,  B, µ) æ ( Ê X,  B, µ) jest izomorficzny z pewnym automorfizmem T :(X Y,B C,µ ) æ (X Y,B C,µ ) postaci T (x, y) =(Tx,S x y), (1.7.1) gdzie (S x ) xœx jest mierzalnπ rodzinπ automorfizmów pewnej borelowskiej przestrzeni probabilistycznej (Y,C, ). Szczególnym przyk adem produktów skoúnych sπ rozszerzenia grupowe Rochlina, tzn. automorfizmy postaci T S,Ï (x, y) =(Tx,S Ï(x) y), 24 Faktor ten okreúlamy w nastípujπcy sposób: Y = X/A (utoøsamiamy punkty x 1,x 2 œ X jeúli nie moøna ich rozdzieliê zbiorami z -algebry A), natomiast struktura miarowa na Y dana jest przez (A,µ A ), a R dzia a w sposób naturalny.

16 1. Definicje i elementarne wiadomoúci gdzie (S g ) gœg jest mierzalnπ reprezentacjπ lokalnie zwartej grupy abelowej G, spe niajπcej drugi aksjomat przeliczalnoúci, w grupie Aut(Y,C, ), natomiast Ï: G æ X jest funkcjπ mierzalnπ (patrz np. M. LemaÒczyk, F. Parreau [69]). 1.8 Teoria po πczeò Niech T i S bídπ automorfizmami standardowych, borelowskich przestrzeni probabilistycznych, odpowiednio (X, B,µ) i(y,c, ). Przez J(T,S) oznaczamy zbiór wszystkich po πczeò miídzy T i S, tzn. zbiór wszystkich borelowskich, probabilistycznych miar T S-niezmienniczych na (X Y,B C), których rzutami na X i Y sπ odpowiednio miara µ i miara. Podzbiór zbioru J(T,S) sk adajπcy sií z po πczeò ergodycznych bídziemy oznaczaê przez J e (T,S). 25 Zamiast J(T,T)iJ e (T,T) bídziemy pisaê odpowiednio J(T )i J e (T ). Zbiór po πczeò ergodycznych jest równy zbiorowi punktów ekstremalnych sympleksu wszystkich po πczeò. Dla dowolnej miary œ J(T,S) warunek f(x)g(y) d (x, y) = Ó (f)(y)g(y) d (y) X Y dla dowolnych funkcji f œ L 2 (X, B,µ)ig œ L 2 (Y,C, ) zadaje w sposób jednoznaczny operator Ó : L 2 (X, B,µ) æ L 2 (Y,C, ) spe niajπcy warunki Markowa: Ó =Ó ú =, Ó (f) ˇ 0 dla dowolnej funkcji f ˇ 0. Ponadto, zachodzi warunek ekwiwariantnoúci Y Ó S = T Ó. (1.8.1) Zdefiniowana odpowiednioúê jest wzajemnie jednoznaczna, tzn. kaødy operator Markowa Ó spe niajπcy warunek (1.8.1), definiuje po πczenie Ó wyznaczone przez wzór Ó (A B) = Ó( A ) d oraz mamy Ó Ó = Ó dla dowolnego operatora Markowa Ó spe niajπcego warunek (1.8.1) oraz Ó = dla dowolnego po πczenia œ J(T,S). Zbiór operatorów Markowa odpowiadajπcych po πczeniom bídziemy oznaczaê przez J (T,S). Opisana powyøej identyfikacja po πczeò z operatorami Markowa pozwala nam rozpatrywaê J(T ) jako metryzowalnπ, zwartπ pó grupí pó topologicznπ, wyposaøonπ w s abπ topologií operatorowπ. 25 Wiadomo, øe J e (T,S) = ÿ wtedy i tylko wtedy, gdy T i S sπ ergodyczne. B

1.9. Relatywna teoria ergodyczna 17 Mówimy, øe T i S sπ roz πczne, jeúli J(T,S) ={µ } (H. Furstenberg [29]). Ponadto, przez Î X,Y œj(t,s) oznaczmy operator Markowa odpowiadajπcy po πczeniu produktowemu µ. 26 Niech R bídzie automorfizmem standardowej, borelowskiej przestrzeni probabilistycznej (Z, D,Ÿ). Jeúli œ J(T,S) orazs jest faktorem automorfizmu R, 27 to moøemy rozszerzyê do po πczenia  œ J(T,R) w nastípujπcy sposób:  (A B) = A(x) E( B C)(y) d (x, y) X Z/C Definicja 1.8.1. Po πczenie  zdefiniowane powyøej, nazywamy relatywnie niezaleønym rozszerzeniem po πczenia. Uwaga 1.8.1. W terminach operatorów Markowa (przy powyøszych oznaczeniach), relatywnie niezaleøne rozszerzenie Ó Â po πczenia Ó dane jest przez Ó Â := U Q Ó, gdzie Q: Z æ Y jest odwzorowaniem przedstawiajπcym S jako faktor automorfizmu R,aU Q jest stowarzyszonym operatorem Koopmana, który zanurza przestrzeò L 2 (Y )wprzestrzeòl 2 (Z). Jeúli dla uproszczenia notacji za oøymy, øe CµDoraz = Ÿ C,toÓ Â =Ó (przy czy wartoúci sπ przyjmowane w przestrzeni L 2 (Z), a nie L 2 (Y )). Powyøsze definicje moøna bezpoúrednio rozszerzyê na po πczenia wiíkszej liczby automorfizmów oraz na dzia ania innych lokalnie zwartych grup abelowych (w szczególnoúci na dzia ania grupy liczb rzeczywistych R). Szczegó owe informacje dotyczπce teorii po πczeò uk adów dynamicznych moøna znaleüê w monografii E. Glasnera [32]. 1.9 Relatywna teoria ergodyczna Wiele pojíê teorii ergodycznej takich, jak np. s abe mieszanie ma swojπ wersjí relatywnπ - zamiast pojedynczych automorfizmów rozpatruje sií rozszerzenia i mówi o relatywnych pojíciach wzglídem faktorów. W rozprawie pojícia te bídπ potrzebne, aby skonstruowaê pewne przyk ady automorfizmów. Wiadomoúci na temat relatywnej teorii ergodycznej moøna znaleüê w pracy H. Furstenberga [29], w pracy R. J. Zimmera [118], w pracy A. del Junco i M. LemaÒczyka [40], czy teø monografii E. Glasnera [32]. 26 Gdy bídzie jasne, jakie przestrzenie X i Y mamy na myúli, bídziemy pisaê krótko Î zamiast Î X,Y.OczywiúcieÎf = s X fdµdla dowolnej funkcji f œ L2 (X, B,µ). 27 Dla uproszczenia notacji zak adamy, øe CµD, Y = Z/C oraz = Ÿ C.

18 1. Definicje i elementarne wiadomoúci Definicja 1.9.1. Powiemy, øe automorfizm ergodyczny T :(X, B,µ) æ (X, B,µ) jest relatywnie s abo mieszajπcy wzglídem faktora A µ B, jeúli relatywnie niezaleøne rozszerzenie miary diagonalnej na A dane wzorem jest miarπ ergodycznπ. (A B) = X/A E( A A) E( B A) dµ A Uwaga 1.9.1. Jeúli znamy reprezentacjí rozpatrywanego rozszerzenia jako produktu skoúnego postaci (1.7.1), to w asnoúê relatywnego s abego mieszania moøna w sposób równowaøny scharakteryzowaê nastípujπco: rozszerzenie T æ T postaci (1.7.1) jest relatywnie s abo mieszajπce, jeúli automorfizm T przestrzeni (X Y Y,B C C,µ ), dany wzorem jest ergodyczny. T (x, y 1,y 2 )=(Tx,S x y 1,S x y 2 ) Niech G bídzie zwartπ grupπ metrycznπ z miarπ Haara G i niech Ï: X æ G bídzie funkcjπ mierzalnπ. Wówczas T Ï :(x, g) æ (Tx,Ï(x)g) jest automorfizmem przestrzeni (X G, B B(G),µ G ). 28 Definicja 1.9.2. Przy powyøszych oznaczeniach, izometrycznym rozszerzeniem automorfizmu T nazywamy dzia anie T Ï na przestrzeni ilorazowej X G/H, gdzie H jest zwartπ podgrupπ grupy G. Definicja 1.9.3. Niech  T :(  T,  B, µ) æ (  T,  B, µ) bídzie rozszerzeniem automorfizmu T :(X, B,µ) æ (X, B,µ). Rozszerzenie  T æ T nazywamy relatywnie distalnym, jeúli istnieje ciπg pozaskoòczony (B ) faktorów automorfizmu  T taki, øe B 0 = B, rozszerzenia B +1 æb sπ izometryczne, natomiast gdy jest granicznπ liczbπ porzπdkowπ, to B jest granicπ odwrotnπ wczeúniejszych faktorów oraz B =  B. Uwaga 1.9.2 (Twierdzenie Furstenberga [30] - Zimmera [117]). Dla dowolnego rozszerzenia ergodycznego BæAistnieje dok adnie jeden rozk ad BæCæAtaki, øe rozszerzenie BæCjest relatywnie s abo mieszajπce, a rozszerzenie CæAjest relatywnie distalne. 28 Zauwaømy, øe jest to szczególny przypadek rozszerzenia Rochlina, patrz str. 15.

ROZDZIA 2 Problem samopodobieòstw w teorii ergodycznej potoków Spis treúci 2.1 WstÍp............................ 20 2.1.1 Pewna klasa potoków specjalnych......... 20 2.1.2 G adkie potoki na powierzchniach......... 21 2.1.3 SamopodobieÒstwa................. 23 2.2 Struktura dowodu g ównego rezultatu.......... 24 2.2.1 Organizacja dalszej czíúci rozdzia u........ 26 2.3 Definicje.......................... 26 2.3.1 SamopodobieÒstwa................. 26 2.3.2 Zbalansowane d ugoúci podzia ów......... 27 2.4 Reprezentacja specjalna - szczegó y........... 28 2.5 Brak czíúciowej sztywnoúci................ 29 2.5.1 CzÍúciowa sztywnoúê a po πczenia......... 29 2.5.2 G ówny rezultat i struktura dowodu....... 30 2.5.3 Szczegó y techniczne................ 32 2.6 Przek adania odcinków ze zbalansowanymi d ugoúciami podzia ów.......................... 59 2.7 Od braku czíúciowej sztywnoúci do braku samopodobieòstw........................... 64 2.7.1 S aba zbieønoúê i brak rozciπgania dla sum BirkhoÄa....................... 64 2.7.2 Brak samopodobieòstw............... 66 2.7.3 Brak spektralnych samopodobieòstw....... 67 19

20 2. Problem samopodobieòstw 2.1 WstÍp Zanim przejdí do wprowadzenia w problematykí dotyczπcπ samopodobieòstw potoków, podam najwaøniejsze informacje dotyczπce potoków, którymi bídziemy sií zajmowaê w tym rozdziale i w rozdziale 3. 2.1.1 Pewna klasa potoków specjalnych Potoki specjalne, których w asnoúci bídziemy badaê, to potoki nad przek adaniami odcinków (w tym nad obrotami na okrígu) pod funkcjπ dachowπ, która ma osobliwoúci typu logarytmicznego. Mówiπc dok adniej, funkcja dachowa jest postaci f + g, gdzie f(x) = ÿ 1 c + i log{x i } 2 + ÿ 1 c i+1 log{ i+1 x} 2, 29 0 i r 1 0 i r 1 i dla 0 i r 1 sπ punktami nieciπg oúci przek adania odcinków T,zaú funkcja g jest kawa kami absolutnie ciπg a (oraz ciπg a w tych punktach, w których f jest ciπg a) i taka, øe min(f +g) > 0. Sta e c i+1, c + i dla 0 i r 1 sπ nieujemne. 30 Gdy r 1 ÿ r 1 c + ÿ i = c i+1, (2.1.1) i=0 powiemy, øe osobliwoúci sπ typu symetrycznego. W przeciwnym razie nazywamy je asymetrycznymi. Jeúli rozpatrywany potok nie ma po πczeò siod owych, 31 to c + i = c i dla 1 i r 1orazc + 0 = c r, wiíc osobliwoúci sπ typu symetrycznego. SymetrycznoúÊ osobliwoúci jest zwiπzana z w asnoúciami mieszania dla rozpatrywanych potoków. 32 Przypomnijmy najwaøniejsze rezultaty w tym kierunku. W [57] A. V. Kochergin pokaza, øe potok specjalny nad obrotem niewymiernym Tx = x + pod funkcjπ dachowπ z symetrycznπ osobliwoúciπ typu logarytmicznego jest dla prawie wszystkich niemieszajπcy, 29 Dla t œ R przez {t} oznaczamy czíúê u amkowπ liczby t. 30 Sta e te sπ dodatnie oprócz dwóch z nich, co wiπøe sií z tym, øe takie potoki specjalne stanowiπ izomorficznπ reprezentacjí g adkich potoków na powierzchniach oraz sposobem konstruowania tej reprezentacji. WiÍcej szczegó ów na ten temat znajduje sií w paragrafie 2.4, na stronie 28. 31 Po πczeniem siod owym nazywamy trajektorií potoku, która zaczyna sií i koòczy w punkcie krytycznym typu siod owego. 32 ErgodycznoúÊ potoku specjalnego jest równowaøna ergodycznoúci przekszta cenia pierwszego powrotu do wybranej transwersalnej. W tym wypadku chodzi wiíc o ergodycznoúê przek adania odcinków. i=0