Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky bakalářská práce vícebodové okrajové úlohy Plzeň, 18 Hana Levá

Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. V Plzni dne 1. května 18. Hana Levá iii

Poděkování Chtěla bych velmi poděkovat své vedoucí doc. Ing. Gabriele Holubové, Ph.D. za návrh tématu práce, cenné rady, připomínky, skvělou komunikaci a předně za vstřícnost a trpělivost při konzultacích. iv

Abstrakt Tato bakalářská práce je zaměřena na studium vícebodových okrajových úloh. Nejprve ukážeme, jak obecně vypadá vícebodová okrajová úloha. Zaměříme se na konkrétní čtyřbodovou okrajovou úlohu, pro níž najdeme vlastní čísla a příslušné vlastní funkce. Dále se zabýváme hledáním adjungované úlohy k této čtyřbodové okrajové úloze. Na závěr zkoumáme řešitelnost této úlohy s nenulovou pravou stranou. Klíčová slova: vícebodová okrajová úloha, vlastní čísla, vlastní funkce, adjungovaná úloha, řešitelnost nehomogenní úlohy Abstract This bachelor thesis is focused on studying of multipoint boundary value problems. At first, we show how the multipoint boundary value problem looks like in general. We focuse on a particular four point boundary value problem for which we find eigenvalues and corresponding eigenfunctions. Next, we deal with looking for an adjoint to this four point boundary value problem. In the end, we study the solvability of this problem with a nonzero right hand side. Key words: multipoint boundary value problem, eigenvalues, eigenfunctions, adjoint, solvability of nonhomogeneous problem v

Obsah Prohlášení Poděkování Abstrakt iii iv v 1 Úvod 1 Výpočet vlastních čísel a vlastních funkcí 3.1 Obecné řešení diferenciální rovnice (.1)....................... 3. Řešení okrajové úlohy................................. 4.3 Systém vlastních čísel a vlastních funkcí....................... 6.4 Parametry η a.................................... 9 3 Adjungovaná úloha 14 3.1 Obecné vyjádření úlohy a jejího adjungovaného tvaru................ 14 3.1.1 Vícebodový diferenciální operátor...................... 14 3.1. Adjungovaný vícebodový diferenciální operátor............... 15 3. Vyjádření adjungované úlohy k úloze (.1) (.3).................. 16 3.3 Vlastní čísla a vlastní funkce adjungované úlohy................... 18 4 Řešitelnost nehomogenní rovnice 5 4.1 Příklady......................................... 5 4. Podmínky řešitelnosti................................. 9 4..1 Podmínky řešitelnosti Sturm-Liouvilleovy úlohy............... 9 4.. Fourierova metoda............................... 3 4..3 Formulace podmínek řešitelnosti pro úlohu (4.1), (.) a (.3)....... 31 5 Závěr 34 Literatura 35

1 Úvod 1 Kapitola 1 Úvod Studium vícebodových okrajových úloh pro obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu bylo zahájeno autory Il inem a Moiseevem [1]. Od té doby se touto problematikou zabývalo mnoho dalších autorů, např. Gupta [], Ma a Castaneda [3] nebo Feng a Webb [4]. Vícebodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice mají široké využití v aplikované matematice, fyzice a mechanice. Mnoho problémů z oblasti elastické stability [5] lze takto modelovat. Například problém, kdy máme nosník vetknutý na krajích a podepřený v určitém místě pilířem, můžeme popsat pomocí tříbodové okrajové úlohy pro diferenciální rovnici čtvrtého řádu [6, str. 13]. Typickým příkladem vícebodové okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu, jimiž se v tomto textu budeme zabývat, je úloha []: u (x) + g(x, u(x), u (x)) = f(x), x [, 1], (1.1) u () = m i=1 b i u ( i ), u(1) = m i=1 a i u( i ), (1.) kde i (, 1) tak, že < 1 < <... < m < 1, koeficienty a i, b i R, g = g(x, s, t) je obecně nelineární funkce a f = f(x) je funkce pravé strany. Nejjednodušším případem vícebodové okrajové úlohy je úloha tříbodová, jejíž řešitelnost zkoumali například autoři Feng a Webb [4]. V této práci se budeme zabývat konkrétní čtyřbodovou okrajovou úlohou pro diferenciální rovnici druhého řádu ve tvaru: u (x) + λu(x) = f(x), x (, 1), (1.3) s okrajovými podmínkami u () = u (), (1.4) u(1) = u(η), (1.5) kde λ R, (, 1) a η (, 1). Vidíme tedy, že podle (1.) jsou pouze koeficienty a, b 1 nenulové, konkrétně rovny jedné, a m = 4. V našem případě funkce g(x, u(x), u (x)) = λu(x) a je tedy lineární. V rovnici budeme nejprve uvažovat funkci pravé strany f(x), dále pak prozkoumáme i případ, kdy f(x). Takovou situaci ukážeme na několika příkladech. Text této práce je členěn do tří částí. Nejprve se zaměříme na hledání vlastních čísel a vlastních funkcí homogenní úlohy, tj. pro funkci f(x). Dále se budeme zabývat tím, co se děje při limitních přechodech parametrů pro námi zkoumanou úlohu, a toto porovnáme se situací, kdy provedeme limitní přechod parametrů pro vlastní čísla a vlastní funkce úlohy. Ukážeme,

1 Úvod že při limitních přechodech parametrů a η získáme Dirichletovu, Neumannovu i periodickou úlohu. Dostaneme tedy standardní dvoubodové okrajové úlohy. V další části se zabýváme hledáním adjungované úlohy k úloze (1.3) (1.5) a jejích vlastních čísel a vlastních funkcí. V poslední části rozebereme řešitelnost nehomogenních rovnic pro různá nastavení koeficientů λ a f. Ukážeme analogii mezi námi zkoumanou úlohou a úlohou Sturm- Liouvilleova typu a dále také, jaký vliv na řešitelnost má vztah vlastních funkcí a vlastních funkcí adjungované úlohy s pravou stranou f.

Výpočet vlastních čísel a vlastních funkcí 3 Kapitola Výpočet vlastních čísel a vlastních funkcí V této kapitole se budeme zabývat následující úlohou na vlastní čísla: s okrajovými podmínkami u (x) + λu(x) =, x (, 1), (.1) u () = u (), (.) u(1) = u(η), (.3) kde λ R, (, 1) a η (, 1). Vlastním číslem rozumíme takové λ, pro které existuje netriviální řešení zadané úlohy. Takové řešení nazýváme vlastní funkce..1 Obecné řešení diferenciální rovnice (.1) Nejprve vyjádříme charakteristickou rovnici příslušnou k rovnici (.1). Dostáváme tedy p + λ =. Řešení rozdělíme do tří kroků, kdy postupně zvažujeme λ =, λ <, λ >. 1. Uvažujme λ =. Kořeny charakteristické rovnice v tomto případě jsou p 1, = a fundamentální systém diferenciální rovnice (.1) vypadá takto: F 1 = {1, x}. Obecné řešení diferenciální rovnice (.1) lze zapsat jako libovolná lineární kombinace funkcí z fundamentálního systému, má tedy tvar u 1 (x) = A + Bx, A, B R. (.4). Dále uvažujme λ <. Kořeny charakteristické rovnice získáme v tomto případě ve tvaru p 1 = λ, p = λ a fundamentální systém zapíšeme jako { F = e } λx, e λx.

. Řešení okrajové úlohy 4 Použitím vzorců pro hyperbolické funkce na F dostaneme jiný fundamentální systém, který můžeme psát takto: { ( λx ) ( λx )} F = cosh, sinh. V našem případě je pro další výpočty vhodnější zvolit F. Obecné řešení diferenciální rovnice (.1) má potom tvar ( λx ) ( λx ) u (x) = A cosh + B sinh, A, B R. (.5) 3. Následně uvažujeme λ >. Opět nejprve vyjádříme kořeny charakteristické rovnice. V tomto případě jsou p 1 = i λ, p = i λ, kde i je imaginární jednotka a i = 1. Jelikož pro naše výpočty potřebujeme vyjádřit reálný fundamentální systém a kořeny charakteristické rovnice jsou komplexní čísla, využijeme Eulerovu identitu. Námi uvažovaný fundamentální systém pak vypadá následovně: F 3 = { cos ( λx ), sin ( λx )}. Tedy obecné řešení diferenciální rovnice (.1) zapíšeme ve tvaru ( ) ( ) u 3 (x) = A cos λx + B sin λx, A, B R. (.6). Řešení okrajové úlohy Uvažujme okrajové podmínky pro diferenciální rovnici (.1), tedy (.) a (.3). Výpočet budeme znovu provádět ve třech krocích. 1. Nejprve mějme opět λ =. Pracujeme s obecným řešením (.4), tj. s u 1 (x). Pro okrajové podmínky (.) a (.3) dostáváme následující soustavu rovnic: B = B, A + B = A + Bη. Vyřešíme tuto soustavu a dostáváme B =, A R. Tedy netriviální řešení okrajové úlohy má tvar u (x) = A, A R \ {}, a λ = patří do systému vlastních čísel.. Dále uvažujme λ <. Pro okrajové podmínky (.) a (.3) dostáváme následující soustavu rovnic: ( A cosh A ( λ ) λ sinh ( λη ) cosh + B ( λ ( λ )) + B ( sinh Vyjádříme si matici X soustavy (.7) (.8): [ X = ( λ ) cosh ( λη ) sinh ) 1 sinh ( λ ) cosh ( λ ) 1 cosh ( λη ) cosh ( λ ) sinh ( λη ) sinh ( λ ) =, (.7) ( λ )) =. (.8) ].

. Řešení okrajové úlohy 5 Hledáme netriviální řešení této soustavy, tedy A + B. Proto musí být determinant matice X roven. ( λ ) ( ( λη ) ( λ )) ( ( λ ) ) det X = sinh sinh sinh cosh 1 ( ( λη ) ( λ )) cosh cosh =. Pomocí vzorců pro hyperbolické funkce upravíme tento výraz do následujícího tvaru: ( ) ( ) ( ) λη λ λ λη + λ λ det X = sinh sinh cosh =. Tento výraz nikdy nulový není, tedy jediné řešení soustavy (.7) a (.8) je A = a B =. Řešení okrajové úlohy je triviální, tj. u(x), a tedy λ < není vlastním číslem. 3. Následně uvažujme λ >. Pro okrajové podmínky (.) a (.3) po úpravě opět získáme soustavu dvou rovnic ( ) ( ( ) ) A sin λ + B cos λ 1 =, (.9) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) A cos λ cos λη + B sin λ sin λη =. (.1) Vyjádříme si matici X 3 soustavy (.9) (.1): ( λ ) sin X 3 = ( λ ) ( λη ) cos cos sin ( λ ) cos ( λ ) sin 1 ( λη ). Hledáme netriviální řešení této soustavy, tedy A + B. Proto musí být determinant matice X 3 roven. ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ) det X 3 = sin λ sin λη sin λ cos λ 1 ( ( ) ( )) cos λ cos λη =. Pomocí goniometrických vzorců tento výraz upravíme do následujícího tvaru: ( ) ( ) ( ) λη λ λ λ λη + λ det X 3 = sin sin cos =. Netriviální řešení získáme pro λ a,k = 4k π (1 η), λ b,k = 4k π tedy λ a,k, λ b,k a λ c,k jsou hledanými vlastními čísly., λ c,k = (k 1) π (1 + η ), k N, Tím jsme odvodili následující tvrzení. Věta 1. Vlastní čísla úlohy (.1) (.3) mají tvar λ =, λ a,k = 4k π (1 η), λ b,k = 4k π, λ c,k = (k 1) π (1 + η ), k N.

.3 Systém vlastních čísel a vlastních funkcí 6.3 Systém vlastních čísel a vlastních funkcí K vlastním číslům uvedeným ve větě 1 nyní vyjádříme příslušné vlastní funkce, které upravíme pomocí goniometrické identity A sin(x) + B cos(x) = C sin(x + ϕ), (.11) kde tg ϕ = B A, C = A + B. Pro jednoduchost volíme amplitudu vlastních funkcí rovnu 1. 1. Nejprve zvolíme λ = λ =. Volbou parametru A = 1 získáme vlastní funkci ve tvaru. Zvolíme-li λ = λ a,k, pak z (.9) a (.1) dostaneme ( ) ( kπ A sin = B cos 1 η u (x) = 1. (.1) ( kπ 1 η ) ) 1. Předpokládejme, že nenastane případ, kdy λ a,k = λ b,l pro nějaké k, l N. Tedy tato dvě vlastní čísla nesplynou v jedno s násobností dva a platí, že ( ) kπ sin. 1 η Úpravou pomocí goniometrických vzorců získáme ( ) ( ) kπ kπ A cos = B sin. 1 η 1 η Vhodným přenásobením upravíme vlastní funkci příslušnou vlastnímu číslu λ a,k do tvaru: ( ( ) ( ) ( ) ( )) kπ kπ kπ kπ u a,k (x) = A sin cos 1 η 1 η x cos sin 1 η 1 η x. Na tento tvar použijeme výše zmíněnou goniometrickou identitu, vhodně zvolíme konstantu A tak, aby amplituda u a,k (x) byla rovna jedné, a dostáváme řešení úlohy (.1) (.3) ve tvaru ( ( kπ u a,k (x) = sin x )). (.13) 1 η Pro libovolné k N jsou tyto funkce periodické s periodou T = 1 η k, tj. platí u a,k(η) = ( ) u a,k (η+t ) = u a,k (1). Díky fázovému posunu platí u a,k = a funkce u a,k jsou liše sy- metrické podle bodu, tj. u a,k () = u a,k (). Máme tedy vlastní číslo a příslušnou vlastní funkci rovnice (.1) s periodickými podmínkami na intervalu (η, 1). Grafické zobrazení vidíme na obrázku.1. 3. Zvolíme-li λ = λ b,k, pak z (.9) a (.1) dostaneme ( ( ) ( )) ( ( ) kπ kπη kπ A cos cos = B sin sin ( kπη )). Opět předpokládáme, že žádná dvě vlastní čísla nesplynou. Úpravou pomocí goniometrických vzorců získáme ( ) ( ) kπ(1 + η) kπ(1 + η) A sin = B cos,

.3 Systém vlastních čísel a vlastních funkcí 7.5.5 ua,1 x. ua,1 x..5.5 1....4.6.8 1....4.6.8 Obrázek.1: Vlastní funkce u a,k (x) pro k = 1 vlevo s parametry η >, vpravo s parametry > η. Hodnoty u a,1 () a u a,1 (η) jsou po řadě vyznačeny černě a červeně. vhodně přenásobíme a upravíme vlastní funkci příslušnou vlastnímu číslu λ b,k do tvaru: ( ( ) ( ) ( ) ( )) kπ(1 + η) kπ kπ(1 + η) kπ u b,k (x) = A cos cos x + sin sin x. Dále na tento tvar použijeme výše zmíněnou goniometrickou identitu, vhodně zvolíme konstantu A a dostáváme řešení úlohy (.1) (.3) ve tvaru ( ( kπ u b,k (x) = cos x 1 + η )). (.14) Pro libovolné k N jsou tyto funkce periodické s periodou T = k, tj. platí u b,k() = ( ) 1 + η u b,k (T ) = u b,k (). Díky fázovému posunu platí u b,k = a funkce u b,k jsou sudě symetrické podle bodu 1 + η, tj. u b,k(η) = u b,k (1). Máme tedy vlastní číslo a příslušnou vlastní funkci rovnice (.1) s periodickými podmínkami na intervalu (, ). Grafické zobrazení vidíme na obrázku...5.5 u b,1 x. u b,1 x..5.5 1....4.6.8 1....4.6.8 Obrázek.: Vlastní funkce u b,k (x) pro k = 1 vlevo s parametry η >, vpravo s parametry > η. Hodnoty u b,1 () a u b,1 (η) jsou po řadě vyznačeny černě a červeně. 4. Zvolíme-li λ = λ c,k, pak z (.9) a (.1) dostaneme ( ) ( (k 1)π A sin = B cos 1 + η ( (k 1)π 1 + η ) ) 1.

.3 Systém vlastních čísel a vlastních funkcí 8 Opět předpokládáme, že λ c,k nemá násobnost větší než jedna. Úpravou pomocí goniometrických vzorců získáme ( ) ( ) (k 1)π (k 1)π A cos = B sin. (1 + η ) (1 + η ) Vhodným přenásobením upravíme vlastní funkci příslušnou tomuto vlastnímu číslu do tvaru: ( ( ) ( ) (k 1)π (k 1)π u c,k (x) = A sin cos (1 + η ) 1 + η x ( ) ( )) (k 1)π (k 1)π cos sin (1 + η ) 1 + η x. Po další úpravě a vhodné volbě A dostáváme řešení úlohy (.1) (.3) ve tvaru ( ( (k 1)π u c,k (x) = sin x )). (.15) 1 + η (1 + η ) Pro libovolné k N jsou tyto funkce periodické s periodou T =, tj. platí ( ) k 1 u c,k (x) = u c,k (x + T ). Díky fázovému posunu platí u c,k = a funkce u c,k jsou liše symetrické podle bodu ( ) 1 + η, tj. u c,k () = u c,k (). Dále platí u c,k = a funkce u c,k jsou sudě symetrické podle bodu 1 + η, tj. u c,k(η) = u c,k (1). Máme tedy vlastní číslo a příslušnou vlastní funkci rovnice ( (.1) s kombinací Dirichletových a Neumannových okrajových podmínek na intervalu, 1 + η ). Grafické zobrazení u c,1 (x) pro různá rozložení parametrů η a vidíme na obrázku.3 a.4. Tímto postupem jsme odvodili následující tvrzení. Věta. Vlastní funkce okrajové úlohy (.1) (.3) příslušné vlastním číslům λ, λ a,k, λ b,k, a λ c,k, kde k N, mají tvar u (x) = 1, ( ( kπ u a,k (x) = sin x )), 1 η ( ( kπ u b,k (x) = cos x 1 + η )), ( ( (k 1)π u c,k (x) = sin x )). 1 + η Poznámka 1. Ve výše uvedeném odvození jsme neuvažovali případ, kdy jedno z vlastních čísel má násobnost větší než jedna, tj. případ, kdy při určitém nastavení parametrů a η dvě vlastní čísla splynou. Pro ilustraci uvažujme případ, kdy λ = λ a,k = λ b,l pro nějaké k, l N. Tedy toto vlastní číslo má násobnost a příslušné vlastní funkce lze vyjádřit jako lineární kombinaci vlastních funkcí příslušných k λ a,k a λ b,l ve tvaru u(x) = Au a,k (x) + Bu b,l (x), A, B R. Grafické zobrazení konkrétního případu vidíme na obrázku.5.

.4 Parametry η a 9.5.5 uc,1 x. uc,1 x..5.5 1....4.6.8 1....4.6.8 Obrázek.3: Vlastní funkce u c,k (x) pro k = 1 s parametry η >. Vpravo jsou parametry zvoleny blíže ke krajním bodům intervalu. Hodnoty u c,1 () a u c,1 (η) jsou po řadě vyznačeny černě a červeně..5.5 uc,1 x. uc,1 x..5.5 1....4.6.8 1....4.6.8 Obrázek.4: Vlastní funkce u c,k (x) pro k = 1 s parametry η <. Vpravo jsou parametry zvoleny blíže ke krajním bodům intervalu. Hodnoty u c,1 () a u c,1 (η) jsou po řadě vyznačeny černě a červeně..4 Parametry η a V této části budeme zkoumat, jak se úloha (.1) (.3) mění spolu s limitními přechody parametrů. Využijeme Rolleovu větu. Tento případ porovnáme se situací, kdy dojde k limitnímu přechodu parametrů pro vlastní čísla λ a,k, λ b,k a λ c,k a příslušné vlastní funkce této úlohy. Tuto situaci graficky znázorníme. Věta 3 (Rolleova [7, str. 99]). Necht funkce f : [a, b] R je spojitá, má v každém bodě intervalu (a, b) vlastní nebo nevlastní derivaci a platí f(a) = f(b). Pak existuje c (a, b) tak, že f (c) =. Rolleovu větu použijeme pro funkci u(x) i pro její první derivaci u (x). V obou případech jsou splněny předpoklady věty, jelikož funkce u(x) má spojitou druhou derivaci, tj. u(x) C ([, 1]). Z (.) a Rolleovy věty vyplývá, že existuje hodnota (, ) taková, že u ( ) =. Dosazením do rovnice (.1) dostáváme u( ) =. Stejně tak z (.3) a Rolleovy věty plyne, že existuje hodnota η (η, 1) taková, že u (η ) =. 1. Nejprve uvažujme limitní přechody takto: η 1,, tj. rovněž η 1,. Okrajové podmínky (.3) a (.) přejdou na u (1) a u(). Limitním přechodem tedy získáme k původní rovnici (.1) smíšené okrajové podmínky kombinaci Dirichletových

.4 Parametry η a 1 u x ua, x v b,3 x 1 1...4.6.8 Obrázek.5: Graf vlastní funkce u = u a,k (x) + u b,l (x) pro volbu k =, l = 3 s parametry 3(1 η) =. Hodnoty u() a u(η) jsou po řadě vyznačeny černě a červeně. a Neumannových okrajových podmínek: u() =, (.16) u (1) =. (.17) Vlastní čísla a vlastní funkce takové úlohy mají tvar ( ( π )) ( ) (k 1)π λ k = (k 1), uk (x) = sin x, k N. Nyní provedeme limitní přechod vlastních čísel úlohy (.1) (.3), který vypadá ( ( π )). následovně: λ a,k +, λ b,k +, λ c,k (k 1) Příslušné vlastní ( ) (k 1)π funkce u c,k mají tedy tvar u c,k (x) = sin x. Grafické zobrazení pro k = 1 vidíme na obrázku.6.. Dále uvažujme limitní přechody takto: η, 1. Okrajové podmínky (.) a (.3) přejdou na u () u (1) a u() u(1). Získáme tak periodické okrajové podmínky s periodou T = 1. Původní úloha tedy přejde na úlohu s rovnicí (.1) a okrajovými podmínkami Vlastní čísla a vlastní funkce takové úlohy mají tvar u() = u(1), (.18) u () = u (1). (.19) λ k = (kπ), u k,1 (x) = sin (kπx), u k, (x) = cos (kπx), k N. Jelikož je vlastní číslo λ k dvojnásobné, příslušejí mu dvě různé vlastní funkce u k,1 a u k,. Tedy i libovolná kombinace těchto vlastních funkcí je též vlastní funkcí této úlohy.

.4 Parametry η a 11.8 uc,1 x pro Η 1 a Ξ.6.4.....4.6.8 Obrázek.6: Vlastní funkce u c,k (x) pro k = 1 a limitní přechod parametrů η 1,. Limitní přechod vlastních čísel úlohy (.1) (.3) pak bude vypadat takto: λ a,k (kπ), λ b,k (kπ), λ c,k +. Příslušné vlastní funkce u a,k mají tvar u a,k (x) = sin (kπx kπ) = sin (kπx) a vlastní funkce u b,k mají tvar u b,k = cos(kπx kπ) = cos (kπx). Vynormováním získáme vlastní funkce ve tvaru u a,k (x) = sin (kπx) a u b,k = cos (kπx). Grafické zobrazení pro k = 1 vidíme na obrázku.7. 3. Následně uvažujme limitní přechody takto: η 1, 1, tj. rovněž η 1. Okrajové podmínky (.) a (.3) přejdou na u () u (1) a u (1). Tedy i u (). Získáme tak Neumannovy okrajové podmínky. Limitním přechodem tedy získáme úlohu s rovnicí (.1) a okrajovými podmínkami Vlastní čísla a vlastní funkce takové úlohy mají tvar u () =, (.) u (1) =. (.1) λ k = (kπ), u k (x) = cos (kπx), k N. Limitní přechod vlastních čísel úlohy (.1) (.3) pak bude vypadat takto: λ a,k +, λ b,k (kπ), λ c,k ((k 1)π). Příslušné vlastní funkce u b,k a u c,k mají tvar u b,k (x) = cos (kπx kπ) = cos (kπx) a u c,k (x) = ( 1) k 1 cos ((k 1)πx). Vynormováním získáme vlastní funkce ve tvaru u b,k = cos (kπx) a u c,k = cos ((k 1)πx). Grafické zobrazení pro k = 1 vidíme na obrázku.8. 4. Na závěr uvažujme limitní přechody následovně: η,, tj. rovněž. Okrajové podmínky (.3) a (.) přejdou na u() u(1) a z získáme u(), tudíž i u(1). Máme tedy Dirichletovy okrajové podmínky. Původní úloha přejde na úlohu s rovnicí (.1) a okrajovými podmínkami u() =, (.) u(1) =. (.3)

.4 Parametry η a 1 Vlastní čísla a vlastní funkce takové úlohy mají tvar λ k = (kπ), u k (x) = sin (kπx), k N. Limitní přechod vlastních čísel úlohy (.1) (.3) pak bude vypadat takto: λ a,k (kπ), λ b,k +, λ c,k ((k 1)π). Příslušné vlastní funkce u a,k a u c,k mají tvar u a,k (x) = sin (kπx) a u c,k (x) = sin ((k 1)πx). Vynormováním získáme vlastní funkce ve tvaru u a,k (x) = sin (kπx) a u c,k (x) = sin ((k 1)πx). Grafické zobrazení pro k = 1 vidíme na obrázku.9. Z výše uvedeného vyplývá, že po limitním přechodu pro vlastní čísla a vlastní funkce úlohy (.1) (.3) získáme vynormováním a v případech 3 a 4 sloučením těchto funkcí stejné výsledky jako limitním přechodem celé úlohy. Limitní přechod pro úlohu (.1) (.3) je tedy ekvivalentní limitnímu přechodu pro vlastní čísla a vlastní funkce této úlohy. Vlastní číslo λ = a k němu příslušná vlastní funkce u (x) = 1 existují jen v případech a 3. Závislost vlastních čísel na parametrech η a můžeme vidět na obrázku.1. ua,1 x pro Η a Ξ 1.5..5 u b,1 x pro Η a Ξ 1.5..5 1....4.6.8 1....4.6.8 Obrázek.7: Vlastní funkce u a,k (x) a u b,k (x) pro k = 1 a limitní přechod parametrů η, 1. u b,1 x pro Η 1 a Ξ 1.5..5 uc,1 x pro Η 1 a Ξ 1.5..5 1....4.6.8 1....4.6.8 Obrázek.8: Vlastní funkce u b,k (x) a u c,k (x) pro k = 1 a limitní přechod parametrů η 1, 1.

.4 Parametry η a 13 ua,1 x pro Η a Ξ.5..5 uc,1 x pro Η a Ξ.8.6.4. 1....4.6.8....4.6.8 Obrázek.9: Vlastní funkce u a,k (x) a u c,k (x) pro k = 1 a limitní přechod parametrů η,. 8 Λ a,k, Λ c,k 6 4...4.6.8 8 Λ b,k, Λ c,k 6 4...4.6.8 Obrázek.1: V horním grafu vidíme závislost λ a,k a λ c,k pro k = 1,, 3, 4, 5 na parametru η. Modrou barvou jsou zobrazeny λ a,k, červenou λ c,k. Dole totéž pro závislost λ b,k a λ c,k na parametru. Modře jsou zobrazeny λ b,k, červeně λ c,k.

3 Adjungovaná úloha 14 Kapitola 3 Adjungovaná úloha V této kapitole se budeme zabývat hledáním adjungované úlohy k úloze (.1) (.3). Výpočet provedeme podle postupu uvedeného v článku od Johna Lockera [8], jenž se zabývá vícebodovými diferenciálními operátory a hledáním jejich adjungovaných tvarů s okrajovými podmínkami ve vnitřních bodech zadaného intervalu, na němž je daná úloha definována. 3.1 Obecné vyjádření úlohy a jejího adjungovaného tvaru V této části shrneme výsledky z [8], tj. naformulování úlohy a vyjádření úlohy k ní adjungované, abychom je dále mohli použít pro naše výpočty v části 3.. 3.1.1 Vícebodový diferenciální operátor Mějme zadaný uzavřený interval [a, b] a S Hilbertův prostor L [a, b]. Necht τ = n i= ( ) i d a i (x) (3.1) dx je formální diferenciální operátor n-tého řádu, koeficienty a i = a i (x) jsou funkce reálné proměnné z C ([a, b]) a a n. Necht H n [a, b] je lineární podprostor prostoru S obsahující všechny funkce u = u(x) z C n 1 ([a, b]) s u (n 1) absolutně spojitými na [a, b] a u (n) z S. Dále zavedeme π = {a = x < x 1 <... < x m = b} dělení intervalu [a, b]. Symbolem H n (π) označme všechny funkce u z S, které splňují následující vlastnosti. a) Na každém podintervalu [x i 1, x i ] pro i = 1,..., m má funkce u limitu zleva i zprava, tedy můžeme definovat funkce u i = u i (x) tak, že u i (x) = u(x) pro x i 1 < x < x i, u i (x i 1 ) = u(x + i 1 ) a u i(x i ) = u(x i ). Píšeme, že u = u(x) = (u 1(x),..., u m (x)), kde u i nazýváme komponenty funkce u. b) Komponenty u i jsou z prostoru H n [x i 1, x i ] pro i = 1,..., m. H n (π) je lineární podprostor S obsahující H n [a, b], tedy můžeme aplikovat formální operátor τ na jakoukoliv funkci u, abychom získali novou funkci τu z S. Podle [8] se dají okrajové podmínky v bodech dělení intervalu zapsat jako B i (u) = m n 1 ( l=1 j= α ijl u (j) l ) (x l 1 ) + β ijl u (j) l (x l ) =, i = 1,..., k, (3.)

3.1 Obecné vyjádření úlohy a jejího adjungovaného tvaru 15 kde koeficienty α ijl, β ijl a k jsou zadaná reálná čísla. Necht L je lineární operátor na S definovaný takto: Lu = τu, D(L) = {u H n (π); B i (u) =, i = 1,..., k}. (3.3) 3.1. Adjungovaný vícebodový diferenciální operátor V této části nadefinujeme adjungovaný diferenciální operátor L k obecnému vícebodovému operátoru L z předchozí části. Získáme ho podle věty Theorem 1 [8, str. 564]. Adjungovaný operátor L je vícebodovým diferenciálním operátorem definovaným jako L v = τ v, D(L ) = {v H n (π); B i (v) =, i = 1,..., mn k}, (3.4) kde τ je formální adjungovaný diferenciální operátor a Bi (u) = je mn k lineárně nezávislých okrajových podmínek. Pro libovolné funkce u = u(x) a v = v(x) z prostoru H n (π) platí: m (τu, v) (u, τ v) = n 1 l=1 p,q= ( F pq x l u (p) l b a τ u(x)v(x)dx (x l )v (q) l (x l ) F pq x l 1 u (p) l b a u(x)τ v(x)dx = (x l 1 )v (q) l (x l 1 ) ) =, (3.5) kde F x = [Fx pq ] je matice typu n n složená z koeficientů z výpočtu (3.5) pomocí integrace per-partes, x [a, b]. Uvažujme systém lineárně nezávislých rovnic m n 1 (α ijl x jl + β ijl y jl ) =, i = 1,..., k. (3.6) l=1 j= Tato soustava má nekonečně mnoho řešení, mn k volných parametrů. Lze chápat, že x jl odpovídá u (j) l (x l 1 ), tj. odpovídá j-té derivaci komponenty u l v bodě x l 1, y jl odpovídá u (j) l (x l ) a koeficienty α ijl a β ijl jsou reálná čísla z okrajových podmínek (3.). Necht uspořádané dvojice [x ijl, y ijl ], i = 1,..., mn k, jsou konkrétním řešením soustavy rovnic (3.6). Dále necht koeficienty αijl a β ijl jsou konstanty definované vztahy n 1 αijl = p= n 1 x ipl Fx pj l 1 a βijl = p= y ipl F pj x l (3.7) pro i = 1,..., mn k; j =,..., n 1; l = 1,..., m. Pak Bi (u) jsou adjungované vícebodové okrajové podmínky definované jako B i (v) = m n 1 ( l=1 j= α ijlv (j) l ) (x l 1 ) + βijlv (j) l (x l ) =, i = 1,..., mn k. (3.8) Pro výpočet je výhodnější maticový zápis. Využijeme matice P l, Q l, X l, Y l, X, X a F definované takto: P l = [ αijl ] a Q l = [ βijl], (3.9) X l = [x ijl ] a Y l = [y ijl ] (3.1) pro l = 1,..., m, kde uvedené matice jsou typu (mn k) n. Ze vztahů (3.7) plyne P l = X l F xl 1 a Q l = Y l F xl. (3.11)

3. Vyjádření adjungované úlohy k úloze (.1) (.3) 16 Dále mějme matice typu (mn k) mn a matici typu mn mn Můžeme tedy psát X = [X 1 Y 1...X m Y m ] a X = [P 1 Q 1...P m Q m ] (3.1) F = diag( F x, F x1,..., F xm 1, F xm ). (3.13) X = XF. (3.14) Řádky matice X jsou lineárně nezávislé, jejich počet je mn k, a obsahují koeficienty αijl, β ijl, tedy získáme mn k lineárně nezávislých okrajových podmínek Bi (v) =. 3. Vyjádření adjungované úlohy k úloze (.1) (.3) V této části se budeme zabývat vyjádřením adjungované úlohy k úloze (.1) (.3) pomocí výše uvedeného postupu. Formální diferenciální operátor τ máme ve tvaru τ = d dx. (3.15) Vidíme tedy, že v našem případě se zabýváme diferenciálním operátorem druhého řádu, tj. n =. Koeficient a n = a = 1, ostatní koeficienty a i (t) jsou identicky nulové, tj. a = a 1 =. Pro naši úlohu vypadá dělení intervalu [, 1] následovně, uvažujeme-li případ, kdy < η: π = { < < η < 1}, tedy m = 3. Tudíž u = u(x) se skládá ze tří komponent, tj. u = u(x) = (u 1 (x), u (x), u 3 (x)). V případě, kdy > η, bychom postupovali analogicky. Pro řešení původní úlohy platí, že u C 1 ([, 1]), dokonce z rovnice (.1) vyplývá, že u C (, 1). Ale řešení adjungované úlohy už tyto vlastnosti nemá. Přepíšeme tedy původní okrajové podmínky (.) a (.3) podle vztahu (3.). Vidíme, že k nim přibudou další čtyři podmínky na spojitost funkce u a její první derivace u v bodech a η. Okrajové podmínky přepsané do nového tvaru vypadají takto: B 1 (u) = u 1() u 1() =, (3.16) B (u) = u 3 (1) u 3 (η) =, (3.17) B 3 (u) = u 1 () u () =, (3.18) B 4 (u) = u 1() u () =, (3.19) B 5 (u) = u (η) u 3 (η) =, (3.) B 6 (u) = u (η) u 3(η) =, (3.1) tj. k = 6, α 111 = β 3 = β 31 = β 411 = β 5 = β 61 = 1 a β 111 = α 3 = α 3 = α 41 = α 53 = α 613 = 1, ostatní koeficienty α ijl, β ijl jsou nulové. Vícebodový diferenciální operátor L v našem případě vypadá takto: Lu(x) = u (x), D(L) = {u(x) H (π); B i (u) =, i = 1,..., 6}. (3.) Původní úlohu (.1) (.3) můžeme pomocí diferenciálního operátoru L zapsat jako Pro formální diferenciální operátor τ platí Lu(x) = λu(x). (3.3) τ v = v. (3.4)

3. Vyjádření adjungované úlohy k úloze (.1) (.3) 17 Integrací per-partes na libovolném intervalu (a, b) (, 1) získáváme: b a u (x)v(x)dx b a u(x)v (x)dx = u (b)v(b) u (a)v(a) u(b)v (b) + u(a)v (a) (3.5) a tedy podle (3.5) matice koeficientů F x vypadá takto: F x = [ 1 1 ] x [, 1]. Nyní vyjádříme soustavu rovnic (3.6) pro zadanou úlohu: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 x 11 y 1 y 1 x x 1 y y 1 x 3 x 13 y 3 y 13 =. Tato soustava má nekonečně mnoho řešení. Vyjádříme je pomocí šesti parametrů ve tvaru x 1 x 11 y 1 y 1 x x 1 y y 1 x 3 x 13 y 3 y 13 = x 1 1 + x 11 1 1 1 + x 1 1 + x 3 1 1 1 + x 13 1 1 + y 13 1. Jelikož v našem případě k = 6, m = 3, n =, matice X l, a Y l pro l = 1,, 3 jsou typu 6. Vidíme, že matice X má tvar X = [X 1 Y 1 X Y X 3 Y 3 ] = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,

3.3 Vlastní čísla a vlastní funkce adjungované úlohy 18 její řádky jsou lineárně nezávislé. Matice F je podle definice třídiagonální a vypadá následovně: 1 1 1 1 1 F = 1 1, 1 1 1 1 1 tedy X, která se skládá z matic P 1, Q 1, P, Q, P 3 a Q 3 typu 6 má tvar 1 1 1 1 X = XF = 1 1 1 1 1. 1 1 1 Z matice X získáme koeficienty αijl a β ijl, našli jsme tedy mn k = 3 6 = 6 okrajových podmínek adjungované úlohy ve tvaru B 1(v) = v 1() =, (3.6) B (v) = v 1 () v 1 () + v () =, (3.7) B 3(v) = v 1() v () =, (3.8) B 4(v) = v (η) v 3(η) + v 3(1) =, (3.9) B 5(v) = v (η) + v 3 (η) =, (3.3) B 6(v) = v 3 (1) =. (3.31) K vícebodovému diferenciálnímu operátoru L tedy získáme adjungovaný diferenciální operátor L jako L v(x) = v (x), D(L ) = {v(x) H (π); B i (v) =, i = 1,..., 6}. (3.3) 3.3 Vlastní čísla a vlastní funkce adjungované úlohy V této části se budeme zabývat výpočtem vlastních čísel a vlastních funkcí adjungované úlohy, kterou jsme získali ve tvaru: L v(x) = λv(x). (3.33) Jinak zapsáno, mějme úlohu s okrajovými podmínkami Bi (v) =, i = 1,..., 6, tj. v (x) + λv(x) =, x (, 1), (3.34) v () =, (3.35) v() = v( ) v(+), (3.36) v ( ) = v (+), (3.37) v (1) = v (η+) v (η ), (3.38) v(η ) = v(η+), (3.39) v(1) =, (3.4)

3.3 Vlastní čísla a vlastní funkce adjungované úlohy 19 kde λ R, (, 1), η (, 1) a pro jednoduchost uvažujeme případ < < η < 1. Řešení úlohy získáme ve tvaru: v 1 (x) pro x (, ), v(x) = v (x) pro x (, η), (3.41) v 3 (x) pro x (η, 1). Vidíme, že v i C na příslušném podintervalu pro i = 1,, 3, avšak funkce v C([, 1]). Výpočet opět rozdělíme do tří částí pro λ =, λ > a λ <. 1. Nejprve volíme λ =. Obecné řešení diferenciální rovnice (3.34) má tvar A 1 + B 1 x pro x (, ), v(x) = A + B x pro x (, η), A 3 + B 3 x pro x (η, 1). (3.4) Vyřešíme okrajovou úlohu. Z okrajových podmínek (3.35) (3.4) dostáváme následující soustavu rovnic B 1 =, (3.43) A + B =, (3.44) B 1 = B, (3.45) B =, (3.46) A 3 + B 3 η =, (3.47) A 3 + B 3 =. (3.48) Vidíme tedy, že A 1 R a A = A 3 = B 1 = B = B 3 =. Řešení úlohy (3.34) (3.4) v (x) = { A1 pro x (, ), pro x (, η) (η, 1) (3.49) není triviální pro A 1, tudíž je λ = vlastním číslem. Po vynormování vyjádříme vlastní funkci příslušnou k vlastnímu číslu λ jako v (x) = { 1 pro x (, ), pro x (, η) (η, 1). (3.5) Grafické znázornění vidíme na obrázku 3.1.. Dále volíme λ >. Obecné řešení diferenciální rovnice (3.34) má tvar ( λx ) ( λx ) A 1 cos + B 1 sin pro x (, ), ( λx ) ( λx ) v(x) = A cos + B sin pro x (, η), ( λx ) ( λx ) A 3 cos + B 3 sin pro x (η, 1). (3.51) Vyřešíme okrajovou úlohu. Z okrajových podmínek (3.35) (3.4) dostáváme následující soustavu rovnic ( λ )) A 1 (1 cos A 1 sin ( λ ) + B 1 cos B 1 =, (3.5) ( λ ) ( λ ) ( λ ) B 1 sin + A cos + B sin =, (3.53) ( λ ) ( λ ) ( λ ) + A sin B cos =, (3.54) ( ) ( ) ( A sin λη + B cos λη + A 3 B 3 (cos ( ) sin λη ( ) λ cos ( )) sin λ ( )) λη + =, (3.55)

3.3 Vlastní čísla a vlastní funkce adjungované úlohy 1..8 v x.6.4.....4.6.8 Obrázek 3.1: Vlastní funkce v (x) s parametry η >. Hodnoty v () a v (η) jsou po řadě vyznačeny černě a červeně. ( λη ) ( λη ) A cos B sin A 3 cos ( λη ) + A 3 cos ( λ ) ( λ ) + B 3 cos Vyjádříme si matici soustavy (3.5) (3.57): ( λη ) + B 3 sin =, (3.56) =. (3.57) X = ( 1 λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) 1 cos sin cos sin ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) sin cos sin cos, ( λη ) ( λη ) ( λη ) ( λ ) ( λ ) ( λη ) sin cos sin sin cos cos ( λη ) ( λη ) ( λη ) ( λη ) cos sin cos sin ( λ ) ( λ ) cos cos. Hledáme netriviální řešení této soustavy, tedy [A 1, B, A, B, A 3, B 3 ] T. Proto musí být determinant matice X soustavy (3.5) (3.57) roven. Vyjádříme si výraz pro determinant, upravíme jej pomocí goniometrických vzorců a získáme rovnici ( ) ( ) ( ) λ(1 η) λ λ(1 + η ) det X = sin sin cos =. (3.58) Odtud vidíme, že netriviální řešení získáme pro λ a,k = 4k π (1 η), λ b,k = 4k π, λ c,k = (k 1) π (1 + η ), k N, tedy λ a,k, λ b,k a λ c,k jsou hledanými vlastními čísly. Tato vlastní čísla jsou stejná jako pro úlohu (.1) (.3). Nyní si vyjádříme příslušné vlastní funkce. a) Nejprve zvolíme λ = λ a,k. Vhodnou volbou volných parametrů a úpravou pomocí goniometrických vzorců dostáváme vlastní funkci příslušnou tomuto vlastnímu číslu ve tvaru pro x (, ), va,k(x) = ( ) pro x (, η), (3.59) kπ(x 1) sin pro x (η, 1). 1 η Grafické znázornění vidíme na obrázku 3..

3.3 Vlastní čísla a vlastní funkce adjungované úlohy 1 1..5 va,1 x..5 1....4.6.8 Obrázek 3.: Graf vlastní funkce v a,k (x) pro volbu k = 1 s parametry η >. Hodnoty v a,1() a v a,1(η) jsou po řadě vyznačeny černě a červeně. b) Vlastní funkci příslušnou vlastnímu číslu λ b,k po vynormování získáme ve tvaru ( ) kπx cos pro x (, ), vb,k(x) = (3.6) pro x (, η), pro x (η, 1). Grafické znázornění vidíme na obrázku 3.3. 1..5 v b,1 x..5 1....4.6.8 Obrázek 3.3: Graf vlastní funkce vb,k (x) pro volbu k = 1 s parametry η >. Hodnoty v b,1 () a vb,1 (η) jsou po řadě vyznačeny černě a červeně. c) Dále vyjádříme vlastní funkci příslušnou vlastnímu číslu λ c,k. Opět vhodně zvolíme volné parametry a upravíme pomocí goniometrických vzorců. Pro jednoduchost ne-

3.3 Vlastní čísla a vlastní funkce adjungované úlohy rozepisujeme λ c,k a značíme pouze λ. Dostáváme ( λ ) ( λx ) sin (1 η) cos ( ) λ ( λ ) (1 η) vc,k(x) = sin sin ( λ sin ) sin ( λ(η ) ) sin ( ( λ sin ( λ(x ) 1) x )) pro x (, ), pro x (, η), pro x (η, 1). Grafické znázornění vidíme na obrázku 3.4..4 1. vc,1 x. vc,1 x. 1.4...4.6.8...4.6.8 Obrázek 3.4: Graf vlastní funkce vc,k (x) pro volbu k = 1 a k = 7 s parametry η >. Hodnoty vc,1() a vc,1(η) jsou po řadě vyznačeny černě a červeně. Poznámka. Pro vhodnou volbu parametrů a η může nastat situace, kdy některá vlastní čísla splynou, například pro symetrii k = l(1 η) pro konkrétní k, l N. Pro ilustraci tedy uvažujme případ, že λ = λ a,k = λ b,l pro nějaké k, l N. Násobnost vlastního čísla je rovna dvěma a podle toho vypadají i příslušné vlastní funkce. Můžeme je zapsat jako lineární kombinaci vlastních funkcí příslušných k vlastním číslům λ a,k, λ b,l ve tvaru v = Av a,k + Bv b,l, A, B R. Totéž platí i pro původní úlohu. Grafické znázornění vidíme na obrázku 3.5. 3. Následně uvažujeme λ <. Postupujeme analogicky jako pro λ >. Získáme pouze triviální řešení, proto λ < není vlastním číslem. Výše uvedeným postupem jsme odvodili následující tvrzení. Věta 4. Vlastní čísla adjungované úlohy (.1) a (3.35) (3.4) mají tvar λ =, λ a,k = 4k π (1 η), λ b,k = 4k π, λ c,k = (k 1) π (1 + η ), k N.

3.3 Vlastní čísla a vlastní funkce adjungované úlohy 3 v x va, x v b,1 x 1 1...4.6.8 Obrázek 3.5: Graf vlastní funkce v = va,k (x) + v b,l (x) pro volbu k =, l = 1 s parametry = 1 η. Hodnoty v () a v (η) jsou po řadě vyznačeny černě a červeně. Pro < η příslušné vlastní funkce této úlohy jsou { v(x) 1 pro x (, ), = pro x (, η) (η, 1), pro x (, ), va,k(x) = ( ) pro x (, η), kπ(x 1) sin pro x (η, 1), 1 η ( ) kπx cos pro x (, ), vb,k(x) = pro x (, η), pro x (η, 1), vc,k(x) = sin ( λ ) ( λx ) sin (1 η) cos ( ) λ sin ( λ ) sin ( λ ) ( ( λ sin (1 η) sin x )) ( ) λ(η ( λ(x ) ) sin 1) pro x (, ), pro x (, η), pro x (η, 1). Poznámka 3. Jelikož operátor L není samoadjungovaný, nemají adjungované vlastní funkce v stejné vlastnosti, které jsme mohli pozorovat v kapitole u vlastních funkcí u původní úlohy (.1) (.3), avšak jistou analogii zde najít můžeme. Díky nulovosti částí vlastních funkcí va,k a vb,k jsou zachovány vlastnosti periodicity, tj. tyto funkce splňují na intervalech (η, 1) pro v a,k a (, ) pro vb,k periodické podmínky. Platí tedy, že v a,k (η) = v a,k (η + T ) = v a,k (1), kde T je ( ) perioda, a je navíc splněno va,k =. Stejně tak platí vb,k () = v b,k (T ) = v b,k (), kde T je ( ) 1 + η perioda, a je navíc splněno vb,k =. Oproti tomu se adjungovaná vlastní funkce vc,k odlišuje. Pokud bychom rozšířili její část v na interval (, 1), získáme funkci splňující kombinaci Dirichletových a Neumannových

3.3 Vlastní čísla a vlastní funkce adjungované úlohy 4 podmínek na intervalu (, 1 + η ) ( ), tj. v = a v ( ) 1 + η =. Poznámka 4. Obdobně můžeme zkoumat případ, kdy η <. Vlastní čísla takové úlohy pak zůstanou stejná jako v situaci, kdy < η. Odlišují se až vlastní funkce úlohy.

4 Řešitelnost nehomogenní rovnice 5 Kapitola 4 Řešitelnost nehomogenní rovnice V následující kapitole se budeme zabývat řešitelností nehomogenní rovnice, tj. řešitelností diferenciální rovnice (.1) pro konkrétní číslo λ, ke které přidáme pravou stranu f. Získáme tedy rovnici u (x) + λu(x) = f(x), x (, 1), (4.1) s původními okrajovými podmínkami (.) a (.3). Dále ukážeme, že formulace podmínek existence a jednoznačnosti řešení pro tuto úlohu je analogická k úloze Sturm-Liouvilleova typu a úzce souvisí s adjungovanou úlohou z kapitoly 3. 4.1 Příklady Pro ilustraci uvádíme následující čtyři konkrétní situace. Příklad 1. Nejprve budeme uvažovat λ = 1 a f(x) = 1. Řešíme tedy rovnici u (x) + u(x) = 1, x (, 1), (4.) s okrajovými podmínkami (.) a (.3). Obecné řešení lze zapsat jako součet obecného řešení homogenní rovnice u h (x) a partikulárního řešení nehomogenní rovnice u p (x), tedy kde obecné řešení homogenní rovnice má tvar u a (x) = u h (x) + u p (x), (4.3) u h (x) = A cos (x) + B sin (x), A, B R, (4.4) a partikulární řešení hledáme pomocí metody odhadu. Předpokládáme, že má tvar u p (x) = K, K R. (4.5) Toto řešení musí splňovat rovnici (4.). Po dosazení zjišt ujeme, že K = 1. Obecné řešení má tedy tvar u a (x) = A cos (x) + B sin (x) + 1, A, B R. (4.6) Následně vyřešíme okrajovou úlohu. Z okrajových podmínek (.) a (.3) dostáváme soustavu rovnic A sin () + B (1 cos ()) =, (4.7) A (cos (η) cos (1)) + B (sin (η) sin (1)) =. (4.8) Vyjádříme si matici soustavy X a : [ ] sin () (1 cos ()) X a = (cos (η) cos (1)) (sin (η) sin (1))

4.1 Příklady 6 a její determinant det X a = sin () (sin (η) sin (1)) (1 cos ()) (cos (η) cos (1)). Použitím goniometrických vzorců upravíme výraz do podoby ( ) ( ) ( ) 1 η 1 + η det X a = sin sin cos. Jelikož platí, že (, 1) a η (, 1), výraz výše se nikdy nule nerovná. Z toho vyplývá, že soustava (4.7) a (4.8) má jediné řešení A = a B =. Tedy u a (x) = 1, (4.9) tzn. existuje právě jedno řešení nehomogenní rovnice (4.) s okrajovými podmínkami (.) a (.3). Příklad. Dále uvažujme λ = a f(x) = 1. Budeme tedy řešit rovnici u (x) = 1, x (, 1), (4.1) s okrajovými podmínkami (.) a (.3). Opět nejdříve nalezneme řešení homogenní rovnice, které má tvar u h (x) = A + Bx, A, B R. (4.11) Dále hledáme partikulární řešení pomocí metody odhadu. Jelikož je v tomto případě úloha v rezonanci, partikulární řešení musí mít tvar u p (x) = Kx, K R. (4.1) Po dosazení do rovnice (4.1) zjišt ujeme, že K = 1. Obecné řešení lze zapsat jako součet u h(x) a u p (x), tedy u b (x) = A + Bx + x, A, B R. (4.13) Následně vyřešíme okrajovou úlohu. Z okrajových podmínek (.) a (.3) dostáváme soustavu rovnic B = B + η, (4.14) A + B + 1 η = A + Bη +. (4.15) Z rovnice (4.14) plyne, že =, což vzhledem k tomu, že (, 1), nikdy nenastane. Z toho vyplývá, že úloha (4.1), (.) a (.3) nemá řešení. Příklad 3. Dále uvažujme λ = a f(x) zadanou po částech { pro x (, ), f(x) = 1 pro x (, 1). Budeme tedy řešit rovnici u (x) = { pro x (, ), 1 pro x (, 1) (4.16) s původními okrajovými podmínkami (.) a (.3), ke kterým přidáme podmínky na spojitost u(x) a u (x) v bodě : u ( ) = u (+), (4.17) u( ) = u(+). (4.18)

4.1 Příklady 7 Požadujeme tedy, aby funkce u(x) = u 1 pro x (, ) a u(x) = u pro x (, 1) byla třídy C 1 ([, 1]). Řešení rovnice (4.16) získáme ve tvaru: u 1 (x) = A 1 + B 1 x, A 1, B 1 R, (4.19) u (x) = A + B x + x, A, B R. (4.) a) Nejprve řešíme pro < η < 1. Vyřešíme okrajovou úlohu. Z okrajových podmínek (.), (.3), (4.17) a (4.18) dostáváme soustavu rovnic B 1 = B 1, A + B η + η = A + B + 1, B 1 = B +, A 1 + B 1 = A + B +, z níž získáme řešení úlohy ve tvaru u 1 (x) = A u c (x) = + x 1 (η + 1) x, u (x) = A 1 x (η + 1) x +, A R. (4.1) Vidíme tedy, že řešení v tomto případě existuje a je závislé na parametru A, tj. existuje nekonečně mnoho řešení. b) Pro případ, kdy < η < 1, postupujeme analogicky, výslednou funkci u(x) však získáme v odlišném tvaru, a to u 1 (x) = A ( 1) + u c (x) = (η 1) x, u (x) = A + 1 + (4.) η x + x (η 1), A R. Řešení tedy opět není určeno jednoznačně. Příklad 4. Ve črvrtém případě zvolíme λ = λ b,k = 4k π rovnici a f(x) = 1. Budeme tedy řešit u (x) + 4k π u(x) = 1 (4.3) s okrajovými podmínkami (.) a (.3). Obecné řešení opět zapíšeme jako součet obecného řešení homogenní rovnice a partikulárního řešení nehomogenní rovnice, tedy ( ) ( ) kπ kπ u d (x) = A cos x + B sin x + 4k, A, B R. (4.4) π Dále vyřešíme okrajovou úlohu. Z okrajových podmínek (.) a (.3) dostáváme soustavu rovnic B (cos (kπ) 1) =, (4.5) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) kπ kπη kπη kπ A cos cos = B sin sin. (4.6)

4.1 Příklady 8 Z první rovnice vyplývá, že B R. Druhou rovnici upravíme do následujícího tvaru, k úpravě využíváme goniometrické vzorce: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 + η 1 η 1 + η 1 η A sin kπ sin kπ = B cos kπ sin kπ. (4.7) Vidíme, že může nastat případ, kdy řešení závisí na obou parametrech A a B, tj. úloha má dvojnásobné vlastní číslo. To odpovídá situaci, kdy ( ) 1 η sin kπ =, což nastane, když 1 η kπ = lπ pro nějaké k, l N, tj. λ b,k = λ a,l. Získáme tedy řešení úlohy ve tvaru (4.4). Pokud tato situace nenastane, řešení vyjádříme jako ( ) ( kπ u d (x) = C cos x cos kπ η + 1 ) ( ) ( kπ + C sin x sin kπ η + 1 ) + 4k π, (4.8) kde C R, tj. výsledné řešení existuje, bude záviset na parametru C a není tedy určeno jednoznačně. V příkladu 1 vidíme, že úloha má právě jedno řešení a současně zvolené číslo λ není vlastním číslem úlohy (.1) (.3). V příkladu máme λ =, k němu příslušnou vlastní funkci u (x) = 1, vlastní funkce příslušné adjungované úlohy v(x) = 1 pro x (, ), v(x) = pro x (, 1) a funkci pravé strany ve tvaru f(x) = 1. Můžeme sledovat následující vlastnosti: 1 1 f(x)u (x)dx = f(x)v (x)dx = 1 1dx + 1dx = 1, 1 dx = a zároveň neexistuje řešení. Vidíme, že pravá strana f není kolmá na vlastní funkci, ani na vlastní funkci adjungované úlohy. V příkladu 3 je opět λ =, k němu příslušná vlastní funkce u (x) = 1, vlastní funkce příslušné adjungované úlohy v(x) = 1 pro x (, ), v(x) = pro x (, 1) a funkci pravé strany máme tentokrát ve tvaru f(x) = pro x (, ), f(x) = 1 pro x (, 1). Opět sledujeme tyto vlastnosti: 1 1 f(x)u (x)dx = f(x)v (x)dx = 1 dx + 1dx = 1, 1 dx =, tj. adjungovaná vlastní funkce v je kolmá na funkci pravé strany f dané po částech. Současně vidíme, že řešení úlohy existuje, avšak není určeno jednoznačně. V příkladu 4 uvažujeme λ = λ b,k = 4k π, příslušné vlastní funkce u b,k, vlastní funkce adjungované úlohy vb,k a pravou stranu f(x) = 1. Pozorujeme, že jsou opět splněny vztahy 1 1 f(x)u b,k (x)dx, (4.9) f(x)v b,k(x)dx =, (4.3)

4. Podmínky řešitelnosti 9 tj. funkce pravé strany je kolmá na vlastní funkci adjungované úlohy. Řešení úlohy existuje, není však určeno jednoznačně. Nyní se zaměříme na případ, kdy oba parametry A, B ve vztahu (4.4) můžeme volit libovolně, tedy na případ dvojnásobného vlastního čísla λ = λ a,l = λ b,k pro konkrétní k, l N. Vidíme, že tomuto vlastnímu číslu nyní odpovídají dvě vlastní funkce u a,l a u b,k a vlastní funkce adjungované úlohy va,l a v b,k. Kromě (4.9) a (4.3) navíc platí 1 1 f(x)u a,l (x)dx, f(x)v a,l(x)dx =, tedy funkce pravé strany je kolmá na obě vlastní funkce adjungované úlohy a zároveň řešení není určeno jednoznačně. Vzhledem k výše uvedeným integrálním rovnostem se dá předpokládat, že na řešitelnost úlohy bude mít vliv pouze vlastní funkce adjungované úlohy v, nikoliv vlastní funkce u, konkrétně kolmost této funkce na funkci pravé strany f. 4. Podmínky řešitelnosti V této části se budeme zabývat tím, jak je to s existencí a jednoznačností řešení okrajové úlohy Sturm-Liouvilleova typu, a naformulujeme analogická tvrzení pro úlohu (4.1), (.) a (.3). 4..1 Podmínky řešitelnosti Sturm-Liouvilleovy úlohy Nejprve shrneme vztahy a postupy z [9]. Uvažujeme okrajovou úlohu ve tvaru (p(x)y (x)) + q(x)y(x) = f(x), x (, l), (4.31) kde l R + a f = f(x) je funkce pravé strany, s okrajovými podmínkami Předpokládejme, že αy() + βy () =, α + β, (4.3) γy(l) + δy (l) =, γ + δ. (4.33) p C 1 ([, l]), q C ([, l]), f C ([, l]), p(x) >. (4.34) Takto formulovaná úloha se nazývá Sturm-Liouvilleova úloha. Nyní tuto úlohu přepíšeme do operátorového tvaru Ly(x) = f(x), (4.35) kde a Ly(x) = (p(x)y (x)) + q(x)y(x) (4.36) D(L) = {y(x) C (, l) C 1 ([, l]); αy() + βy () =, γy(l) + δy (l) = }. (4.37) Věta 5 ([9, str. 67]). Necht číslo není vlastním číslem operátoru L na množině D(L). Pak existuje právě jedno klasické řešení y = y(x) okrajové úlohy (4.31) (4.33) a lze jej psát ve tvaru y(x) = kde G(x, ) je Greenova funkce uvažované okrajové úlohy. l G(x, )f()d, (4.38)

4. Podmínky řešitelnosti 3 Věta 6 ([9, str. 68]). Necht číslo je s-násobným vlastním číslem operátoru L na množině D(L) a necht mu odpovídají lineárně nezávislé vlastní funkce v 1, v,..., v s. Pak existuje klasické řešení w = w(x) okrajové úlohy (4.31) (4.33) právě tehdy, splňuje-li funkce f podmínky (f, v j ) = l f(x)v j (x)dx = j = 1,,..., s. (4.39) Toto řešení není určeno jednoznačně. Jednoznačnost zaručíme dodatečnými podmínkami Obecně jakákoli funkce y = y(x) ve tvaru (w, v j ) = j = 1,,..., s. (4.4) y(x) = w(x) + s c j v j (x), (4.41) kde c 1, c,..., c s jsou libovolné konstanty, je rovněž řešením úlohy (4.31) (4.33). 4.. Fourierova metoda Fourierova metoda je jednou z metod zabývající se konstrukcí řešení okrajové úlohy (4.31) (4.33). Nejprve sestrojíme odpovídající úlohu na vlastní čísla, najdeme posloupnost {λ k } vlastních čísel operátoru L a k nim odpovídající úplný ortogonální systém vlastních funkcí {v k }. Vlastnost ortogonality vlastních funkcí operátoru L plyne ze samoadjungovanosti operátoru L. Dále stanovíme rozvoj funkce pravé strany f do Fourierovy řady podle ortogonální soustavy {v k }: f(x) = d k v k (x), d k = (f, v k) v k. (4.4) k=1 V dalším kroku metody pak předpokládáme řešení y = y(x) ve tvaru Fourierovy řady y(x) = j=1 c k v k (x), (4.43) k=1 kde c k jsou v tuto chvíli neznámé konstanty. Formálními úpravami diferenciální rovnice (4.31) dostaneme vztah pro výpočet koeficientů c k. Protože systém {v k } je úplný, musí platit c k λ k = d k, k = 1,, 3,... (4.44) Nemá li řešená úloha nulové vlastní číslo, hledané řešení můžeme zapsat ve tvaru y(x) = k=1 Toto vyjádření lze dále pomocí formálních úprav napsat ve tvaru Funkci y(x) = G(x, ) = l k=1 f() d k λ k v k (x). (4.45) k=1 v k ()v k (x) d. (4.46) λ k v k v k ()v k (x), x, [, l], (4.47) λ k v k nazýváme Greenovou funkcí okrajové úlohy (4.31) (4.33) a řešení potom můžeme psát ve tvaru (4.38). Vidíme tedy, že v případě, kdy existuje index k takový, že číslo λ k = je vlastním číslem operátoru, musí být koeficient d k nulový. Pokud by toto nebylo splněno, nelze řešení

4. Podmínky řešitelnosti 31 konstruovat pomocí Fourierovy metody. Pokud koeficient d k je nulový, výše uvedený postup použít lze, ale neurčíme koeficient c k, který může nabývat libovolné reálné hodnoty. Pokud d k =, plyne z (4.4), že platí (f, v k ) =. Je tedy splněna nutná podmínka existence řešení. V případě násobného vlastního čísla musí být všechny vlastní funkce příslušné k λ k = kolmé na funkci pravé strany f. Poznámka 5. Formálními úpravami zmíněnými v textu se rozumí záměna sumy a integrálu ve vztahu (4.46), což lze provést za předpokladu stejnoměrné konvergence Fourierovy řady na intervalu (, l). 4..3 Formulace podmínek řešitelnosti pro úlohu (4.1), (.) a (.3) Nyní se budeme zabývat existencí a jednoznačností řešení úlohy (4.1), (.) a (.3). Tato úloha není Sturm-Liouvilleova. Po přepsání této úlohy do tvaru (3.3) dostaneme sice diferenciální operátor, který rovnicí odpovídá operátoru Sturm-Liouvilleova typu, kdy v našem případě p(x) 1 a q(x) λ, avšak odlišuje se v okrajových podmínkách (.) a (.3). Nelze tedy použít výše uvedené výsledky a konstrukce řešení. Navíc námi uvažovaný operátor L (3.3) není samoadjungovaný, tím pádem je porušena vlastnost ortogonality vlastních funkcí a nemůžeme tedy použít ani Fourierovu metodu ke konstrukci řešení. Očekáváme, že ve formulaci podmínek řešitelnosti nehrají důležitou roli jeho vlastní funkce, nýbrž vlastní funkce adjungovaného operátoru L. Tudíž ani výše uvedené tvrzení o nutné a postačující podmínce na existenci a jednoznačnost řešení nelze použít, avšak vyslovíme analogické tvrzení pro námi zkoumanou úlohu. Hypotéza 1. Necht číslo λ není vlastním číslem operátoru L na množině D(L). Pak existuje právě jedno klasické řešení y = y(x) okrajové úlohy (4.1), (.) a (.3) a lze jej psát ve tvaru y(x) = kde G(x, ) je Greenova funkce uvažované okrajové úlohy. l G(x, )f()d, (4.48) Hypotéza. Necht číslo λ je s-násobným vlastním číslem operátoru L na množině D(L) a necht mu odpovídají lineárně nezávislé vlastní funkce u 1, u,..., u s a lineárně nezávislé vlastní funkce příslušné adjungované úlohy v1, v,..., vs. Pak existuje řešení w = w(x) nehomogenní okrajové úlohy (4.1), (.) a (.3) právě tehdy, když jsou vj kolmé na funkci pravé strany f, tj. splňuje-li funkce f podmínky (f, v j ) = l f(x)v j (x)dx = j = 1,,..., s. (4.49) Toto řešení není určeno jednoznačně. Jednoznačnost zaručíme dodatečnými podmínkami Obecně jakákoliv funkce y = y(x) ve tvaru (w, u j ) = j = 1,,..., s. (4.5) y(x) = w(x) + s c j u j (x), (4.51) kde c 1, c,..., c s jsou libovolné konstanty, je rovněž řešením úlohy (4.1), (.) a (.3). Naformulovali jsme obdobná tvrzení pro úlohu (4.1), (.) a (.3), jaká byla vyslovena v předchozí části pro Sturm-Liouvilleovu úlohu. Jsou ve tvaru hypotéz, jelikož nejsme schopni pomocí základních prostředků matematické analýzy dokázat postačující podmínku. Umíme ale vyřešit otázku týkající se nutné podmínky řešitelnosti a tvaru řešení, proto tato tvrzení nyní naformulujeme jako věty, které následně dokážeme. j=1

4. Podmínky řešitelnosti 3 Věta 7 (Nutná podmínka řešitelnosti). Necht λ je s-násobným vlastním číslem nehomogenní úlohy (4.1), (.) a (.3) s příslušnými lineárně nezávislými vlastními funkcemi adjungované úlohy v j, j = 1,.., s, a necht existuje řešení této úlohy. Potom platí (f, v j ) = l f(x)v j (x)dx = j = 1,..., s. (4.5) Důkaz. Důkaz provedeme analogicky ke klasickému důkazu pro Sturm-Liouvilleovu úlohu, jehož nástin lze nalézt např. v [9, str. 68, 69]. Za předpokladu, že existuje řešení u = u(x) úlohy (4.1), (.) a (.3) a < η < 1, provedeme následující úpravy. Nejprve skalárně vynásobíme rovnici (4.1) libovolnou vlastní funkcí adjungované úlohy vj příslušnou vlastnímu číslu λ, tedy u (x) + λu(x) = f(x) / v j (x). (4.53) Nyní pomocí metody per-partes rozepíšeme levou stranu rovnosti (4.53). Jelikož je funkce v j po částech hladká, počítáme integrál na levé straně též po částech. 1 u (x)v j (x)dx + 1 η 1 u (x)v j (x)dx + λu(x)v j (x)dx = 1 u (x)v j (x)dx + η u (x)v j (x)dx + λu(x)v j (x)dx = [v (x)u (x)] [ u(x) (v (x)) ] + u(x) ( vj (x) ) dx + [v (x)u (x)] η + [ u(x) (v (x)) ] η η + + u(x) ( v j (x) ) dx + [v (x)u (x)] 1 η+ [ u(x) (v (x)) ] 1 1 + u(x) ( v η+ j (x) ) 1 dx + λu(x)vj (x)dx. η Z okrajových podmínek (.), (.3) a (3.35) (3.4) víme, že se hraniční členy odečtou. Dále využijeme rovnosti Lv j = ( v j ) = λv j a tím pádem dostáváme 1 tedy u(x) ( vj (x) ) η dx + u(x) ( vj (x) ) 1 dx + u(x) ( vj (x) ) 1 dx + λu(x)vj (x)dx = u(x) ( vj (x) ) 1 dx + λu(x)vj (x)dx = = 1 η 1 f(x)v j (x)dx λu(x)v j (x)dx + j = 1,..., s a důkaz je hotov. Pro případ < η < 1 dokážeme analogicky. 1 λu(x)v j (x)dx =, Věta 8 (O tvaru řešení). Necht λ je s-násobným vlastním číslem nehomogenní úlohy (4.1), (.) a (.3) s příslušnými lineárně nezávislými vlastními funkcemi u j, j = 1,.., s, a necht funkce w = w(x) je řešením této úlohy. Potom platí, že obecně jakákoli funkce y = y(x) ve tvaru y(x) = w(x) + s c j u j (x), (4.54) kde c 1, c,..., c s jsou libovolné konstanty, je rovněž řešením úlohy (4.1), (.) a (.3). Důkaz. Důkaz provedeme dosazením funkce y do rovnice (4.1). Získáme w (x) + λw(x) + s j=1 j=1 c j u j (x) + λ s c j u j (x) = f(x). (4.55) j=1