MODE OGIOWY Zawcaj prawdopodoeńtwo newpłacaośc kredtoorc może odwercedlać klkanaśce cnnków. W egmence detalcnm można wąć pod rowagę penję, awód, wek ora nne charaktertk oo aplkującej o kredt; natomat ked mam do cnena klentem korporacjnm, można wąć pod uwagę adłużene frm, dochodowość, prepłw penężne, nne. Model corngow określa jak połącć różne nformacje w całość, że dotać dokładne oacowane prawdopodoeńtwa newpłacaośc, a równeż automatuje ora tandaruje oacowwane rka newpłacaośc klenta. Pokażem jak określć model corngow użwając technk tattcnch, a manowce tw. regrej logtcnej lu proścej logtu. Zakodujem nformacje w określone welkośc np. ędem merć adłużene jako lora adłużene/aktwa, a potem najdem komnację tch cnnków która najlepej wjaśna htorcne newpłacaośc. Po wjaśnenu wąku pomęd punktam, a prawdopodoeńtwem newpłacaośc, pokażem jak etmować nterpretować model logtow. atępne predkutujem ważne temat, które pojawają ę w praktcnm atoowanu, manowce traktowane krajnch oerwacj ora wór wąku funkcjnego pomęd mennm, a newpłacaoścą. POŁĄCZEIE PUKÓW, RYZYKA IEWYPŁACAOŚCI ORAZ OBSERWOWAEJ IEWYPŁACAOŚCI Punkt podumowują nformacje awarte w kładnkach, które odwercedlają prawdopodoeńtwo newpłacaośc. Standardowe modele corngowe wkortują najardej uprocone podejśce operające ę na owej komnacj tch cnnków. ech onaca cnnk ch lość to K ora wag lu wpółcnnk m prpane; możem predtawć punkt, które ukujem w prkładowm corngu w nam prpadku ęde onacało - tą oerwację; dla danego klenta może ć jedna ądź klka oerwacj natępująco: Score... K K. Wgodne jet użwać krótą werję powżego wrażena. Zapując ora w wektor kolumnowe, możem równane. apać w potac: Score... K K,,. K K Jeżel model awera tałą, kładem dla każdego dla każdej oerwacj. Załóżm dla uprocena, że już wralśm cnnk, jeśl tak to pootał nam do określena wektor. Zawcaj, jet on określan na podtawe oerwowanch newpłacaośc. Woraźm oe, że mam erane rocne dane frm wartoścam cnnków danm o newpłacaośc. Pokaujem ór takch danch w tael.. Zauważm, że ta ama frma może ę pojawć węcej nż jeden ra, jeżel jet nformacja o tej frme pre klka lat. Frma cęto pootaje w tane newpłacaośc pre klka lat; w takch prpadkach ne ędem użwać oerwacj natępującch po roku w którm newpłacaość pojawła ę po ra perw. Jeśl frma wjde e tanu newpłacaośc, ędem ponowne włącać dotcące jej oerwacje do oru danch. Informacja o newpłacaośc ęde awarta w mennej. Prjmuje ona wartość jeśl frma tała ę newpłacaa w roku natępnm w porównanu do roku a któr mam Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr
dane ora 0 w precwnm prpadku tak wór ma wąek tm co ędem chcel prewdwać pr pomoc naego modelu; mając dane aktuae frm dane prawodawce a cał rok, ędem chcel prewdeć, prawdopodoeńtwo tego, że frma tane ę newpłacaa w roku natępnm w porównanu do roku prawodawcego. Całkowta lca oerwacj jet onacona pre. aela.. Wartośc cnnków ora nformacje o newpłacaośc Wkaźnk c r oerwacj awa frm Rok n a któr ą dane nwp w roku n Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr Wartośc cnnków K AAA 004 0 0, 0,45 0,87 AAB 004 0 0,3 0,56 0,89 3 ABA 004 0 0,5 0,60 0,78 4 ABB 004 0-0,0 0,43 0,76 5 ABC 004 0, 0,5 0,9. 789 AAA 005 0 0,08 0,68 0,69 790 AAB 005 0 0,07 0,65 0,76 79 ABA 005 0,4 0,56 0,74. CCC 008 0 0,6 0,49 0,8 Gd gotow model corngow atoować do danch htorcnch, pownen on prewdwać woke prawdopodoeńtwo newpłacaośc dla tch oerwacj, dla którch aoerwowano newpłacaość ora nke prawdopodoeńtwo newpłacaośc dla tch, dla którch newpłacaośc ne aoerwowano. Że wrać odpowedne wag, potreujem wperw połącć punkt prawdopodoeńtwem newpłacaośc. Można to roć pre apreentowane prawdopodoeńtwa newpłacaośc jako funkcję F punktów: Pro Default F Score.3 Jako prawdopodoeńtwo newpłacaośc, funkcja F pownna prjmować wartośc predału od 0 do ; pownna także podawać prawdopodoeńtwo newpłacaośc dla każdej możlwej lośc punktów dedna F mu awerać ór możlwch do doca lośc punktów. Funkcja mu też ć alo funkcją ronącą wted wra e wrotem punktów, prawdopodoeńtwo newpłacaośc ęde roło, alo funkcją malejącą wted wra e wrotem punktów, prawdopodoeńtwo newpłacaośc ęde malało. Wmagana mogą ć pełnone pre kumulowaną funkcję rokładu prawdopodoeńtwa. Rokładem cęto użwanm w tm celu jet rokład logtcn. ogtcna funkcja rokładu jet defnowana jako: ep ep. Sprawdźm, c wrana funkcja pełna wtke potrene warunk. Funkcja prjmuje wartośc predału 0,, cl prawdłowo. Zwróćm pr tm uwagę, że predał jet outronne otwart, tn. funkcja ngd ne prjmuje wartośc 0 wg modelu onaca to odpowedno ż ngd ne ędem w 00% pewn, że frma ęde wpłacaa, ądź w 00% pewn, że tane ę newpłacaa. Dalej, funkcja ma dednę w R, a atem dla każdej możlwej wartośc punktów otrmam prawdopodoeńtwo. a konec auważm, że funkcja jet funkcją ronącą, tn. wra e wrotem punktów prawdopodoeńtwo newpłacaośc ęde roło. Onaca to dla na równeż tle, że
punkt pownn ć negatwne punktu wdena newpłacaośc, tn. m węcej punktów tm gora tuacja frm. Stoując powż wór na funkcję jako ukaną funkcję F erem naą funkcję, F do.3 mam:.3. ep Score ep Pro Default F Score Score.4 ep Score ep ep Modele, które łącąc nformację o punktach prawdopodoeńtwem newpłacaośc użwają logtcnej funkcj rokładu ą nawane modelam logtowm. W tael.., preentujem prawdopodoeńtwa newpłacaośc kojarone pewnm wartoścam punktów corngowch ora lutrujem wąek męd nm na wkree. aela.. Punkt ora prawdopodoeńtwo newpłacaośc w modelu logtowm Jak można oacć, wże wartośc punktów corngowch odpowadają wżm wartoścom prawdopodoeńtwa newpłacaośc. W welu nttucjach fnanowch, punkt corngowe mają precwną właność: węka wartość punktów corngowch odpowada nżemu rku kredtowemu. W dodatku, ą one cęto ograncone do pewnego predału, np. od 0 do 00. Jeżel użjem.4 do defnowana temu corngowego punktam corngowm od -9 do, ale chcem pracować punktam od 0 do 00, możem prektałcć orgnae punkt corngowe w natępując poó: mcore 0 core 0. Itotne, jak ę a chwlę okaże wtarc owem rowąać prot układ dwóch równań owch. Mam prektałcć jeden predał na drug: [ 9,] [0,00], użjem do tego funkcj potac a. Znajdem taką, która prechod pre punkt 9,00,,0 predał [ 9, ] na o OX, predał [ 0,00] na o OY. Mam: 9,, 00, 0. Otrmujem układ równań: 00 9a 0 a a tąd, a 0, 0, 0 0. aela.3. Prektałcene predału punktów corngowch Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr
Mając erane cnnk ora wraną funkcję rokładu F, naturaą drogą etmacj wag jet metoda najwękej wargodnośc. Według aad najwękej wargodnośc, wag ą wrane tak, że prawdopodoeńtwo oerwowanch newpłacaośc jet najwęke. Perwm krokem w metode najwękej wargodnośc jet utalene funkcj wargodnośc. Dla kredtoorc, któr tał ę newpłaca Y, prawdopodoeńtwo newpłacaośc jet równe: Pro Default F Score Score.5 Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr Dla kredtoorc, któr ne jet newpłaca Y 0, dotajem prawdopodoeńtwo wpłacaośc: Pro o default Pro Default.6 Użwając protego trku, możem połącć dwe formuł w jedną, która automatcne daje właścwe prawdopodoeńtwo ca w tane newpłacaośc lu ne. Skoro każda lca podneona do potęg 0 daje, prawdopodoeńtwo dla oerwacj może ć apane jako amat Pro Default ora Pro o default mam jedno :.7 Itotne, jeśl Y otrmujem tlko perw cłon drug jet równ cl mam tuację.5, jeśl aś Y 0, otrmujem cłon drug perw jet równ, cl tuację.6. Zakładając, że newpłacaośc ą neależne awcaj w gopodarkach można aoerwować tuację, ked w pewnch okreach top newpłacaośc ą wże, a w nnch nże, tąd można ę atanowć, c ałożene o neależnośc jet na le jet właścwe, prawdopodoeńtwo oru oerwacj jet locnem pojedncch prawdopodoeńtw:.8 Dla celów makmalacj, ardej wgodne jet roważać, tn. logartm prawdopodoeńtwa adane nae polegało na makmalacj funkcj popre odpowedn doór wpółcnnków ; e wględu na to ż jet funkcją ronącą, adane to jet równonacne makmalacją funkcj :
Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr ] [.9 A makmalować porównam perwą pochodną funkcj wględem do 0. a pochodna jet dana worem:.0 Itotne, prpomnjm, że jet K - wmarowm wektorem K. A atem pochodna jet roumana jako: ],..., [ K. Prpomnjm także, że K, ora K K.... era możem już prtąpć do lcena pochodnej. ech ęde wrane, utalone, K,.... Mam: ] [ ] [ ] [ Zatrmam ę na chwlę na oecnm etape, że polcć dwe pochodne w otatnm wrażenu: ep ep, ep ep ep ep ep ep ep ep,, atem ep ] [. Analogcne ep ] [ ] [. Oa otrmane wnk wtawam do ropocętch pre na wlceń mam: ep ep
Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr ep ep ep ep, pr cm otatna równość wnka tego, że ep ep ep ep.. Wkaalśm węc.0. Metoda ewtona śwetne ę puje w rowąanu równana.0 wględem. Że atoować tę metodę, potreujem także drugą pochodną, która jet dana worem:.3 Itotne, mam owem: K j j,...,. Werm utalm K,..., ora t,...k. Mam: t t t t.0.. ep t t t t t t. Poneważ: 3 3 K K K K K, wkaalśm.. ESYMACJA WSPÓŁCZYIKÓW MODEU OGIOWEGO W EXCEU Poneważ Ecel ne awera funkcj dla etmacj modelu logtowego, pokażem jak kontruować defnowaną pre użtkownka funkcję, która wkona to adane. aa końcowa funkcja jet nawana OGI. Składna komend OGI jet natępująca: ] ],[,[, tattc cont OGI, gde [] onaca parametr opcjona można go pomnąć w prpadku pomnęca go, reultat ęde tak jak ałożon pre programtę. Perw parametr preentuje menną ależną, którą w nam prpadku jet wkaujące na newpłacaość ; drug parametr określa menne ojaśnające. rec cwart parametr prjmują wartośc logcne w celu odpowedno: włącena tałej parametr cont równ lu pomnęt, gd tała ma ę pojawć w modelu, 0 w precwnm prpadku
ora kalkulacj tattk regrej argument tattc równ jeśl tattk mają ć lcone, 0 lu pomnęte w precwnm prpadku. Funkcja wraca talcę, dlatego też mu ć rocągnęta na akre komórek atwerdona pre [Ctrl]+[Shft]+[Enter]. Pred agłęenem ę w kod, pójrm jak funkcja dała na prkładowm ore danch. Mam erane nformacje o newpłacaośc ora pęć mennch łużącch do prewdwana newpłacaośc: kaptał orotow Workng Captal - WC, dochod atrmane Retaned Earnng - RE, k operacjn k pred odlcenem podatków odetek, Earnng Before Interet and ae - EBI predaż Sale - S, każda podelona pre aktwa ogółem otal Aet - A; wartość rnkowa akcj Market Value of Equt - ME podelona pre pawa ogółem otal alte -. Za wjątkem rnkowej wartośc akcj wtke kładnk ą do naleena w prawodanu fnanowm frm. Rnkowa wartość jet dana jako lca akcj premnożona pre cenę akcj. Pęć wpółcnnków jet wrana eroko nanego Z-core rownętego pre Altmana. WC A ujmuje krótkotermnową płnność frm, RE A ora EBI A merą htorcną ora eżącą kowność, odpowedno. Dalej S A odwercedla konkurencjną tuację frm, a ME jet opartą o rnek marą dźwgn. Ocwśce, można równe dore wąć pod uwagę nne menne; że wmenć tlko klka, można prkładowo roważać: prepłw penężne pre oługę długu, predaż lu aktwa całkowte jako prlżene dla romarów dałaośc, menność ku, menność cen akcj. Cęto też tneje klka możlwośc ujęca różnm wkaźnkam tej amej totnej cech. Dla prkładu k eżące mogą ć ujęte pre wkaźnk EBI, EBIDA =EBI plu deprecjacja amortacja deprecaton and amortaton lu dochod netto. W tael.4. dane ą gromadone w kolumnach A do H. Identfkator frm ID frm ora rok ne ą wmagane do etmacj. aela.4. Zatoowane funkcj OGI Wkaźnk fnanowe aproponowane pre Altmana, 968, Fnancal rato, dcrmnant anal and the predcton of corporate ankruptc, Journal of Fnance 3, 589-609. Altman prjął prókę 66 frm w połowe wpłacach a w połowe newpłacach, tego amego okreu funkcjonowana, ektora gopodarcego ora podonej welkośc. Pocątkowo dla tch frm oacował wartośc wkaźnków fnanowch, które po tattcnch tetach werfkacj wag otał mnejone do 5 wkaźnków najlepej odwercedlającch tuację ekonomcno-fnanową ora prognoowaną doość kredtową. Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr
Funkcję OGI atoowano w komórkach akreu J:O. Zmenna wkortwana pre funkcję OGI, która nformuje o newpłacaośc najduje ę w komórkach o akree C:C4000, podca gd cnnk najdują ę w komórkach o akree D:H4000. Zauważm, że wpółcnnk ą wracane w takej amej kolejnośc w jakej menne otał wpane; tała jeśl włącona do modelu pojawa ę najardej na lewo. A dentfkować nak wpółcnnka, prpomnjm, że wże wartośc punktów odpowadają wękemu prawdopodoeńtwu newpłacaośc. Prkładowo ujemn nak wpółrędnej wpółcnnka odpowadającej wkaźnkow EBI A onaca, że prawdopodoeńtwo newpłacaośc maleje, gd kowność rośne. Spójrm tera na ważną cęść kodu OGI. W perwej funkcj analujem dane wejścowe, że określć wmar danch; całkowtą lcę oerwacj ora lcę mennch ojaśnającch włącając tałą K. Jeśl tała ma ć włącona co pownno ć roone rutnowo, mum dodać wektor jednkow do macer mennch ojaśnającch. Functon OGI A Range, raw A Range, Optonal contant A Bte, Optonal tat A Bte If IMngcontant hen contant = If IMngtat hen tat = 0 Count varale Dm A long, j A long, jj A long Read data dmenon Dm K A long, A long =.Row.Count K = raw.column.count+contant Addng a vector of one to the matr f contant =, name raw = from now on Dm A Doule ReDm o, o K For = to,= For j=+contant o K,j = raw,j - contant et j et Wartośc logcne dla tałch ora tattk ą to menne tpu Bte, co onaca, że mogą prjmować wartośc całkowte pomęd 0 a 55. W funkcj moglśm prawdć c użtkownk wprowadł 0 lu, wracać wadomość o łęde jeżel ne wtępuje żaden prpadków. Oe menne ą opcjonae wpane ch wartośc ne jet wmagane, jeżel pomnęto wpane ch wartośc, tała prjmuje wartość, a tattka 0. Podone możem chceć wpwać nne komunkat o łęde, np. jeżel lość oerwacj dla mennej ależnej jet różna od lośc oerwacj dla jednej e mennch ojaśnającch. Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr
Jak apreentowano powżej, funkcja OGI wmaga danch wejścowch organowanch w kolumn, ne w were. Pr etmacj modelu corngowego, ęde to tandardem, poneważ lca oerwacj jet tpowo ardo duża. Funkcja OGI makmaluje logartm prawdopodoeńtwa popre prrównane perwej pochodnej do era ora użce metod ewtona do rowąana prolemu metoda ewtona otała opana w ałącnku nr. Wmagane dla tego proceu ą: ór pocątkowch wartośc dla wektora nenanch parametrów ; perwa pochodna log prawdopodoeńtwa gradent dan równanem.0; druga pochodna macer dana worem.3. Metoda ewtona prowad wted do: 0 0 H 0 g 0. 0 0 Model logtow poada kortną właność, a manowce, że logartm prawdopodoeńtwa jet funkcją gloae wklęłą. Zatem najdując rowąane perwej pochodnej, możem ć pewn, że naleźlśm makmum gloae funkcj prawdopodoeńtwa. Powechne użwaną pocątkową wartoścą jet położene tałej, tn. model awera tlko tałą, podca gd nne wpółcnnk ą równe eru 0, K 0. W modelu, któr awera tlko tałą, welkoścą, która najlepej prewduje pojedncą newpłacaość cl Pro Default jet średna topa newpłacaośc, którą onacam pre. Jet ona polcona jako średna wartość średna artmetcna wkaującej na newpłacaość mennej. Poneważ Pro Default Score, ora w modelu e tałą dla każdego mam Score... K K, węc ukam takego, a ło równe. Kładem atem. am celem jet podane wartośc pocątkowej wektora wpółcnnków, atem że oągnąć ameron efekt, mum naleźć odwrotność logtcnej funkcj rokładu:.3 Itotne: a a ep a ep a ep a ep a ep a ep a ep a a. Analogcne a a. ep a ep a ep a Mam dalej: ep a ep a,,.4 A prawdć, że to prowad do ameronego efektu, prawdźm prewdwane newpłacaośc modelu logtowego właśne w prpadku, gd model to tlko tała:.4 ep Pro ep ep ep ep ep.3.5 Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr
Ked ncjalujem wektor wpółcnnków onacan pre w funkcj możem właścwe ancjalować punkt corngowe, którch ędem późnej potreować. Skoro pocątkowo prrównujem każd e wpółcnnków wjątkem tałej do era, równa ę tałej w tm prpadku prpomnjm, że tała najduje ę na perwej pocj w wektore, cl jet ną. Intalng the coeffcent vector and the core. Dm A Doule, A Doule, ar A Doule ReDm o K: ReDm o ar = Applcaton.WorkheetFuncton.Average średna oerwowanch defaultów If contant = hen = ogar / - ar ' jet perwm K wpółcnnków For = o = ' to punkt corngowe dla -tej oerwacj; jeżel model awera tlko tałą pootałe wpółcnnk ą eram, to dla każdej oerwacj punkt ędą równe perwemu wpółcnnkow, cl tałej et Jeżel funkcja otała wprowadona wartoścą logcną contant = 0 model e tałej, wted ęde erem, a poneważ wtke pootałe wpółcnnk ą eram 0, K 0, erem ęde. W tej chwl jeteśm gotow, a ropocąć metodę ewtona. Iteracja jet preprowadana wewnątr Do Whle oop. Z pętl wchodm natchmat, gd tlko mana w logartme prawdopodoeńtwa jednej teracj do drugej ne prekraca pewnej małej wartośc jak 0. Iteracje ą ndekowane pre menną ter. Skupając ę na najważnejch cęścach algortmu: deklarujem talcę d gradent, amda prognoa, Hee macer Heanu ora logartm prawdopodoeńtwa, lcm natępne ch wartośc dla danego oru wpółcnnków, a co a tm de dla danego core. Klucowe cęśc kodu najdują ę ponżej: Compute predcton amda, gradent d, Hean hee, and log lkelhood For = o amda = / +Ep- For j = o K dj = dj + -amda*,j For jj = o K heejj,j = heejj,j amda*-amda*,jj*,j et jj et j ter = ter + *og / + Ep- + -*og - / + Ep- et amda ep Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr
d l hee porównaj.0 porównaj. l porównaj.9 W kode najdują ę tr pętle pre które mum prejść. Funkcja dla gradentu, Hean ora prawdopodoeńtwo, każde awera umę od do. Użwam pętl dla od do, że rowjać tę umę. Wewnątr tej pętl użwam pętl po j do K dla każdej wpółrędnej wektora gradentu; dla Heanu, potreujem jece drugą pętlę, tąd w kode najduje ę kolejna treca pętla po jj do K. Zauważm, że gradent Hean muą ć reetowane do erowej wartośc gradent ma ć wektorem kolumnowm o każdej wpółrędnej erowej, Hean ma ć macerą o każdm wrae erowm pred powtórenem olceń w natępnm kroku teracj. Z gradentem Heanem, możem atoować metodę ewtona. Berem odwrotność Heanu użwając funkcj MIVERSE, mnożm go gradentem użwając funkcj MMU: Compute nvere Hean =hnv and multpl hnv wth gradent d hnv = Applcaton.WorkheetFuncton.MInverehee hnvg = Applcaton.WorkheetFuncton.MMultd,hnv If Achange <= en hen Et Do Appl ewton cheme for updatng coeffcent For j = o K j = j hnvgj et j Jak nadmenono powżej, procedura wlcana wektora wpółcnnków jet akońcona, gd mana w prawdopodoeńtwe, a ter ter, jet odpowedno mała. Możem wted wtawć na wjśce funkcj OGI. WYICZEIE SAYSYK PO ESYMACJI MODEU W tej cęśc pokażem jak tattk regrej ą lcone w funkcj OGI. Że ocenć c menna pomaga wjaśnć darene newpłacaośc c ne, możem prawdć wpółcnnk t j pr hpotee, że wpółcnnk dla tej mennej jet ero. Dla j - tego wpółcnnka, tak wpółcnnk t j jet natępującej potac: t j SE.6 j j gde SE jet etmowanm odchlenem tandardowm wpółcnnka. Wpółrędne wektora wpółcnnków erem otatnej teracj w metode ewtona, a odchlena tandardowe etmowanch parametrów ą dotarcone macer Heanowej. W cegóośc warancja wektora parametrów jet główną prekątną ujemnej odwrotnośc Heana w otatnm kroku teracj. W funkcj OGI mam już polcon Hean hnv w teracj ewtona, tak węc możem ko polcć odchlene tandardowe. Odchlene tandardowe j - tego wpółcnnka otrmujem w prot poó jako Sqr hnv j, j. Wpółcnnk t j ą wted wlcane pr pomoc woru.6. Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr
W modelu logtowm wpółcnnk t j ne ma rokładu t, jak to jet w klacnm modelu regrej owej. Racej jet prrównwan do tandardowego rokładu normaego. Że dotać p value tetu dwutronnego, wkortam metrę rokładu normaego w ponżm wore użto apu użwanego w VBA: p value j ORMSDIS ABS t j.7 Itotne, mam: H : 0 hpotea erowa, H : 0 hpotea alternatwna. 0 j j Doeram predał na korść hpote alternatwnej:,, K K. t j Wnacam p value j : P t j K P t j lu t j P t j 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Wartość grancna to taka, gd t j lu t j, cl gd t j, a tąd już: p value j t. 0, j Funkcja OGI wraca odchlena tandardowe, wpółcnnk t ora p value w ach do 4 na wjścu, jeśl wartość logcna tattk jet utawona na. W regrej owej moglśm użwać R jako mar doroc dopaowana. W modelach neowch etmowanch metodą najwękej wargodnośc możem użwać Peudo R ugerowanego pre McFaddena. Jet on wlcan jako mnu wpółcnnk ędąc loraem logartmu prawdopodoeńtwa etmowanego modelu ora logartmu prawdopodoeńtwa modelu w którm wtępuje tlko tała 0 : Peudo R.8 ak jak R, mara ta jet ograncona pre 0. Wże wartośc wkaują na lepe dopaowane. Pokauje o le lepej dopaowan do danch jet wran model od nawnego modelu, w którm jedną menną ojaśnającą jet tała, a atem w pewnm ene pokauje w jak poó warancja mennch neależnch powala wtłumacć różncowane mennej ależnej. awet, gd model jet deae dopaowan do danch, tattka Peudo R prjmuje wartośc nacne ponżej. Woec tego ne jet ona dorą marą dopaowana modelu. a jej podtawe możem jedne twerdć któr wetmowanch model na tej amej próe danch, tm amm mennm ojaśnającm, jet lepej do nch dopaowan. atomat tet nc ne mów o topnu dopaowana. ogartm prawdopodoeńtwa jet dan pre logartm prawdopodoeńtwa funkcj otatnej teracj procedur ewtona, dlatego też jet już dotępn. Pootało określć logartm prawdopodoeńtwa aceśnonego modelu modelu tlko e tałą. W modelu kładającm ę tlko e tałej, prawdopodoeńtwo jet makmalowane jeśl prewdwane prawdopodoeńtwo newpłacaośc jet równe średnej tope newpłacaośc. Wdelśm w.5, że może to ć oągnęte pre położene tałej równej logtow top defaultu, tj.. Pr aceśnonm modelu ukujem atem logartm prawdopodoeńtwa druga równość ponżej wnka tego ż w modelu aceśnonm.5, a tąd :.9 0 [ ] [ ] 0 Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr
[ ].9 W funkcj OGI jet to amplementowane w poó natępując: kelhood of model wth jut a contant0 Dm 0 A Doule 0 = *ar*ogar+-ar*og-ar Dwa prawdopodoeńtwa użte w Peudo R mogą także ć użte do preprowadena tattcnego tetu całoścowego modelu, t. j. hpote nullowej, że wtke wpółcnnk wjątkem tałej ą erowe. et jet kontruowan natępująco: R 0. Im węcej prawdopodoeńtwa jet tracone pre wpłw aceśnena, tm węka ęde tattka R. Stattka tetowa amptotcne ma rokład loścą topn wood równą lośc nałożonch aceśneń le wpółcnnków jet prrównanch do era. Ked tetujem nacene całej regrej, lca aceśneń jet równa lce mennch K mnu odjęce jet wąane tm, że tała ne jet prrównwana do era. Funkcja CHIDIStet tattc, retrcton daje p value tetu R. Komenda OGI wraca oa R jego p value. Funkcja OGI dotarca równeż wartośc ora 0, a także lość teracj potrench do ukana wmaganej dokładnośc wlceń. Jako podumowane, wjśce funkcj OGI jet organowane jak pokaano w tael.5. aela.5. Wjśce defnowanej pre użtkownka funkcj OGI K SE SE SE t SE t SE t SE value t p value t p p value t K Peudo R # teraton # / A # / A R tet p valuer # / A # / A log lkelhood mod el log lkelhood retrcted # / A # / A IERPREACJA SAYSYK MODEU REGRESJI Stoując funkcję OGI do nach danch tael.4. logcnm wartoścam dla tałej ora tattk w ou prpadkach równm, otrmujem wnk predtawone w tael.5. Zacnjm e tattką całoścowego dopaowana modelu. et R w komórce J7, p value w komórce K7 pokauje, że regreja logtowa jet woce nacąca. Hpotea pęć wpółcnnków nc ne dodają do prewdwana może ć arejetrowana wokm poomem ufnośc. Z danch wśwetlonch w tael.5., możem wwnokować, że ważność jet lepa nż 0,% ale w recwtośc jet to nemal neroróżnae od era; ędące rędu 0. ak węc możem ufać, że model regrej pomaga wjaśnć darena newpłacaośc. aela.5. Zatoowane funkcj OGI nformacje o newpłacaośc ora 5 wranch wkaźnków fnanowch werja wlcanem tattk K K K K Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr
Wedąc, że model prewduje newpłacaośc, chcelśm wedeć jak dore to cn. Możem wrócć ę w tronę R, że odpowedeć na to ptane, ale tak jak w regrej owej, utalene tandardu ogóej jakośc a pomocą Peudo R jet trudne lu wręc nemożlwe. Protą lec cęto efektwną drogą ocen wartośc Peudo R jet porównane jej wartoścą takej mar dla nnego modelu etmowanego na podonm ore danch. Z lteratur, wem, że modele corngowe porądane w Stanach Zjednoconch mogą oągnąć Peudo R na poome 35 % lu węcej w nam prpadku ło to 46,9% - patr taela.5. Wkauje to ż metoda potępowana którą utallśm model może ne ć deaa. W otatnch dwóch cęścach prac, otane pokaane jak Peudo R może ć totne wękone pre manę metod jaką pęć mennch jet uwględnanch w modelu. Ked nterpretujem Peudo R, jet użtecne że auważć, że ono ne mer c model prawdłowo prewduje prawdopodoeńtwo newpłacaośc jet to newkonae poneważ ne nam prawdwego prawdopodoeńtwa newpłacaośc. Zamat tego, Peudo R do pewnego topna mer c prawdłowo prewdujem newpłacaośc dane o newpłacaoścach nam. e dwa apekt ą e oą powąane, ale ne dentcne. Weźm kredtoorcę, któr tał ę newpłaca pommo tego, że mał nke prawdopodoeńtwo newpłacaośc: jeśl model ł poprawn w kwet jego nkego prawdopodoeńtwa newpłacaośc, pełnł woje adane, ale atnała tuacja ne jet tm godna, onżając Peudo R. W tpowm portfelu kredtowm, wękość prawdopodoeńtw newpłacaośc jet w akree od 0,05% do 5 %. awet jeśl prewdm prawdłowo każde pojednce prawdopodoeńtwo, ęde wele prkładów w którch dane oerwowane newpłacaośc ne ędą w gode prewdwanm nke prawdopodoeńtwo newpłacaośc; klent tał ę newpłaca mmo ż jego prawdopodoeńtwo na to ne wkawało dlatego też ne możem meć nade na otrmane Peudo R lke. Stuacja w której Peudo R mogło ć lke Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr
pownna wglądać natępująco: kredtoorc ą podelen na dwe grup; perwą grupę charakteruje ardo małe prawdopodoeńtwo newpłacaośc powedm 0,% mnej, drugą grupę charakteruje ardo woke 99,9% lu węcej. Jet to ocwśce nerealtcne dla tpowego portfela kredtowego. Wracając do wpółcnnków regrej, możem podumować, że tr pośród pęcu wkaźnków ma wpółcnnk, które ą nacące na poome % lu lepm tn. mnejm, t. j. ch p value jet ponżej 0, 0. Jeśl odrucm hpoteę, że jeden tch wpółcnnków jet erem, możem podewać ę łędu prawdopodoeńtwem mnejm nż %. Każda trech mennch ma ujemn wpółcnnk, co onaca, że wrot wartośc mennch mneja prawdopodoeńtwo newpłacaośc. Jet to coś cego pownnśm ę l podewać: ekonomcnego punktu wdena, k atrmane, EBI ora rnkowa wartość akcj podelone pre pawa pownn ć wąane odwrotną ależnoścą prawdopodoeńtwem newpłacaośc. Zauważm, że ne możem dotarcć średnej top newpłacaośc epośredno e tałej mogło to ć możlwe tlko w tuacj gd tała ła jedną menną w modelu regrej. Wpółcnnk dla kaptału orotowego podelonego pre aktwa całkowte predaż podelonej pre aktwa całkowte, pre kontrat, wkaują nacene tlko 38,6% ora 38,7% odpowedno wartość p value w tael.5. w oparcu o popularne tandard tattcnej totnośc 5 % jet najardej powechne moglśm roważć, że te menne ne ą ądź ą tlko margnae nacące, moglśm prawdopodone neużwać ch dla prewdwana. Jeśl równoceśne uunem dwe lu węcej mennch aując na ch wpółcnnkach t, pownnśm ć dalec od możlwośc, że menne mogł wpóe wjaśnać darena newpłacaośc nawet jeśl ą one mało nacące ndwduae. Że tattcne pretetować taką możlwość, możem preprowadć drugą regreję w której włącm dwe menne, które ł nenacące w perwej tuacj, a potem preprowadć tet R. aela.6. Porównane dwóch model etmowanch na tm amm ore danch Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr
Zotało to pokaane w tael.6. Model jet tm, któr pretetowalśm w tael.5. W modelu uunęlśm menne WC A ora S A, t. j. nakładam ałożene, że wpółcnnk pr tch dwóch mennch ą równe ero. et R dla hpote 0 auje na porównanu logartmów prawdopodoeńtw dwóch model jet WC A S A kontruowan natępująco: R [ mod el mod el ] poada rokład dwoma topnam wood poneważ nałożlśm dwe retrkcje. W tael.6. tet R prowad do wartośc, 48, p value 47,68%. o onaca, że jeśl dodam dwe menne WC A ora S A do modelu, wted tneje prawdopodoeńtwo 47,68%, że ne dodam moc ojaśnającej. et R potwerda węc wnk tetów dla każdej mennej oono: ndwduae oono, dwe menne mogą ć roważane tlko jako margnae nacące. Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr
ZAŁĄCZIK R MEODA EWOA MEODA SYCZYCH Werja jednowmarowa: Zadanem metod jet naleene mejca erowego adanej funkcj cągłej f : [ a, ] f * w predale [ a, ], tn. naleene takego [ a, ], że f * 0. Metoda ewtona prjmuje natępujące ałożena dla funkcj f : W predale [ a, ] najduje ę dokładne jedno mejce erowe funkcj orąc odpowedne wartośc a można otrmać predał o odpowednej średnc tak, a w predale [ a, ] najdowało ę tlko jedno mejce erowe, Funkcja prjmuje wartośc różnch naków na końcach predałów, tn. f a f 0 3 Perwa druga pochodna funkcj mają tał nak w tm predale. W perwm kroku metod weran jet punkt tartow 0, którego natępne wprowadana jet tcna w f. Odcęta punktu precęca tcnej oą OX jet 0 perwm prlżenem rowąana. Znajdźm ten punkt. Mam: dalej f 0 0 f 0, f 0 0 f 0 f 0, otatecne f 0 f 0 0, 0 f 0 0. f Jeżel otrmane ne jet dorm prlżenem, wówca jet weran jako now punkt tartow cał algortm ę powtara. Proce jet kontnuowan aż otane ukane wtarcająco dore prlżene mejca erowego. Kolejne prlżena dane ą f k natępującm worem: k k. f k 0 Werja welowmarowa: Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr
Metodę ewtona można uogóć do werj welowmarowej użwać jej do olcana układów równań neowch. n n ech U ęde otwartm podorem pretren ora F : U ęde funkcją różnckowaą. Zadanem uogóonej metod ewtona jet naleene takego *, że F * 0. Algortm podone jak w prpadku jednowmarowm, polega na wore punktu tartowego 0, a natępne rekurencjnm prektałcanu tego wektora aż do momentu, gd ukam atfakcjonujące prlżene. Wektor, które ą kolejnm prlżenam otrmujem równana macerowego: k k F k F k, gde F jet pochodną Frecheta jet to macer n n Zatoowana matematk w ankowośc - Model logtow c Potr