Matematyka dyskretna - zestaw 3 Kombinatoryka

Matematyka dyskretna - zestaw 3 Kombinatoryka Zadanie 1. Ile jest: a) liczb z przedziaªu [150, 450] podzielnych przez 4 lub 5? b) liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3, 7 lub 8? c) liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3, 7 i 8? d) liczb czterocyfrowych podzielnych przez 2, 4, 6 lub 8? e) liczb czterocyfrowych podzielnych przez 5, 7 lub 11? f) liczb pi ciocyfrowych podzielnych przez co najmniej jedn z liczb 10, 14 i 16? g) liczb pi ciocyfrowych podzielnych przez co najmniej jedn z liczb 8, 12 i 18? h) liczb z przedziaªu [500, 2000] podzielnych przez co najmniej jedn z liczb 3, 5, 7 i 16. i) liczb z przedziaªu [1024, 2048] podzielnych przez co najmniej jedn z liczb: 3, 7, 10 i 14 Zadanie 2. W pewnej grupie 10 osób gra w bryd»a, 15 w szachy, a 12 w pokera. W±ród nich 5 osób gra w bryd»a i w szachy, 4 w szachy i w pokera, 3 w bryd»a i pokera, a 2 we wszystkie 3 gry. Ile jest osób w tej grupie, je±li ka»dy w tej grupie gra w jedn z tych 3 gier? Zadanie 3. W grupie 60 osób, 30 gra w piªk no»n, 20 pªywa, a 15 biega. Spo±ród graj cych w piªk no»n, 13 tak»e pªywa, 7 równie» biega, a 5 je¹dzi na rowerze. Jest 10 osób, które pªywaj i biegaj, 3 osoby pªywaj i je»d» na rowerze, a 2 osoby biegaj i je»d» na rowerze. Jest jedna osoba, która uprawia wszystkie cztery z tych aktywno±ci zycznych, ale poza ni nikt nie uprawia wi cej ni» dwóch, a ka»dy uprawia co najmniej jedn. Ile osób je¹dzi na rowerze? Zadanie 4. Na tropikalnej wyspie mieszka 300 tubylców, z których ka»dy jest matematykiem, informatykiem lub ludo»erc. Poªowa ludo»erców zajmuje si matematyk, poªowa matematyków jest te» informatykami, a poªowa informatyków to ludo»ercy. Wiedz c,»e»aden z ludo»erców nie zajmuje si jednocze±nie matematyk i informatyk ustali, ilu jest na wyspie matematyków, ilu informatyków, a ilu ludo»erców. Zadanie 5. Ile jest ró»nych czterocyfrowych liczb zapisanych w systemie szesnastkowym takich,»e: a) wszystkie cyfry s ró»ne, b) liczba jest podzielna przez 4, c) wszystkie cyfry s ró»ne i liczba jest nieparzysta, d) zawieraj przynajmniej jedn siódemk? Zadanie 6. Ile jest funkcji ze zbioru {a, b, c} w zbiór {A, B, C, D}? Ile jest takich funkcji ró»nowarto±ciowych? Zadanie 7. Ile jest funkcji ze zbioru {1, 2, 3,..., 17} w zbiór {1, 2, 3,..., 100}? Ile z takich funkcji jest ±ci±le rosn cych? A ±ci±le malej cych? A sªabo rosn cych/sªabo malej cych? Zadanie 8. Ile jest par (A, B), gdzie zarówno A jak i B jest podzbiorem tego samego zbioru 10-elementowego? Zadanie 9. Kod PIN skªada si z 4 cyfr w systemie dziesi tnym: a) Ile jest ró»nych kodów PIN? b) Ile jest ró»nych kodów PIN, które nie zawieraj 0 ani 1? c) Ile jest ró»nych kodów PIN, które nie zawieraj 0 lub nie zawieraj jedynki> d) Ile jest ró»nych kodów PIN, w których»adna cyfra si nie powtarza? Zadanie 10. Na kursie ta«ca jest 10 kobiet i 10 m»czyzn. a) Ile ró»nych par tanecznych damsko-m skich mo»na utworzy? b) Ile istnieje ukªadów 10 par damsko-m skich które mog ta«czy jednocze±nie? c) Na kurs dodatkowo przyszªy jeszcze 3 kobiety. Jaka jest teraz odpowied¹ na pytanie z podpunktu b)? Zadanie 11. Dysponujemy stanowiskami do pracy nad pewnym projektem dla 5 programistów, 2 graków i 2 specjalistów od baz danych. Mamy do dyspozycji 11 programistów, 1

2 7 graków i 6 specjalistów od baz danych. Na ile sposobów mo»emy przydzieli pracowników do stanowisk pracy, je±li: a) stanowiska pracy s rozró»nialne, b) stanowiska pracy s nierozró»nialne (w ramach danej specjalno±ci)? Zadanie 12. Na ile sposobów mo»na umie±ci 15 osób przy okr gªym stole, je±li: a) miejsca s ponumerowane, b) miejsca nie s ponumerowane, ale istotne jest, kogo si ma po prawej, a kogo po lewej stronie c) miejsca nie s ponumerowane, ale istotne jest, jakich si ma s siadów (niewa»ne, który po prawej, a który po lewej). Zadanie 13. Firma informatyczna SeLerOn wygraªa przetarg na realizacj projektu KomMórka. W zwi zku z tym powstaªa potrzeba wyªonienia z pracowników grupy projektowej licz cej 7 osób. Je±li w SeLerOnie pracuje 9 graków i 11 programistów na ile sposób mo»na wybra zespóª projektowy, je±li: a) skªad grupy jest dowolny, b) w grupie ma by 3 programistów i 4 graków, c) w grupie ma by 5 programistów i 2 graków, d) w grupie ma by co najmniej 3 programistów, e) w grupie ma by co najmniej 4 graków, f) w grupie ma by co najwy»ej 4 programistów? Zadanie 14. Na ile sposobów mo»na podzieli 20»etonów mi dzy 4 pojemniki, gdy a) Ka»dy»eton jest inny, ka»de pudeªko jest inne. b) Ka»dy»eton jest taki sam, ka»de pudeªko jest inne. c) Ka»dy»eton jest inny, ka»de pudeªko jest takie samo. Zadanie 15. Na ile sposobów mo»na przedstawi liczb 50 jako sum 5 liczb caªkowitych nieujemnych (zakªadamy,»e przedstawienia ró»ni ce si kolejno±ci np. 50 + 0 + 0 + 0 + 0 i 0 + 50 + 0 + 0 + 0 to ró»ne sposoby). Ile b dzie takich sposobów, je±li te 5 liczb musi by liczbami dodatnimi? Zadanie 16. Ile jest liczb caªkowitych 6-cyfrowych o sumie cyfr 12? Zadanie 17. Tytus kupiª 11 identycznych storczyków. Wªa±nie chce je porozkªada na parapetach w swoich 4 oknach sypialnianym, salonowym, w aneksie kuchennym i w pokoiku dzieci cym. Na ile sposobów mo»e to zrobi, je»eli: a) na ka»dym z parapetów ma sta co najmniej jeden storczyk, b) na ka»dym z parapetów maj sta co najmniej dwa i co najwy»ej 4 storczyki? Zadanie 18. Na ile sposobów mo»na podzieli 19 studentów na rozª czne zespoªy pracuj ce nad 5 ró»nymi projektami, je±li 2 z tych projektów wymagaj uczestnictwa 5 osób, a 3 pozostaªe - trzech osób. Zadanie 19. Na ile sposobów mo»na podzieli grup 43 osobow na 4 10-osobowe dru»yny rywalizuj ce w turnieju sportowym (osoby, które nie zostan wybrane do»adnego zespoªu b d s dziowa turniej). Zadanie 20. Router w pewnej sieci komputerowej ulegª awarii i miesza adresy IP przesyªanych pakietów przestawiaj c cyfry w zapisie szesnastkowym adresów. Ile ró»nych adresów mo»e on stworzy przestawiaj c symbole w adresie: a) A9.09.A0.10, b) ED.ED.AB.CA, c) 10.12.20.21, d) 37.77.33.73? Zadanie 21. W menu pewnej restauracji znajduje si 12 zup, 30 da«gªównych i 18 deserów (potrawy te s rozró»nialne). a) Pewnego dnia 200 nierozró»nialnych klientów zamawiaªo dania gªówne. Ka»de danie gªówne zostaªo zamówione przez co najmniej 2 klientów. Na koniec dnia przedstawiono wªa±cicielowi restauracji list z informacj, ile egzemplarzy ka»dego dania zostaªo zamówionych. Ile jest ró»nych list speªniaj cych te zaªo»enia?

b) Grupa 5 znajomych smakoszy: Atanazy, B dzimir, Cieszygor, Dzier»ykraj i Eulogiusz codziennie spotykaªa si w tej restauracji na obiedzie. Najpierw, wszyscy poza Cieszygorem zamawiali zup i zawsze ka»dy inn. Nast pnie zachodziªa jedna z dwóch mo»liwo±ci: albo ka»dy zamiawaª danie gªówne na wªasn r k (zamówienia da«gªównych mogªy si powtarza, w dotychczasowych zamówieniach jest istotne, kto dostaª któr potraw ) lub zamawiali wspólny stóª w postaci 8 ró»nych da«gªównych do wyboru, z których korzystali wszyscy wedªug gustu. W ko«cu, jako staªym klientom, kucharz pakowaª im na wynos 5 ró»nych deserów - przy czym deserami tymi dzielili si na zewn trz, wi c dla kelnerów nie byªo istotne, jak te desery rozdzieli. Na ile ró»nych ukªadów podawania potraw smakoszom musz by przygotowani kelnerzy? c) W restauracji tej pieczoªowicie obliczano liczb go±ci. Gdy wªa±ciciel restauracji dowiedziaª si,»e wªa±nie restauracj odwiedziª 1024-ty klient, z tej okr gªej okazji ustanowiª nagrody-upominki dla kolejnych go±ci - przy czym tylko a» do przybycia klienta numer 4096 i tylko dla klientów, których numery byªy podzielne przez 7, 22 lub 55. Ile upominków musiaª przygotowa wªa±ciciel? d) W pewnym momencie tak si zªo»yªo,»e w restauracji siedziaªo 40 klientów, z których 7 jadªo wªa±nie zup, 17 - danie gªówne, 6 - deser, a pozostali czekali na obsªug. Na ile sposobów klienci (rozró»nialni) mogli si podzieli na takie grupy? Zadanie 22. Cukiernia U Eulera produkuje lody w 4 smakach: ±mietankowym, waniliowym, truskawkowym i czekoladowym. a) Pewna rodzina codziennie zamawia w tej cukierni deser. W ci gu 30-dniowego miesi ca 2 razy zamawiaj lody ±mietankowe, 3 razy lody waniliowe, 4 razy lody truskawkowe i 5 razy lody czekoladowe (w pozostaªe dni wybieraj inne produkty cukierni). Na ile sposobów mo»na mo»na zaplanowa, w które dni miesi ca i jakiego smaku b d jedli lody? b) Pewnego dnia 100 klientów zamówiªo po jednej gaªce lodów. Wiedz c,»e ka»dy smak lodów wybraªo co najmniej 3 klientów, na ile sposobów mo»na rozdzieli t sprzeda» pomi dzy 4 smaki lodów? c) 12 znajomych wybraªo si do cukierni. 4 z nich zamówiªo szarlotk, nie wi cej ni» 2 zamówiªo makowiec, a pozostali zamówili sernik. Dodatkowo, w ramach promocji, 4 z nich otrzymaªo dodatkowo po jednej gaªce lodów, ka»dy innego smaku. Przy tych zaªo»eniach, na ile sposobów znajomi (rozró»nialni) mogli otrzyma swoje desery? d) Pewnego dnia lody w cukierni zamawiaªo 98 klientów. 51 z nich jadªo lody ±mietankowe, 38 - waniliowe, 52 - truskawkowe, 46 - czekoladowe. Jednocze±nie lody ±mietankowe i waniliowe jadªo 17 osób, ±mietankowe i truskawkowe - 23 osoby, ±mietankowe i czekoladowe - 26 osób, waniliowe i truskawkowe - 19 osób, waniliowe i czekoladowe - 19 osób, truskawkowe i czekoladowe - 22 osoby. Lody ±mietankowe, waniliowe i truskawkowe naraz zamówiªo 9 klientów, ±mietankowe, waniliowe i czekoladowe - 11, ±mietankowe, truskawkowe i czekoladowe - 12, a waniliowe, truskawkowe i czekoladowe - 10. Ilu klientów zamówiªo wszystkie 4 smaki lodów? Zadanie 23. Spóªdzielnia w dkarska Dyskrecja zarz dza 50 stawami rybnymi, w których mo»na ªowi karpie, okonie, pstr gi i sandacze. a) Wiadomo,»e w 35 z tych stawów hodowane s pstr gi, w 32 - karpie, w 30 - sandacze, a w 29 - okonie. Zarówno karpia, jak i okonia mo»na zªowi w 17 stawach, karpia i pstr ga w 22, karpia i sandacza w 20, pstr ga i sandacza równie» w 20, okonia i pstr ga w 19, a okonia i sandacza w 16. Jednoczesne zªowienie karpia, okonia i pstr ga jest mo»liwe w 12 stawach, okonia, pstr ga i sandacza - w 9 stawach, karpia, pstr ga i sandacza - w 13 stawach, a karpia, okonia i sandacza - w 11 stawach. W ilu stawach mo»na byªo zªowi wszystkie 4 rodzaje ryb? b) Pewnego dnia na teren spóªdzielni przebyªo 400 w dkarzy (nierozró»nialnych). Na ile sposobów mo»na ich rozmie±ci pomi dzy (rozró»nialnymi) stawami zarz dzanymi przez spóªdzielni, je±li nad ka»dym stawem powinno przebywa co najmniej 4 w dkarzy? 3

4 c) W zawodach w dkarskich o mistrzostwo spóªdzielni Dyskrecja wyst piªo 45 w dkarzy. W ka»dym dniu zawodów 10 losowo wybranych w dkarzy rywalizuje w jednoczesnym ªowieniu ryb w stawie numer 1, a 8 (innych) losowo wybranych w dkarzy rywalizuje w jednoczesnym ªowieniu ryb w stawie numer 2. W tym samym czasie spo±ród pozostaªych losuje si 15 ró»nych w dkarzy, którzy na stawie numer 3 kolejno prezentuj swoje umiej tno±ci ªowienia na spinning (tylko w tej ostatniej konkurencji kolejno± jest istotna). Na ile sposobów mo»na przypisa w dkarzy do ró»nych konkurencji podczas jednego dnia? d) W wyniku ci gªych kªótni na temat tego, która ryba jest najsmaczniejsza, od spóªdzielni odª czyªo si 5 mniejszych stowarzysze«. Podczas dyskusji nad podziaªem maj tku spóªdzielni ustalono,»e pierwsze stowarzyszenie otrzyma 4 stawy, drugie - 7 stawów, trzecie i czwarte - po 9 stawów, a pi te - 10 stawów (pozostaªe stawy pozostan do dyspozycji spóªdzielni Dyskrecja). Zakªadaj c,»e stawy s rozró»nialne, poda na ile sposobów mo»na byªo dokona takiego podziaªu? Zadanie 24. Inwestorzy zarejestrowani na Gieªdzie Dyskretnej handluj czterema kryptowalutami: Eulereum, Leonardo, PermutCoin i Grae. a) Grupa 50 inwestorów podejmuje decyzj o zamówieniu: ka»dy z nich albo wstrzymuje si tym razem od zakupu, albo kupuje dokªadnie jedn jednostk jednej z czterech kryptowalut. Po podj ciu decyzji przez wszystkich, podliczaj ile jednostek ka»dej waluty chc kupi czªonkowie grupy w sumie i skªadaj wspólne zamówienie (wi c na potrzeby realizacji tego zamówienia czªonkowie grupy s nierozró»nialni). Ile jest mo»liwych koszyków walut, które grupa jako caªo± zamówi, je±li wiemy,»e co najmniej 5 inwestorów zakupi jednostk Eulereum, a co najmniej 3 wstrzyma si od zakupu? b) Znowu ka»dy z grupy 50 inwestorów zamawia jednostk jednej z kryptowalut lub wstrzymuje si od zakupu. Tym razem jednak ka»dy skªada swoje zamówienie indywidualnie (wi c na potrzeby realizacji zamówie«czªonkowie grupy s rozró»nialni). Na ile sposobów mo»e by zrealizowane to zamówienie, je±li wiemy,»e dokªadnie 11 inwestorów zamówi Eulereum, 5 zamówi Leonardo, 16 - PermutCoina, a 6 - Grae (pozostali wstrzymaj si od zakupu)? c) Ze wspomnianej grupy 50 inwestorów, 19 inwestuje w Eulereum, 30 w Grae, a 33 w PermutCoina. 13 inwestuje zarówno w PermutCoina jak i w Eulereum, 16 - w Grae i PermutCoina, a 11 w Grae i Eulereum. Ilu inwestuje we wszystkie trzy waluty wymienione w tym podpunkcie jednocze±nie, je±li wiemy,»e ka»dy inwestuje w co najmniej jedn z tych walut? d) Pewien inwestor planuje nast puj c strategi transakcyjn na najbli»sze 2 tygodnie: przez 8 kolejnych dni kupuje dziennie 1 jednostk jednej z 4 kryptowalut (wybory w kolejnych dniach mog si powtarza ). Dziewi tego dnia wykonuje jednocze±nie 3 spo±ród nast puj cych dziaªa«: zakup jednostki jednej z 4 kryptowalut, sprzeda» jednostki jednej z 4 kryptowalut lub wstrzymanie si od handlu (nie wykonuje 2 takich samych dziaªa«, ale mo»e zdecydowa,»e dwoma z nich b dzie kupno i sprzeda» tej samej waluty). Przez ostatnie 5 dni kolejno wykonuje jedno z dziaªa«spo±ród których wybieraª dziewi tego dnia (ale w ka»dy z tych ostatnich 5 dni wykonuje inne dziaªanie). Na ile sposobów mo»e zrealizowa swoj strategi, je±li zakªadamy,»e na pocz tku posiada co najmniej 50 jednostek ka»dej z kryptowalut? Zadanie 25. W Zimowych Igrzyskach Olimpijskich w Gracach bior udziaª sportowcy ze 120 pa«stw, a zawody odbywaj si na 6 obiektach: trasie zjazdowej, trasie biegowej, skoczni narciarskiej, torze ªy»wiarskim, lodowisku i torze saneczkarsko-bobslejowym. Dyscypliny, w których sportowcy rywalizuj, s podzielone na 3 typy: narciarskie, ªy»- wiarskie i saneczkarskie. a) 90 krajów jest reprezentowanych w dyscyplinach narciarskich, 73 w ªy»wiarskich, a 53 w saneczkarskich. Zarówno w dyscyplinach ªy»wiarskich, jak i saneczkarskich startuj sportowcy z 41 pa«stw, w narciarskich i saneczkarskich - ze 42 pa«stw, a w ªy»wiarskich i narciarskich - z 50 pa«stw. Ile krajów wystawiªo swoich reprezentatów we wszystkich trzech typach dyscyplin?

b) Ka»dy z grupy 30 kibiców zamawia bilet wst pu trzeciego dnia Igrzysk na dokªadnie jeden z obiektów olimpijskich. Po podj ciu decyzji przez wszystkich, podliczaj ile biletów na ka»dy obiekt chc kupi czªonkowie grupy w sumie i skªadaj wspólne zamówienie (wi c na potrzeby realizacji tego zamówienia czªonkowie grupy s nierozró»nialni). Ile jest mo»liwych koszyków biletów, które grupa jako caªo± zamówi, je±li wiemy,»e co najmniej 3 kibiców wybiera si na skoczni, a co najmniej 5 na lodowisko? c) Z kolei czwartego dnia Igrzysk, z tej samej grupy 30 kibiców, dokªadnie 4 zamawia bilet na tor ªy»wiarski, 3 na trasy biegowe, 8 na zjazdowe, 6 na lodowisko, 5 na skoczni, a pozostali na tor saneczkowy. Tym razem jednak ka»dy skªada swoje zamówienie indywidualnie (wi c na potrzeby realizacji zamówie«czªonkowie grupy s rozró»nialni). Ile sposobów rozdzielenia biletów pomi dzy nich speªnia takie warunki? d) Czteroosobowa rodzina kibiców planuje zakupy biletów na pierwsze 6 dni Igrzysk. Pierwszego dnia ka»dy z nich chce zamówi bilet na inny obiekt (i istotne jest kto jaki bilet dostanie). W ka»dy z nast pnych 4 dni planuj sp dza czas razem na jednym z obiektów, wi c na ka»dy z tych dni wybieraj rodzinny bilet na jeden obiekt (obiekty te mog si powtarza ). Szóstego dnia planuj równie» i± razem, ale nie zamierzaj sp dza caªego dnia w jednym miejscu, wi c chc naby super-bilet rodzinny, który pozwala im tego dnia dowolnie wchodzi na 3 wybrane areny zmaga«(te areny musz by jednak wskazane w momencie zamówienia). Na ile sposobów mog zrealizowa zamówienie speªniaj ce te warunki? Dobrej zabawy! 5