Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Chemii 2007 Paweł Korecki 2013 Andrzej Kapanowski
Po co jest Pracownia Fizyczna? 1. Obserwacja zjawisk i efektów fizycznych. Samodzielne wykonywanie doświadczeń. M21 E5 C1 O7 F10
Po co jest Pracownia Fizyczna? 2. Nauka obsługi prostych i trochę bardziej skomplikowanych przyrządów pomiarowych
Po co jest Pracownia Fizyczna? 3. Nauka podstaw opracowania wyników pomiarów a) Nauka poprawnego wyznaczania wielkości fizycznych b) Nauka pomiaru zależności fizycznych i ich opisu c) Nauka poprawnej prezentacji wyników Niniejszy wykład stanowi wstęp do tego punktu
Pomiar bezpośredni Doświadczenie, w którym przy pomocy odpowiednich przyrządów mierzymy (tj. porównujemy ze wzorcem) interesującą nas wielkość fizyczną. Przykład: pomiar długości przedmiotu linijką
Pomiar pośredni Doświadczenie, w którym wyznaczamy wartość interesującej nas wielkości fizycznej przez pomiar innych wielkości fizycznych związanych z daną wielkością znanym związkiem funkcyjnym Przykład: pomiar średniej prędkości poprzez pomiar drogi i czasu v=s/t
Niepewność pomiaru [błąd pomiaru] Wszystkie pomiary mogą być wykonywane tylko ze skończoną dokładnością! Powód: niedoskonałość przyrządów pomiarowych nieprecyzyjność naszych zmysłów Szumy, zakłócenia Jedyny sensowny zapis wyniku pomiaru (zmierzona wartość niepewność pomiarowa) jednostka np.: S = (2.20 0.11) mm Niepewność pomiarowa ma taki sam wymiar [jednostkę] jak mierzona wielkość!
Wynik pomiaru bez podania niepewności pomiaru nie jest wartością w pełni użyteczną Przykład: eksperyment Galileusza (55.6 1.0 )m Swobodny spadek kuli z żelaza i ołowiu: Uzyskujemy wyniki: t żelazo = 3.31 s t ołow = 3.28 s Moglibyśmy zatem wnioskować t zelazo > t ołów Jeżeli wyniki podamy uwzględniając niepewność t zelazo = (3.31 0.20) s t ołów = (3.28 0.20) s to widać, że t żelazo t ołów =0.03 s < <0.20 s Jak było naprawdę? http://carladler.org/galileo/
Niepewność względna i bezwzględna niepewność bezwzględna niepewność względna niepewność procentowa L=(100 1)mm ; DL/ L =0.01 lub 1%
Rodzaje niepewności pomiarowych BŁĘDY GRUBE Drastycznie duże odchyłki. Nieumiejętność obsługi, pomyłki przy odczycie lub zapisie [ELIMINACJA!] NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE W przybliżeniu ta sama różnica ( w jedną stronę) pomiędzy wartością rzeczywistą a wynikami pomiarów Np: skończona dokładność przyrządów, spieszący się zegar NIEPEWNOŚCI PRZYPADKOWE Spowodowane przez wiele niezależnych przyczyn o porównywalnym znaczeniu nieprecyzyjność naszych zmysłów, szumy, zakłócenia symetryczny przypadkowy rozrzut wyników pomiaru wokół wartości rzeczywistej
Ocena niepewności pomiarowych TYP A Analiza statystyczna serii pomiarów [do błędów przypadkowych]. TYP B Gdy analiza statystyczna serii pomiarów jest niemożliwa. Stosujemy ją do błędów systematycznych i kiedy do dyspozycji mamy tylko jeden pomiar. Często ocena szacunkowa!
Błędy grube t = 239 s
Niepewności systematyczne Przesuwają wynik zawsze w jedną stronę w stosunku do prawdziwej wartości = najmniejsza działka (w tym przypadku 1mm, 1 o C) Taki zapis oznacza, że prawdziwa wartość prawie na pewno [z prawdopodobieństwem bliskim 100%] znajdzie się w tym przedziale [niepewność maksymalna]
Niepewności systematyczne przyrządów cyfrowych = specyfikacja urządzenia! to nie jest ostatnia cyfra znacząca!!!
D s C = 1) C=0.010mF [200nF] 2%rdg=0.0002 mf 3dgt=0.003 mf D s C=0.003 mf 2) C=10.00mF [20mF] 3%rdg=0.30 mf 5dgt=0.05 mf D s C=0.35 mf Notujcie typ przyrządów. W Internecie prawie zawsze można znaleźć specyfikację!!!
Niepewności przypadkowe pomiarów bezpośrednich Przykład: pomiar okresu drgań wahadła Dokładny stoper (0.01s) Czas reakcji człowieka jest rzędu 0.2s
Wyniki kolejnych pomiarów okresu i-ty T pomiar i [s] 1 2.01 2 2.00 3 1.98 4 1.69 5 2.34 6 1.91 7 2.02 8 2.06 9 2.18 10 2.10 11 2.05 12 1.72 13 2.19 14 2.32 15 1.71 16 1.69 17 1.99 18 2.02 19 1.83 20 1.89 Naszym zadaniem jest podanie wyniku i jego niepewności
Analiza statystyczna niepewności przypadkowych Niepewności przypadkowe opisane są rozkładem normalnym (Gaussa). Wiemy z jakim prawdopodobieństwem otrzymamy daną wartość x. - wartość mierzona -wartość oczekiwana [prawdziwa] -odchylenie standartowe [miara niepewności]
Analiza statystyczna niepewności przypadkowych
Wynik pomiaru średnia arytmetyczna Wielkością najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej [estymatorem wartości oczekiwanej] jest średnia arytmetyczna pomiarów.
Niepewność pojedynczego pomiaru Wielkością najlepiej opisującą niepewność pojedyńczego pomiaru jest rozrzut pomiarów wokół wartości średniej [estymator odchylenia standartowego] 68% następnych pomiarów będzie mieściło się w przedziale
Niepewność wyniku niepewność średniej arytmetycznej Wielkością najlepiej opisującą niepewność wyniku jest odchylenie standardowe średniej arytmetycznej W 68% identycznych doświadczeń otrzymamy średnią arytmetyczną mieszczącą się w przedziale można zmniejszać zwiększając liczbę pomiarów n
Małe serie pomiarów Dla małej liczby pomiarów: daje zaniżoną wartość niepewności Współczynnik Studenta Liczba pomiarów Poziom ufności n a=0.6828 a=0.95 a=0.99 2 1.837 12.706 63.657 3 1.321 4.303 9.926 4 1.197 3.182 5.841 5 1.141 2.776 4.604 6 1.11 2.58 4.032 7 1.09 2.447 3.707 8 1.077 2.365 3.5 9 1.066 2.306 3.355 10 1.059 2.252 3.25 Poziom ufności prawdopodobieństwo z jakim wyznaczony przedział zawiera wartość rzeczywistą mierzonej wielkości.
Całkowita niepewność Zamiana niepewności systematycznej na odchylenie standardowe Całkowita niepewność standardowa
Średnia ważona Dwa pomiary tej samej wielkości: WAGI Można łatwo uogólnić dla wielu pomiarów. Wcześniej trzeba sprawdzić zgodność wyników. [zob. Taylor]
Zapis niepewności zaokrąglanie Podaje się tylko dwie cyfry znaczące estymatora niepewności. Liczymy co najmniej trzy i zaokrąglamy zawsze do góry. Wynik pomiaru obliczamy o co najmniej jedno miejsce dziesiętne dalej niż miejsce dziesiętne, na którym zaokrąglono błąd, a następnie zaokrąglamy wg. normalnych reguł do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego zaokrąglono błąd. notatki Sprawozdanie Bez sensu
Zapis niepewności prezentacja Z użyciem odchylenia standardowego [poziom ufności 68%] lub
Zapis niepewności prezentacja Z użyciem Uwaga!: Symbol zarezerwowany jest dla niepewności rozszerzonej [maksymalnej]. Z grubsza: dla poziomu ufności co najmniej 95%. Dlatego należy użyć dwa razy szerszego przedziału lub innego współczynnika Studenta. Symbol najczęściej występuje w medycynie, przemyśle, instrukcjach. Niepewności systematyczne:
Zapis niepewności prezentacja Wyniki pomiarów i obliczeń najlepiej podawać w jednostkach, dla których wartość liczbowa zawarta jest przedziale od 0,01 do 1000. Można używać: przedrostków, [m, m, M, G] itd. lub notacji potęgowej typu 2x10 6, 2x10-6 I = 0.00003121 A 0.00000012 A I = (31.21 0.12) ma I = (31.21 0.12) x 10-6 A
Propagacja błędów statystycznych Pomiary pośrednie - funkcja jednej zmiennej Przykład pomiar objętości kuli poprzez pomiar średnicy A.Zięba, Pracownia Fizyczna WFiTJ, 2002
Propagacja błędów statystycznych Pomiary pośrednie - funkcja jednej zmiennej Najprostszy przykład [zmniejszanie niepewności] T=3.02s S T =0.10 T=3.02(10)s T 100 =302.52 S T100 =0.10 T =T 100 /100=3.0252 S T =S T100 /100=0.0010 T =3.0252(10) Uwaga na moduł!
Propagacja błędów statystycznych Pomiary pośrednie - funkcja wielu zmiennych ( tutaj tylko dwie )
Propagacja błędów statystycznych Pomiary pośrednie - funkcja wielu zmiennych Suma i różnica Średnia geometryczna Niepewności przypadkowe Średnia arytmetyczna Niepewności systematyczne Pojedyncze pomiary
Propagacja błędów statystycznych Pomiary pośrednie - funkcja wielu zmiennych Iloczyn i iloraz [różniczka logarytmiczna, Skrypt, IPF]
Porównywanie zmierzonych wielkości porównanie z wielkością tablicową zgodność porównanie dwóch zmierzonych wielkości zgodność
Wykresy
Wykresy źle dobrze
Regresja liniowa metoda pozwalająca na zbadanie związku pomiędzy mierzonymi wielkościami Nazwa regresja historia. F. Galton (1886) Regresja do średniej w dziedziczeniu postury [tendencja, że dzieci wysokich rodziców mają wzrost bliższy sredniej]
Regresja liniowa [dzisiaj zwykle rozumiana jako metoda najmniejszych kwadratów] pomiary Model np.: [a,b parametry] Metoda minimalizacji odchyleń: Najprostszy liniowy model bez wag
Wynik regresji Wartości oczekiwane parametrów i ich niepewności Dla zależności liniowej przepisy na a i b są proste! Współczynnik korelacji [im bliższy 1 tym lepiej] Suma kwadratów dla dobrego dopasowania n-liczba danych, m-liczba parametrów]
Regresja liniowa oznacza, że parametry modelu są w pierwszej potędze Model: wraz z niepewnościami
Literatura I Pracownia fizyczna, red. A. Magiera, OWI Kraków 2006. H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN Warszawa 1999. A.Zięba, Postępy Fizyki, tom 52, zeszyt 5, 2001, str.238-247. J. R. Taylor, Wstęp do analizy błędu pomiarowego, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995.