0.2 Oprocentowanie, kapitalizacja i dyskontowanie

0.1 Literatura 1 M. Podgórska J. Klimkowska Matematyka finansowa PWN. 2 S. G. Kellison The Theory of Interest McGraw-Hill Int. Ed. 3 E. Smaga Arytmetyka finansowa PWN. 0.2 Oprocentowanie kapitalizacja i dyskontowanie Podstawowymi transakcjami finansowymi jest inwestowanie pewnych ilości pieniędzy w celu osiągnięcia zysku. Przykładem takiej inwestycji może być wpłata określonej kwoty na rachunek oszczędnościowy w banku. Kwotę tę nazywamy kapitałem kapitałem początkowym wartością poczatkową inwestycji ang. principal present value) i oznaczamy przez P P V. Kwotę jaką uzyskamy po pewnym czasie albo pod koniec inwestycji nazywamy kapitałem końcowym kapitałem przyszłym wartością przyszłą ang. accumulated value future value) i oznaczamy przez F F t F V. Będziemy zakładać że F > P. Różnicę I = F P czyli zysk z zainwestowanego kapitału nazywamy odsetkami amount of interest lub krótko interest). Miernikiem wielkości wygenerowanych odsetek w ustalonym czasie jest stopa procentowa r > 0 rate of interest). Definiujemy ją jako stosunek odsetek do kapitału początkowego czyli r = I P. Stopa procentowa jest przeważnie liczbą z przedziału 0 1). Możemy ją wyrazić jako liczbę niemianowaną tj. liczbę w postaci ułamka dziesiętnego lub zwykłego albo wyrazić w procentach mnożąc przez 100%. Przedział czasu uwzględniony w określających stopę procentową odsetkach nazywamy okresem stopy procentowej period of interest). W praktyce najczęściej mamy do czynienia ze stopami określonymi dla okresu rocznego. Mówimy wtedy o rocznej stopie procentowej lub stopie procentowej w skali roku. Przy badaniu problemów teorii zmiany kapitału w czasie oraz konsekwencji stąd wypływających podstawowymi pojęciami są: oprocentowanie kapitalizacja i dyskontownie. Oprocentowaniem nazywamy wyznaczanie odsetek. Najkrótszy przedział czasu po którym zostały wyznaczone odsetki nazywamy okresem oprocentowania. Natomiast czas pomiędzy początkiem i końcem inwestycji - czasem oprocentowania czasem inwestycji horyzontem czasowym inwestycji. Czas może być mierzony za pomocą różnych jednostek 1

np. dni miesięcy roku itp. Jednostka którą będziemy mierzyć czas inwestycji nazywamy krótko okresem period). Kapitalizacją odsetek lub krótko kapitalizacja nazywamy powiększanie kapitału o odsetki. Czas po którym odsetki są skapitalizowane nazywamy okresem kapitalizacji. Gdy okres stopy procentowej pokrywa się z okresem oprocentowania to mówimy o oprocentowaniu zgodnym. W przeciwnym przypadku mówimy o oprocentowaniu niezgodnym. W zależności od sposobu ustalania odsetek wyróżniamy oprocentowanie proste simple interest) i składane złożone) compound interest). W pierwszym przypadku oprocentowaniu podlega wyłącznie kapitał początkowy zaś w drugim oprocentowaniu podlega kapitał początkowy i wygenerowane w trakcie czasu oprocentowania odsetki. Przez warunki oprocentowania rozumiemy zbiór danych potrzebnych do wyznaczenia w sposób jednoznaczny wysokości odsetek należnych od ustalonego kapitału za ustalony czas. Dyskontowaniem rzeczywistym lub krótko dyskontowaniem nazywamy wyznaczanie wcześniejszych wartości kapitału w oparciu o wartości przyszłe. W szczególności dyskontowaniem jest obliczanie wartości początkowej kapitału P na podstawie wartości końcowej F. Kwota D o którą należy pomniejszyć F aby otrzymać P nazywa się dyskontem. 0.2.1 Funkcja akumulacji i dyskontowania Niech [0 T ] będzie czasem inwestycji T 0. Rozważmy inwestycję kapitału jednej jednostki. Niech at) 0 oznacza wartość przyszłą tego kapitału w momencie t [0 T ]. Funkcję a : t at) nazywamy funkcją akumulacji accumulation function) jednej jednostki kapitału. Funkcja akumulacji posiada następujące własności: 1. a0) = 1. 2. a jest funkcja rosnącą. Gdyby funkcja przyjmowała wartości mniejsze przy wzroście t to generowała by ujemne odsetki co od strony matematycznej jest możliwe natomiast od strony finansowej takimi przypadkami nie będziemy się zajmować. 3. Jeżeli generowane odsetki będą gromadzić się w sposób ciągły to funkcja akumulacji też będzie ciągła. Jeżeli odsetki będą gromadzić się w sposób skokowy zależnie od okresu oprocentowania to funkcja akumulacji będzie w tych punktach nieciągła a dokładnie będzie ciągła z prawej strony. 2

Dla ustalonego t wartość at) będziemy nazywali t-okresowym czynnikiem akumulacji accumulation factor). Jeżeli inwestycją będzie kapitał P to wartość przyszła tego kapitału w czasie t [0 T ] wyrazi się wzorem F t = P at). Oczywiscie F 0 = P. W celu wyznaczenia wartości początkowej kapitału 1 jednostki po czasie T należy rozważyć fnkcję a 1 : t a 1 t) spełniającą a 1 t) at) = 1 dla każdego t [0 T ]. a 1 nazywamy funkcją dyskontowania discount function) jednej jednostki kapitału. Dla ustalonego t wartość a 1 t) będziemy nazywali t-okresowym czynnikiem dyskontowania discount factor). Oczywiście dla kapitału F t wartość początkowa tego kapitału wyraża się wzorem P = F t a 1 t). Przypuśćmy teraz że dana jest pewna inwestycja o horyzoncie czasowym [0 T ] i że w momencie t 1 [0 T ] został zainwestowany pewien kapitał P 1. W celu wyznaczenia wartości przyszłej F t2 tego kapitału w momencie t 2 [0 T ] t 2 > t 1 należy skorzystać ze wzoru F t2 = P 1 a 1 t 1 ) at 2 ). Dla t = 0 1 2... będziemy częściej stosowali oznaczenie an) zamiast at) F n zamiast F t itp. Przez I n będziemy oznaczać odsetki uzyskane w n-tym okresie inwestycji. Zatem I n = F n F n 1 dla n = 1 2 3.... 0.2.2 Oprocentowanie zgodne Będziemy zakładać że: -) czas oprocentowania składa się ze skończonej ilości podokresów będących okresami oprocentowania; -) okres stopy procentowej r pokrywa się z okresem oprocentowania. Oprocentowanie proste Zasady oprocentowania prostego są stosowane w obliczeniach bankowych transakcji krótkoterminowych do jednego roku) oraz umowach zawieranych poza sferą bankową. Zasada oprocentowania prostego charakteryzuje się następującą cechą: odsetki uzyskane w czasie inwestycji po każdym okresie oprocentowania są generowane od wartości początkowej kapitału czyli nie podlegają kapitalizacji w czasie a na końcu inwestycji. Wyznaczymy postać ogólna ciągu {F n } n=1 przyszłych wartości kapitału P po czasie n będącym całkowitą wielokrotnością okresu oprocentowania. Obliczanie wartości F n+1 na koniec n + 1) go okresu oprocentowania przebiega następująco: do wartości F n z końca n-tego okresu 3

kapitalizacji dopisujemy odsetki I n+1 przypadające za n + 1)-szy okres. Tak więc ciąg F n ) spełnia równanie rekurencyjne postaci 1) F n+1 = F n + I n+1 n = 0 1... z warunkiem początkowym F 0 = P. Ponieważ oprocentowaniu podlega tylko kapitał początkowy P to ciąg odsetek I n ) jest ciągiem stałym o wyrazie ogólnym postaci 2) I n = P r n = 0 1. Podstawiając 2) do 1) otrzymujemy równanie 3) F n+1 = F n + P r n = 0 1... a stąd 4) F n+1 F n = P r n = 0 1.... Wzór 4) wskazuje że ciąg F n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy P r i pierwszym wyrazie postaci F 1 = P + P r = P 1 + r). Zatem w myśl 3) n-ty wyraz tego ciągu ma postać 5) F n = P 1 + nr). Funkcja akumulacji wyraża się tutaj wzorem at) = an) dla t [n n + 1) gdzie an) = 1 + nr n = 0 1... jest n-okresowym czynnikiem akumulacji kapitału w modelu oprocentowania prostego. Z 5) otrzymujemy postać n-okresowego czynnika dyskontowania 1/1 + nr) oraz wzór na wartość początkową kapitału P 6) P = F n 1 + nr. Zauważmy że suma odsetek wytworzonych przez kapitał P w ciągu n okresów kapitalizacji jest równa różnicy wartości przyszłej F n i wartości teraźniejszej P a więc 7) I = F n P = P nr. Zatem wzór 5) wskazuje że wartość przyszła kapitału P po n okresach kapitalizacji jest sumą wartości kapitału początkowego i odsetek za czas n. 4

Oprocentowanie składane Model oprocentowania składanego jest stosowany w transakcjach średnioterminowych od roku do pięciu lat) oraz długoterminowych powyżej pięciu lat). Charakterystyką tego modelu jest to że odsetki wygenerowane po każdym okresie oprocentowania podlegają kapitalizacji. Dlatego też w modelu oprocentowania składanego zakładamy że okres kapitalizacji pokrywa się z okresem oprocentowania. Wyznaczymy postać ogólna ciągu {F n } n=1 przyszłych wartości kapitału P po czasie n. Zgodnie z definicją po n + 1) okresach kapitalizacji przyjmując F 0 = P otrzymujemy 8) F n+1 = F n + I n+1 n = 0 1 2... gdzie I n+1 są odsetkami wyznaczonymi w oparciu o dotychczas nagromadzony kapitał przez n okresów czyli 9) I n+1 = F n r n = 0 1 2.... Zatem z 8) i 9) otrzymujemy 10) F n+1 = F n 1 + r) n = 0 1 2.... Z powyższego wynika że ciąg {F n } n=1 jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie F 1 i ilorazie 1 + r). Reasumując wyraz ogólny ciągu {F n } n=1 jest postaci 11) F n = P 1 + r) n n = 0 1 2.... Funkcja akumulacji wyraża się tutaj wzorem at) = an) dla t [n n + 1) gdzie an) = 1 + r) n n = 0 1... jest n-okresowym współczynnikem akumulacji. Ze wzoru 11) otrzymujemy wzór na wartość początkową 12) P = F n n = 0 1 2.... 1 + r) n Liczbę 1/1+r) n nazywamy n-okresowym współczynnikiem dyskontującym w tym modelu. Wartość sumy odsetek po n okresach oprocentowania w myśl wzoru 11) i 12) przyjmie postać 13) I = F n P = P [ 1 + r) n 1 ] n = 1 2.... 5

Ze wzoru 12) wynika że gdy znamy wartość kapitału początkowego P i końcowego F n oraz czas oprocentowania n wówczas stopę procentową r obliczamy według wzoru 14) r = n Fn P 1. Gdy natomiast znamy P F n oraz stopę r wtedy do obliczenia czasu oprocentowania n korzystamy ze wzoru 15) n = ln F n /P ) ln1 + r) przy czym jeśli obliczona w ten sposób wartość n nie jest liczbą naturalną to nie istnieje czas po którym w omawianym modelu oprocentowania kapitał P zwiększyłby swą wartość do F n. W praktyce zachodzi niekiedy potrzeba określenia czasu po którym kapitał podwoi swoją wartość. Należy wtedy czas n wyznaczyć ze wzoru 16) n = ln 2 ln1 + r) bądź jeśli wystarczy przybliżona wartość skorzystać z tzw. reguły 70 która mówi że przy stopie r % w modelu oprocentowania składanego zgodnego kapitał podwaja swoją wartość w czasie równym 70/r okresów kapitalizacji. W celu porównania wzoru 16) oraz reguły 70 pomocniczo rozważymy dwie funkcje: f 1 x) = ln 2 ln1 + x) i f 2x) = 70 x 0 1). 100x Zauważmy oraz i f 1 x) f 2 x) = 0 x = x 0 0 0198 f 1 x) f 2 x) < 0 x 0 x 0 ) f 1 x) f 2 x) > 0 x x 0 1). Co więcej lim x 0 + f 1 x) f 2 x) = oraz lim x 1 f 1 x) f 2 x) = 3/10. Ponadto 1. f 1 0 005) 138 975 zaś f 2 0 005) = 140 2. f 1 0 01) 69 66 zaś f 2 0 01) = 70 3. f 1 1) = 1 zaś f 2 1) = 7/10. 6

Reasumując reguły 70 powinna być stosowana dla stóp większych od 1% i jako wynik należy wtedy przyjąć n = [70/r] + 1. Oprocentowanie proste i składane. Dla dowolnego n N przy ustalonej wartości P i r otrzymujemy zależność F p 1 = F1 s Fn p < Fn s n 2 gdzie Fn p = P 1 + nr) Fn s = P 1 + r) n. 0.2.3 Oprocentowanie niezgodne Oprocentowanie nazywamy niezgodnym gdy okres stopy procentowej nie jest równy okresowi kapitalizacji. Wyróżniamy tutaj dwa przypadki: O1 okres stopy procentowej jest całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji - mówimy wówczas o kapitalizacji w podokresach; O2 okres kapitalizacji jest całkowitą wielokrotnością okresu stopy procentowej - mówimy wtedy o kapitalizacji w nadokresach. Niech k oznacza stosunek okresu stopy procentowej r do okresu kapitalizacji tj. 17) k = okres stopy procentowej r. okres kapitalizacji Mówiąc o stopie procentowej r będziemy mieli na myśli stopę o okresie jednego roku. W przypadku kapitalizacji w podokresach k jest liczbą naturalną natomiast w przypadku kapitalizacji w nadokresach k jest ułamkiem o mianowiniku będącym wielokrotnością licznika. Wyróżniamy następujące kapitalizacje oraz związany z nimi parametr k: ) czteroletnia gdy k = 0 25 ) dwuletnia gdy k = 0 5 ) roczna gdy k = 1 ) półroczna gdy k = 2 ) kwartalna gdy k = 4 ) miesięczna gdy k = 12 ) tygodniowa gdy k = 52 ) dzienna gdy k = 360. W przypadku oprocentowania niezgodnego odsetki przypadające na jeden okres kapitalizacji wyznacza się na podstawie stopy której okres pokrywa się z okresem kapitalizacji. 7

Stopę o tej własności nazywamy stopą podokresową dostosowaną względną i ozn. przez i k. Stopę podokresową obliczamy ze wzoru 18) i k = r k. Stopę r występującą w 18) nazywamy stopą nominalną. W praktyce bankowej stopa nominalna roczna) jest zasadniczym nośnikiem informacji o ofercie bankowej przy czym odsetki mogą być wyznaczane według stopy podokresowej. Zauważmy że wyznaczenie wartości przyszłej kapitału w modelu oprocentowania niezgodnego jest analogiczne do wyznaczenie wartości przyszłej kapitału w modelu oprocentowania zgodnego z tą różnicą że zamiast stopy nominalnej r należy zastosować stopę dostosowaną i k której okres jest taki sam okres kapitalizacji oraz zamiast liczby okresów n stopy nominalnej-liczbę okresów kapitalizacji m k gdzie 19) m k = nk. Zauważmy że przyjęte założenia implikują że m k N. Zatem wartość przyszła kapitału P po m k okresach kapitalizacji wynosi ) dla oprocentowania prostego 20) F mk = P 1 + m k i k ); ) dla oprocentowania składanego 21) F mk = P 1 + i k ) m k. Zbadamy zachowanie się funkcji F mk w zależności od częstości kapitalizowania odsetek w ciągu roku według dostosowanej stopy procentowej w modelu oprocentowania prostego oraz składanego. W tym celu rozważmy następujący przykład Przykład 1 Kapitał o wartości 1 jp został oprocentowany według nominalnej stopy procentowej 12%. Wyznaczyć wartość przyszłą tego kapitału po roku w modelu oprocentowania a) prostego b) składanego przy różnych okresach generowania odsetek. Mamy zatem że r = 0 12 i n = 1 [rok]. Stosując odpowiednio wzory 20) 21) 17) 18) i 19) otrzymujemy: 8

-) dla kapitalizacji rocznej k = 1 m k = 1 i k = r = 0 12 ad a) F = 11 + 1 0 12) = 1 12 ad b) F = 11 + 0 12) 1 = 1 12 -) dla kapitalizacji półrocznej k = 2 m k = 2 i k = 012 2 = 0 06 ad a) F = 11 + 2 0 06) = 1 12 ad b) F = 11 + 0 06) 2 = 1 1236 -) dla kapitalizacji kwartalnej k = 4 m k = 4 i k = 012 4 = 0 03 ad a) F = 11 + 4 0 03) = 1 12 ad b) F = 11 + 0 03) 4 = 1 1255 -) dla kapitalizacji miesięcznej k = 12 m k = 12 i k = 012 12 = 0 01 ad a) F = 11 + 12 0 01) = 1 12 ad b) F = 11 + 0 01) 12 = 1 1268 Twierdzenie 1 Dla każdej ustalonej wielokrotności okresu stopy procentowej r przyszła wartość kapitału P w modelu oprocentowania prostego jest stałą funkcją częstości kapitalizacji odsetek w ciągu roku. Twierdzenie 2 Dla każdej ustalonej wielokrotności okresu stopy procentowej r przyszła wartość kapitału P w modelu oprocentowania składanego jest rosnącą funkcją częstości kapitalizacji odsetek w ciągu roku. Dowód twierdzenia 1 Niech r będzie nominalną stopą procentową n N dowolną ustaloną wielokrotnością okresu stopy r i niech i k będzie dostosowaną do okresu kapitalizacji stopą procentową gdzie k jest wyrażone wzorem 17). W myśl wzoru 20) dla dowolnego kapitału P mamy F mk = P 1 + m k i k ) = P 1 + nk r ) = P 1 + nr) = F n k co dowodzi że wartość końcowa po czasie n okresach stopy procentowej r nie zależy od częstości kapitalizowania odsetek. 9

Dowód twierdzenia 2 Niech r będzie nominalną stopą procentową n N dowolną ustaloną wielokrotnością okresu stopy r i niech i k będzie dostosowaną do okresu kapitalizacji stopą procentową gdzie k jest wyrażone wzorem 17). Wykażemy że funkcja k F mk określona wzorem 21) jest rosnąca. Na początek zauważmy że F mk = P 1 + nr ) p p gdzie p = nk N. Zatem aby wykazać że funkcja F mk jest rosnąca względem k wystarczy wykazać że ciąg {a p } o wyrazie ogólnym jest ciągiem rosnącym. Mamy a p = 1 + nr ) p p N p ) p+1 a p+1 1 + nr p+1 = ) p = 1 + nr ) 1 + nr p+1 p+1 a p 1 + nr p 1 + nr p p = 1 + nr ) p+1+nr p+1 p+1 p+nr p p = 1 + nr ) ) p+1 pp + 1 + nr) p p + 1)p + nr) = 1 + nr ) ) p+1 p + 1)p + nr) nr p p + 1)p + nr) = 1 + nr ) ) p+1 nr 1 p N. p p + 1)p + nr) Stosując nierówność Bernoulliego otrzymujemy a p+1 > 1 + nr ) ) nr 1 p + 1) a p p p + 1)p + nr) = 1 + nr ) 1 nr ) = 1 + nr ) p + nr nr p p + nr p p + nr = 1 + nr ) p p p + nr = 1 + nr ) 1 p 1 + nr = 1 p tj. a p+1 > a p p N co dowodzi że ciąg {a p } jest rosnący a tym samym że rosnąca jest również funkcja F mk zmiennej k. Jeśli n k są dowolnymi liczbami naturalnymi to z powyższego otrzymujemy 22) P 1 + m k i k ) P 1 + i k ) m k 10

czyli 23) P 1 + nr) P 1 + r ) nk k przy czym równość zachodzi tylko dla m k = n = k = 1. Ponadto gdy k 1 < k 2 to 24) P 1 + i k1 ) m k 1 < P 1 + ik2 ) m k 2 czyli 25) P 1 + r k1 ) k1 < P 1 + r k 2 ) k2. Roczny czynnik akumulacji dla oprocentowania podokresowego jest postaci 26) ak) = 1 + i k ) k czyli 27) ak) = oraz spełniona jest nierówność 28) 1 + r 1 + r k ) k 1 + r k ) k przy czym równość zachodzi jedynie dla k = 1. Łączne odsetki wygenerowane po czasie m k wyniosą 29) I = P [ 1 + i k ) m k 1 ] czyli przy użyciu stopy nominalnej r [ 30) I = P 1 + r ) nk ] 1. k W tym modelu wzory 12)-16) będą prawdziwe przy podstawieniu za r stopy i k oraz za n liczby m k. Wzór w regule 70 przyjmie postać m k = 70 i k gdzie i k% jest stopą procentową dostosowaną do okresu kapitalizacji. Na początku podrozdziału założylismy że n jest liczbą naturalną-jest całkowitą wielokrotnością stopy nominalnej r oraz wyraża czas oprocentowania. Zauważmy że wzory 11

20) 21) 22) i pozostałe nie zależą od dziedziny zmiennej n tzn. nie jest istotne to że jest ona liczbą naturalną a istotne jest tylko to że m k jest liczbą naturalną. Możemy zatem nasze rozważania uogólnić na przypadek gdy n wyrażające czas oprocentowania w jednostce 1 roku w latach) jest liczbą wymierną i taką że m k = n k jest liczbą naturalną. Powyższe wzory nie zmienią swojej postaci zmienią się jedynie założenia dotyczące n. W konsekwencji od tego momentu będziemy przyjmować że n jest liczbą wymierną wyrażającą czas oprocentowania w latach i taką że m k jest liczbą naturalną. Przykład 2 Obliczyć wartość przyszłą kapitału 100 jp w modelu kapitalizacji kwartalnej przy stopie nominalnej 12% po pół roku. Rozwiązanie: P = 100 r = 0 12 k = 4 n = 1 2 czyli i 4 = 012 4 = 0 03 m k = 1 2 4 = 2 stąd F = 1001 + 0 03) 2 = 106 09. 0.2.4 Kapitalizacja ciągła Przypomnijmy definicję liczby e: lim 1 + a n) 1 an = e n gdzie {a n } jest dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych spełniającym lim a n = 0. n Stąd po czasie n lat przy stopie r mamy lim 1 P + r ) [ nk = lim P 1 + r ) k ] nr r = P e nr k k k k Kapitalizację ciągłą definiujemy jako graniczny przypadek kapitalizacji podokresowej gdy liczba podokresów k w ustalonym czasie n zmierza do nieskończoności. Inaczej mówiąc gdy odsetki są kapitalizowane w każdym momencie czasu. Wartość przyszłą kapitału P po czasie n przy stopie nominalnej r w kapitalizacji ciągłej definiujemy wzorem 31) F = P e nr zaś odsetki wygenerowane po tym czasie wyznaczamy ze wzoru 32) I = P e nr 1). Roczny czynnik akumulacji w kapitalizacji ciągłej dany jest wzorem 33) a1) = e r. 12

0.2.5 Zależność pomiędzy oprocentowaniem prostym składanym i ciągym Po czasie n lat otrzymujemy następującą zależność pomiędzy wartościami przyszłymi kapitału w modelu oprocentowania prostego składanego podokresowego i ciągłego 34) P 1 + nr) P 1 + r ) nk P e nr k dla dowolnego k N czyli pomiędzy rocznymi czynnikami akumulacji 1 + r 1 + r k ) k e r. Nierówność 34) zinterpretujemy geometrycznie w zależności od zmiennej czasu n oraz od zmiennej częstości kapitalizowania odsetek k. 0.2.6 Równoważność warunków oprocentowania Rozważmy następujący przykład Przykład 3 Zbadać które warunki oprocentowania są korzystniejsze tzn. generują większe odsetki w ustalonym czasie: a) kapitalizacja roczna przy stopie nominalnej 12% b) kapitalizacja półroczna przy stopie półrocznej 6% c) kapitalizacja półroczna przy stopie nominalnej 14%. Zasada równoważności stóp procentowych: Powiemy że stopy procentowe są równoważne jeżeli przy każdej z nich kapitał początkowy P generuje tej samej wielkości odsetki I po czasie n. Załóżmy że w banku A obowiązuje nominalna stopa procentowa r 1 oraz odsetki są generowane k 1 razy w ciągu roku natomiast w banku B obowiązuje nominalna stopa procentowa r 2 oraz odsetki są generowane k 2 razy w ciągu roku. Równoważność warunków oprocentowania prostego w banku A w stosunku do banku B w odniesieniu do n lat oznacza zachodzenie równości: 35) P 1 + m k1 i k1 ) = P 1 + m k2 i k2 ) gdzie i k1 = r 1 k 1 oraz i k2 = r 2 k 2. Stąd otrzymujemy równość 36) k 1 i k1 = k 2 i k2. 13

W konsekwencji z powyższego po przekształceniach otrzymujemy 37) r 1 = r 2 czyli że w modelu oprocentowania prostego równoważność warunków oprocentowania nie zależy od czasu n oraz jest zagwarantowana wtedy gdy nominalne stopy procentowe są identyczne. Z warunku 36) wynika że gdy znamy podokresową stopę i k1 to równoważną stopę i k2 otrzymamy ze wzoru 38) i k2 = k 1 k 2 i k1 i na odwrót. W przypadku gdy zarówno w banku A jak i w banku B stosowany jest model oprocentowania składanego równoważność warunków oprocentowania w myśl wzoru 21) implikuje 39) P 1 + i k1 ) m k 1 = P 1 + ik2 ) m k 2 tj. 40) P 1 + i k1 ) nk 1 = P 1 + i k2 ) nk 2. Zatem 41) 1 + i k1 ) k 1 = 1 + i k2 ) k 2 co dowodzi że równoważność warunków oprocentowania składanego nie zależy od czasu n ponadto w celu zagwarantowania równoważności warunków oprocentowania roczne współczynniki akumulacji powinny być identyczne. Ze wzoru 41) otrzymujemy wzór na równoważne stopy podokresowe 42) i k2 = 1 + i k1 ) k 1 k 2 1 oraz równoważne stopy nominalne [ 43) r 2 = k 2 1 + r ) k ] 1 1 k 2 1. k 1 W modelu kapitalizacji podokresowej równoważność warunków oprocentowania nie zależy od czasu n oraz jest zagwarantowana wtedy gdy stopy podokresowe spełniają 42) czyli gdy stopy nominalne spełniają 43). Ponadto otrzymujemy wzory na równoważność stóp rocznej i i podokresowej i k i k = 1 + i) 1 k 1 14

oraz 44) i = 1 + i k ) k 1. Niech teraz w banku A i B obowiązuje kapitalizacja ciągła przy nominalnej stopie procentowej r c w banku A oraz przy nominalnej stopie r c w banku B. Z równości rocznych współczyników akumulacji tj. 45) e r c = e r c dostajemy że warunki oprocentowania będą równoważne wtedy gdy stopy roczne będą identyczne. Oczywiście w takiej sytuacji powiemy że stopy te są równoważne. Załóżmy teraz że w banku A obowiązuje kapitalizacja podokresowa o częstotliwości k kapitalizowania odsetek w ciągu roku przy nominalnej stopie procentowej r zaś w banku B kapitalizacja ciągła przy nominalnej stopie procentowej r c. Porównując roczne współczynniki akumulacji 46) 1 + i k ) k = e rc otrzymujemy wzory na równoważność stopy podokresowej i k oraz nominalnej r c 47) i k = e rc k 1 48) r c = k ln 1 + i k ) oraz wzory na równoważne stopy nominalne r i r c 49) r = k e rc k 1 ) 50) r c = k ln 1 + r ). k W szczególności kładąc k = 1 otrzymujemy postać stopy rocznej i równoważnej stopie nominalnej r c 51) i = e rc 1. Na koniec rozważmy sytuację gdy w banku A stosowany jest model kapitalizacji podokresowej przy nominalnej stopie procentowej r zaś w banku B model kapitalizacji prostej 15

przy nominalnej stopie procentowej r p. Wówczas po czasie n zasada równoważności oprocentowania prowadzi do nastepujących zależności 52) 1 + i k ) nk = 1 + r p n. Zatem równoważne stopy podokresowa i nominalna spełniają 53) i k = 1 + r p n) 1 nk 1 54) r p = 1 n[ 1 + ik ) nk 1 ] oraz równoważne stopy nominalne spełniają [ 55) r = k 1 + r p n) 1 nk 1 ] 56) r p = 1 n [ 1 + r ) ] nk 1. k Z powyższego łatwo widać że równoważność stóp oprocentowania składanego i prostego są zależne od czasu n tzn. jeżeli warunki oprocentowania są równoważne w czasie n to nie są równoważne w czasie n n. 0.2.7 Efektywna stopa procentowa Efektywna stopa procentowa effective rate of interest) r ef jest to wielkości zysku uzyskanego w ciągu 1 roku z zainwestowanej 1 jednostki kapitału wypłacanego pod koniec roku. Definicę tę możemy opisać wzorem: r ef = a1) a0) czyli 57) a1) = 1 + r ef 1. Ponieważ efektywna stopa mierzy wzrost kapitału w ciągu roku to jest to roczna stopa procentowa. 2. Pojęcie efektywna jest używane w sytuacji gdy odsetki są płacone raz do roku w przeciwieństwie do pojęcia nominalna gdy odsetki są płacone częściej niż raz do roku. 16

3. Efektywna stopa procentowa najczęściej wyrażana jest w procentach. 4. Wielkość zainwestowanego kapitału jest w ciągu roku stała tzn. w trakcie roku ani nie dokonujemy żadnej wpłaty ani wypłaty. 5. Efektywna stopa procentowa jest rozważana gdy odsetki są płacone pod koniec roku. Efektywną stopę procentową możemy wyrazić za pomocą wartości przyszłej kapitału P następująco: 58) r ef = 1 + r ef) 1 1 = a1) a0) a0) = F 1 P P = I 1 P. Otrzymujemy alternatywną definicję: Efektywną stopę procentową r ef definiujemy jako stosunek odsetek do kapitału który wygenerował te odsetki w ciągu 1 roku. Efektywna stopa procentowa może być wyliczona dla dowolnego roku inwestycji. Niech r efn oznacza efektywną stopę w roku n-tym. Wówczas 59) r efn = F n F n 1 F n 1 = I n F n 1 dla n = 1 2 3... gdzie I n oznaczają odsetki za n-ty okres. oczywiście wzór 59) jest zgodny z wcześniejszą definicją. W modelu oprocentowania prostego przy stałej stopie rocznej r ze wzorów 58) i 59) otrzymujemy odpowiednio oraz 60) r efn = r ef = P r P = r P r P 1 + n 1)r) = r 1 + n 1)r dla n = 1 2 3... tj. stopa efektywna w pierwszym roku inwestycji jest identyczna ze stopą roczną oraz jest malejącą funkcją zmiennej czasu n przy stałym oprocentowaniu prostym. W modelu oprocentowania składanego przy rocznej kapitalizacji odsetek według stopy rocznej r otrzymujemy r ef = P 1 + r) P P = 1 + r) 1 1 = r oraz r efn = P 1 + r)n P 1 + r) n 1 P 1 + r) n 1 = 1 + r) 1 1 = r 17

dla n = 1 2 3.... Oznacza to że stopa efektywna jest identyczna z roczną stopą oprocentowania rocznego i że nie zależy od czasu n. Z powyższego i 44) możemy powiedzieć że efektywna stopa procentowa jest to stopa rocznego oprocentowania równoważna stopie oprocentowania podokresowego r ef = 1 + i k ) k 1 czyli 61) r ef = 1 + r ) k 1. k Stąd i z zasady równoważności warunków oprocentowania otrzymujemy że w modelu kapitalizacji podokresowej warunki oprocentowania są równoważne gdy odpowiednie stopy efektywne są identyczne. W przypadku oprocentowania ciągłego przy rocznej stopie r otrzymujemy 62) r ef = P er P P = e r 1 oraz r efn = P enr P e n 1)r P e n 1)r = e r 1 czyli stopa efektywna jest stałą funkcją zmiennej czasu n i wyraża się wzorem 62). Konsekwencją definicji stopy efektywnej oraz zasady równoważności stóp procentowych jest to że w celu obliczenia efektywnej stopy procentowej w modelu oprocentowania składanego podokresowego bądź ciągłego wystarczy od rocznego czynnika akumulacji odjąć 1. Ponadto możemy powiedzieć że 1. efektywna stopa procentowa jest równa stopie rocznej jedynie dla kapitalizacji rocznej. 2. efektywna stopa procentowa jest większa od stopy nominalnej w kapitalizacji składanej podokresowej różnej od rocznej. 3. efektywna stopa procentowa jest tym większa im częściej kapitalizują się odsetki. 4. efektywna stopa procentowa jest największa przy ciągłej kapitalizacji odsetek. 18

0.2.8 Wartość przyszła po dowolnym czasie t > 0 Z punktu widzenia matematyki bankowej oczywiste jest że wartość przyszła kapitału po czasie t > 0 nie będącym całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji jest równa wartości po czasie m k składającym się z maksymalnej liczby okresów kapitalizacji w czasie t tzn. jeżeli np. kapitalizacja jest miesięczna a nas interesuje wartość przyszła kapitału po 8 miesiącach i 2 tygodniach to m k = 8. Taka metoda jest zgodna z naszymi wcześniejszymi ustaleniami że wyznaczenie wartości przyszłej jest ściśle związane z okresem generowania i kapitalizowania odsetek. Poznamy inne metody wyznaczenia wartości przyszłej kapitału po czasie t które dla naszych rozważań stanowią czysto teoretyczny aspekt ale mają istotne zastosowanie w matematyce finansowej. Na poczatek przypomnijmy że wartość przyszła kapitału wyraża się wzorem: w modelu oprocentowania prostego F mk = P 1 + m k i k ) = P 1 + nr) w modelu oprocentowania składanego przy okresowej kapitalizacji odsetek F mk = P 1 + i k ) m k = P gdzie n Q było takie że m k = n k N. 1 + r k ) nk Uogólnienie wzoru dla n = t t > 0 w przypadku oprocentowania prostego jest równoważne z wyznaczeniem wartości przyszłej kapitału proporcjonalnie do długości czasu oprocentowania czyli 63) F t = P 1 + tr) gdzie czas t wyrażony jest w latach. Wykresem funkcji t F t jest półprosta nachylona pod kątem P r do osi czasu. W przypadku oprocentowania składanego najpierw zauważmy że z 61) mamy F mk = P = P [ 1 + r k 1 + ) nk = P [ 1 + r k ) k ] n 1 + r k ) k 1 ] n = P 1 + r ef ) n. Zatem wzór na F mk możemy uogólnić następująco 64) F t = P 1 + r ef ) t 19

gdzie t jest czasem oprocentowania wyrażonym w latach. Funkcja t F t jest ciągła funkcją wykładniczą. Jeżeli chcemy wartość F mk wyznaczyć bez odwoływania się do stopy efektywnej to powyższy wzór zapiszemy następująco: 65) F t = P 1 + i k ) tk. W przypadku kapitalizacji ciągłej mamy oczywiście F t = P e tr. Przykład 4 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 100 jp po 17 miesiącach w modelu oprocentowania prostego przy stopie rocznej 12%. Rozwiązanie: P = 100 t = 17/12 r = 0 12. Ze wzoru 63) mamy F = 100 1 + 17 ) 0 12 12 = 117[jp]. Przykład 5 Wyznaczyć wartość przyszła kapitału 100 jp po roku i 7 miesiącach przy kwartalnej kapitalizacji odsetek i nominalnej stopie 12%. Rozwiązanie: P = 100 t = 1 + 7/12 = 19/12 k = 4 r = 0 12 i k = 0 03 r ef = 1 + 0 03) 4 1 = 0 1255. Widzimy że czas oprocentowania nie jest całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji. Wartość przyszłą wyznaczymy korzystając ze wzoru 64) i 65). Mamy F = 1001 + 0 1255) 19 12 = 120 586 oraz F = 1001 + 0 03) 19 12 4 = 120 586 Na koniec powiemy o jeszcze jednej metodzie wyznaczania wartości przyszłej kapitału po czasie t w modelu oprocentowania składanego kapitalizacji złożonej). Niech F p t funkcjami określonymi odpowiednio wzorami 63) i 64). Zauważmy że i F s t będą a) wykresy funkcji F p t i F s t przecinają się w dwóch punktach: dla t = 0 i t = 1 b) dla t 0 1) F p t c) dla t > 1 F p t < F s t. > F s t Warto tutaj wspomnieć że oprocentowanie składane jest stosowane niemal we wszystkich transakcjach finansowych średnio- i długoterminowych powyżej jednego roku) rzadziej w transakcjach krótkotermnowych do jednego roku) zaś oprocentowanie proste jest tylko 20

czasem stosowane w transakcjach krótkoterminowych oraz pomocniczo do wyznaczenie wartości F t w niepełnym okresie kapitalizacji. Rozważmy czas oprocentowania t = z + q gdzie z N {0} q 0 1). Oczywiście z < t < z + 1. Wyznaczenie wartości F t jest związana z wypukłą kombinacją wartości F z i F z+1 : czyli F z+q = 1 q)f z + qf z+1 = 1 q)p 1 + r ef ) z + qp 1 + r ef ) z+1 = P 1 + r ef ) z [1 q) + q1 + r ef )] = P 1 + r ef ) z 1 + qr ef ) 66) F z+q = P 1 + r ef ) z 1 + qr ef ) Dzięki tej metodzie podpunkt b) nie zajdzie. Przykład 6 Mając dane z przykładu 5 wyznaczymy wartość przyszłą kapitału korzystając ze wzoru 66) Rozwiązanie. z = 1 q = 7 12 F = 1001 + 0 1255) 1 1 + 7 12 0 1255 ) = 120 7896. 0.2.9 Oprocentowanie przy zmiennej stopie procentowej OPROCENTOWANIE PRZY ZMIENNEJ STOPIE PROCENTOWEJ Oprocentowanie proste Załóżmy że czas oprocentowania składa się z n lat n Q oraz że dzieli się na m okresów o długości odpowiednio n 1 n 2... n m n = n 1 + n 2 +... + n m oraz że w j-tym okresie j = 1 2... m mamy roczną stopę procentową r j. Wówczas po pierwszym okresie F n1 = P + P n 1 r 1 po drugim okresie F n2 = P + P n 1 r 1 + P n 2 r 2 i po m-tym okresie F nm = P + P n 1 r 1 + P n 2 r 2 +... + P n m r m 21

czyli 67) F = P 1 + n-letni czynnik akumulacji wyraża się wzorem m n j r j ) m 68) an) = 1 + n j r j Przykład 7 Wyznacz wartość przyszłą 10000 zł po 4 latach w modelu oprocentowania prostego jeśli przez pierwsze 1 5 roku była stopa roczna 2% a następnie stopa roczna 1 9%. Rozwiązanie: n = 4 n 1 = 1 5 n 2 = 2 5 r 1 = 0 02 r 2 = 0 019 F = 100001 + 1 5 0 02 + 2 5 0 019) = 10775. Oprocentowanie składane z podokresową kapitalizacją odsetek Załóżmy że czas oprocentowania składa się z n lat n N i w roku j-tym dana jest stopa efektywna r efj gdzie j = 1 2... n po pierwszym roku F 1 = P 1 + r ef1 ) po drugim roku po n-tym roku Zatem F 2 = F 1 1 + r ef2 ) F n = F n 1 1 + r efn ). F = P 1 + r ef1 ) 1 + r ef2 )... 1 + r efn ) tj. n 69) F = P 1 + r efj ) n-letni czynnik akumulacji wyraża się wzorem n 70) an) = 1 + r efj ). 22

Przykład 8 Wyznacz wartość przyszłą 10000 zł po 5 latach oprocentowania składanego jeśli przez pierwsze 2 lata była stopa efektywna 2% a następnie stopa efektywna 1 9%. Rozwiązanie: n = 5 n 1 = 2 n 2 = 3 r 1 = 0 02 r 2 = 0 019 F = 100001 + 2 0 02) 1 + 3 0 019) = 10992 8. Załóżmy teraz że czas oprocentowania n składa się z m okresów o długości odpowiednio n 1 n 2... n m n = n 1 +n 2 +...+n m takich że w okresie j-tym dana jest stopa efektywna r efj j = 1 2... m. Po pierwszym okresie F n1 = P 1 + r ef1 ) n 1 po drugim okresie po n m -tym okresie F n2 = F n1 1 + r ef2 ) n 2 F nm = F nm 1 1 + r efm ) nm. Zatem F n = P 1 + r ef1 ) n1 1 + r ef2 ) n2... 1 + r efm ) nm czyli m 71) F = P 1 + r efj ) n j n-letni czynnik akumulacji wyraża się wzorem m 72) an) = 1 + r efj ) n j. Oczywiście czynnik 1 + r efj ) n j j = 1 2... m możemy zastąpić z zachowaniem równoważności stóp procentowych wzór 61) czynnikiem 1 + r j k j ) nj k j czyli 1 + i j) k j ) n jk j 23

gdzie r j jest stopą nominalną w okresie j k j jest częstością kapitalizowania odsetek w tym okresie n j k j jest ilością okresów kapitalizacji w tym okresie a i j) k j w tym okresie. Wzór 71) przyjmie postać m 73) F = P 1 + i j) k j ) n jk j zaś n-letni czynnik akumulacji m 74) an) = 1 + i j) k j ) n jk j. jest stopa dostosowaną Przykład 9 Wyznaczyć wartość przyszłą 100 zł po 1 roku i 8 miesiącach jeśli przez przez pierwsze 8 miesięcy była kapitalizacja miesięczna i stopa nominalna 7% przez następne pół roku była kapitalizacja kwartalna i stopa nominalna 8% a następnie kapitalizacja półroczna i stopa nominalna 6%. Rozwiązanie: n = 1 8 12 n 1 = 8 12 n 2 = 1 2 n 3 = 1 2 r 1 = 0 07 r 2 = 0 08 r 3 = 0 06 k 1 = 12 k 2 = 4 k 3 = 2 F = 100 = 100 1 + 1 + = 112 265 ) 8 12 0 07 12 1 + 12 ) 8 0 07 12 1 + 0 08 4 0 08 4 ) 2 ) 1 2 4 1 + 1 + 0 06 2 Oprocentowanie składane z ciągłą kapitalizacją odsetek 0 06 2 Załóżmy teraz że czas oprocentowania n składa się z m okresów o długości odpowiednio n 1 n 2... n m n = n 1 + n 2 +... + n m takich że w okresie j-tym dana jest stopa roczna r cj j = 1 2... m. Po pierwszym okresie F n1 = P e n 1r c1 ) 1 ) 1 2 2 po drugim okresie po n m -tym okresie F n2 = F n1 e n 2r c2 F nm = F nm 1 e nmrcm. Zatem F n = P e n 1r c1 e n 2r c2... e nmrcm = P e n 1r c1 +n 2 r c2 +...+n mr cm 24

czyli m 75) F = P e n jr cj zaś n-letni czynnik akumulacji m 76) an) = e n jr cj. 0.2.10 Stopa przeciętna STOPA PRZECIĘTNA Przeciętną roczną stopą procentową w czasie n nazywamy roczną stopę procentową przy której wartość wartość n-letniego czynnika akumulacji jest taka sama jak wartość n-letniego czynnika akumulacji przy zmiennych stopach procentowych w czasie n. Roczną przeciętną stopę procentową będziemy oznaczać przez r prz. Stopa przeciętna pozwala pozwala na ewentualne porównanie warunków oprocentowania przy zmiennych stopach procentowych W myśl powyższej definicji w modelu oprocentowania prostego korzystając ze wzoru 68) otrzymujemy m 1 + nr prz = 1 + n j r j tj. 77) r prz = 1 m n j r j. n Zauważmy że gdy czas n jest podzielony na m równej długości okresów to powyższy wzór przyjmie postać r prz = 1 m m r j. Przejdziemy teraz do wyznaczenia rocznej przeciętnej stopy procentowej r prz w modelu oprocentowania składanego z podokresową kapitalizacją odsetek. Załóżmy że czas oprocentowania składa się z n lat n N i w roku j-tym dana jest stopa efektywna r efj gdzie j = 1 2... n. Ponieważ roczny czynnik akumulacji ze stopą roczną jest postaci 1 + r prz to w myśl wzoru 70) po n latach otrzymujemy zależność n 1 + r prz ) n = 1 + r efj ). 25

Zatem [ n ] 1 n 78) r prz = 1 + r efj ) 1 Załóżmy teraz że czas oprocentowania n składa się z m okresów o długości odpowiednio n 1 n 2... n m n = n 1 +n 2 +...+n m takich że w okresie j-tym dana jest stopa efektywna r efj j = 1 2... m. Wówczas na mocy 72) dostaniemy czyli po przekształceniach 79) r prz = m 1 + r prz ) n = 1 + r efj ) n j [ m ] 1 1 + r efj ) n n j 1. W przypadku gdy czas n lat składa się z m równej długości okresów czyli n 1 = n 2 =... = n m i w każdym z m okresów mamy stopę podokresową i j) k gdzie k = k 1 = k 2 =... = k m to możemy wyznaczyć przeciętną podokresową stopę procentową czyli 1 + i kprz ) k = 1 + r prz 80) i kprz = 1 + r prz ) 1 k 1. Przykład 10 Obliczyć przeciętną roczną i przecietną miesięczną stopę procentową po czasie 3 lat jeśli roczna stopa procentowa w pierwszym roku wynosiła 2% a następnie co roku zwiększała się o 0 5 punktu procentowego. W celu obliczenia przeciętnej rocznej stopy korzystamy ze wzoru 79). Mamy r prz = 1 02 1 025 1 03) 1 3 1 2 4992%. Stąd stosując wzór 80) gdzie k = 12 obliczymy przeciętną miesięczną stopę procentową: i 12prz = 1 024992) 1 12 1 0 2059% Możemy również pytać o przeciętną stopę podokresową i kprz o okresie k w przypadku gdy czas n jest podzielony na m okresów różnej długości i w każdym z tych okresów mamy częstość kapitalizowania odsetek k j j = 1... m oraz stopę podokresową i j) k j. Wówczas z 74) m 1 + i kprz ) nk = 1 + i j) k j ) n jk j 26

więc [ m ] nk 81) i kprz = 1 + i j) k j ) n jk j 1 Przykład 11 Obliczyć przeciętną stopę kwartalną jeśli w pierwszym półroczu obowiązywała stopa nominalna 12% i kapitalizacja kwartalna zaś w drugim półroczu obowiązywała stopa nominalna 6% i kapitalizacja miesięczna. Roczny czynnik akumulacji wynosi a1) = 1 + ) 0 12 2 1 + 4 W myśl wzoru 81) przeciętna kwartalna stopa wynosi i 4prz = [ 1 + ) 0 12 2 1 + 4 ) 0 06 6 = 1 0931 12 ) ] 1 0 06 6 4 1 = 2 25% 12 Przejdziemy teraz do wyznaczenia przeciętnej stopy procentowej w modelu kapitalizacji ciągłej po czasie n. Załóżmy że czas oprocentowania n składa się z m okresów o długości odpowiednio n 1 n 2... n m n = n 1 + n 2 +... + n m takich że w okresie j-tym dana jest stopa roczna r cj j = 1 2... m. Ze wzoru 76) otrzymujemy czyli e nrprz = e m n jr cj 82) r prz = 1 m n j r cj. n Widzimy że stopa przeciętna jest tutaj średnia arytmetyczną stóp zmiennych w czasie 0.2.11 Dyskontowanie. Dyskonto DYSKONTOWANIE. DYSKONTO Przypomnijmy że dyskontowaniem kapitału F lub krótko dyskontowaniem nazywamy wyznaczanie wartości kapitału początkowego P na podstawie znanej wartości kapitału końcowego F. Kwotę o którą należy pomniejszyć F aby otrzymać P nazywamy się dyskontem. Dyskonto i dyskontowanie to pojęcia odgrywające bardzo ważną rolę w wielu obliczeniach finansowych ale zależnie od kontekstu mogą mieć całkiem inne znaczenie. Wartość dyskonta będziemy oznaczać symbolem D. Poniważ dyskonto jest różnicą pomiędzy wartością końcową i początkową kapitału tj. 83) D = F P 27

to porównując ten wzór ze wzorem na odsetki I możemy zauważyc że spełniona jest równość D = I. Mimo że dyskonto wynosi tyle co odsetki to te dwa pojęcia różnią się między sobą sposobem wyliczenia. Otóż w celu obliczenia dyskonta należy posłużyć się wartościa przyszłą kapitału F zaś w celu wyznaczenia odsetek należy posłużyć się wartością teraźniejszą kapitału P. W zależności od stosowanego modelu wyróżniamy dyskontowanie proste i składane zaś w zależności od stosowanej stopy wyróżniamy dyskonto rzeczywiste i handlowe Dyskontowanie proste rzeczywiste - wyznaczanie wartości kapitału początkowego na podstawie kapitału końcowego przy ustalonej stopie oprocentowania prostego. Niech r będzie roczną stopą oprocentowania prostego i niech n Q będzie czasem oprocentowania liczonym w latach. Ponieważ 84) P = F to dyskonto D jest dane wzorem 85) D = F P = F F 1 1 + nr 1 1 + nr = F nr 1 + nr. Liczbę a 1 n) = 1 występującą we wzorze 84) nazywamy n-letnim współczynnikiem dyskontującym w modelu oprocentowania prostego. Oczywiście spełnione 1+nr jest a 1 n) an) = 1. Zauważmy że jest on odwrotnością n-letniego współczynnika akumulacji w tym modelu. Dyskontowanie proste handlowe - wyznaczanie wartości kapitału początkowego na podstawie kapitału końcowego przy ustalonej stopie dyskontowej w modelu oprocentowania prostego. Dyskontem handlowym D h nazywamy opłatę za udzieloną pożyczkę uiszczoną w chwili otrzymania tej pożyczki lub inaczej odsetkami płatnymi z góry procentem płatnym z góry. Pożyczkobiorca w chwili otrzymania pożyczki otrzymuje kwotę pożyczki F pomniejszoną o odsetki które są traktowane jako zapłata za pożyczkę i potrącane z góry. Opłata ta wyznaczana jest według tzw. rocznej stopy dyskontowej d za czas n wyrażony w latach. Zatem D h = F dn. Kwota którą pożyczkodawca otrzymuje oznaczamy przez P czyli P = F F dn 28

86) P = F 1 dn). Oczywiście dyskonto handlowe jako opłata za pożyczkę ma sens gdy nie przekracza kwoty pożyczki D h < F. ZASADA RÓWNOWAŻNOŚCI STÓP PROCENTOWEJ I DYSKONTOWEJ Powiemy że roczna stopa dyskontowa d i roczna stopa procentowa r są równoważne w czasie n jeśli dyskonto handlowe oraz odsetki obliczone przy tych stopach są równe D h = I stąd F dn = P rn. Stosując 86) otrzymujemy Z powyższego dostajemy: -) postać stopy r różwnoważnej stopie d 87) r = -) postać stopy d różwnoważnej stopie r P d 1 dn = P r. d 1 dn 88) d = r 1 + rn -) czas po jakim stopy d i r są równoważne n = 1 d 1 r. Zasada równoważności stóp procentowej i dyskontowej ma zastosowanie w praktyce bankowej. Otóż pozwala ona na zamianę pożyczki z odsetkami płatnymi z góry na pożyczkę z odsetami płatnymi z dołu i na odwrót. W pierwszym przypadku skorzystamy ze wzoru 87 a w drugim ze wzoru 88. Zasada ta ma również zastosowanie przy wyznaczeniu rentowności niektórych papierów wartościowych np. bonów skarbowych. Weksel jest to dokument zobowiązujący do zapłaty określonej kwoty w ustalonym terminie w przyszłości. Kwotę tę nazywamy wartością nominalną weksla i ozn. F W nom. Termin w którym weksel ma być spłacony nazywamy jego terminem wykupu spłaty). Wartość weksla obliczoną na podstawie jego wartości nominalnej przy ustalonej stopie dyskontowej d na określony dzień poprzedzający termin jego wykupu nazywamy 29

wartością aktualną handlową) weksla i ozn. P W akt. Czas pomiędzy wartością aktualną a nominalną weksla jest liczony w latach według reguły bankowej zgodnie z regułą bankową czas w latach oblicza się jako iloraz dokładnej liczby dni i długości roku bankowego czyli 360 dni). W rachunku weksli stoswane jest dyskonto proste handlowe. W związku z tym jeśli l oznacza ilość dni zawartych pomiędzy terminem wykupu a terminem wystawienia weksla to dyskonto handlowe wynosi D h = F d l 360. Posiadacz weksla wierzyciel) nie chcąc czekać na zwrot należności od wystawcy weksla dłużnika) aż do terminu wykupu weksla może go zamienić na gotówkę w banku jeżeli ten wyrazi zgodę). Operację taką nazywamy bankowym dyskontem zdyskontowaniem) weksla. Bank który weksel zdyskontował może przedstawić go do dyskonta w banku centralnym i tę operację nazywa się redyskontem redyskontowaniem) weksla. ZASADA RÓWNOWAŻNOŚCI WEKSLI Powiemy że dwa weksle o wartościach nominalnych F 1) i F 2) i terminie wykupu n 1) i n 2) są równoważne w ustalonym dniu poprzedzającym ich wykup jeśli wartości aktualne obu weksli w tym dniu przy stopie d są równe. W myśl tej zasady mamy F 1) 1 dn 1) ) = F 2) 1 dn 2) ) gdzie n i) oznacza czas od terminu aktualizacji do terminu wykupu weksla o wartości nominalnej F i) i = 1 2. Ponieważ warunek równoważności jest zależny od dnia na który następuje aktualizacja obu weksli to nie zachowuje się on na inny dzień. Pojęcie równoważności weksli wykorzystuje się przy operacji odnowienia weksla która oznacza zamianę istniejącego weksla na weksel równoważny o innym terminie wykupu. Bon skarbowy treasury security) to krótkoterminowy papier dłużny emitowany przez Ministerstwo Finansów za pośrednictwem NBP. Bon skarbowy potwierdza jego posiadaczowi nabywcy) zobowiązanie emitenta czyli Skarbu Państwa z tytułu zaciągniętej pożyczki. Bony skarbowe są podobnie jak weksle papierami sprzedawanymi z dyskontem. Wynagrodzeniem nabywców bonów jest różnica pomiędzy wartością nominalną F W nom a ceną zakupu bonu P inaczej wartością bieżącą rynkową bonu czyli dyskonto. Dyskonto wyliczamy ze wzoru D h = F dn n-czas wyrażony w latach według reguły bankowej. 30

Koszt poniesiony przez emitenta dany jest roczną stopą dyskontową d d = D h F n. Dochód nabywcy dany jest roczną stopą procentową zwaną stopą zwrotu rentowności) która jest równoważna stopie dyskontowej. Wyznaczymy ją ze wzoru 87) lub równoważnie DYSKONTOWANIE SKŁADANE r = D h P n. Dyskontowanie składane rzeczywiste - wyznaczanie wartości kapitału początkowego na podstawie kapitału końcowego przy ustalonej stopie oprocentowania składanego. Niech n Q będzie czasem oprocentowania liczonym w latach. Ponieważ 89) P = F to dyskonto D jest dane wzorem stąd 90) D = F 1 1 + r ef ) n D = F P = F F 1 1 1 + r ef ) n ) 1. 1 + r ef ) n Liczbę a 1 1 n) = 1+r ef nazywamy n-letnim współczynnikiem dyskontującym w ) n modelu oprocentowania składanego. Oczywiście spełnione jest a 1 n) an) = 1. Zauważmy że jest on odwrotnością n-letniego współczynnika akumulacji w tym modelu. Wartość a 1 1) = 1 1+r ef czyli roczny czynnik dyskontujący definiuje kapitał dla którego wartość przyszła po 1 roku przy stopie rocznej r ef wyniesie 1 jednostkę. Dyskontowanie składane handlowe - wyznaczanie wartości kapitału początkowego na podstawie kapitału końcowego przy ustalonej stopie dyskontowej w modelu oprocentowania składanego. Niech d będzie roczną stopą dyskontową. Ponieważ dyskontowanie jest to wyznaczanie wartości wcześniejszej mając wartość późniejszą w taki sposób że od wartości późniejszej odejmujemy dyskonto wyliczone według stopy dyskontowej d to dla ustalonego n mamy Następnie F n = F n+1 F n+1 d = F n+1 1 d). F n 1 = F n F n d = F n 1 d). 31

W końcu 91) F 0 = F 1 F 1 d = F 1 1 d). Zatem F 0 = F 1 1 d) = F 2 1 d)1 d) =... = F n+1 1 d)... 1 d). Wzór P = F 1 d) n definiuje wartość kapitału początkowego za pomocą kapitału końcowego i stopy dyskontowej d. WEJ Ze wzoru 91) możemy wyznaczyć postać stopy dyskontowej w pierwszym roku inwestycji ZASADA RÓWNOWAŻNOŚCI STÓP PROCENTOWEJ I DYSKONTO- d 1 = F 1 F 0 F 1 = I 1 F 1 Widzimy że jest to stosunek odsetek do wartości przyszłej kapitału po pierwszym roku. Uogólniając to spostrzeżenie możemy wyznaczyć stopę dyskontową w każdym roku inwestycji: Stąd d n = d n = F n F n 1 F n F n 1 r ef F n 1 1 + ref) = = I n F n n = 1 2.... r ef 1 + r ef n = 1 2... co dowodzi że w modelu dyskontowania składanego stopa dyskontowa jest stała gdy stopa procentowa jest stała oraz stopa dyskontowa i procentowa efektywna) są równoważne gdy lub Istotnie r ef d = r ef = r ef 1 + r ef d 1 d. F n d = F n = F n 1 1 + r ef ) = F n 1 r ef. 1 + r ef 1 + r ef STOPA DYSKONTOWA A CZYNNIK DYSKONTOWANIA KAPITAŁU Ponieważ a 1 1) = 1 1+r ef oraz d = r ef 1+r ef to możemy zauważyć że d = r ef a 1 1) r ef 32

czyli stopa dyskontowa d jest wartością początkową dla stopy procentowej w czasie 1 roku czyli zdyskontowaną wartością r ef. Ponadto d = r ef 1 + r ef = 1 + r ef 1 + r ef 1 1 + r ef = 1 a 1 1) czyli Stąd a 1 1) = 1 d. a 1 n) = 1 d) n. 0.2.12 Inflacja Inflacja. Stopa inflacji W dotychczasowych rozważaniach dotyczących zmian wartości pieniądza w czasie nie uwzględnialiśmy procesu ekonomicznego polegającego na zwiększeniu ilości pieniądza w obiegu w stopniu silniejszym od wzrostu ilości towarów na rynku przejawiającego się we wzroście cen towarów i usług w tym czasie. Wzrost ten nazywamy inflacją od łacińskiego słowa inflatio-nadęcie. Zjawiskiem odwrotnym do inflacji jest deflacja która charakteryzuje się spadkiem cen. Za przyczynę inflacji możemy m.in. przyjąć: 1. brak równowagi w budżecie państwa - gdy wydatki przewyższają wpływy 2. monopolizację gospodarki - monopoliści formują ceny 3. ingerencję państwa w politykę banku centralnego 4. nadmierną emisję pieniądza - przez dodatkowy dodruk. Ze względu na charakter inflację dzielimy na: 1. pełzającą < 5% w skali roku) 2. kroczącą 5 10%) 3. megainflację 10 50%) 4. galopującą 50 100%) 5. hiperinflację > 100%). 33

Miarą inflacji jest stopa inflacji i inf która spełnia równanie Fishera 1 92) 1 + i = 1 + i re )1 + i inf ) gdzie i oznacza nominalną stopę procentową wyrażającą obserwowaną zmianę wartości kapitału w czasie zaś i re oznacza realną rzeczywistą) stopę procentową wyrażającą realny rzeczywisty) przyrost wartości kapitału w czasie. Oczywiście stopy te mają ten sam okres. Realna stopa procentowa występująca we wzorze Fishera nazywana jest realną stopą ex ante tj. stopą wyrażającą prognozowane zmiany cen zmiany wartości pieniądza w czasie) stanowi ona istotny czynnik przy podejmowaniu decyzji gopodarczych. Stopa procentowa wyrównywana ze względu na aktualne zmiany cen nazywamy stopą ex post. Wyznaczymy postać rocznej stopy inflacji w przypadku gdy w ciągu roku zaobserwowano zmiany stóp inflacji więcej niż raz. Korzystając z zasady równoważności stóp procentowych oraz definicji stopy przeciętnej otrzymujemy 1 + i inf = 1 + ī inf1 )1 + ī inf2 )... 1 + ī infm ) czyli 93) i inf = gdzie: m 1 + ī infj ) 1 -) okres 1 roku jest podzielony na m jednakowej długości podokresów -) w każdym j-tym podokresie mamy okresową stopę inflacji ī infj j = 1... m. Z powyższego otrzymujemy wzór na przeciętną podokresową stopę inflacji ī infprz = 1 + i inf ) 1 m 1. Czynnik 1 + i inf nazywamy okresowym rocznym) czynnikiem inflacji. Wartość realna kapitału w czasie Uwzględniając inflację realną miarą wzrostu kapitału w czasie jest realna stopa procentowa która z równania Fishera jest postaci i re = 1 + i 1 + i inf 1 1 Irving Fisher 1867-1947)-amerykański ekonomista uważany za jednego z największych monetarystów dwudziestego wieku. 34

lub i re = i i inf 1 + i inf. Bardzo często w praktyce ekonomicznej realny przyrost kapitału wyraża się za pomocą przybliżonej stopy realnej postaci ī re = i i inf przy czym im większa jest stopa inflacji tym większy jest błąd przybliżenia. Aby zrozumieć istotę realnego wzrostu kapitału rozważmy sytuację że bank w danym roku zaoferował kredyt roczny oprocentowany 6% w skali roku oczekując że poziom cen w ciągu roku wzrośnie o 2%. Zatem pod koniec roku bank będzie miał zysk z udzielonego kredytu w wysokości 6% 2% i re = = 3 92%. 1 + 2% Jeżeli zaś poziom cen w ciągu roku wyniesie 8% to i re = 6% 8% 1 + 8% = 1 85% czyli bank zarobi ujemne odsetki. Taka sytuacja byłaby korzystna dla kredytobiorcy a nie dla kredytodawcy. Ogólna zasada brzmi: Kiedy realna stopa jest niska to istnieją silniejsze bodźce do tego żeby zaciągać pożyczki i słabsze do tego aby ich udzielać 2. Zmiany wartości kapitału w czasie z uwzględnieniem inflacji Zauważmy że po ustalonym czasie zauważalna wartość przyszła F nom kapitału P przy stopie o tym zgodnym okresie i wyniesie F nom = P 1 + i) zaś realna przy stopie i re o tym samym okresie F re = P 1 + i re ). Wartości F nom i F re nazywamy odpowiednio nominalną i realną wartością przyszłą kapitału. Ze wzoru Fishera i powyższego otrzymujemy następującą relację pomiędzy tymi wartościami 94) F re = F nom 1 + i inf. 2 F. S. Mishkin przekład A. Mincewicz) Ekonomika pieniądza bankowości i rynków finansowych PWN 2002. 35