Wykład 6 Teoria eksperymentu Wrocław, 11.04.2018r
Kwadrat łaciński Uszeregowanie N = p 2 elementów, które podlegają klasyfikacji podwójnej ze względu na p - bloków I rodzaju (wierszy) i p bloków II rodzaju (kolumn). Każdy z p obiektów eksperymentalnych występuje dokładnie p razy. Przykłady kwadratów łacińskich 3x3 4x4 6x6 CAB ABCD ADCEBF BCA BCAD BAECFD ABC CDBA CEDFAB DACB DCFBEA FBADCE EFBADC
Kwadrat łaciński Standardowy kwadrat łaciński Liczba wszystkich możliwych to p!(p 1)! ilość standardowych standardowe wszystkie 3x3 1 12 4x4 4 576 5x5 56 161280 6x6 9408 818851200 7x7 16942880 61479419904000
Model matematyczny y ijk = µ + α i + τ j + β k + ɛ ijk α i - efekt i-tego wiersza, i = 1,..., p τ j - efekt j-tego obiektu, j = 1,..., p β k - efekt k-tej kolumny, k = 1,..., p Założenia: ɛ ijk N(0, σ 2 ) i α i = j τ j = k β k = 0 H 0 : µ 1.. = µ 2.. = = µ p.. H 1 : µ s.. µ t.. dla przynajmniej jednej pary s, t
Przebieg analizy źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F obiekty A = p y 2.j. y... 2 p 1 j=1 p N A p 1 MS A MS E wiersze kolumny R = p y 2 i.. y... 2 p 1 i=1 p N C = p y 2..k y... 2 p 1 k=1 p N R p 1 C p 1 błąd E = T A R C (p 2)(p 1) całkowita T = i j k y ijk 2 y.. 2 p 2 1 N F 0 = MS A MS E F (p 1, (p 2)(p 1)) E (p 2)(p 1)
Estymacja brakującej danej: x = ŷ ijk = p(y i.. + y.j. + y..k ) 2y... (p 2)(p 1) W analizie wariancji liczbę stopn swobody dla całości i dla błędu zmniejsza się o 1. Przy analizie wartość T wyliczoną bazując na oszacowanej wartosci y ijk zmniejsza się o: H = [ ] 2 y... y i.. y..k (p 1)y.j. (p 1) 2 (p 2) 2
Cechy charakterystyczne kwadratu łacińskiego 1 Możliwość porównywania obiektów eksperymentalnych przez eliminację zmienności wierszowej i kolumnowej 2 Mała ilość jednostek eksperymentalnych przy jednoczesnym badaniu zróżnicowania między efektami trzech klasyfikacji 3 Prosta analiza statystyczna oparta na analizie wariancji 4 W przypadku niektórych wyników nie ma zbyt wiele trudności Wady: 1 Musi zachodzić: ilość obiektów = ilość kolumn = ilość wierszy (nie używa się kwadratów większych niż 12x12 2 Wymaganie braku interakcji 3 Przy braku efektu wierszy i kolumn metoda mniej skuteczna niż metoda losowych bloków
Przykład 6.1 Eksperymentator jest zainteresowany zbadaniem wpływu pięciu różnych preparatów, wchodzących w skład mieszanki wybuchowej stosowanej do produkcji dynamitu, na siłę eksplozji. Każdy preparat miesza się z odpowiednią partią surowca (która starcza tylko na 5 preparatów do badań). Ponadto preparaty wytwarzane sa prze 5 różnych chemików różniących się umiejętnościami i doświadczeniem. Tak więc mamy dwie niedogodności takie jak partia surowca i chemicy. Badanie polega na testowaniu dokładnie raz każdego preparatu w reakcji z każdą z partii surowca i dokładnie raz przez każdego z chemików. Zakładamy ortogonalności partii i chemików do preparatów.
Przykład 6.1 - c.d. partia chemik surowca 1 2 3 4 5 1 A = 24 B = 20 C = 19 D = 24 E = 24 2 B = 17 C = 24 D = 30 E = 27 A = 36 3 C = 18 D = 38 E = 26 A = 27 B = 21 4 D = 26 E = 31 A = 26 B = 23 C = 22 5 E = 22 A = 30 B = 20 C = 29 D = 31
Przykład 6.1 - c.d. Zmieniamy poprzez odjęcie 25 1 2 3 4 5 y i.. 1 A = 1 B = 5 C = 6 D = 1 E = 1 14 2 B = 8 C = 1 D = 5 E = 2 A = 11 9 3 C = 7 D = 13 E = 1 A = 2 B = 4 5 4 D = 1 E = 6 A = 1 B = 2 C = 3 3 5 E = 3 A = 5 B = 5 C = 4 D = 6 7 y..k 18 18 4 5 9 y... = 10 litera łacińska suma A y.1. = 18 B y.2. = 24 C y.3. = 13 D y.4. = 24 E y.5. = 5
Przykład 6.1 - c.d. T = p R = p i=1 C = p A = p j=1 E = 128 p p i j k y ijk 2... 2 N = 676 yi.. 2 p y... 2 N = 68 y..k 2 k=1 p y... 2 N = 150 y 2.j. p y 2... N = 330
Przykład 6.1 - c.d. źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F preparat A = 330 4 82.5 7.73 partia surowca R = 68 4 17 chemik C = 150 4 37.5 błąd E = 128 12 10.67 całkowita T = 676 24 F 0.95(4, 12) = 5.91 < 7.73 = F 0 Zatem jest znacząca różnica w średniej sile wybuchu wywołanej różnymi składnikami dynamitu
Przykład 6.2 Estymacja brakującej obserwacji: Załóżmy, że brakuje y 314 y y y i.. = 3 y... = 8.j. = 16..k = 3 x = 5 (3 + 16 + 3) 2 8 4 3 = 5 22 2 8 12 = 7.83
Replikacje kwadratu łacińskiego Wada kwadratu łacińskiego - względnie mała liczba stopni swobody dla błędu. (dla 3x3 ν E = 2, dla 4x4 ν E = 6 Używając małych kwadratów łacińskich często stosuje się replikacje w celu podniesienia liczby stopni swobody dla błędu. Dla przykładu z preparatami, partiami surowca i chemikami można replikować doświadczenia następująco: 1 Użyć tych samych partii surowca i chemików 2 Użyć tych samych partii surowca i różnych chemików przy każdej replikacji (lub różnych partii surowca i tych samych chemików) 3 Użyć różnych partii surowca i różnych chemików Analiza wariancji zależy od metody replikacji.
Replikacje kwadratu łacińskiego 1. Te same poziomy dla wierszy i kolumn. y ijk, i - wiersze, j - obiekty, k -kolumny, l - replikacje; N = p 2 n źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F p y 2.j.. obiekty A = y2... p 1 A MS A j=1 np N p 1 MS E p y 2 wiersze R = i... y2... p 1 R i=1 np N p 1 p y 2 kolumny C =..k. y2... p 1 C k=1 np N p 1 n y 2 replikacje rep =...l l=1 p 2 y2... rep n 1 N n 1 błąd dopełnienie (p 1)[n(p + 1) 3] E (p 1)[n(p+1) 3] całkowita T = i j k l y 2 y2.. np 2 1 ijkl N
Replikacje kwadratu łacińskiego 2.Różne wiersze te same kolumny źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F p y 2.j.. obiekty A = y2... p 1 A MS A j=1 np N p 1 MS E p y 2 wiersze R = i..l y2... i=1 p p 2 n(p 1) R n(p 1) p y 2 kolumny C =..k. y2... p 1 C k=1 np N p 1 n y 2 replikacje rep =...l l=1 p 2 y2... rep n 1 N n 1 błąd dopełnienie (p 1)(np 1) E (p 1)(np 1) całkowita T = i j k l y 2 y2.. np 2 1 ijkl N
Replikacje kwadratu łacińskiego 3. Nowe wiersze i nowe kolumny źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F p y 2.j.. obiekty A = y2... p 1 A MS A j=1 np N p 1 MS E p y 2 wiersze R = i..l y2... i=1 p p 2 n(p 1) R n(p 1) p y 2 kolumny C =..kl y2... k=1 p p 2 n(p 1) C n(p 1) n y 2 replikacje rep =...l l=1 p 2 y2... rep n 1 N n 1 błąd dopełnienie (p 1)[n(p 1) 1] E (p 1)[n(p 1) 1] całkowita T = i j k l y 2 y2.. np 2 1 ijkl N
Kwadrat grecko - łaciński Rozważamy dwa kwadraty łacińskie pxp (w jednym obiekty oznaczamy literami łacińskimi w drugim geckimi). Każda litera grecka i łacińska mogą wystąpić dokładnie raz w każdym wierszu i każdej kolumnie. Jeżeli po nałożeniu dwóch kwadratów (greckiego i łacińskiego) na siebie każda litera łacińska występuje raz i tylko raz z każdą literą grecką, to kwadraty są wzajemnie ortogonalne.
Kwadrat grecko - łaciński Model matematyczny y ijkl = µ + α i + τ j + ω k + ψ l + ɛ ijkl α i - efekt i-tego wiersza, i = 1,..., p τ j - efekt j-tej litery łacińskiej, j = 1,..., p ω k - efekt k-tej litery greckiej, k = 1,..., p ψ l - efekt l-tej kolumny, l = 1,..., p ɛ ijkl N(0, σ 2 )
Przebieg analizy - kwadrat grecko łaciński źródło suma stopnie zmienności kwadratów swobody litera łacińska L = p y 2.j.. y... 2 j=1 p N p 1 litera grecka wiersze kolumny G = p y 2..k. y... 2 p 1 k=1 p N R = p y 2 i... y... 2 p 1 i=1 p N C = p y 2...l y... 2 p 1 k=1 p N błąd E = T L G R C (p 3)(p 1) całkowita T = i j k l y ijkl 2 y... 2 p 2 1 N
Przykład 6.1 - c.d. W przykładzie z dynamitem dokładamy jeszcze jeden czynnik, który może być istotny, zestaw badawczy. Doświadczenie wykonujemy wg. układu 1 2 3 4 5 y i... 1 Aα = 1 Bγ = 5 Cɛ = 6 Dβ = 1 Eδ = 1 14 2 Bβ = 8 Cδ = 1 Dα = 5 Eγ = 2 Aɛ = 11 9 3 Cγ = 7 Dɛ = 13 Eβ = 1 Aδ = 2 Bα = 4 5 4 Dδ = 1 Eα = 6 Aγ = 1 Bɛ = 2 Cβ = 3 3 5 Eɛ = 3 Aβ = 5 Bδ = 5 Cα = 4 Dγ = 6 7 y...l 18 18 4 5 9 y... = 10
Przykład 6.1 - c.d. źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F preparat L = 330 4 82.5 10 partia surowca R = 68 4 17 chemik C = 150 4 37.5 zestaw badawczy G = 62 4 15.5 błąd E = 66 8 8.25 całkowita T = 676 24 F 0.95(4, 8) = 6.04 < 10 = F 0 Zatem jest znacząca różnica w średniej sile wybuchu wywołanej różnymi składnikami dynamitu
Polecane literatura: S. Czaja, T. Poskrobko et.al Wyzwania współczesnej ekonomii, 2012, Warszawa D.C. Montgomery Design and Analysis of Experiments, 1991 P.I. Good, Resampling Methods. A Practical Guide to Data Analysis, 2005 E.L. Lehmann,Teoria estymacji punktowej, PWN Warszawa 1991