Statystyka - 1. rok Zarz dzanie i In»ynieria Produkcji, niestacjonarne 1. stopie«przykªadowe zadania na kolokwium nr 1 1.Kombinatoryka Denicja 1 ˆ Permutacje P n - n-elementów, wszystkie elementy wybrane, bez zwracania, kolejno± jest istotna P n = n!, ˆ Permutacje z powtórzeniami P n - n-elementów, wszystkie wybrane (m z nich powtarza si k 1, k 2,..., k m razy),bez zwracania, kolejno± jest istotna P n = n! k 1!k 2!...k m!, ˆ Wariacje k-elementowe ze zbioru n-elementowego Vn k - spo±ród n elementów wybieramy k z nich bez zwracania, kolejno± jest istotna Vn k = n! (n k)!, ˆ Wariacje z powtórzeniami k-elementowe ze zbioru n-elementowego Vn k - spo±ród n elementów wybieramy k z nich ze zwracaniem, kolejno± jest istotna Vn k = n k, ˆ Kombinacje k-elementowe ze zbioru n-elementowego C k n - spo±ród n elementów wybieramy k z nich bez zwracania, kolejno± nie jest istotna C k n = ( n k ) = n! k!(n k)!, ˆ Kombinacje z powtórzeniami k-elementowe ze zbioru n-elementowego Cn k - k nierozró»nialnym elementom przyporz dkowujemy n elementów rozró»nialnych (ze zwracaniem), kolejno± nie jest istotna Cn k = ( n+k 1 ) = C k k n+k 1 Zadanie 1. Ile jest wszystkich liczb sze±ciocyfrowych o ró»nych cyfrach, utworzonych z cyfr: 1) 1,2,3,4,5,6 2) 0,1,2,3,4,5 Zadanie 2. W biegu wystartowaªo 5 biegaczy. Ile jest mo»liwych rezultatów tego biegu? Zadanie 3. W biegu wystartowaªo 5 biegaczy. Jeden z nich (biegacz A) nie uko«czyª biegu. Ile jest mo»liwych rezultatów tego biegu? Zadanie 4. Pi ciu biegaczy wylosowaªo przed biegiem 5 numerów. Ile jest mo»liwych rezultatów tego biegu uwzgl dniaj c nazwisko biegacza i numer biegu? Zadanie 5. Na ile sposobów mo»na ustawi 5 osób w rz d? Na ile sposobów mo»na ustawi 5 osób w koªo? Zadanie 6. Pi osób, w±ród których s skªócone ze sob panie A i B, zkupiªo bilety do kina na pi kolejnych miejsc w jednym rz dzie. Na ile sposobów mog usi ±, tak aby 1) panie A i B nie siedziaªy obok siebie 2) pomi dzy paniami A i B siedziaªa tylko jedna osoba.
Zadanie 7. Ile ró»nych sªów (istniej cych w j zyku polskim lub nie) mo»na uªo»y ze wszystkich liter: 1) sªowa ±tatystyka" 2) sªowa "matematyka" 3) liter a,a,k,r,t Zadanie 8. Ile mo»na utworzy : 1) Liczb 4-cyfrowych z cyfr 1,1,2,3 2) Pi ciocyfrowych liczb parzystych z cyfr 1,1,2,3,4 3) Pi ciocyfrowych liczb wi kszych od 60000 z cyfr 5,5,6,7,8 4) Sze±ciocyfrowych liczb z cyfr 1,1,2,2,3,3 przy zaªo»eniu,»e cyfry 2,2 stoj obok siebie Zadanie 9. W urnie znajduje si n kul ponumerowanych i m kul bez numerów. Kule wyjmujemy z urny jedn po drugiej i ukªadamy w rz d. Ile jest ró»nych rezultatów losowania zakªadaj c,»e kule nienumerowane s nierozró»nialne? Zadanie 10. Na 4 ró»ne posady zgªosiªo si 20 kandydatów. posady? Iloma sposobami mo»na obsadzi te Zadanie 11. Ile ró»nych sªów pi cioliterowych mo»na utworzy z 24 liter przy zaªo»eniu,»e ka»da litera mo»e wyst powa w sªowie tylko jeden raz? Zadanie 12. Ile ró»nych sªów pi cioliterowych mo»na utworzy z 24 liter przy zaªo»eniu,»e litery wyst puj ce w ka»dym sªowie s w alfabecie obok siebie? Zadanie 13. Ile jest liczb czterocyfrowych w których»adna cyfra si nie powtarza? Zadanie 14. Niech b dzie dany zbiór A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ile liczb dwucyfrowych mo»na utworzy z cyfr zbioru A, je±li zakªadamy,»e 1) cyfry nie mog si powtarza 2) cyfry mog si powtarza Zadanie 15. W pewnym pa«stwie tablice rejestracyjne skªadaj si z 3 liter i 4 cyfr. Ile mo»na utworzy ró»nych tablic rejestracyjnych w tym pa«stwie? Zadanie 16. Ile istnieje liczb 3-cyfrowych? Zadanie 17. Ile liczb m-cyfrowych mo»na utworzy z n cyfr 1) z zerem 2) bez zera Zadanie 18. Ile sªów mo»na utworzy z 18 spóªgªosek i 6 samogªosek, je»eli ka»de sªowo skªada si z 2 samogªosek i 3 spóªgªosek i samogªoski zajmuj drugie i czwarte miejsca. Zadanie 19. Iloma sposobami mo»na rozdzieli 5 biletów pomi dzy 8 osób. Zadanie 20. Iloma sposobami mo»na wybra 3-osobow komisj spo±ród 10 osób?
Zadanie 21. Ile ró»nych prostych mo»na poprowadzi przez 20 punktów, je±li dowolne 3 z nich nie s wspóªliniowe? Zadanie 22. Z talii 52 kart losujemy 5. Na ile sposobów mo»emy wylosowa te karty, tak aby w±ród nich byªy 2 asy i jeden król? Zadanie 23. Iloma sposobami mo»na spo±ród 18 osób utworzy 3 dru»yny 6-osobowe? Zadanie 24. Iloma sposobami mo»na 30 kul umie±ci w 4 urnach tak, aby w pierwszej urnie znalazªo si 15 kul, w drugiej 10, w trzeciej 3, a w czwartej 2 kule? Zadanie 25. Mamy 4 rodzaje owoców: jabªka, gruszki, morele i pomara«cze. Tworzymy paczki po pi owoców w ka»dej. Ile mo»na w ten sposób otrzyma ró»nych paczek? Zadanie 26. Na ile sposobów mo»na rozda 5 p czków 4 osobom? P czki s nierozró»nialne. Mo»e si zdarzy,»e kto± nie dostanie p czka. Zadanie 27. W kwiaciarni s 3 gatunki kwiatów. Ile ró»nych bukietów mo»na utworzy z 10 kwiatów? 2.Klasyczna denicja prawdopodobie«stwa, prawdopodobie«stwo warunkowe, caªkowite i wzór Bayesa Denicja 1 Klasyczna denicja prawdopodobie«stwa Je±li spo±ród n wszystkich zdarze«elementarnych, m zdarze«elementarnych sprzyja zaj±ciu zdarzenia A, to prawdopodobie«stwem zaj±cia zdarzenia A, P (A) jest liczba P (A) = m. n Denicja 2 Geometryczna denicja prawdopodobie«stwa Je±li przestrze«zdarze«elementarnych, oraz zbiór A dadz si przedstawi jako zbiór mierzalny, to prawdopodobie±twem zdarzenia losowego A nazywamy liczb P (A) µ(a) µ(ω). Denicja 3 Prawdopodobie«stwo warunkowe Je±li B jest zdarzeniem takim,»e P (B) > 0, to prawdopodobie«stwo warunkowe zaj±cia zdarzenia A, pod warunkiem zaj±cia zdarzenia B nazywamy liczb P (A B) = P (A B) P (B). Denicja 4 Ci g H 1, H 2,..., H n zdarze«losowych tworzy ukªad zupeªny, je±li: 1) H i H j = 2) n i=1 H i = Ω
3) P (H i ) > 0 Denicja 5 Prawdopodobie«stwo caªkowite Je±li H i, i = 1, 2,..., n jest ukªadem zupeªnym zdarze«i zdarzenie A mo»e zaj± z jednym ze zdarze«h i, to P (A) = n i=1 P (A H i)p (H i ). Denicja 6 Wzór Bayesa Je±li H i jest ukªadem zupeªnym zdarze«i zdarzenie A mo»e zaj± z jednym ze zdarze«h i, to: P (A H i )P (H i ) P (H i A) = n j=1 P (A H j)p (H j ). Zadanie 28. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w rzucie dwiema sze±ciennymi kostkami do gry otrzymamy sum oczek równ 8? Zadanie 29. Spo±ród liczb 1, 2,..., 9 losujemy bez zwracania trzy liczby. Tworzymy z nich liczb trzycyfrow, w której cyframi setek, dziesi tek i jedno±ci s odpowiednio: pierwsza, druga i trzecia z wylosowanych liczb. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e otrzymana liczba jest nieparzysta. Zadanie 30. W urnie jest 5 kul biaªych i 4 czarne. Z urny wybieramy losowo 3 kule. Jakie jest prawdopodobie«stwo: 1) otrzymania 3 kul biaªych, 2) otrzymania 3 kul czarnych, 3) otrzymania 2 kul biaªych i 1 czarnej, 4) otrzymania co najmniej 1 kuli biaªej Zadanie 31. W urnie znajduje si n kul w tym 6 czerwonych. Wybieramy losowo 2 kule. Dla jakich liczb n prawdopodobie«stwo tego,»e obie wylosowane kule b d czerwone jest wi ksze od 1/3? Zadanie 32. W skrzynce znajduje si 50»arówek w tym 3 wadliwe. Wybrano 7»arówek. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e: 1) Wszystkie s dobre 2) Dokªadnie jedna jest wadliwa Zadanie 33. Rzucamy 10 razy symetryczn monet. Jakie jest prawdopodobie«stwo zdarzenia,»e co najmniej raz wypadnie orzeª?
Zadanie 34. Rzucamy 3 kostkami. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e przynajmniej na jednej wypadªa jedynka, je»eli na ka»dej kostce wypadªa inna liczba oczek? Zadanie 35. Linia telefoniczna zerwaªa si na odcinku Puªawy-Lublin (odlegªo± 50km). Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e zerwanie nast piªo nie dalej ni» 10km od jednego z miast. Zadanie 36. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e otrzymamy sum oczek wi ksz od 7, je±li wiadomo,»e tylko na jednej kostce wypadªa liczba oczek równa 4. Zadanie 37. Rzucamy kostk 2 razy. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w pierwszym rzucie wyrzucono trzy oczka, je±li wiadomo,»e w obu rzutach liczba wyrzuconych oczek jest liczb pierwsz. Zadanie 38. Losujemy jedn rodzin spo±ród rodzin z dwojgiem dzieci. Obliczy prawdopodobie«stwo zdarzenia,»e wybierzemy rodzin z dwoma chªopcami, je»eli wiemy,»e w tej rodzinie: 1) Starsze dziecko jest chªopcem 2) Jest co najmniej jeden chªopiec Zadanie 39. Losujemy jedn rodzin spo±ród rodzin z trójk dzieci. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e najmªodszym dzieckiem jest dziewczynka, je±li wiemy,»e najstarszy jest syn. Zadanie 40. Kto± rzuciª 3 razy monet i poinformaowaª nas,»e wypadªa nieparzysta liczba orªów. Jaka jest szansa,»e wypadªy 3 orªy. Zadanie 41. W dwóch urnach I i II znajduj si kule: w I urnie - 6 czarnych i 9 biaªych, w II - 5 czarnych i 15 biaªych. 1) Losujemy jedn kul z urny I i jedn z urny II. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e b d to kule tego samego koloru? 2) Losujemy jedn kul z urny I i dwie (bez zwracania) z urny II. Jakie jest prawdopodobie«stwo otrzymania 1 biaªej i 2 czarnych kul? 3) Losujemy 2 kule z urny I i bez ogl dania wrzucamy do urny II. Jakie jest prawdopodobie«stwo wyci gni cia kuli biaªej z urny II? Zadanie 42. Strzelec A traa do tarczy z prawdopodobie«stwem 8, a strzelec B 9. S dzia rzuca 2 10 10 razy monet i je»eli wypadnie co najmniej 1 orzeª, to strzela strzelec A, w przeciwnym razie strzela strzelec B. Jakie jest prawdopodobie«stwo traenia do tarczy? Zadanie 43. W zbiorze 65 monet jedna jest z dwoma orªami. Na losowo wybranej monecie wypaª orzeª 6 razy pod rz d. Jaka jest szansa,»e byªa to moneta z dwoma orªami?
Zadanie 44. W szuadzie byªo 6 nowych i 4 u»ywane piªki do gry w tenisa. Do pierwszej gry wzi to losowo z tej szuady 2 piªki i po grze wªo»ono je z powrotem do szuady. Do drugiej gry wzi to losowo z tej szuady 3 piªki. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wszystkie piªki wzi te do drugiej gry byªy nowe? Zadanie 45. W magazynie znajduj si»arówki wyprodukowane przez dwa zakªady Z 1 i Z 2. arówki wyprodukowane przez Z 1 stanowi 30% zawarto±ci magazynu, a przez Z 2-70%. Wiadomo,»e w»arówkach produkowanych przez Z 1 jest 2% wadliwych, a w»arówkach produkowanych przez Z 2-0, 5% wadliwych. Wybrano losowo jedn»arówk z magazynu. 1) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e jest ona wadliwa? 2) Okazaªo si,»e jest ona wadliwa. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wyprodukowano j w Z 1? Zadanie 46. Obok pewnej stacji benzynowej ±rednio przeje»d»a trzy razy wi cej samochodów ci»arowych ni» osobowych. Prawdopodobie«stwo,»e przeje»d»aj cy obok samochód b dzie tankowaª jest równe 1, dal samochodów osobowych i 3 dla ci»arowych. 100 100 1) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e nadje»d»aj cy samochód b dzie tankowaª? 2) Przeje»d»aj cy samochód zatankowaª. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e byª to samochód osobowy? Zadanie 47. Do hurtowni papieru dostarcza si towar z trzech fabryk F 1, F 2 i F 3 w proporcjach 4 : 3 : 2. Liczba wadliwych, dostarczanych z tych fabryk wyra»a si stosunkiem 2 : 3 : 4. 1) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany towar pochodzi z fabryki F i, i = 1, 2, 3? 2) Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany towar b dzie wadliwy? 3) Losowo wybrany papier okazaª si wadliwy. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e pochodzi on z fabryki F i, i = 1, 2, 3? Zadanie 48. Trzech my±liwych udaªo si na polowanie. Prawdopodobie«stwo traenia dzika przez 1. wynosi 0,9, 2. - 0,8, 3. - 0,3. Wszyscy strzelili do dzika, którego traªa tylko jedna kula. Jak podzieli mi so? 3.Zmienna losowa typu skokowego. Schemat Bernoulliego Denicja 1 1) Dystrybuanta F (x) = P (X < x) = i:x i <t P (X < x i) 2) Warto± oczekiwana EX = n i=1 x ip (X = x i ) 3) Wariancja D 2 X = σ 2 X = n i=1 (x i EX) 2 p i 4) Odchylenie standardowe DX
5) Moda M O = x i : p i = max jp j 6) Kwantyl rz du p x : P (X x) p P (X x) 1 p 7) Mediana - kwantyl rz du 1 2 8) Moment rz du k EX k = n i=1 xk i P (X = x i ) 9) Moment centralny rz du k E(X EX) k = n i=1 (x i EX) k P (X = x i ) Denicja 2 Skokowe rozkªady prawdopodobie«stwa: 1) Dwupunktowy P (X = x 1 ) = p, P (X = x 2 ) = q = 1 p 2) Bernoulliego P (X = k) = ( n k )pk q n k 3) Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w Schemacie Bernoulliego: (n + 1)p 1 k (n + 1)p 4) Poissona P (X = k) = λk k! e λ Zadanie 49. Zorganizowano nast puj c gr : gracz wyci ga z talii 52 kart dwie karty (bez zwracania). Je»eli s to dwa asy, to gracz otrzymuje 20 punktów; je»eli dwie gury (król, dama, walet), to gracz otrzymuje 10 punktów; w ka»dym innym przypadku gracz traci 2 punkty. Znale¹ rozkªad zmiennej losowej X oznaczaj cej wygran gracza. Wyznaczy i narysowa dystrybuant zmiennej losowej X. Zadanie 50. Zmienna losowa X ma rozkªad: x i 2 1 0 2 3 p i 0, 1 0, 2 0, 1 a 0, 3 1) Wyznaczy a tak, aby tabelka przedstawiaªa rozkªad prawdopodobie«stwa. 2) Narysowa wykres prawdopodobie«stwa 3) Wyznaczy dystrybuant zmiennej losowej X i narysowa jej wykres 4) Oblicz prawdopodobie«stwa: P (X < 1), P ( 1 X < 2, 5), P (X = 3) na dwa sposoby tzn. na podstawie funkcji prawdopodobie«stwa i dystrybuanty (oraz zaznaczy na wykresie dystrybuanty). 5) Obliczy warto± oczekiwan, wariancj, odchylenie standardowe, mod i median Zadanie 51. W pewnym mie±cie wylosowoano 160 sklepów i otrzymano nast puj ce wyniki dotycz ce liczby sprzedawców: liczba sprzedawców 1 2 3 4 5 liczba sklepów 30 66 34 20 10 Na podstawie tych informacji: 1) Znale¹ rozkªad prawdopodobie«stwa liczby sprzedawców w sklepie 2) Obliczy EX, DX, M O, M e i poda ich interpretacj
3) Obliczy prawdopodobie«stwo,»e zmienna losowa X przyjmuje warto± nie mniejsz ni» 3. Zadanie 52. Rozkªad prawdopodobie«stwa ocen z egzaminu ze statystyki jest nast puj cy: x i 2 3 4 5 p i a 0, 4 0, 2 b 1) Wiadomo,»e warto± oczekiwana tak okre±lonej zmiennej losowej wynosi 2, 95. Obliczy P (X = 2) oraz P (X = 5). 2) Wyznaczy dystrybuant zmiennej losowej X (i narysowa jej wykres). 3) Obliczy ilu studentów spo±ród 200 zdaj cych otrzyma z egzaminu ocen co najmniej 4. Zadanie 53. Zmienna losowa X przyjmuje warto±ci równe liczbom naturalnym k z prawdopodobie«- stwami P (X = k) = c 3 k. Wyznacz staª c oraz oblicz P (X 4) Zadanie 54. Niezale»ne zmienne losowe ξ i η maj nast puj ce rozkªady ξ 1 1 P ξ 0, 5 0, 5, η 0 1 P η 0, 5 0, 5 Znale¹ rozkªady zmiennych losowych 1) ζ = ξ + 1 2) δ = η 2 3) γ = ζ + η Obliczy ich warto±ci oczekiwane i wariancje Zadanie 55. Rzucamy 4 razy kostk do gry. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e wyrzucimy 6 oczek 1) dokªadnie 2 razy 2) co najmniej 2 razy Zadanie 56. W pewnej miejscowo±ci rodzi si ±rednio 520 chªopców i 480 dziewczynek na 1000 niemowl t. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w rodzinie z pi ciorgiem dzieci: 1) liczba dziewcz t jest wi ksza ni» liczba chªopców? 2) wszystkie dzieci s tej samej pªci? Zadanie 57. Mirek traa do kosza z prawdopodobie«stwem 0, 8. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e Mirek rzucaj c do kosza 10 razy tra 1) dokªadnie 8 razy? 2) co najmniej 1 raz? Zadanie 58. Wykonujemy n rzutów kostk. Dla jakiej warto±ci n prawdopodobie«stwo zdarzenia polegaj cego na wyrzuceniu co najmniej jednej szóstki jest wi ksze od 11 36?
Zadanie 59. Rzucamy n razy kostk. Wyznacz najbardziej prawdopodobn liczb rzutów, w których wypadnie '5' oczek, przyjmuj c: 1) n = 11 2) n = 20 3) n = 78 4) n = 83 Zadanie 60. Z talii 52 kart losujemy pi razy po jednej karcie zwracaj c za ka»dym razem kart. W tych pi ciu losowaniach, jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba: 1) asów 2) kart czerwonych 3) gur (król, dama, walet) Zadanie 61. W bibliotece znajduj si ksi»ki z zakresu techniki i matematyki. Dowolny czytelnik wybiera ksi»k matematyczn z przewdopodobie«stwem 0, 7, a ksi»k techniczn z prawdopodobie«stwem 0, 3. Zakªadaj c,»e ka»dy czytelnik wybiera tylko po jednej ksi»ce, obliczy prawdopodobie«stwo,»e pi ciu kolejnych czytelników wybierze ksi»ki z tej samej dziedziny. Zadanie 62. Co jest bardziej prawdopodobne przy grze z przeciwnikiem r wnej klasy z wykluczeniem remisów: 1) Wygranie 3 z 4 partii, czy wygranie 5 z 8? 2) Wygranie nie mniej ni» 3 z 4 partii, czy wygranie nie mniej ni» 5 z 8? Zadanie 63. Z bie» cej produkcji pobrano w sposób przypadkowy n = 5 sztuk towaru. Niech X oznacza liczb sztuk wadliwych w±ród pobranych. Znale¹ rozkªad zmiennej losowej X, je±li wiadomo,»e wadliwo± w = 0, 1. Zadanie 64. Fabryka wysªaªa do sklepu 15 lodówek. Prawdopodobie«stwo uszkodzenia lodówki w czasie transportu wynosi 0,1. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e sklep otrzyma co najwy»ej 2 lodówki uszkodzone? Zadanie 65. Wiadomo,»e 1% wyprodukowanych»arówek jest wybrakowanych. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e w±ród 100 wyprodukowanych»arówek 3 b d wybrakowane? Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba»arówek wybrakowanych w±ród wyprodukowanych 100»arówek? 4.Zmienna losowa c gªa. Rozkªad normalny
Denicja 1 1) Dystrybuanta F (x) = P (X < x) = x f(x)dx 2) Warto± oczekiwana EX = xf(x)dx 3) Wariancja D 2 X = σ 2 X = (x EX)2 f(x)dx 4) Odchylenie standardowe DX 5) Moda - maksimum globalne f(x) 6) Kwantyl rz du p x : P (X x) p P (X x) 1 p, (F (x) = p) 7) Mediana - kwantyl rz du 1 2 8) Moment rz du k EX k = xk f(x)dx 9) Moment centralny rz du k E(X EX) k = (x EX)k f(x)dx Denicja 2 Ci gªe rozkªady prawdopodobie«stwa: 1) Jednostajny f(x) = { 1 b a x [a, b] 0 x [a, b] 0 x a x a, F (x) = a < x b b a 1 x > b 2) Rozkªad wykªadniczy z parametrem α > 0: f(x) = { 0 x < 0 αe αx x 0, F (x) = { 0 x < 0 1 e αx x 0 3) Normalny N(µ, σ): f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 F (x) = 1 σ 2π e (x µ)2 2σ 2 Zadanie 66. Niech zmienna losowa X ma rozkªad N( 3, 2). Obliczy prawdopodobie«stwa P (X < 2, 5), 2 P (X > 0, 5), P (0, 5 < X < 2), P (0 < X < 1), P (X > 0, 5). Zadanie 67. Automat produkuje cz ±ci, których dªugo± jest zmienn losow o rozkªadzie N(2; 0, 2) (w cm). Wyznaczy prawdopodobie«stwo otrzymania braku, je±li dopuszczalne dªugo±ci cz ±ci powinny zawiera si w przedziale (1, 7; 2, 3). Zadanie 68. Waga m»czyzn ma rozkªad normalny z parametrami µ = 72 kg i σ = 8, 1 kg. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany m»czyzna b dzie miaª wag :
1) Powy»ej 80 kg 2) Od 68 do 74 kg. Zadanie 69. Wytrzymaªo± pewnego materiaªu budowlanego (w N/cm 2 ) jest zmienn losow o rozkªadzie N(20,8; 0,4). Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wytrzymaªo± próbki tego materiaªu przekroczy 21,5? Zadanie 70. Czas (w sekundach) oczekiwania na poª czenie telefoniczne z pewnym biurem, jest zmienn losow o rozkªadzie N(39; 8). Oblicz prawdopodobie«stwo,»e czas oczekiwania na poª - czenie: 1) Przekroczy 60 sekund 2) Jest wi kszy od 36 i mniejszy od 44 sekund.