1 Równania nieliniowe

Podobne dokumenty
Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Metody numeryczne Wykład 7

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych

Metody rozwiązywania równań nieliniowych

Rozwiązywanie równań nieliniowych

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Zagadnienia - równania nieliniowe

Iteracyjne rozwiązywanie równań

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Elementy metod numerycznych

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Laboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych

Metody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych.

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Metody numeryczne w przykładach

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji

Metody Numeryczne. Wojciech Szewczuk

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku

INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Optymalizacja ciągła

Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Bardzo łatwa lista powtórkowa

Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy. Wykład 5. Karol Tarnowski A-1 p.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

11. Pochodna funkcji

Analiza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Metody Numeryczne Optymalizacja. Wojciech Szewczuk

Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

Granica funkcji wykład 4

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która

22 Pochodna funkcji definicja

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Równania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A

WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra

Lab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur.

Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra

SPIS TREŚCI WSTĘP LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

KADD Minimalizacja funkcji

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Transkrypt:

1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany), przestępnych (funkcje trygonometryczne), które przybierają postać: f(x) = 0 lub g(x) = h(x). (1) Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania (1) nazywamy każdą liczbę x = x, która spełnia to równanie. Równanie nieliniowe charakteryzuje się tym, że może nie mieć żadnego rozwiązania lub też może mieć wiele rozwiązań. Dlatego nie można sformułować ogólnych reguł postępowania prowadzących do obliczenia jakiegokolwiek pierwiastka. 1.2 Warunki numerycznego rozwiązywania równań nieliniowych Do obliczeń numerycznych można przystąpić dopiero wtedy gdy wiemy, że poszukiwane rozwiązanie istnieje. Przy omawianiu algorytmów obliczania rozwiązań równań nieliniowych zakładamy, że równanie ma tylko pierwiastki odosobnione, tj. dla każdego pierwiastka równania istnieje otoczenie [a, b], które nie zawiera innych pierwiastków tego równania. Równania nieliniowe rozwiązywać będziemy metodami iteracyjnymi, które wymagają: 1. dokonania właściwego wyboru punktu startowego, 2. wybrania odpowiedniego algorytmu iteracyjnego zapewniającego zbieżność procesu obliczeniowego, 3. określenia kryterium stopu wynikającego z wymaganej dokładności obliczeń. Punkt startowy musi być położony dostatecznie blisko poszukiwanego rozwiązania i znajdować się w przedziale izolacji tego pierwiastka. Zakładamy, że poszukiwany pierwiastek istnieje, i że znany jest jego przedział izolacji. 1.3 Etapy numerycznego rozwiązywania równań nieliniowych Obliczanie przybliżone pierwiastków odosobnionych, rzeczywistych równania f(x) = 0 dzieli się na dwa etapy:

1. lokalizacja pierwiastków, a więc ustalenie możliwie małych przedziałów [a, b], tzw. przedziałów izolacji, które zawierają jeden i tylko jeden pierwiastek; 2. uściślenie pierwiastków przybliżonych, tj. określenie tych pierwiastków z żądaną dokładnością. Każdy algorytm iteracyjnego obliczania pierwiastka generuje pewien ciąg punktów x (k), k = 1, 2,..., charakteryzujący się tym, że odległości kolejnych punktów tego ciągu maleją, tzn. ɛ k = x (k+1) x (k) k 0, (2) O metodzie iteracyjnej mówimy, że jest szybkozbieżna i wtedy, gdy odległości ɛ k kolejnych punktów szybko maleją. W przeciwnym razie mówimy, że metoda jest wolnozbieżną. 1.4 Kryterium stopu procesu iteracyjnego Proces iteracyjny nie może trwać w nieskończoność, dlatego należy sformułować warunek stopu, który powinien polegać na spełnieniu dwóch nierówności ɛ k < ɛ x oraz f(x) (k) < ɛ f. (3) gdzie: ɛ x, ɛ f są małymi liczbami określającymi dokładność obliczeń. 1.5 Metoda połowienia (bisekcji) Metoda bisekcji jest najprostszą ze wszystkich możliwych metod i jest bardzo wolno zbieżna. Dane jest równanie f(x) = 0, przy czym funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym < a, b > oraz zachodzi nierówność: f(a) f(b) < 0.

1.6 Metoda regula falsi. Metoda interpolacji liniowej Regula linia prosta. Falsi fałszywy. Metoda bazuje na fałszywym twierdzeniu, że w pewnym przedziale funkcja jest liniowa. Metoda ta jest szybciej zbieżna od metody bisekcji, a ponadto jej zbieżność jest również gwarantowana. W interpretacji geometrycznej metoda interpolacji liniowej oznacza zastąpienie krzywej f(x) cięciwą łączącą punkty A(a, f(a)) i B(b, f(b)) Dla y = 0 mamy x a b a = y f(a) f(b) f(a). (4) x k = a f b b f a f b f a (5)

1.7 Metoda siecznych W tej metodzie generowanie ciągu kolejnych przybliżeń wartości poszukiwanego pierwiastka odbywa się także za pomocą interpolacji liniowej. Stosowana strategia interpolacji liniowej polega jednak na tym, że jest ona budowana na podstawie znanych wartości dwóch ostatnio obliczonych rzędnych funkcji f(x). W tej metodzie, x (k+1) wyznacza się jako odciętą punktu przecięcia siecznej przechodzącej przez punkt A(x k 1, f(x k 1 )) oraz B(x k, f(x k )) z osią x ów: x k+1 = x k f(x k ) f(x k ) f(x k 1 ) (x k x k 1 ), k = 1, 2,..., n (6) Posługiwanie się taką interpolacją może w pewnych przypadkach prowadzić do obliczenia pierwiastka x k+1 leżącego poza bieżącym przedziałem izolacji. 1.8 Metoda stycznych (Newtona-Raphsona) Analizujemy funkcję f zmiennej x w otoczeniu punktu x 0. Definiujemy iloraz (różnicowy) funkcji f w punkcie x 0 dla przyrostu x: f(x 0 + x) f(x 0 ) x Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x 0 jest to granica, do której dąży iloraz, gdy x dąży do 0, o ile taka granica istnieje: f f(x 0 + x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x 0 x (7) Pochodna istnieje, jeśli: funkcja f(x) jest ciągła,

istnieje granica określona w (7) Podstawę metody stycznych stanowi interpolacja funkcji f(x) za pomocą stycznej prowadzonej w punkcie B(x 0, f 0 ). Kolejne przybliżenia poszukiwanego pierwiastka są odciętymi punktu przecięcia stycznej z osią x: f (x k ). (8) Jest to metoda najszybciej zbieżna o zbieżności kwadratowej. Oznacza to, że przy spełnionych założeniach jej błąd maleje kwadratowo wraz z liczbą iteracji. Wadą metody jest fakt, że zbieżność nie zawsze musi zachodzić. W wielu przypadkach metoda bywa rozbieżna przeważnie wtedy gdy punkt startowy jest zbyt daleko od szukanego pierwiastka równania. Jeżeli zachodzą cztery warunki: 1. funkcje f(x) jest określona i ciągła w przedziale < x < + ; 2. f(a)f(b) < 0; 3. f (x) 0 dla a x b; 4. f (x) istnieje w przedziale (, + ) i nie zmienia znaku; to przy zastosowaniu metody Newtona za początkowe przybliżenie x 0 można przyjąć dowolną wartość c < a, b >. 1.9 Zmodyfikowana metoda Newtona Jeżeli pochodna f (x) zmienia się w przedziale domkniętym < a, b > nieznacznie to we wzorze, k = 0, 1, 2,, n f (x k ) można przyjąć f (x k ) f (x 0 ).

Zatem kolejne przybliżenia pierwiastka x równania f(x) = 0 można obliczyć ze wzoru, k = 0, 1, 2,, n (9) f (x 0 ), k = 0, 1,..., n f (x 0 ) W interpretacji geometrycznej metoda ta oznacza zamianę stycznych w punktach B k (x k, f(x k )) prostymi, równoległymi do stycznej, przeprowadzonej przez punkt B 0 (x 0, f(x 0 )).