MA 10. cvičení intervaly monotonie a lokální extrémy Lukáš Pospíšil,2012 1 Derivace funkce a monotonie Jelikož derivace funkce v daném bodě je de-facto směrnice tečny (tangens úhlu, který svírá tečna s kladnou poloosou x) lze jednoduše ze znaménka derivace v daném bodě určit, jestli se jedná o rostoucí, či klesající, funkci. Věta 1.0.1 Uvaˇzujme interval I D f. Necht funkce f má na intervalu I derivaci. Je-li x I: 1. f (x) > 0, pak f je rostoucí na I 2. f (x) 0, pak f je neklesající na I 3. f (x) < 0, pak f je klesající na I 4. f (x) 0, pak f je nerostoucí na I 5. f (x) = 0, pak f je konstantní na I Příklad 1.0.1 Uvaˇzujme funkci S derivací jistě nebude problém f(x) def = sin x f (x) = cos x (1)
5 sin x cos x 4 0 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 4 2 0 2 4 6 8 Všimli jste si? Na intervalech, kde je funkce sin klesající, je funkce cos záporná. Na intervalech, kde je funkce sin rostoucí, je funkce cos kladná. 2 Stacionární body a body podezřelé z extrému Definice 2.0.1 Pojmem stacionární bod nazveme x 0 D f pokud f (x 0 ) = 0 nebo f (x 0 ) neexistuje. Poznámka: Ze slovníku cizích slov: stacionární = neměnící se s časem, nepohyblivý, stálý ustálený. Slyšeli jste už pojem stacionární úloha? To je fyzikální úloha, ve které je počítaná fyzikální vlastnost nezávislá na čase. Teda se nemění. Tož a změna - to je derivace. Příklad 2.0.2 Nalezněte stacionární body funkce Takˇze zderivujeme a poloˇzíme rovno nule Tedy řešíme rovnici f(x) def = x 2 e x f (x) = 2xe x + x 2 e x f (x) = 0 2xe x + x 2 e x = 0 2xe x + x 2 e x = 0 xe x (2 + x) = 0 a součin je nulový, pokud se alespoň jeden z činitelů rovná nule, tedy stacionárními body jsou x 0 = 0 x 1 = 2 (2)
(neexistuje x D f takové, že e x = 0) 3 Intervaly monotonie Uvažujme funkci a průběh její první derivace. Pak střídání (změna) monotonie původní funkce (rostoucí-klesající, klesající rostoucí) bude nastávat v stacionárních bodech. Tedy při určování intervalů monotonie (intervaly na kterých je funkce rostoucí, případně klesající) si pomůžeme stacionárními body - jedině v nich se může monotonie měnit. Jistě nám bude nápomocná tato věta: Věta 3.0.2 Necht je dána funkce f spojitá na intevalu a, b D f. Je-li pak f(a)f(b) < 0 x 0 (a, b) : f(x 0 ) = 0 Poznámka: Prozradím, že požadovanou vlastnost lze zapsat i jinak: f(a)f(b) < 0 (f(a) > 0 f(b) < 0) (f(a) < 0 f(b) > 0) A nakreslíme si obrázky pro jednotlivé situace: Spojte body [a, f(a)] a [b, f(b)] nepřerušenou čarou, která by mohla být grafem nějaké spojité funkce. Jistě při tom protnete x-ovou osu. Tedy existuje průsečík [x 0, 0] - nějaký bod v intervalu (a, b) takový, že jeho funkční hodnota je nula. Žádná velká záhada. I díky této větě dokážeme vyřešit příští příklad. Příklad 3.0.3 Určete intervaly monotonie (tj. intervaly ve kterých je funkce klesající nebo rostoucí) funkce f(x) def = x 2 e x Očividně D f = R. Nejdříve nalezneme stacionární body, připomínám derivaci: f (x) = 2xe x + x 2 e x (3)
a stacionární body jsou (viz předchozí příklad): x 0 = 0 x 1 = 2 Tedy definiční obor funkce je rozdělen na tři části: Nyní budeme uvaˇzovat postupně jednotlivé intervaly. Stačí, kdyˇz určíme hodnotu derivace v libovolném vnitřním bodě uvaˇzovaného intervalu (hej, to by stálo za zamyšlení - viz poznámka). I 1 = (, 2) např. f ( 3) = 2.( 3)e 3 + ( 3) 2 e 3 > 0 f (I 1 ) > 0 I 2 = ( 2, 0) např. f ( 1) = 2.( 1)e 1 + ( 1) 2 e 1 < 0 f (I 2 ) < 0 I 3 = (0, ) např. f (1) = 2.1e 1 + 1 2 e 1 < 0 f (I 3 ) > 0 Jak to tak šikovně napsat? Co takhle tabulka I f f (, 2} + 2, 0 0, ) + A co ty krajní body? Viz další poznámka. Poznámka: Všiměte si, že jsem záměrně ztotožnil pojmy intervaly monotonie a maximální intervaly monotonie. Například v předchozím příkladě je funkce f klesající na intervalu ( 2, 1). No a co? Rozhodně zajímavější informací jsou co největší intervaly monotonie. Tedy to co jsme nalezli, jsou vlastně maximální intervaly monotonie. Poznámka: Proč stačí jeden bod? Jediným spůsobem, jak by se mohla monotonie zmenit, je průchod derivace nulou (viz věta na začátku kapitoly). A my všechny tyto průchody nulou známe (to jsou stacionární body). Takže derivace se nezmění až do příštího stacionárního bodu. A to je dobře. Poznámka: Co ty krajní body? Monotonii máme původně definovanou pro libovolné intervaly (otevřené, polootevřené i uzavřené). První věta v dnešním cvičení se ale týká otevřených intervalů. A nám jde o maximální intervaly monotonie. Takže by bylo fajn, kdyby jsme tam mohli i ten krajní bod přidat. Ale musí být v definičnim oboru, což třeba takové ± určitě není (nejsou to reálná čísla, tedy nemohou být ani v definičním oboru funkcí reálné proměnné). Důležitá je spojitost v krajních bodech, což je zase otázka jednostranných limit. Uvažte tvrzení: Je-li f spojitá na a, b a rostoucí na (a, b), je f rostoucí i na a, b. Analogicky i pro jiné kombinace typů monotonie a polouzavřených intervalů. 4 Lokální extrémy Lokální minimum, lokální maximum. To je to, o co nám půjde. Jo, a ještě to může být ostré. (4)
Definice 4.0.2 Řekneme, ˇze f má v bodě x 0 D f lokální minimum, jestliˇze ostré lokální minimum, jestliˇze lokální maximum, jestliˇze ostré lokální maximum, jestliˇze Poznámka: Obrázeček a je jasno O(x 0 ) : x O(x 0 ) : f(x) f(x 0 ) P(x 0 ) : x P(x 0 ) : f(x) > f(x 0 ) O(x 0 ) : x O(x 0 ) : f(x) f(x 0 ) P(x 0 ) : x P(x 0 ) : f(x) < f(x 0 ) Vidíte ten rozdíl mezi lokálním extrémem a ostrým lokálním extrémem? Příklad 4.0.4 Nalezněte lokální extrémy funkce f(x) def = x 2 e x Tak to není žádný problém, jelikož už známe intervaly monotonie I f f (, 2 + 2, 0 0, ) + tak lokální maximum je v bodě 2 a lokální minimum je v bodě 0. A jsou to ostré extrémy. (5)
5 Je to implikace, ne ekvivalence Věta 5.0.3 (nutná podmínka existence lokálního extrému) Má-li funkce f v bodě x 0 R lokální extrém, je bud f (x 0 ) = 0, nebo f (x 0 ) neexistuje. Poznámka: Tedy pokud je v bodě extrém, pak je to stacionární bod. Poznámka: Všimněte si, že je to pouze implikace. Tedy pokud je bod stacionární, pak to neznamená, že je v něm extrém. Jako protipříklad (že ne každý stacionární bod je extrém) nemusíme vymýšlet nějaké šílené funkce: Příklad 5.0.5 Nalezněte lokální extrémy Tedy derivujeme a poloˇzíme rovno nule a existuje pouze jeden stacionární bod f(x) def = x 3 f (x) = 3x 2 f (x) = 0 3x 2 = 0 x 0 = 0 Jak jistě víte z průběhu funkce x 3 - tato funkce nemá extrémy. Navíc x D f : f (x) 0, proto funkce f je neklesající - jak tedy můˇzeme hovořit o nějakém extrému? Jak to tedy poznat - nalezneme stacionární body a co dál? 6 Druhá derivace... a i další Ted jedna důležitá věta, která nám umožní nalézt lokální extrémy bez toho, abychom museli identifikovat intervaly monotonie. Věta 6.0.4 Necht f (x 0 ) = 0 a necht f (x 0 ) > 0, pak f má v x 0 lokální minimum f (x 0 ) < 0, pak f má v x 0 lokální maximum A i když to nevyjde u druhé derivace, můžeme pokračovat Věta 6.0.5 Necht Potom platí f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 f (n) (x 0 ) (6)
je-li n N liché, funkce f nemá v x 0 lokální extrém je-li n N sudé a f (n) (x 0 ) > 0, má f v bodě x 0 ostré lokální minimum f (n) (x 0 ) < 0, má f v bodě x 0 ostré lokální maximum Poznámka: Tedy derivace jsou nulové až do (n 1)-ní iterace. A v n-té iteraci je nenulová. Pak záleží na tom, jestli je to sudá nebo lichá derivace. Příklad 6.0.6 Nalezněte lokální extrémy a intervaly monotonie funkce Očividně D f = R. První derivace f(x) = 12x 5 15x 4 40x 3 + 60 f (x) = 60x 4 60x 3 120x 2 a poloˇzíme rovno nule - hledáme stacionární body 60x 4 60x 3 120x 2 = 0 x 2 (x 2 x 2) = 0 a získáme stacionární body x 0 = 0, x 1 = 2, x 3 = 1. Tedy máme čtyři intervaly a je co vyšetřovat: (, 1) : f ( 2) > 0 ( 1, 0) : (0, 2) : f ( 1 2 ) < 0 f (1) < 0 (2, ) : f (3) > 0 Poznámka: Jistě se vám nechce dosazovat do předpisu první derivace a klepat to do kalkulačky. Ani mi se nechce. Proto na to půjdeme mazaněji. Jelikoˇz f (x) = 60x 4 60x 3 120x 2 = 60x 2 (x 2 x 2) a očividně x : 60x 2 > 0 pro x jiné neˇz stacionární body (a to my tam dosazujeme jiné neˇz stacionární body), pak znaménko první derivace závisí pouze na činiteli (x 2 x 2). U identifikace intervalu monotonie nás vlastně nezajímá konkrétní hodnota, ale pouze znaménko. Proto stačí dosadit vyšetřovaný bod do členu (x 2 x 2) a podle znaménka se určí i znaménko první derivace v daném bodě (kladné číslo krát kladné je kladné, kladné číslo krát záporné je záporné). a výsledná tabulečka (i skrajními body, ve kterých je funkce spojitá - polynom je spojitý v celém D f ): I f f (, 1 + 1, 0 0, 2 2, ) + (7)
Že by v bodě 1 bylo lokální maximum, v bodě 2 lokální minimum a v bodě 0 nebyl lokální extrém? Podíváme se na druhou derivaci: a dosadíme stacionární body: f (x) = 240x 3 180x 2 240x = 60x(4x 2 3x 4) f ( 1) = 60.( 1).(4.( 1) 2 3.( 1) 4) < 0 f (0) = 60.0.(4.0 2 3.0 4) = 0 f (2) = 60.2.(4.2 2 3.2 4) > 0 Tedy v bodě 1 je lokální maximum, v bodě 2 lokální mininimum. A co ta 0? Budeme derivovat, aˇz dokud nebude jasno: f (3) (x) = 720x 2 360x 240 f (3) (0) = 240 Tedy třetí (lichá) derivace v bodě 0 je nenulová. Proto v bodě 0 nemá funkce lokální extrém. Příklad 6.0.7 Nalezněte lokální extrémy a intervaly monotonie funkce Očividně D f = (0, 1) (1, ). První derivace f (x) = 2x ln x x2 1 x ln 2 x f(x) def. = x2 ln x = 2x ln x x ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x a poloˇzíme rovno nule - hledáme stacionární body. Jelikoˇz x D f : ln 2 x 0, stačí uvaˇzovat x(2 ln x 1) = 0 a získáme stacionární bod x 0 = e (upozorňuji, ˇze 0 / D f ). Tedy máme tři intervaly (1 < e): (0, 1) : f ( 1 2 ) < 0 (1, e) : f ( 4 e) < 0 ( e, ) : f (e) > 0 a výsledná tabulečka (i s krajními body, ve kterých je funkce spojitá): I f f (0, 1) (1, e e, ) + Že by v bodě e bylo lokální minimum? Nechtějte abych to derivoval znovu :) (ukáˇze se totiˇz, ˇze to nestačí, je to po dosazení nula, tedy by nás čekala další derivace) (8)
Příklad 6.0.8 Nalezněte lokální extrémy funkce Očividně D f = R. První derivace f(x) = x 3 e x2 f (x) = 3x 2 e x2 + x 3 e x2 2x = e x2 x 2 (3 + 2x 2 ) Stacionárním bodem je x 0 = 0. Druhá derivace f (x) = 6xe x2 + 3x 2 e x2 2x + 8x 3 e x2 + 2x 4 e x2 2x = xe x2 (4x 4 + 14x 2 + 6) a dosadíme - zjistíme, ˇze f (0) = 0. Takˇze pokračujeme f (3) (x) = (e x2 + xe x2 2x)(4x 4 + 14x 2 + 6) + xe x2 (16x 3 + 28x) = e x2 (8x 6 + 48x 4 + 54x 2 + 6) Juch, ta šestka nás zachránila - f (3) = 6 0, proto funkce f nemá v bodě 0 lokální extrém. Nemáme další stacionární body podezřelé z extrému, tedy funkce f nemá lokální extrémy. Příklad 6.0.9 Nalezněte lokální extrémy funkce f(x) def. = x 2 sin x, x (0, 2π) První derivace a poloˇzíme rovno nule f (x) = 1 2 cos x cos x = 1 x = π 2 3 x = 5 3 π Druhá derivace f (x) = 2 sin x dosadím a vidím - lokální minimum je v bodě π 3, lokální maximum v bodě 5 3 π. Příklad 6.0.10 (aneb kterak do výuky nenápadně propašovat dělení polynomů) Nalezněte lokální extrémy funkce f(x) := 3x 4 8x 3 30x 2 + 72x + 5. Nic těˇzkého - první derivaci poloˇzíme rovno nule a nalezneme tak stacionární body: f (x) = 12x 3 24x 2 60x + 72 = 0 Ta velká čísla nám jistě vadí, takˇze si malinko pohrajeme s tou rovnicí: 12(x 3 2x 2 5x + 6) = 0 (9)
No a dvanáct nikdy nebude nula, takže nám stačí řešit rovnici x 3 2x 2 5x + 6 = 0. (1) Diskriminant? To těˇzko, je to polynom třetího stupně. Jistě na internetu naleznete komplikované vzorečky i na tento stupeň polynomu, ale pamatovat je se nám jistě nechce. Poznámka: U akademických úloh je vˇzdy jedním kořenem polynomu třetího stupně jedno číslo z mnoˇziny { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}. Je to proto, aby byl příklad spočítatelný na koleně. Co se týče komplikovanějších polynomů, tak kořeny se určují obvykle numericky na počítači (případným zájemcům doporučuji příslušné skriptum [3] případně jinou literaturu). Jedním řešením je x 1 = 1 (zkuste dosadit a uvidíte). Zbývají nalézt ještě dva kořeny (je to polynom třetího stupně - viz. základní věta algebry). Jistě se dá původní polynom (1) rozložit na součin lineárních funkcí x 3 2x 2 5x + 6 = (x x 1 ).(x x 2 ).(x x 3 ), kde x 1, x 2, x 3 jsou hledané kořeny (reálné či komplexní, to se ještě neví). Jelikoˇz kořen x 1 známe, lze zbývající kořeny určit pomocí dělení polynomů x 3 2x 2 5x + 6 x x 1 = (x x 2 ).(x x 3 ). Pokud neumíme dělit polynomy (principielně stejný algoritmus jako dělení reálných čísel na papíře, kde zbytky po částečném dělení se postupně odečítají), doporučuji např. [4]. Samozřejmě, výsledek dělení bude beze zbytku (x 1 je jedním kořenem) a v tomto případě získáme (x 3 2x 2 5x + 6) : (x 1) = x 2 x 6. Tedy jsme získali rozklad x 3 2x 2 5x + 6 = (x 1).(x 2 x 6). Že to pořád není ještě ono? Máte pravdu, ale s polynomem druhého stupně si jiˇz poradíme diskriminantem, získáme kořeny x 2 = 3, x 3 = 2. Pro úplnost uvadím tedy kompletní rozklad daného polynomu třetího stupně na součin lineárích funkcí: x 3 2x 2 5x + 6 = (x 1).(x 3).(x + 2). Kdo nevěří, at si pravou stranu roznásobí (tj. udělá zkoušku). Náš polynom třetího stupně se má rovnat nule, takˇze x 3 2x 2 5x + 6 = 0 (x 1).(x 3).(x + 2) = 0 A součin je nulový, pokud alespoň jeden z činitelů je roven nule - a my uˇz víme, ˇze kořeny jsou x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 2. Stacionární body máme, nyní dosadíme do druhé derivace f (x) = 36x 2 48x 60 = 12(3x 2 4x 5) f (1) = 12(3.1 2 4.1 5) = 12.( 6) < 0 f (3) = 12(3.3 2 4.3 5) = 12.10 > 0 f ( 2) = 12(3.( 2) 2 4.( 2) 5) = 12.15 > 0 Tedy funkce f má v bodě 1 ostré lokální minimum, v bodech 3 a 2 ostré lokální maximum. (10)
Příklad 6.0.11 Nalezněte lokální extrémy funkce Nejdříve stacionární body f(x) = x 3 3x 2 + 6x + 12. f (x) = 3x 2 6x + 6 = 0 3(x 2 2x + 2) = 0 x 2 2x + 2 = 0 x 1,2 = 2± 4 4.1.2 2 = 2± 4 2 / R / D f A jelikoˇz f (x) je definovaná v libovolném x D f (x R), pak funkce f nemá stacionární body, tedy nemá ani lokální extrémy. Navíc se dá ukázat, ˇze x D f : f (x) > 0, proto f je rostoucí na celém D f (a proto nemůˇze mít lokální extrémy). 7 Reference [1] Matematická analýza ve Vesmíru - soubor přednáškových slidů Bouchala J., 2000 a něco [2] Diferenciální počet jedné proměnné Kuben J., Šarmanová P., ESF, 2007 [3] Numerické metody I Vondrák V., Pospíšil L., MI21, 2012 [4] Dělení polynomů, http://www.aristoteles.cz/matematika/vyrazy/deleni-mnohoclenupolynomu.php (11)